學生為何想不到？——函數(shù)壓軸題思維困局探討

九年級復習備考過程中，對于二次函數(shù)壓軸題的解題教學，所有教師追求的境界，無一不是讓學生獲得突破思路，從而完成解答，我們在歷次研題過程中，一直在探索如何讓學生想到。作為數(shù)學教師，自身能解題，能講題，是兩個不同的層次，能解是基礎，能講是目標，學生學會是結果，在多數(shù)情況下，學生想不到，因此有很必要研究一個問題，那就是學生為何想不到，以一道九年級測試壓軸題為例。

題目

如圖1，已知拋物線C1：y=-x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(A在B的右側)，交y軸于點C.

(1)直接寫出AC的中點D的坐標；

(2)直線y=kx+b(k，b為常數(shù))過AC的中點，與拋物線C1交于E，F(xiàn)(E在F的右側)，若點E，A的水平距離與點F，B的水平距離相等，求k的值；

(3)如圖2，將拋物線C1向右平移得到過原點的拋物線C2，拋物線C2的對稱軸為直線l，直線y=mx+n(m,n為常數(shù)且m≠0)與拋物線C2有唯一公共點P，且與直線l交于點M，點M關于x軸的對稱點為N，PQ⊥l于Q，求線段NQ的長.

解析：

01

(1)在讀題過程中，求出點A(4,0)，點C(0,4)，利用中點公式得到D(2,2)；

02

(2)逐句解讀題目條件：

“直線y=kx+b過AC中點”，我們將點D(2,2)代入，得b=2-2k，它的作用是消元，則直線y=kx+2-2k；

“與拋物線C1交于E，F(xiàn)”，我們聯(lián)立方程kx+2-2k=-x2+3x+4，顯然這個方程不能求數(shù)值解，只能得到含參解，并且較為復雜，雖然這也是一條路，但我們有更好的選擇——韋達定理，整理后得到x2+(k-3)x-2k-2=0，得x1+x2=3-k，x1·x2=-2k-2；

“若點E，A的水平距離與點F，B的水平距離相等”，我們需要表示出點E，F(xiàn)的坐標，尤其是橫坐標，不妨用x1和x2，由于并不清楚E，A或F，B的左右位置，需要加上絕對值，得|x1-4|=|x2+1|。于是可分類討論，得到x1-4=x2+1，或4-x1=x2+1；

當x1-4=x2+1時，得x1-x2=5，則(x1-x2)2=25，利用韋達定理得到的兩個等式，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=(3-k)2-4(-2k-2)=25，整理得k2+2k-8=0，解得k1=2，k2=-4；

當4-x1=x2+1時，得x1+x2=3，于是3-k=3，解得k=0；

綜上，k有三個結果，分別是0，2，-4；

03

(3)當拋物線平移時，原拋物線C1的頂點是(3/2，25/4)，平移后經(jīng)過原點，相當于原拋物線上的點B平移到了原點，即向右平移了1個單位，則新拋物線C2的頂點為(5/2,25/4)，于是解析式為y=-(x-5/2)2+25/4；

直線y=mx+n與拋物線C2有唯一公共點P，我們聯(lián)立方程mx+n=-(x-5/2)2+25/4，整理得x2+(m-5)x+n=0，其中△=(m-5)2-4n=0，于是n=1/4·(m-5)2；

將其代回到聯(lián)立方程中，解得x=(5-m)/2，即點P橫坐標，于是P((5-m)/2，(5-m)m/2+n)，而點Q縱坐標與點P相同，于是Q(5/2，(5-m)m/2+n)；

拋物線C2的對稱軸為x=5/2，則直線y=mx+n與它的交點M為(5/2，5m/2+n)，由對稱性得N(5/2，-5m/2-n)；

現(xiàn)在我們得到了Q與N坐標，所以能表示出NQ=(5-m)m/2+n-(-5m/2-n)，推導如下：

最后發(fā)現(xiàn)參數(shù)m全部消掉，只剩下NQ=25/2.

