作者：陳小楊

半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家已能借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助計(jì)算或驗(yàn)證命題，但仍不滿足于此，如今的AI或許能更上層樓，挑戰(zhàn)那些人類長(zhǎng)年未解的難題。這將對(duì)數(shù)學(xué)、科學(xué)乃至人類社會(huì)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。本文回顧了歷史，闡述了當(dāng)下的發(fā)展?fàn)顩r，并對(duì)未來(lái)做出了激動(dòng)人心的展望。

數(shù)學(xué)，這門探索宇宙真理的語(yǔ)言，正經(jīng)歷一場(chǎng)前所未有的變革。自20世紀(jì)中葉計(jì)算機(jī)誕生以來(lái)，人類就一直夢(mèng)想讓機(jī)器參與數(shù)學(xué)研究。從早期的符號(hào)計(jì)算到今天的深度學(xué)習(xí)，人工智能（AI）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)從簡(jiǎn)單的輔助工具發(fā)展為能夠發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、證明定理甚至挑戰(zhàn)猜想的“研究伙伴”。本文將帶您了解AI與數(shù)學(xué)交織的精彩歷程，探索當(dāng)前最前沿的應(yīng)用，并展望這一領(lǐng)域令人振奮的未來(lái)。

從機(jī)器證明到深度學(xué)習(xí)

機(jī)器證明的發(fā)展歷程

機(jī)器證明的歷史可以追溯到17世紀(jì)萊布尼茨的“推理演算”構(gòu)想，但直到20世紀(jì)計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展后才真正實(shí)現(xiàn)突破。1950年代，人工智能先驅(qū)紐厄爾（A. Newell）等人首次嘗試用計(jì)算機(jī)程序證明數(shù)學(xué)定理。而1976年，數(shù)學(xué)家借助計(jì)算機(jī)完成了四色定理的證明，這一里程碑事件引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注。四色定理的證明需要的窮舉分析遠(yuǎn)超人類手工處理的能力范圍，這一成功案例充分展示了計(jì)算機(jī)在解決超大規(guī)模數(shù)學(xué)問(wèn)題中的獨(dú)特價(jià)值。

機(jī)器證明的發(fā)展經(jīng)歷了幾個(gè)重要階段：從早期的窮舉法證明，到吳文俊的代數(shù)化方法，再到后來(lái)的自動(dòng)推理和交互式證明系統(tǒng)。隨著計(jì)算機(jī)性能的指數(shù)級(jí)提升，機(jī)器證明的能力也在不斷增強(qiáng)?，F(xiàn)代證明輔助系統(tǒng)如Coq、Isabelle等，不僅能驗(yàn)證一些數(shù)學(xué)猜想的正確性，還能幫助數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)證明思路。特別值得一提的是，這些系統(tǒng)采用形式化驗(yàn)證方法，可以確保證明的絕對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性，避免了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)證明中可能存在的疏漏。

吳文俊先生與機(jī)器證明

機(jī)器證明的價(jià)值不僅體現(xiàn)在提高數(shù)學(xué)研究效率上，更深刻地改變了數(shù)學(xué)研究的思維方式。它突破了人類認(rèn)知的局限性，能夠處理極其復(fù)雜的計(jì)算和推理過(guò)程；同時(shí)它也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化發(fā)展，使數(shù)學(xué)證明變得更加可靠和可驗(yàn)證。未來(lái)隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器證明必將在數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮更加重要的作用。

深度學(xué)習(xí)革命

在現(xiàn)代人工智能的發(fā)展中，深度學(xué)習(xí)十分耀眼。深度學(xué)習(xí)作為機(jī)器學(xué)習(xí)的重要分支，其發(fā)展歷程可追溯至1940年代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概念的提出，但真正迎來(lái)爆發(fā)式發(fā)展是在2010年后。這一技術(shù)革命的核心在于通過(guò)構(gòu)建多層非線性變換的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，使計(jì)算機(jī)獲得了前所未有的特征學(xué)習(xí)和模式識(shí)別能力。2012年AlexNet在ImageNet競(jìng)賽中的突破性表現(xiàn)，標(biāo)志著深度學(xué)習(xí)時(shí)代的正式來(lái)臨。隨后，隨著算力的提升、算法的優(yōu)化和大數(shù)據(jù)的積累，深度學(xué)習(xí)在計(jì)算機(jī)視覺(jué)、自然語(yǔ)言處理等領(lǐng)域取得了一系列令人矚目的成就。

