女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文介紹了伊斯蘭藝術(shù)和建筑遺產(chǎn)中幾何裝飾的形式和意義的三種不同學(xué)術(shù)解釋：外部文化立場(chǎng)，深?yuàn)W的宗教論點(diǎn)，和內(nèi)部科學(xué)方法。文章的主要部分超越了伊斯蘭信仰的文化忠誠(chéng)或規(guī)定，而是圍繞著重建和制作幾何圖案的內(nèi)部形式主義和純美學(xué)方面，旨在探索它們的感知詞匯，以及它們的生成原則和內(nèi)在過(guò)程。分析從最基本的層面開(kāi)始，幾何圖案可以被視為開(kāi)放或封閉表面多邊形或線性配置的組合。其他感知方式涉及多邊形的外觀和內(nèi)在幾何形狀、色調(diào)或顏色，以及通過(guò)圖形-背景反轉(zhuǎn)或通過(guò)將線性設(shè)計(jì)感知為二維平面之外的互鎖元素來(lái)應(yīng)用準(zhǔn)三維空間。然后，本文從構(gòu)成多邊形、重復(fù)密鋪和設(shè)計(jì)整體的層面，探討了視覺(jué)感知手段與圖案固有的重復(fù)、幾何和對(duì)稱性之間的關(guān)系。除了雙邊對(duì)稱中相似性和同一性的狹義含義之外，還引入了對(duì)稱的替代概念，然后基于晶體學(xué)家發(fā)現(xiàn)并由數(shù)學(xué)家發(fā)展的分類，將其應(yīng)用于建立2d幾何圖案的綜合詞匯表。文章最后展示了結(jié)合幾何和對(duì)稱系統(tǒng)在重新創(chuàng)造傳統(tǒng)設(shè)計(jì)或產(chǎn)生新圖案的力量。

1導(dǎo)言

近年來(lái)，在研究伊斯蘭裝飾圖案的內(nèi)在設(shè)計(jì)、意義以及歷史和文化背景方面取得了越來(lái)越多的成果。在文化領(lǐng)域，它們經(jīng)常被框定為社會(huì)產(chǎn)品或歷史風(fēng)格[1]。在神學(xué)和神秘學(xué)領(lǐng)域被用作解釋工具。在象征領(lǐng)域被賦予了一個(gè)深?yuàn)W的維度，形式和結(jié)構(gòu)的秩序成為“統(tǒng)一”原則的體現(xiàn)[2]，[3]。最后，理性/實(shí)證主義的方法忽略了伊斯蘭裝飾研究中的意義問(wèn)題，無(wú)論是與社會(huì)相關(guān)還是更具體地受信仰的約束，而是專注于設(shè)計(jì)的形式方面及其幾何和數(shù)學(xué)過(guò)程[4]。

本文的討論范圍超越了伊斯蘭信仰的文化忠誠(chéng)或規(guī)定；而是圍繞著幾何圖案制作藝術(shù)的內(nèi)部形式主義和純美學(xué)方面，目的是探索它們的感知詞匯和它們內(nèi)在的幾何原理。

2感知詞匯

單個(gè)2d重復(fù)圖案的設(shè)計(jì)可以使用基本圖形詞匯(如線條和色調(diào))以不同的方式傳達(dá)和感知，以便表達(dá)設(shè)計(jì)中固有的幾何形狀和對(duì)稱系統(tǒng)。在同一個(gè)設(shè)計(jì)中，線條和色調(diào)詞匯的不同應(yīng)用會(huì)產(chǎn)生大量的解讀，從而產(chǎn)生各種各樣的圖案。

在非?；镜膶用嫔希瑤缀螆D案可以被理解為開(kāi)放或封閉的表面多邊形或線性結(jié)構(gòu)的組合。將色調(diào)或顏色引入表面多邊形甚至線性元素是另一種感知方式。另一個(gè)例子是通過(guò)填充多邊形的圖案-背景反轉(zhuǎn)，或者通過(guò)將線性設(shè)計(jì)視為平面二維之外的互鎖元素，來(lái)增加準(zhǔn)三維。本節(jié)將探討這些和其他例子，研究視覺(jué)感知手段和圖案的內(nèi)在幾何形狀和對(duì)稱性之間的關(guān)系。這將為下一節(jié)討論對(duì)稱和重復(fù)系統(tǒng)打下基礎(chǔ)。

