導語

重整化群作為20世紀最具影響力的理論工具之一，已從量子場論擴展至統(tǒng)計物理、非線性動力學乃至人工智能領(lǐng)域。其核心思想是在多尺度系統(tǒng)中尋找普適規(guī)律與有效變量，正契合當代科學對復(fù)雜性的理解需求。本期我們訪談北京郵電大學蘭岳恒教授來分享如何用重整化群來讀懂復(fù)雜系統(tǒng)。未來，若能將重整化群的理論深度與現(xiàn)代計算方法相結(jié)合，它將不僅是解釋自然規(guī)律的工具，也可能成為推動人工智能與復(fù)雜系統(tǒng)研究前進的重要動力。

蘭岳恒丨受訪者

集智編輯部｜整理

目錄

1. 什么是重整化群？

2. 重整化群的發(fā)展脈絡(luò)如何？

3. 理解重整化群的關(guān)鍵是什么？

4. 重整化群在不同領(lǐng)域如何被應(yīng)用？

5. 重整化群下一步的發(fā)展是什么？

6. 重整化群與復(fù)雜系統(tǒng)有何聯(lián)系？

7. 請舉例說明重整化群，能在復(fù)雜系統(tǒng)發(fā)揮什么作用？

8. 目前重整化群應(yīng)用受限的原因是什么？

9. 復(fù)雜系統(tǒng)建模還有哪些，有潛力的理論？

認識重整化群 | 不變性下的系統(tǒng)規(guī)則演化

Q1：什么是重整化群？

：重整化群（Renormalization Group）是一個發(fā)展歷史相當悠久的理論，到現(xiàn)在大概已經(jīng)有七八十年的時間了。它最早起源于量子場論，研究的是物理體系在不同時間或空間尺度下，不同層次之間的關(guān)系。換句話說，它關(guān)注的是當我們改變觀察尺度時，物理規(guī)律會以什么方式發(fā)生變化。這是傳統(tǒng)統(tǒng)計物理教材中的表述。但近年來，重整化群的思想有了新的發(fā)展。實際上，在任何連續(xù)群的框架下，我們都可以去看重整化群是如何起作用的。

Q2：重整化群的發(fā)展脈絡(luò)如何？

：重整化群最早是從量子場論中發(fā)展起來的。當時人們在做微擾展開時發(fā)現(xiàn)積分項會發(fā)散，這是一個很大的問題。為了解決這個問題，他們提出了所謂的正則化（regularization）方法，通過改變積分的上下限，讓結(jié)果成為有限值。但這個有限值通常仍然很大，與微擾應(yīng)當是“小修正”的要求不符。

于是人們想到，可以把這些微擾的值吸收到理論參數(shù)里去，這一過程就被稱為參數(shù)的重整化。后來人們發(fā)現(xiàn)，這個過程可以形成一種系統(tǒng)的計算和分析框架，也就是重整化群。

最初，重整化群只是量子場論計算中的一個技巧，但后來它的思想被引入統(tǒng)計物理和凝聚態(tài)物理中。研究相變的人發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在標度律（scaling law），Benjamin Widom 和 Leo Kadanoff 就借鑒了重整化群的思路，提出了“塊自旋”（block spin）的概念：把小尺度的自由度做平均，再把平均的效果反映到參數(shù)中，然后不斷重復(fù)這一過程。這樣就可以逐步簡化系統(tǒng)，理解臨界現(xiàn)象。

之后，Kenneth Wilson 對這一方法進行了更系統(tǒng)的發(fā)展，并成功應(yīng)用于凝聚態(tài)物理的復(fù)雜計算中，取得了極其重要的成果，因此在1982年獲得了諾貝爾物理學獎。后來，重整化群也被推廣到非平衡體系，比如動力學重整化群（Dynamic RG）。

在1990年代，Nigel Goldenfeld 和日本學者 Oono（都在伊利諾伊大學香檳分校）把重整化群的思想引入到微分方程的分析中，寫了一系列非常精彩的文章。他們用重整化群統(tǒng)一了很多漸近分析的方法，使得整個理論在數(shù)學和動力學層面上都得到了進一步的發(fā)展。

