現(xiàn)在網(wǎng)上流行沒有人能正確使用我的東西。

其實很早之前數(shù)學(xué)家圖靈就做到了沒人能正確使用他的自行車。

處理事情上，他總和別人不同，并且自有一番自己的道理。

用領(lǐng)帶系褲腰帶，騎自行車帶防毒面具，當(dāng)然數(shù)學(xué)題解法也常常與老師要求不同。

很符合大眾眼里天才總是獨特且奇怪的刻板印象，數(shù)學(xué)故事大王斯圖爾特是怎么講述他的？或許數(shù)學(xué)家的人生故事比網(wǎng)文還精彩！

01

沒人能正確使用圖靈的自行車

據(jù)布萊奇利園的同事杰克·古德（Jack Good）說，圖靈患有花粉癥。他是騎自行車上班的，每年6月都要戴上防毒面具，好避免接觸花粉。

他的自行車有點兒問題，經(jīng)常掉鏈子。于是，圖靈隨身攜帶一罐油和一塊抹布，以便在復(fù)位鏈條后做好清理。

終于，他厭倦了來回折騰，決定更為合理地解決問題。他開始計算踏板在鏈條兩次脫落之間轉(zhuǎn)動了多少圈。

這個數(shù)非常穩(wěn)定。將它與自行車鏈條的節(jié)數(shù)和后輪的輻條數(shù)比較一番之后，他推斷出，只要鏈條和車輪處于某個特定的位置，鏈條就會脫落。接下來，他不斷計數(shù)，以便在鏈條即將脫落時提醒自己，并采取一種操作方法避免掉鏈子。他不再需要帶油和抹布了。最后，圖靈發(fā)現(xiàn)有一根略微彎曲的輻條碰到了一節(jié)損壞的鏈條。

這也算是理性的勝利了，只是其他人會把自行車送去維修店，修理師傅會更快速地查出問題所在。

但是換個角度看，圖靈沒有這樣做，不僅節(jié)省了修理費，也確保了沒有其他人騎他的自行車。

正如在其他事上一樣，他有自己的一番道理，只不過和其他人不同而已。

02

很受歡迎的書呆子

圖靈的父親朱利葉斯·圖靈（Julius Turing）在印度做公務(wù)員。他的母親埃塞爾·斯托尼（Ethel Stoney）是馬德拉斯鐵路總工程師的女兒。這對夫婦希望他們的孩子在英國長大，因此搬到了倫敦。圖靈是兩個兒子中的老二。6歲時，他去海濱城鎮(zhèn)圣倫納茲（St Leonards）上學(xué)，女校長很快發(fā)現(xiàn)他異常聰明。

到了13歲，圖靈進入舍伯恩（Sherborne）學(xué)校，這是一所獨立的“公學(xué)”，在頗有幾分奇特的英式說法中，這種學(xué)校是私立的，需要付費，生源多為富家子弟。和大多數(shù)同類學(xué)校一樣，這里非常重視古典學(xué)。

圖靈的字寫得不好，英語也很差，甚至在他最喜歡的科目數(shù)學(xué)上，他也更在意自己的解答，而不是老師要求的答案。無論由此產(chǎn)生的影響是好是壞，他都贏得了所有數(shù)學(xué)獎項。他還喜歡化學(xué)，但同樣偏愛自己搗鼓。

他的校長寫道：“如果他只想成為一名科學(xué)專家，那他來公學(xué)就是在浪費時間�！�

這話說得很對。

學(xué)校不知道的是，圖靈在課余時間通過閱讀愛因斯坦的論文知道了相對論，又通過閱讀阿瑟·埃丁頓（Arthur Eddington）的《物理世界的本質(zhì)》（The Nature of the Physical World）知道了量子理論。1928年，他與高他一年級的克里斯托弗·莫科姆（Christopher Morcom）成為好友，他們對科學(xué)有著共同的興趣。但不到兩年，莫科姆就去世了。

圖靈悲痛至極，但他在求知上依然勤勉，并贏得了去劍橋大學(xué)國王學(xué)院學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的機會。圖靈繼續(xù)閱讀那些遠遠超前或者說超出本科課程的教材。他于1934年畢業(yè)。