2.1表面多邊形

這種解讀承認(rèn)了二維重復(fù)圖案作為表面填充設(shè)計(jì)的基本性質(zhì)。該表面被視為封閉多邊形的邊對(duì)邊鋪砌(圖1(a))。在某些情況下，開(kāi)放的多邊形區(qū)域在無(wú)限的帶狀構(gòu)型中起到填充空間的類似作用(圖1(b))。

圖1：表面填充多邊形。(a)閉合多邊形；(b)開(kāi)放的多邊形條帶。

區(qū)分多邊形類型的另一種方式涉及多邊形邊緣是彎曲的還是直線的(圖2(a)和2(b))。本研究范圍內(nèi)的模式大多是直線型的，并且基于閉合多邊形。第三個(gè)區(qū)別涉及多邊形的內(nèi)部軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(圖2(c)和2(d))。另一個(gè)同樣重要的區(qū)別是多邊形所基于的幾何比例系統(tǒng)。注意直線和曲線情況下的共同幾何系統(tǒng)(圖2(e)和2(f))。

圖2：多邊形幾何。(a)和(b)曲線多邊形與直線多邊形;(c)內(nèi)部軸對(duì)稱;(d)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱;(e)和(f)幾何比例。

每個(gè)圖案最終都是由在2d空間中重復(fù)的有限數(shù)量的基本多邊形類型組成的。這一重要特性在圖3(a)中用與圖1(a)相同的圖形表示。不同類型的多邊形以不同的數(shù)量重復(fù)，設(shè)計(jì)中組成多邊形類型的比例作為一個(gè)整體變得相關(guān)。由于圖案由重復(fù)的模塊組成，因此重復(fù)單元中每種多邊形類型的出現(xiàn)次數(shù)也變得很重要(圖3(b))。

圖3：多邊形類型和重復(fù)。(a)基本多邊形；(b)重復(fù)單位的多邊形。

2.2實(shí)體虛空反轉(zhuǎn)

當(dāng)我們能夠?qū)D案視為充滿空間的表面多邊形時(shí)，也就有可能對(duì)留下空洞的虛空多邊形進(jìn)行反向解讀。當(dāng)填充多邊形和虛空多邊形有序地結(jié)合在一個(gè)單一圖案的實(shí)體虛空中時(shí)，這種現(xiàn)象就變得非常有趣。

任何封閉多邊形圖案，如果其填充多邊形的讀法符合交錯(cuò)規(guī)則（見(jiàn)下文 2.4 的解釋），都可以被視為交替的同心多邊形集，遵循圖案背景反轉(zhuǎn)的開(kāi)關(guān)邏輯（圖 4(a)）。此外，這里還可以構(gòu)想出實(shí)體虛空、黑與白或明與暗的替代主題。同樣的道理也適用于一些基于開(kāi)放多邊形的帶狀設(shè)計(jì)，如圖 4(b)。在這個(gè)例子中，將深色區(qū)域和淺色區(qū)域顛倒一下，就能得到同一設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)換副本。

圖4：實(shí)體虛空。(a)閉合多邊形；(b)開(kāi)放的多邊形條帶。

2.3基本線性多邊形

這種對(duì)幾何裝飾的解讀將設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化為二維空間中的直線布局。與填充多邊形相關(guān)，線條表示設(shè)計(jì)的相鄰多邊形表面的共享邊。但是在線性解讀中，我們開(kāi)始獨(dú)立于線條定義的多邊形來(lái)感知線條?，F(xiàn)在，眼睛可以從某個(gè)點(diǎn)開(kāi)始，沿著一個(gè)線性元素穿過(guò)不同的多邊形，直到它或者如圖5(a)所示看起來(lái)是無(wú)限的，或者如圖5(b)所示繞回到它的原點(diǎn)。