Q3：理解重整化群的關(guān)鍵是什么？

：我學習重整化群大概花了十年以上。其實我很早就知道重整化群，也掌握量子場論和統(tǒng)計物理里的做法，但總覺得差那么一點，沒有真正理解。真正完全理解，是在我學習了微分方程中的重整化方法之后。那時我突然覺得明白了，再也不需要額外的概念幫助。

我當時讀了一本印象非常深的書，Eugene Wigner 的 Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra，對我理解重整化群幫助非常大。

如果讓我給出學習建議，我不建議從量子場論開始?？梢詮慕y(tǒng)計物理中的“塊自旋”模型（Kadanoff）入手，那是最直觀、最容易理解的途徑。接著，可以直接轉(zhuǎn)向微分方程中的重整化方法。那個領(lǐng)域的前置知識要求比較少，可以集中精力理解重整化群的本質(zhì)思想。

一旦在微分方程的框架下理解了重整化群，再回頭看場論或統(tǒng)計物理中的內(nèi)容，很多以前覺得復(fù)雜的地方都會變得清晰。當然，如果真的要做計算，會很麻煩，比如圈圖展開等。但其實圈圖展開和重整化群可以毫無關(guān)系，只是當年我也花了不少時間在上面。很多知識其實是繞遠路的。動力學的重整化群，反而讓你能更直接地理解核心思想。

Q4：重整化群在不同領(lǐng)域如何被應(yīng)用？

：重整化群最早用于量子場論，后來擴展到統(tǒng)計物理、動力學、甚至混沌理論。雖然這些領(lǐng)域表面上看差別很大，但它們背后的精神實質(zhì)是一致的。

總體上，重整化群的目標是提取出系統(tǒng)中相關(guān)變量（relevant variables），即那些對目標結(jié)果真正起作用的變量。通過提取這些變量并簡化體系，我們就能用更少的自由度描述系統(tǒng)的關(guān)鍵性質(zhì)。

不同領(lǐng)域的目標雖然不同，但思路是一樣的。在統(tǒng)計物理中，目標是保持配分函數(shù)不變；在量子場論中，是保持散射矩陣不變；在動力學系統(tǒng)中，則是保持最終狀態(tài)或軌跡不變。所以重整化群的方法本質(zhì)上是相同的，只是每個領(lǐng)域的“保持不變”的對象不一樣。

用重整化群理解復(fù)雜系統(tǒng)

Q5：重整化群下一步的發(fā)展是什么？

：下一步的進展，一定是要和復(fù)雜系統(tǒng)的研究結(jié)合起來。也就是說，能不能用重整化群去解釋復(fù)雜系統(tǒng)的運動規(guī)律，或者幫助我們更有效地進行計算和分析。

復(fù)雜系統(tǒng)包括腦科學、人工智能、社會系統(tǒng)、生物生態(tài)系統(tǒng)等等。這些都是當前科學中最復(fù)雜、最熱門的對象。如果重整化群能在這些系統(tǒng)中得到有效應(yīng)用，我認為它會迎來新的發(fā)展階段。

目前，在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和腦科學領(lǐng)域已經(jīng)有一些相關(guān)研究。尤其在人工智能中，研究者發(fā)現(xiàn)重整化群和深度學習之間存在精確的類比。例如，Restricted Boltzmann Machine（RBM）與重整化群可以一一對應(yīng)，這類研究已經(jīng)發(fā)表在 Nature Physics 等期刊上。對于更一般的深度學習網(wǎng)絡(luò)，也可以找到類似的類比。

不過，這些研究目前還主要停留在理論層面。雖然類比本身能帶來一些新的認識，但并沒有真正提高AI的性能，也沒有改善模型的收斂速度。因此在工業(yè)界的關(guān)注度并不高。未來如果我們能把這種理解轉(zhuǎn)化為“生產(chǎn)力”，讓它在性能上帶來實際提升，我想重整化群會重新受到重視。

Q6：重整化群與復(fù)雜系統(tǒng)有何聯(lián)系？

：復(fù)雜系統(tǒng)建模面臨的最大問題是高維度和非線性。系統(tǒng)可能隨著參數(shù)或外部條件的變化出現(xiàn)定性的躍遷。雖然可以通過大規(guī)模模擬去“暴力”求解，但那并不能帶來理解。要想更高效地分析復(fù)雜系統(tǒng)，就必須進行簡化，而這種簡化應(yīng)該與研究目標直接相關(guān)。