圖靈其人極為不修邊幅。即使穿西裝，他也很少熨燙好。據(jù)說他是用領(lǐng)帶系褲子的，有時也用繩子。圖靈笑聲洪亮但不大悅耳，甚至有點兒像驢叫。他還有語言障礙，但與其說他結(jié)巴，倒不如說他在頭腦中找尋合適的詞時會突然頓住，開始“啊，啊，啊……”。他刮起臉來不大細致，總是有點兒胡子拉碴的。

他經(jīng)常被描繪成一個神經(jīng)兮兮、不善社交的書呆子，但實際上他人緣不錯，很受歡迎。圖靈表面上的古怪主要源于原創(chuàng)性，他思考的內(nèi)容和他的思考方式都很獨特。在研究問題時，圖靈會發(fā)現(xiàn)其他人完全覺察不到的角度。

一年后，他學(xué)習(xí)了馬克斯·紐曼（Max Newman）關(guān)于數(shù)學(xué)之基礎(chǔ)的研究生課程，從中了解了希爾伯特的計劃，以及哥德爾是怎樣讓這個計劃破產(chǎn)的。

圖靈意識到，哥德爾關(guān)于不可判定的定理實際上是有關(guān)算法的。針對一個問題，如果存在提供答案的算法，那么這個問題就是可判定的。面對給定的問題，能找到對應(yīng)的算法就意味著你可以做出證明。而不可判定則更深奧、更難對付：你必須證明不存在這樣的算法。

為了讓這番探索繼續(xù)下去，算法本身必須先有一個精確的定義。哥德爾實際上討論過這個問題，他把算法看作公理系統(tǒng)中的證明。而圖靈則開始思考如何對算法進行一般形式化。

03

圖靈的兩個重要定理

1935 年，因為獨立發(fā)現(xiàn)了概率論中的中心極限定理，為統(tǒng)計推斷中“鐘形曲線”，即正態(tài)分布的廣泛使用提供了依據(jù)，圖靈成為國王學(xué)院的研究員。1936年，隨著重要論文《論可計算數(shù)及其在判定問題上的應(yīng)用》（“On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”）發(fā)表，他對哥德爾定理的思考脫穎而出。在這篇論文中，他證明了一種形式上的計算模型（現(xiàn)在稱為圖靈機）的不可判定定理。

圖靈指出，任何算法都無法事先判定計算是否會在得到答案后停止。他的證明比哥德爾的更簡潔，盡管兩者都需要先用一些技巧來建立情境。

雖然名稱中有“機”，但圖靈機是抽象的數(shù)學(xué)模型，代表一種理想化的機器。圖靈稱它為“a機”，其中a代表“自動的”（automatic）。

我們可以想象一條帶子，上面分出了一系列相鄰的小格子，格子里要么是空的，要么包含一個符號。這種帶子像是機器的存儲器，長度沒有限制，但存在盡頭。到達盡頭之后，你可以繼續(xù)增加新的格子。有一個部件位于初始格子的上方，負責(zé)讀取其中的符號。然后，它會查閱規(guī)則表（由用戶提供程序），在格子中寫入一個符號（覆蓋已存在的任何符號），并將帶子移動一格。接下來，根據(jù)規(guī)則表和符號，機器要么停止，要么針對新的一格完成表中關(guān)于符號的指令。

圖靈機有許多變體，但就能夠完成同類計算來看，所有變體都是等價的。事實上，這種最基本的機器在原理上可以計算數(shù)字計算機所能計算的任何東西，無論后者有多么快速和先進。例如，使用包括0～9在內(nèi)的一些符號，圖靈機可以通過編程將π計算到小數(shù)點后任意位數(shù)，并寫入帶子上的一連串格子，最后停止。對如此簡單的設(shè)備來說，這樣的通用程度似乎令人驚訝，但計算有多復(fù)雜要看規(guī)則表，規(guī)則表也許相當(dāng)不簡單。這就好比計算機會做什么，取決于其中運行的軟件。