圖5：線性解讀。(a)基本線性配置；(b)單一線性多邊形；(c)兩個(gè)反射的線性多邊形；(d)兩個(gè)相對(duì)的線性多邊形。

當(dāng)整個(gè)圖案開(kāi)始被視為這種線性元素的互鎖網(wǎng)絡(luò)時(shí)，解讀變得更加有趣，這些線性元素本質(zhì)上要么是無(wú)盡的連續(xù)線，要么是閉合的線性多邊形。在許多情況下，單個(gè)線性元素的重復(fù)，保持相同的取向，如圖5(b)所示，或者具有不同的取向，如圖5(a)和5(c)所示，足以產(chǎn)生設(shè)計(jì)。在其他情況下，兩個(gè)或更多不同的元素起到與圖5(d)中相似的作用。在符合下面解釋的交錯(cuò)規(guī)則的設(shè)計(jì)中，將圖案視為互鎖的線性元素是特別可能的。

2.4 交錯(cuò)設(shè)計(jì)

交錯(cuò)設(shè)計(jì)本質(zhì)上是基于幾何圖案的線性感知，但也體現(xiàn)了表面和質(zhì)空讀數(shù)的特性（圖 6(a1)、(b1) 和(c1)）。當(dāng)線性圖案中的線性元素開(kāi)始具有一定的寬度（即線性表面）時(shí)，對(duì)交錯(cuò)線條的感知會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)交錯(cuò)表面元素的感知，這些表面元素的重疊會(huì)產(chǎn)生新的設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)（圖 6(a2)、(b2) 和 (c2)）。如圖 6（a2）所示，這些元素以無(wú)限折線陣列的形式重復(fù)出現(xiàn)，或如圖 6（b2）所示，以有限的封閉線性多邊形重復(fù)出現(xiàn)。這些元素所形成的寬度使它們具有了自己的表面，直到出現(xiàn)難以區(qū)分表面和線性設(shè)計(jì)的時(shí)候，如圖 6(c2)。

交錯(cuò)以一種開(kāi)關(guān)順序的方式工作：如果一個(gè)線性元素越過(guò)第二個(gè)元素，下一次它遇到第三個(gè)元素時(shí)，它應(yīng)該穿過(guò)它(圖6(a2)， (b2)和(c2))。天橋-地道邏輯可以通過(guò)交替顏色系統(tǒng)來(lái)強(qiáng)調(diào)(圖6(c2))。當(dāng)在任何一點(diǎn)上不超過(guò)2條線相交或交叉時(shí)，只能從線性圖案發(fā)展成交錯(cuò)設(shè)計(jì)。當(dāng)所有多邊形頂點(diǎn)僅由2或4個(gè)多邊形共享時(shí)，才能從圖案的填充多邊形讀取中開(kāi)發(fā)出交錯(cuò)設(shè)計(jì);參考圖6(a1)、(b1)、(c1)中的頂點(diǎn)V2、V4。

交錯(cuò)設(shè)計(jì)可以經(jīng)歷前景-背景反轉(zhuǎn)或被解讀為實(shí)體和虛空、黑白或明暗(圖6(a3)、(b3)和(c3))。被分解成有限閉合多邊形組件的交錯(cuò)元素可以被應(yīng)用或壓印在背景表面材料上。

圖 6：交錯(cuò)。(a) 無(wú)限交錯(cuò)元素；(b) 封閉交錯(cuò)多邊形；(c) 假定最大表面的交錯(cuò)元素。

2.5 花邊圖案

如果一個(gè)線性元素圖案不符合交錯(cuò)規(guī)則，它仍然可以被轉(zhuǎn)化為所謂的花邊設(shè)計(jì)，如圖 7(a)和(b)所示。這里的區(qū)別在于，線性元素有寬度，但它們只是相互交匯，并沒(méi)有交錯(cuò)。它們不能以上下連續(xù)的方式交錯(cuò)，因?yàn)橹灰辽儆幸稽c(diǎn)有兩條以上的線相交或交叉，就足以破壞整個(gè)系統(tǒng)，如圖7中V3和V6點(diǎn)所示。