在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，深度學(xué)習(xí)的價(jià)值主要體現(xiàn)在三個(gè)關(guān)鍵維度。在發(fā)現(xiàn)新數(shù)學(xué)規(guī)律方面，深度學(xué)習(xí)展現(xiàn)了驚人的潛力。2021年DeepMind團(tuán)隊(duì)在《自然》發(fā)表的研究中，通過(guò)圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析紐結(jié)理論中的不變量，發(fā)現(xiàn)了人類數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期未能察覺(jué)的數(shù)學(xué)聯(lián)系。

在數(shù)學(xué)證明驗(yàn)證方面，深度學(xué)習(xí)與形式化證明系統(tǒng)的結(jié)合開(kāi)創(chuàng)了新局面。通過(guò)將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與符號(hào)推理相結(jié)合，AI系統(tǒng)能夠輔助完成復(fù)雜的證明過(guò)程。例如在多項(xiàng)式時(shí)間可解性問(wèn)題的證明中，AI可以自動(dòng)完成大量中間引理的證明工作，顯著提升了證明效率。這種“神經(jīng)-符號(hào)”系統(tǒng)既保留了嚴(yán)格的邏輯性，又具備了強(qiáng)大的模式識(shí)別能力。

在識(shí)別數(shù)學(xué)規(guī)律局限性方面，深度學(xué)習(xí)同樣表現(xiàn)出色。通過(guò)強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法，AI系統(tǒng)能夠在巨大的組合空間中高效搜索潛在的反例結(jié)構(gòu)。在圖論領(lǐng)域，這種方法已經(jīng)成功構(gòu)造了多個(gè)著名猜想的反例。

深度學(xué)習(xí)的獨(dú)特價(jià)值在于它突破了人類思維的固有局限。它能夠處理人類難以駕馭的高維數(shù)據(jù)空間，發(fā)現(xiàn)非直觀的數(shù)學(xué)模式，并在證明和反例構(gòu)造中提供新的思路。隨著神經(jīng)符號(hào)系統(tǒng)等新技術(shù)的發(fā)展，深度學(xué)習(xí)正在推動(dòng)數(shù)學(xué)研究進(jìn)入人機(jī)協(xié)同的新時(shí)代。這項(xiàng)技術(shù)不僅提高了研究效率，更重要的是拓展了人類對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，為這一最古老學(xué)科注入了嶄新的活力。

深度學(xué)習(xí)（多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）

AI如何輔助數(shù)學(xué)研究？

數(shù)學(xué)研究作為一個(gè)系統(tǒng)性的認(rèn)知活動(dòng)，主要包括三個(gè)核心環(huán)節(jié)：發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)規(guī)律、驗(yàn)證這些規(guī)律的正確性（證明），以及識(shí)別其局限性（構(gòu)造反例）。近年來(lái)，人工智能技術(shù)在這三個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域都展現(xiàn)出強(qiáng)大的輔助能力，正在深刻改變數(shù)學(xué)研究的范式。

AI發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

2021年，DeepMind團(tuán)隊(duì)在《自然》雜志發(fā)表突破性成果，他們開(kāi)發(fā)的AI系統(tǒng)能夠幫助數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)紐結(jié)不變量之間的新聯(lián)系。這項(xiàng)研究證明，AI可以引導(dǎo)數(shù)學(xué)家的直覺(jué)，發(fā)現(xiàn)人類可能忽略的數(shù)學(xué)聯(lián)系。

紐結(jié)（knot）是三維空間中的閉合曲線，數(shù)學(xué)家通常用瓊斯多項(xiàng)式（Jones polynomial）、雙曲體積（hyperbolic volume）等不變量來(lái)描述其性質(zhì)。DeepMind將紐結(jié)的代數(shù)不變量和幾何不變量編碼為高維向量，并利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNN）學(xué)習(xí)它們之間的潛在關(guān)系，即學(xué)習(xí)如何從一種不變量（如瓊斯多項(xiàng)式）預(yù)測(cè)另一種不變量（如雙曲體積）。數(shù)學(xué)家基于AI的預(yù)測(cè)，進(jìn)一步構(gòu)建了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，最終在紐結(jié)理論中發(fā)現(xiàn)了不變量之間的新聯(lián)系。

非平凡紐結(jié)