然而，圖靈機的簡潔也導(dǎo)致了它的緩慢，因為即使是簡單的計算也需要大量的步驟。它本身并不實用，但這種簡潔性使它非常適合用于研究有關(guān)計算極限的理論問題。

圖靈的第一個重要定理證明了通用圖靈機的存在，它可以模擬任何特定的圖靈機。在計算開始之前，特定圖靈機的程序被編碼到通用圖靈機的帶子上。規(guī)則表會告訴通用圖靈機如何將這些符號解碼為指令，并執(zhí)行它們。通用圖靈機結(jié)構(gòu)的提出是一次重要的進步，將引導(dǎo)人們制造出以內(nèi)存存儲程序的真實可用的計算機。除了一些非常特殊的應(yīng)用情境，我們不會為每一個問題制造一種新的計算機，并專門編寫一個又一個固定程序。

圖靈的第二個重要定理和哥德爾有關(guān)，證明了圖靈機的停機問題是不可判定的。這個問題要求找到一種算法，能夠在給定圖靈機程序的情況下，判定機器（最終）會得出答案并停止，還是永遠計算下去。圖靈證明不存在這樣的算法，也就是說停機問題是不可判定的。假定存在這樣的算法，將該算法構(gòu)造出的機器應(yīng)用于自身程序，問題就被巧妙地轉(zhuǎn)換成了當(dāng)且僅當(dāng)原機不停機時，模擬機才會停機。

于是矛盾出現(xiàn)了：模擬機會停機就意味著不會停機，不會停機就意味著會停機。我們已經(jīng)看到，哥德爾的證明最終被編碼為一個形似“此陳述為假”的陳述。圖靈的證明則更簡單，它更像是一張卡片，卡片的兩面分別印有下面兩句話：

卡片另一面的陳述是真的。

卡片另一面的陳述是假的。

兩條陳述都分兩步暗示了自己是站不住腳的。

圖靈向《倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會會報》（Proceedings of the London Mathematical Society）提交了他的論文，但他并不知道，幾周前美國數(shù)理邏輯學(xué)家阿朗佐·丘奇（Alonzo Church）剛在《美國數(shù)學(xué)期刊》（American Journal of Mathematics）上發(fā)表了《初等數(shù)論中的一個不可解問題》（“An Unsolvable Problem in Elementary Number Theory”），為哥德爾的算術(shù)不可判定提供了另一種證明思路。

丘奇的證明非常復(fù)雜，但他的論文發(fā)表得更早。紐曼勸說編輯部接收圖靈的論文，因為它在概念和結(jié)構(gòu)上都要簡單得多。而圖靈則配合修改，引用了丘奇的作品。

故事有了一個圓滿的結(jié)局，因為圖靈后來去了普林斯頓大學(xué)，在丘奇的指導(dǎo)下攻讀博士學(xué)位。他的博士論文于1938年發(fā)表，題目是《基于序數(shù)的邏輯系統(tǒng)》（“Systems of Logic Based on Ordinals”）。

《數(shù)學(xué)巨人傳 : 思考、創(chuàng)造的奇趣故事》

作者： [英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者：張憬

享譽世界的數(shù)學(xué)科普作家斯圖爾特全新力作，聚焦奠定數(shù)學(xué)發(fā)展之路的25位天才，用純粹思想的力量塑造兩千年的世界。

數(shù)學(xué)巨人不僅創(chuàng)造了數(shù)學(xué)，更讓數(shù)學(xué)改變了世界。講述阿基米德、劉徽、費馬、牛頓、高斯、黎曼、龐加萊、諾特、拉馬努金、等25位數(shù)學(xué)家的非凡生活和驚人發(fā)現(xiàn)。

點燃數(shù)學(xué)思維的力量，構(gòu)建“知識地圖”，看清數(shù)學(xué)演進模式，植入“科學(xué)家思維模式”（學(xué)會提出真正的問題，具備跨界思維和眼界）；習(xí)得一種穿透表象的洞察力，在混沌中看見模式，在復(fù)雜中提取本質(zhì)。