解題反思

我們發(fā)現(xiàn)，在學生尋找解題思路的過程中，存在三處難點待突破：

第一個難點是在第2小題中，理解E，A的水平距離與F，B的水平距離相等這句話，水平距離即兩點橫坐標的差，在不清楚左右位置關系的前提下，需要加絕對值，然后分情況討論；還要與韋達定理結合起來，這又回到我們何時該使用韋達定理的問題上了，通常情況下含參一元二次方程，不能得到數(shù)值解時，會使用韋達定理來尋找兩根和與積的關系，這也是當初我們在課堂上學習韋達定理時，要向?qū)W生明確的事實，即告知學生這個定理的使用條件；

第二個難點是直線與拋物線有唯一公共點，解讀為聯(lián)立方程，然后判別式△=0，得到一個含m，n的等式后，不知道如何用，當我們得到含兩個參數(shù)的等式，一般會利用其中一個參數(shù)來表示另一個，這也是我們在學習二元一次方程組解法時的重要數(shù)學思想——消元。

第三處難點，就是學生在面對一個含多參的代數(shù)式時，會出現(xiàn)畏難情緒，我們發(fā)現(xiàn)本題實質(zhì)上并沒有對二次函數(shù)本身的圖像性質(zhì)有多么深入的探究，仍然是基于動點的線段長度研究，這在宜昌歷年中考壓軸題中都有出現(xiàn)，算是宜昌特色的考察方式。無論是存在性問題、定軸動區(qū)間類問題、定點定長問題、恒過定點或恒不過定點問題等，都以較復雜的代數(shù)恒等變換、多參數(shù)聞名，而這些所謂的“難”，在熟練掌握了以上技巧的學生面前，顯得非常容易，所以我們在很多次中考后，聽學生評價，這種題目，死算即可，不禁感到有些悲哀，數(shù)學可不僅是死算，素養(yǎng)也不僅是技巧。

學生在面對這些難點時，需要從題目條件出發(fā)去分析，在平時課堂上，總有少數(shù)學生，在看到題目之后，先問老師“有輔助線嗎？”在得到肯定答復后，便開始猜在哪里畫線，這種做法是本末倒置，條件都未開始分析，便去尋找輔助線，除了盲猜浪費時間，沒有別的用處。

更有部分學生，特別是中等生，面對參數(shù)，手足無措，毫無頭緒，這和平時課堂上聽講關系很大，可以斷定他們在聽老師分析題目時，沒有認真或沒有理解，只是抄寫老師板書，然后認為自已懂了，課后也沒有反思，所以那些解題方法，沒有被大腦記錄下來，只留下了“老師講過”這種最淺顯的意義。

對于課堂的意義則在于，教師在分析題目條件時，需要從學生認知出發(fā)，而不是自已的認知，很多解題高手，不一定是教學高手，原因正在于此。教師解題的思維模式和學生解題不盡相同，教師積累了大量解題經(jīng)驗，反復多年進行教學，“看出”輔助線在何處，然后用口訣讓學生去記，并沒有完成授業(yè)傳道，更不用提解惑。很多解題模型，教師研究得非常深入，但學生沒有，當我們把研究很深之后的結論給學生，其實是把壓縮包給了學生，沒有解壓縮，里面的內(nèi)容學生沒有理解，只記住了壓縮包的名稱。不妨問下自已，在教學生之前，這些解題模型能夠自已歸納完整，自已是如何歸納的，這才是需要教給學生的東西。

2023年部分省市優(yōu)秀函數(shù)壓軸題如下：

安徽省考卷

福建省考卷

河北省考卷

湖北武漢卷

上海卷

天津卷

北京卷

這些都屬于比較有代表性的二次函數(shù)壓軸題，它們的難度各不相同，有些比本題簡單，但思維含量很高，即區(qū)分度很優(yōu)秀。

當然，作為一套科學的中考數(shù)學試卷，不會把區(qū)分度押寶到最后的幾道題目上，難度應呈斜鋸齒狀分布，科學命題，任重道遠。