在另一項(xiàng)發(fā)表在《自然》的論文里，DeepMind利用深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)（Deep Reinforcement Learning, DRL）發(fā)現(xiàn)了更高效的矩陣乘法算法，突破了人類數(shù)學(xué)家在該領(lǐng)域的最佳紀(jì)錄。這一成果展示了AI如何通過(guò)自主探索發(fā)現(xiàn)人類未曾想到的數(shù)學(xué)優(yōu)化策略。矩陣乘法是計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)運(yùn)算，傳統(tǒng)算法（如Strassen算法）已經(jīng)優(yōu)化了數(shù)十年。對(duì)于兩個(gè)n×n矩陣相乘，標(biāo)準(zhǔn)方法需要O(n3)次標(biāo)量乘法。DeepMind的目標(biāo)是找到更少的乘法組合，從而降低計(jì)算復(fù)雜度。DeepMind采用AlphaTensor（基于AlphaZero的改進(jìn)模型），其核心組件包括：

狀態(tài)表示（State Representation）

將矩陣乘法問(wèn)題編碼為三維張量（Tensor），每個(gè)元素代表可能的乘法組合。

例如，（2×2）矩陣乘法可表示為（4×4×4）張量，其中每個(gè)維度對(duì)應(yīng)輸入/輸出矩陣的元素。

動(dòng)作空間（Action Space）

每一步動(dòng)作對(duì)應(yīng)一個(gè)基本乘法操作（如標(biāo)量乘加）。

AI的目標(biāo)是通過(guò)一系列動(dòng)作分解張量，找到最少的乘法步驟。

獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)（Reward Function）

主要優(yōu)化目標(biāo)：減少乘法次數(shù)（即張量分解的秩）。

額外獎(jiǎng)勵(lì)：發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化模式（如對(duì)稱性），以便推廣到更大矩陣。

通過(guò)將蒙特卡洛樹(shù)搜索（MCTS）與深度學(xué)習(xí)結(jié)合，DeepMind最終發(fā)現(xiàn)了更高效的矩陣乘法算法。

AI自動(dòng)證明定理

現(xiàn)代人工智能系統(tǒng)在數(shù)學(xué)證明領(lǐng)域取得了顯著進(jìn)展，其技術(shù)實(shí)現(xiàn)主要體現(xiàn)在兩個(gè)重要方向：奧林匹克級(jí)幾何題求解和形式化數(shù)學(xué)證明。這些突破性進(jìn)展展示了AI在數(shù)學(xué)推理方面的強(qiáng)大能力。

在幾何證明方面，DeepMind開(kāi)發(fā)的AlphaGeometry系統(tǒng)代表了當(dāng)前最先進(jìn)的技術(shù)水平。該系統(tǒng)采用神經(jīng)符號(hào)混合架構(gòu)，結(jié)合了神經(jīng)語(yǔ)言模型的模式識(shí)別能力和符號(hào)引擎的邏輯推理能力。具體而言，AlphaGeometry首先分析幾何圖形，生成潛在的輔助構(gòu)造點(diǎn)（如中點(diǎn)、垂足等）。然后，符號(hào)推理引擎會(huì)將這些構(gòu)造點(diǎn)納入演繹數(shù)據(jù)庫(kù)，應(yīng)用幾何公理和定理進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推導(dǎo)。系統(tǒng)在訓(xùn)練過(guò)程中使用了超過(guò)1億個(gè)合成幾何問(wèn)題，這些問(wèn)題通過(guò)隨機(jī)定理生成算法創(chuàng)建，確保了訓(xùn)練數(shù)據(jù)的多樣性和復(fù)雜性。值得注意的是，AlphaGeometry完全不需要人類提供的示范證明，僅通過(guò)自主探索就能達(dá)到國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌得主的水平。在2023年的測(cè)試中，該系統(tǒng)解決了30道選中的IMO幾何題中的25道，平均解題時(shí)間僅為10分鐘。