花邊設(shè)計(jì)可以很容易地從圖案與背景的關(guān)系、實(shí)體與虛空的關(guān)系、黑與白的關(guān)系或明與暗的關(guān)系中感知。實(shí)體與虛空的關(guān)系可直接應(yīng)用于建筑和室內(nèi)設(shè)計(jì)元素，如隔墻、用于保護(hù)隱私或過(guò)濾自然光的窗紗。

圖 7：花邊設(shè)計(jì)

2.6基本重復(fù)單元

這是一種對(duì)幾何圖案的解讀，它不太關(guān)注單個(gè)的多邊形元素，而更傾向于構(gòu)思更大的設(shè)計(jì)模塊，通過(guò)在二維空間中無(wú)休止的重復(fù)來(lái)產(chǎn)生整體。這包括從單個(gè)多邊形的局部對(duì)稱性到更大模塊的對(duì)稱性的轉(zhuǎn)變，以及最終到設(shè)計(jì)整體的全局對(duì)稱性的轉(zhuǎn)變。接下來(lái)會(huì)對(duì)設(shè)計(jì)的部分-整體結(jié)構(gòu)有一個(gè)更清晰的認(rèn)識(shí)。該設(shè)計(jì)被視為不同基本單元的鑲嵌，每一個(gè)基本單元都可以被物理地想象為一個(gè)重復(fù)的拼塊。

在處理重復(fù)時(shí)，可以選擇性地考慮圖案的不同屬性：多邊形幾何、表面色調(diào)或顏色、隔行或填充細(xì)節(jié)。除此之外，根據(jù)大小、邊界形狀和重復(fù)類型的選擇，總是有不止一種方法可以構(gòu)思相同模式中的重復(fù)貼圖。圖8(b)中的模塊C1、C2、C3和C4中，拼塊可以選擇性地縮小到再生圖案所需的最小尺寸。越來(lái)越大的拼塊總是可能的。拼塊既可以有一個(gè)穿過(guò)多邊形的規(guī)則邊界，以保持其自身的規(guī)則幾何形狀，如圖8(b)所示，也可以有一個(gè)遵循多邊形邊緣的不那么規(guī)則的邊界，如圖8(c)所示。最后，拼塊可以根據(jù)不同的重復(fù)系統(tǒng)的先入為的概念來(lái)描繪，無(wú)論是基于簡(jiǎn)單的平移還是其他模式的反射和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，這將在下一節(jié)中解釋。

圖8：模塊化重復(fù)。(a)2d重復(fù)圖案；(b)替代的重復(fù)模塊；多邊形拼塊。

重要的是要注意，構(gòu)思模塊的替代方式將直接影響設(shè)計(jì)新圖案的方法，并將最終指導(dǎo)旨在覆蓋真實(shí)表面的物理拼塊的制造過(guò)程。在后一種情況下，最好的拼塊可能是那些邊界不穿過(guò)單個(gè)多邊形的邊，但仍保持最規(guī)則形狀的拼塊。

3對(duì)稱的詞匯

在討論感知幾何圖案的替代方法時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)稱性和幾何學(xué)在構(gòu)成多邊形、重復(fù)拼塊以及整體設(shè)計(jì)的感知區(qū)分中起著重要作用?，F(xiàn)在是時(shí)候更深入地探索以有序的方式實(shí)現(xiàn)空間填充的替代方法，即通過(guò)組合不同的對(duì)稱模式來(lái)構(gòu)思有序的重復(fù)系統(tǒng)。

3.1對(duì)稱操作

如果一個(gè)系統(tǒng)在一次或多次重復(fù)操作后保持不變，則該系統(tǒng)具有對(duì)稱性。顯然，2d幾何圖案的任何基本單元的重復(fù)，無(wú)論是線性的、多邊形的還是拼塊狀的，都是基于平移、反射或旋轉(zhuǎn)。這種過(guò)程似乎扮演了對(duì)稱操作的角色，因?yàn)楫?dāng)平移、反射或旋轉(zhuǎn)(取決于它首先擁有的對(duì)稱類型)時(shí)，設(shè)計(jì)作為一個(gè)整體不會(huì)改變。