重整化群正好是一種以目標為導向的簡化方法。它能夠從復(fù)雜、多單元的體系中提取最重要的變量，用這些變量來描述系統(tǒng)的主要行為。未來的關(guān)鍵問題，是如何將不同層次上的描述重新拼合，形成一個完整的整體認識。這正是重整化群能夠發(fā)揮作用的地方。

Q7：請舉例說明重整化群，能在復(fù)雜系統(tǒng)發(fā)揮什么作用？

：如果我們能找到一個好的例子，重整化群的研究可能馬上就會重新火起來。我能想到的一個例子是關(guān)于氣候系統(tǒng)的。一篇發(fā)表在 Nature 上的研究指出，他們只用了十幾個方程，就能很好地描述并預(yù)測厄爾尼諾現(xiàn)象。相比之下，傳統(tǒng)的氣候模擬需要幾百萬個方程，仍然難以得到準確結(jié)果。

重整化群的思想，就有可能解釋這種“方程數(shù)的極大簡化”。如果我們有一個非常復(fù)雜的高維模型，通過重整化群的粗粒化（coarse-graining）過程，逐步簡化，最終得到一個能描述主要現(xiàn)象的低維有效模型——那就可能解釋為什么十幾個方程就足夠描述整個氣候系統(tǒng)。

這個例子目前還只是一個想法，那篇文章的作者并沒有用重整化群的框架去做。如果我們能夠用RG方法去復(fù)現(xiàn)他們的方程，我認為那將是一項非常有意義的工作。

Q8：目前重整化群應(yīng)用受限的原因是什么？

：我認為目前最大的限制在于，大家對“動力學重整化群”還不夠熟悉。多數(shù)人熟悉的是統(tǒng)計物理中的平衡系統(tǒng)做法，但對非平衡體系——比如人腦、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、復(fù)雜社會系統(tǒng)等——如何應(yīng)用重整化群，還缺乏深入研究。要想真正把重整化群用到復(fù)雜系統(tǒng)研究中，必須在動力學方向上有新的突破。這是必經(jīng)之路。

Q9：復(fù)雜系統(tǒng)建模還有哪些，有潛力的理論？

：我目前的主要研究方向，都是圍繞“如何解析復(fù)雜系統(tǒng)”展開的。重整化群當然是一個重要方向，但還有其他幾個理論同樣值得關(guān)注。

首先是Koopman算子理論。它偏向數(shù)值方法，強調(diào)如何從數(shù)據(jù)中提取重要的動力學模式；而重整化群則更偏解析。其次是非線性動力學。任何研究復(fù)雜系統(tǒng)的人，如果不懂非線性動力學，我都會覺得奇怪。里面的分岔理論（bifurcation theory）、幾何圖像、幾何化思維都非常重要。

最后我想特別提一下符號動力學。我認為它在未來的復(fù)雜系統(tǒng)和人工智能研究中都會發(fā)揮極大作用。符號動力學可以用非常簡潔的方式描述動力學系統(tǒng)，不依賴坐標變換，也就是說無論系統(tǒng)經(jīng)歷怎樣的變換，它的符號描述是不變的。這是一個非常好的性質(zhì)。它能很好地描述信息的獲取、傳輸、轉(zhuǎn)換和整合過程（integration），這些都是復(fù)雜系統(tǒng)研究的核心問題。

我自己現(xiàn)在也正在嘗試往這個方向走。

本文根據(jù)訪談內(nèi)容進行了書面化整理，內(nèi)容刪減僅涉及重復(fù)表述與非核心細節(jié)。

本文為科普中國創(chuàng)作培育計劃作品 受訪者：蘭岳恒 北京郵電大學物理科學與技術(shù)學院教授 創(chuàng)作團隊：集智俱樂部 審核專家：張江 北京師范大學系統(tǒng)科學學院教授 出品：中國科協(xié)科普部 監(jiān)制：中國科學技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

本文轉(zhuǎn)載自《集智俱樂部》微信公眾號

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