在形式化證明領(lǐng)域，以Lean證明助手為代表的AI系統(tǒng)展現(xiàn)了另一條技術(shù)路徑。這類系統(tǒng)基于依賴類型理論，將數(shù)學(xué)陳述轉(zhuǎn)化為形式化的代碼表述。AI組件通過(guò)以下方式提升證明效率：首先，使用預(yù)訓(xùn)練的語(yǔ)言模型（如GPT-f）理解數(shù)學(xué)命題的語(yǔ)義，生成可能的證明策略建議；其次，應(yīng)用強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法優(yōu)化證明搜索過(guò)程，通過(guò)價(jià)值網(wǎng)絡(luò)評(píng)估不同證明路徑的成功概率；最后，集成自動(dòng)化定理證明技術(shù)來(lái)填補(bǔ)證明細(xì)節(jié)。例如，在多項(xiàng)式時(shí)間可解性問(wèn)題的證明中，AI輔助的Lean系統(tǒng)能夠自動(dòng)完成約60%的中間引理證明，將原本需要數(shù)周的人工驗(yàn)證工作縮短到幾天內(nèi)完成。

這些AI系統(tǒng)的核心技術(shù)突破在于：①將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的直覺(jué)能力與符號(hào)系統(tǒng)的嚴(yán)格推理相結(jié)合；②開(kāi)發(fā)了高效的數(shù)學(xué)表示學(xué)習(xí)方法，使AI能夠理解抽象數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)關(guān)系；③構(gòu)建了大規(guī)模的數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)據(jù)集來(lái)訓(xùn)練和驗(yàn)證系統(tǒng)性能。當(dāng)前的研究重點(diǎn)正在向更復(fù)雜的數(shù)學(xué)領(lǐng)域拓展，預(yù)示著AI將成為數(shù)學(xué)研究不可或缺的智能助手。

AlphaGeometry解決IMO幾何題

AI構(gòu)造猜想反例

近年來(lái)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法在圖論領(lǐng)域取得了突破性進(jìn)展，特別是在構(gòu)造組合數(shù)學(xué)猜想反例方面展現(xiàn)出獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。這種方法通過(guò)精心設(shè)計(jì)的算法框架，能夠在巨大的組合可能性空間中高效地搜索潛在的反例結(jié)構(gòu)，其核心技術(shù)主要包括：

問(wèn)題建模與狀態(tài)表示

首先將圖論問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適合機(jī)器學(xué)習(xí)的形式。對(duì)于圖論猜想，狀態(tài)空間通常表示為圖的鄰接矩陣或特征向量。例如，在構(gòu)造反例時(shí)，系統(tǒng)會(huì)初始化一個(gè)n個(gè)頂點(diǎn)的圖，其中每個(gè)可能的邊都作為一個(gè)獨(dú)立的決策變量。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)框架設(shè)計(jì)

采用強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法，其中：

1.動(dòng)作空間：包括添加/刪除邊、改變頂點(diǎn)屬性等圖修改操作。

2.獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)：精心設(shè)計(jì)為多目標(biāo)優(yōu)化形式，包含：

(1)主要獎(jiǎng)勵(lì)：違反目標(biāo)猜想的程度（如違反某個(gè)不等式的大?。?/p>

(2)輔助獎(jiǎng)勵(lì)：保持圖的其他性質(zhì)（如連通性、正則性等）。

3.懲罰項(xiàng)：控制圖的復(fù)雜度（如邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)）。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)構(gòu)造圖論猜想反例

通過(guò)強(qiáng)化學(xué)習(xí)，AI成功構(gòu)造了多個(gè)著名猜想的反例，展示了AI在探索數(shù)學(xué)問(wèn)題上的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

大模型時(shí)代的數(shù)學(xué)革命

數(shù)學(xué)，這門探索宇宙真理的古老學(xué)科，正在經(jīng)歷一場(chǎng)由人工智能大模型帶來(lái)的深刻變革。從ChatGPT到AlphaGeometry，這些擁有數(shù)百億參數(shù)的人工智能系統(tǒng)不僅改變了數(shù)學(xué)研究的方式，更在重新定義數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)。這場(chǎng)變革的核心在于，人工智能正在突破人類認(rèn)知的局限，以前所未有的方式整合數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)隱藏模式，并創(chuàng)造性地解決開(kāi)放性問(wèn)題。這種轉(zhuǎn)變不僅提高了數(shù)學(xué)研究的效率，更重要的是拓展了數(shù)學(xué)探索的疆界，為這門最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)注入了新的活力。

在知識(shí)整合方面，人工智能大模型正在成為打破學(xué)科壁壘的“超級(jí)助手”。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究面臨的一個(gè)主要挑戰(zhàn)是學(xué)科的高度專業(yè)化。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，各個(gè)分支領(lǐng)域變得越來(lái)越精深，一個(gè)領(lǐng)域的專家可能對(duì)相鄰領(lǐng)域的進(jìn)展知之甚少，而這種知識(shí)割裂常常阻礙重大突破的產(chǎn)生。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特曾指出：“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，它的生命力正來(lái)自各個(gè)部分之間意想不到的聯(lián)系?！比欢?，在實(shí)踐層面，發(fā)現(xiàn)這些聯(lián)系往往需要研究者具備罕見(jiàn)的廣博學(xué)識(shí)和非凡的洞察力。