圖9中簡(jiǎn)單的2d幾何圖案說(shuō)明了這個(gè)概念。該圖案是無(wú)限的，并且基于三角形網(wǎng)格。假設(shè)我們?cè)谠O(shè)計(jì)的透明副本上突出顯示選定的L形區(qū)域P。在基礎(chǔ)圖案上疊加副本后，我們可以用不同的方式將它移動(dòng)到不同的位置(P1、P2和P3)，同時(shí)保持兩個(gè)無(wú)限圖案完美疊加。滿足此條件的可用移動(dòng)實(shí)際上是特定的線性平移、沿選定的軸翻轉(zhuǎn)整個(gè)圖案或圍繞選定的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

圖9：平移、反射和旋轉(zhuǎn)。

在該特定設(shè)計(jì)中，平移可以是距離d1或d2的倍數(shù)(圖10)。在這兩種情況下，沿著三個(gè)不同的軸和沿著每個(gè)軸的相反方向的平移都是可能的。如果我們沿著d1或d2以及任何指定的方向移動(dòng)或復(fù)制整個(gè)設(shè)計(jì)或其一部分，它將保持不變。圖11中的反射以不同的方式工作。我們可以沿其翻轉(zhuǎn)圖案的軸實(shí)際上是兩側(cè)對(duì)稱軸，即鏡像線。請(qǐng)注意，半正六邊形在圍繞選定的垂直軸“m”反射時(shí)是如何鏡像的。沿著連接半正六邊形中心的另一個(gè)傾斜軸“g ”,也存在一種更復(fù)雜的反射。請(qǐng)注意“g”左側(cè)的選定三角形是如何被鏡像并轉(zhuǎn)化為右側(cè)的反射圖像的。這種平移和鏡面反射的多重過(guò)程稱為滑移反射。

圖10：平移

圖11：反射

因此，反射軸線要么是粗體連續(xù)的鏡面線，要么是粗體虛線。仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在這種圖案中，有兩種鏡像線（m1 和 m2）和兩種滑移線（g1 和 g2）構(gòu)成了反射軸網(wǎng)格。

而旋轉(zhuǎn)則是圍繞特定的點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)，這些點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心（簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)中心）。當(dāng)一個(gè)圖案圍繞一個(gè)旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)時(shí)，整個(gè)圖案保持不變，并因此具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。為了說(shuō)明旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，圖 12 和圖 13 采用了兩種新設(shè)計(jì)。在圖 12 中，三種不同的旋轉(zhuǎn)類型并存：2重、3重和 6重。在圖 13 中，可以進(jìn)行2重和4重旋轉(zhuǎn)。在任何二維平面圖形中，一般都不可能出現(xiàn)其他n重旋轉(zhuǎn)。原因在于，只有 2、3、4 或 6重旋轉(zhuǎn)與無(wú)間隙覆蓋平面的重復(fù)系統(tǒng)相兼容。這些系統(tǒng)使用的網(wǎng)格主要以矩形、等邊三角形、正方形和六邊形為基礎(chǔ)。

圖12：2、3和6重旋轉(zhuǎn)

圖13：2重和4重旋轉(zhuǎn)

雙重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱不要與雙向鏡面反射混淆。它包括圍繞2重旋轉(zhuǎn)中心的180度旋轉(zhuǎn)，或180度旋轉(zhuǎn)的倍數(shù)。請(qǐng)注意，在圖12和圖13中，突出顯示的填充區(qū)域和選定的線性多邊形如何在圍繞指定的2重中心旋轉(zhuǎn)時(shí)重復(fù)兩次。屬于這種區(qū)域或多邊形的每個(gè)點(diǎn)在重復(fù)時(shí)都經(jīng)歷相同的180度旋轉(zhuǎn)。

類似的過(guò)程適用于圖12和圖13中的3、4和6重旋轉(zhuǎn)的情況。在三重旋轉(zhuǎn)中，設(shè)計(jì)或其任何線性或平面部分可以圍繞相應(yīng)的中心旋轉(zhuǎn)120、240或360度而不被改變。注意，在圖13中，有兩種類型的四重中心4和4’。第一個(gè)位于四角星的中心，第二個(gè)位于四角萬(wàn)字的中心。圍繞兩個(gè)中心可以旋轉(zhuǎn)90度、180度、270度和360度。類似地，圍繞圖12中的6重中心旋轉(zhuǎn)60、120、180、240、300和360度也是可能的。