大語(yǔ)言模型通過(guò)其海量的知識(shí)儲(chǔ)備和強(qiáng)大的關(guān)聯(lián)能力，正在改變這一局面。以GPT-4為代表的大模型可以即時(shí)調(diào)用數(shù)萬(wàn)篇數(shù)學(xué)論文的知識(shí)，建立跨領(lǐng)域的知識(shí)圖譜，發(fā)現(xiàn)不同分支間的深層聯(lián)系。例如，當(dāng)研究者研究代數(shù)幾何中的某個(gè)難題時(shí)，AI可能提示“這個(gè)結(jié)構(gòu)與拓?fù)鋵W(xué)中的同調(diào)理論有驚人的相似性”；或者在研究數(shù)論問(wèn)題時(shí)指出：“這個(gè)猜想與量子計(jì)算中的相位估計(jì)算法存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。”這種跨學(xué)科的聯(lián)想能力，在過(guò)去需要數(shù)學(xué)家數(shù)十年的廣泛閱讀和深入思考才能獲得，現(xiàn)在則可以通過(guò)AI的輔助在短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)。

DeepMind開(kāi)發(fā)的FunSearch系統(tǒng)生動(dòng)展示了這種知識(shí)整合的威力。該系統(tǒng)通過(guò)巧妙結(jié)合大型語(yǔ)言模型的創(chuàng)造性思維和評(píng)估代碼的精確驗(yàn)證，在組合數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)了新的上限構(gòu)造，解決了開(kāi)放多年的帽集問(wèn)題。這一突破性進(jìn)展的關(guān)鍵在于，AI能夠自由地在離散數(shù)學(xué)、算法設(shè)計(jì)和信息理論等看似不相關(guān)的領(lǐng)域間建立連接，發(fā)現(xiàn)人類研究者可能忽略的關(guān)聯(lián)模式。正如該項(xiàng)目的首席研究員所說(shuō)：“AI在這里扮演的不是計(jì)算器的角色，而更像是一個(gè)具有跨學(xué)科視野的合作者，它能夠從完全不同的角度審視問(wèn)題。” 這種知識(shí)整合的價(jià)值不僅體現(xiàn)在具體問(wèn)題的解決上，更重要的是它正在改變數(shù)學(xué)研究的范式。首先，AI輔助可以大大縮短數(shù)學(xué)家的“學(xué)習(xí)曲線”，使研究者能夠快速掌握相關(guān)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)；其次，它能夠揭示不同數(shù)學(xué)分支之間的“隱藏橋梁”，為新的研究方向提供線索；最后，這種跨領(lǐng)域的知識(shí)融合往往能催生全新的數(shù)學(xué)工具和方法，推動(dòng)學(xué)科的創(chuàng)新發(fā)展。

展望未來(lái)，隨著多模態(tài)大模型的發(fā)展，AI在數(shù)學(xué)知識(shí)整合方面的能力還將持續(xù)增強(qiáng)?？梢灶A(yù)見(jiàn)，下一代數(shù)學(xué)研究AI將不僅能處理文本形式的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能理解圖表、公式、證明過(guò)程等多元信息，實(shí)現(xiàn)更深入的知識(shí)融合。這將進(jìn)一步降低學(xué)科間的交流壁壘，加速數(shù)學(xué)的整體進(jìn)步，或許會(huì)幫助我們解決那些長(zhǎng)期懸而未決的數(shù)學(xué)難題，如黎曼猜想或納維-斯托克斯方程的存在性問(wèn)題。在這個(gè)意義上，人工智能不僅是一個(gè)研究工具，更是一個(gè)拓展人類數(shù)學(xué)認(rèn)知邊界的“思維伙伴”。

AI能夠創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)嗎？

創(chuàng)造性思維是人類智慧皇冠上最耀眼的明珠。從歐幾里得的公理化體系到高斯的微分幾何，從黎曼的復(fù)變函數(shù)到格羅滕迪克的概形理論，數(shù)學(xué)史上的每一次重大突破都閃耀著創(chuàng)造性思維的光芒。這種思維究竟包含哪些關(guān)鍵要素？當(dāng)前的人工智能又為何難以企及？

真正的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維至少包含三個(gè)相互關(guān)聯(lián)的層面。

概念抽象能力是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基石。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家能從具體問(wèn)題中抽離出本質(zhì)特征，形成新的數(shù)學(xué)概念。比如歐拉看到柯尼斯堡七橋問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有停留在具體的橋與河，而是抽象出拓?fù)涞幕靖拍?。這種從具體到抽象的飛躍，需要深刻的直覺(jué)洞察力。

類比遷移能力使數(shù)學(xué)思想在不同領(lǐng)域間流動(dòng)。19世紀(jì)，黎曼將高斯曲面理論的思想遷移到復(fù)變函數(shù)研究，開(kāi)創(chuàng)了黎曼曲面理論。這種跨領(lǐng)域的聯(lián)想能力，依賴于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解，而非表面特征的簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)。

構(gòu)建全新的數(shù)學(xué)理論是最高級(jí)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。格羅滕迪克在代數(shù)幾何中建立的概形理論，不僅解決具體問(wèn)題，更構(gòu)建了全新的理論框架。這種體系化的創(chuàng)造需要宏觀的數(shù)學(xué)視野和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S相結(jié)合。

然而，當(dāng)前的人工智能，尤其是基于深度學(xué)習(xí)的大模型，在數(shù)學(xué)創(chuàng)造性方面存在結(jié)構(gòu)性缺陷：①缺乏真正的概念抽象，AI可以通過(guò)模式識(shí)別發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的規(guī)律，但無(wú)法自主形成具有數(shù)學(xué)意義的新概念，AI的“發(fā)現(xiàn)”停留在操作層面，無(wú)法上升為概念層面；②類比流于表面，大語(yǔ)言模型雖然能建立跨領(lǐng)域聯(lián)系，但這些聯(lián)系往往基于表面對(duì)應(yīng)而非深層結(jié)構(gòu)，當(dāng)被要求將數(shù)論問(wèn)題與拓?fù)鋵W(xué)建立聯(lián)系時(shí)，AI可能給出形式上的類比，但難以把握兩者內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；③體系建構(gòu)能力缺失，現(xiàn)有的AI系統(tǒng)擅長(zhǎng)解決定義明確的問(wèn)題，但無(wú)法自主構(gòu)建新的數(shù)學(xué)理論體系，它們能證明特定定理，卻提不出類似范疇論這樣的全新數(shù)學(xué)框架，這種體系化創(chuàng)造需要整體性的數(shù)學(xué)觀，而這恰恰是AI最欠缺的。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的本質(zhì)，在于將直覺(jué)的飛躍與邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)完美結(jié)合。當(dāng)前AI還無(wú)法復(fù)制人類數(shù)學(xué)家那種“靈感乍現(xiàn)”的創(chuàng)造過(guò)程。研究數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維不僅關(guān)乎數(shù)學(xué)發(fā)展本身，也是推動(dòng)人工智能向更高層次進(jìn)化的重要途徑。

從吳文俊的機(jī)器證明到今天的AlphaGeometry，AI與數(shù)學(xué)的融合正在創(chuàng)造新的研究范式。雖然AI目前還無(wú)法完全替代數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造力和洞察力，但它已經(jīng)成為不可或缺的研究伙伴。未來(lái)，隨著技術(shù)的進(jìn)步，我們或許將見(jiàn)證AI提出全新的數(shù)學(xué)理論，開(kāi)啟數(shù)學(xué)研究的新紀(jì)元。在這個(gè)人機(jī)協(xié)作的新時(shí)代，數(shù)學(xué)的發(fā)展將不再受限于個(gè)人智慧，而是由人類與AI共同推動(dòng)。這場(chǎng)變革不僅會(huì)改變數(shù)學(xué)研究的方式，更可能幫助我們揭開(kāi)宇宙更深層的數(shù)學(xué)奧秘。

陳小楊：長(zhǎng)聘副教授，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092。

Chen Xiaoyang: Tenured Associate Professor, School of Mathematical Sciences, Tongji University, Shanghai 200092.

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關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) AI DeepMind■

本文刊載于2025年第77卷第5期《科學(xué)》雜志（P35-P39）

本文轉(zhuǎn)載自《科學(xué)雜志1915》微信公眾號(hào)

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