正如我們?cè)谏厦婵吹降?，旋轉(zhuǎn)中心是在一個(gè)給定的二維圖形中發(fā)生旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的特定點(diǎn)。這實(shí)際上適用于2、3、4和6重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。然而，如果我們將旋轉(zhuǎn)360度整圈的一般情況視為1次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，那么這種旋轉(zhuǎn)可以發(fā)生在給定圖案中的任何點(diǎn)，而不是設(shè)計(jì)中的特定點(diǎn)。因此，一次旋轉(zhuǎn)在理論上是可能的，并且在表征一組特定的2d圖案時(shí)實(shí)際上是不可或缺的，正如我們將在下面看到的。在圖示中，一個(gè)小的實(shí)心圓，以及旁邊的數(shù)字2、3、4或6，將標(biāo)識(shí)這些中心(圖14)。

圖14：旋轉(zhuǎn)中心類型

3.2對(duì)稱群

當(dāng)應(yīng)用于某個(gè)2d設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)稱操作的不同組合，即平移、反射和旋轉(zhuǎn)，可以產(chǎn)生無(wú)限多種重復(fù)的2d幾何圖案。根據(jù)這些對(duì)稱運(yùn)算的類型和組合方法，不同模式的組似乎具有共同的特征。這導(dǎo)致將重復(fù)圖案分類成有限數(shù)量的對(duì)稱組的能力。可能的對(duì)稱群的數(shù)量是17，這與定義平面對(duì)稱的17種可能性的晶體學(xué)和對(duì)稱群理論一致，該理論首先由俄羅斯科學(xué)家費(fèi)多羅夫分類[4]。平移、反射和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱是這些組的核心。沿著平面的不同方向的平移對(duì)稱是所有重復(fù)圖案所共有的，并且是它們的重復(fù)模塊的本質(zhì)，但是盡管可以根據(jù)它們的平移模塊的特征來(lái)對(duì)圖案進(jìn)行分類，但是另一方面，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱在根據(jù)有效覆蓋平面的旋轉(zhuǎn)過(guò)程將這些圖案分為5大類時(shí)顯得更通用。這些是1、2、3、4和6重系列(圖15)。當(dāng)考慮鏡面反射和滑移反射時(shí)，這些族出現(xiàn)在不同的子群或?qū)ΨQ群中，總共有17種。

在圖15中，每個(gè)對(duì)稱群由兩種類型的標(biāo)簽來(lái)標(biāo)識(shí)。第一個(gè)簡(jiǎn)單地標(biāo)識(shí)了旋轉(zhuǎn)族及其在族中的順序(例如2a或4c)。第二種類型更為復(fù)雜，總結(jié)了旋轉(zhuǎn)中心類型、反射鏡和滑移(如果有的話)，以及旋轉(zhuǎn)中心與反射鏡或滑移之間的相對(duì)位置。一個(gè)例子是4|mg4 ' |2，其中4和4 '是兩個(gè)4重旋轉(zhuǎn)中心，“2”是唯一的2重旋轉(zhuǎn)中心；畫線是因?yàn)樗阽R像線上。4′和4′后的垂直線符號(hào)表示這些中心屬于滑移線。字母m和g在4和4 '之間表示4和4 '互為鏡像和滑移鏡像。

因此，就重復(fù)的對(duì)稱系統(tǒng)而言，只有17種感知2d幾何圖案的方式。由于它們的豐富性和無(wú)限的多樣性，伊斯蘭幾何圖案似乎是17種對(duì)稱類型中的大多數(shù)，如果不是全部的話。

圖15：17種不相容對(duì)稱群

3.3 圖案制作中的應(yīng)用

利用幾何工具和對(duì)稱結(jié)構(gòu)可以分析伊斯蘭文化中的歷史裝飾圖案，并為新圖案的制作制定設(shè)計(jì)規(guī)則和策略。在這篇短文的最后，我將根據(jù)對(duì)稱群理論和重復(fù)模塊詞匯簡(jiǎn)要說(shuō)明一些幾何圖案的生成過(guò)程。首先，讓我們區(qū)分一下三種類型的重復(fù)模塊：重復(fù)單元、單元格和線性單元格。

重復(fù)單元是圖案中最小的平行四邊形（包括矩形和正方形）或六邊形部分，當(dāng)它在平面的兩個(gè)方向上有規(guī)律地平移時(shí)，可以再現(xiàn)整個(gè)二維圖案（圖 16(a) 和 (b)）。單元格是重復(fù)圖案中最小的表面部分，它可以在一個(gè)或多個(gè)平移、反射或旋轉(zhuǎn)的對(duì)稱操作下生成整個(gè)圖案。這就是上述六邊形和正方形中突出顯示的三角形區(qū)域。線性單元格是線性重復(fù)圖案的最小部分，可以在平移、反射或旋轉(zhuǎn)的情況下生成整個(gè)設(shè)計(jì)。這些是單元格內(nèi)的線段。

可以選擇不同的幾何系統(tǒng)來(lái)構(gòu)建六邊形或正方形重復(fù)單元，如圖16(a)和(b)中左欄所示[5]。然后，通過(guò)在晶格內(nèi)的幾何結(jié)構(gòu)的選定線上描摹來(lái)創(chuàng)建線性晶格設(shè)計(jì)。然后，根據(jù)平移、反射和旋轉(zhuǎn)的特定規(guī)則，在重復(fù)單元內(nèi)重復(fù)產(chǎn)生的設(shè)計(jì)；圖16(a)中的6重旋轉(zhuǎn)和圖16(b)中的4重旋轉(zhuǎn)。最后，為了產(chǎn)生圖16(a)和(b)的右欄中的完整圖案，使用平移再次細(xì)化重復(fù)單元設(shè)計(jì)，為了方便起見(jiàn)，這里以一半比例示出了這些圖案。

重復(fù)單元內(nèi)的替代幾何系統(tǒng)的構(gòu)建，以及模塊化重復(fù)過(guò)程的自動(dòng)化可以容易地由計(jì)算機(jī)軟件支持，如圖16中的情況。計(jì)算機(jī)甚至可以探索選擇線性晶格設(shè)計(jì)的無(wú)限可能性[6]，[7]。但是，這個(gè)過(guò)程中需要智能人工干預(yù)的部分，是從無(wú)限的可能性中，選擇出那些產(chǎn)生最有創(chuàng)意但最實(shí)用的設(shè)計(jì)的可能性。試錯(cuò)或某種有根據(jù)的猜測(cè)可能會(huì)出乎意料地帶來(lái)好結(jié)果。

最后，盡管古代和中世紀(jì)的工匠或數(shù)學(xué)家很可能完全不知道對(duì)稱群的概念，即使傳統(tǒng)工匠不可能在裝飾學(xué)科中吸收晶體學(xué)理論，晶體學(xué)分析的方法仍然是一種對(duì)歷史實(shí)例進(jìn)行感知和分類的方便手段，也是制作新設(shè)計(jì)藝術(shù)的一種非常有前途的方法。未來(lái)的重點(diǎn)應(yīng)該是制定規(guī)則和準(zhǔn)則，作為設(shè)計(jì)工具，指導(dǎo)學(xué)生、工匠甚至參與新設(shè)計(jì)生產(chǎn)的行業(yè)。

圖16：幾何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和模塊化重復(fù)。(a) 6重圖案；(b) 4重圖案。

參考文獻(xiàn)

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[5] El-Said, I. & Parman, A., Geometric Concepts in Islamic Art, World of Islam Festival Publishing Company Ltd: London, 1976.

[6] Dwedny, A.K., Computer recreations: imagination meets geometry in the crystalline realm of latticeworks. Scientific American, 258(6), pp. 120–123, 1988.

[7] Lalvani, H., Pattern regeneration: a focus on Islamic jalis and mosaics. The Impulse to Adorn: Studies in Traditional Architecture, ed. S. Doshi, Marg Publications: Mumbai, p. 133, 1982.

[8] MOHAMAD NASRI, THE VOCABULARY OF PERCEPTION AND DESIGN OF ISLAMIC GEOMETRIC PATTERNS

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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