如果我說，你可以用一根鉤針和一團(tuán)棉線，親手織出一個(gè)讓數(shù)學(xué)家癡迷了兩千年的幾何結(jié)構(gòu)——你信嗎？今天，我們就來干這件瘋狂的事：織出一個(gè)雙曲平面。

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大自然里的幾何大師

你有沒有仔細(xì)端詳過一朵銀耳？

它的表面布滿了柔軟的褶皺，一層疊著一層，像是一片微縮的珊瑚礁。

再看看生菜的葉邊——那波浪般的起伏，是不是也帶著某種規(guī)律？

圖：海底扁蟲

還有海底扁蟲，它的軀體好像帶褶皺的裙邊，蠕動(dòng)時(shí)靈活自如，卻從不扯壞自己。

這些生物形態(tài)各異，顏色、質(zhì)地、生活環(huán)境都截然不同。但是數(shù)學(xué)家看到他們，可能會驚呼：它們都是“雙曲幾何”的化身！

沒錯(cuò)，它們的形狀，竟然暗藏著同一個(gè)幾何秘密——雙曲幾何，一種與我們熟悉的平面世界截然不同的幾何結(jié)構(gòu)。

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一段被塵封了兩千年的“異端幾何”

要理解這個(gè)秘密，得先回溯一段曲折的數(shù)學(xué)史。

公元前300年，歐幾里得在《幾何原本》中提出了五條公設(shè)。前四條簡潔明了，第五條卻不那么顯然：“過直線外一點(diǎn)，能且只能作一條直線與已知直線平行”。這條“第五公設(shè)”讓數(shù)學(xué)家們耿耿于懷兩千年——它真的無法被證明嗎？

1763年，德國數(shù)學(xué)家克呂格爾（Georg Simon Klügel，1739-1812）首次明確指出：第五公設(shè)可能根本無法證明，它其實(shí)是一種獨(dú)立的假設(shè)。他的同代人蘭伯特（Johann Heinrich Lambert，1728－1777）進(jìn)一步探討了放棄第五公設(shè)后的幾何，但突破兩千年的歐氏幾何根基，需要更大的勇氣。

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圖：呂格爾

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圖：蘭伯特

到了19世紀(jì)初，三位數(shù)學(xué)家?guī)缀跬瑫r(shí)獨(dú)立揭開了非歐幾何的面紗——高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777-1855）、鮑耶（Farkas Bolyai，1775-1856）和羅巴切夫斯基（Никола?й Ива?нович Лобаче?вский，1792－1856）。

圖：高斯、鮑耶、羅巴切夫斯基

高斯雖早已洞察，卻因害怕世俗嘲笑而將手稿鎖進(jìn)抽屜，終生未公開發(fā)表。匈牙利的鮑耶滿懷激情地將研究成果寄給高斯，卻收到冷淡回應(yīng)，從此對數(shù)學(xué)心灰意冷。

最堅(jiān)定的人是俄國的羅巴切夫斯基。他從1826年起系統(tǒng)建立了非歐幾何理論，遭受冷嘲熱諷和誣蔑攻擊依然潛心研究，發(fā)表了一系列論文和著作，在晚年雙目失明時(shí)仍口授完成《泛幾何學(xué)》闡述自己的幾何思想。他還精心設(shè)計(jì)了檢驗(yàn)大尺度空間幾何特性的天文測量方案，堅(jiān)信這種新幾何學(xué)終有一天“可以像別的物理規(guī)律一樣用實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)”。

真是一段可歌可泣的動(dòng)人故事！

這幾位先行者的步履維艱，當(dāng)時(shí)人們的普遍懷疑，其核心原因都在于：在現(xiàn)實(shí)世界里，找不到任何非歐幾何的實(shí)體模型啊！沒有模型，新幾何就像空中樓閣，難以被接受。

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今天，我們用鉤針把它“織“出來

現(xiàn)在，我們不再需要仰望星空，也不必深陷復(fù)雜公式，只需一團(tuán)棉線、一根鉤針，就能親手創(chuàng)造一個(gè)可觸摸、可觀察的非歐幾何模型——雙曲平面！

方法很簡單，我們只需要掌握三個(gè)基本針法：環(huán)形起針、短針、短針加針。

1. 環(huán)形起針，第一圈織6針。

2. 第二圈：在每1針上都加1針，一共12針。

3. 第三圈：仍然在每1針上加1針，一共24針。

4. 繼續(xù)織下去：每一圈的針數(shù)都是上一圈的2倍?？椡甑谄呷筱^引拔針，收線。

這里的關(guān)鍵就在于每一圈的針數(shù)都加倍。（注：文末有織法參考視頻鏈接）

你會驚奇地發(fā)現(xiàn)——織著織著，織物開始自動(dòng)起皺、卷曲，形成像珊瑚、像銀耳那樣的立體結(jié)構(gòu)。

圖：筆者鉤織的成品

圖：調(diào)整加針比例產(chǎn)生的不同效果

恭喜你，你剛剛親手創(chuàng)造了一個(gè)雙曲幾何模型！

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它真的”非歐“嗎？來做個(gè)實(shí)驗(yàn)

現(xiàn)在，讓我們像數(shù)學(xué)家一樣，用這個(gè)織物做一些小實(shí)驗(yàn)：

step1：找一條“直線”：在織物上，什么可以看作直線？怎么找到它？

直線是什么

在這個(gè)世界里，連接兩點(diǎn)的“直線”被定義為連接兩點(diǎn)的最短曲線。

怎么尋找直線

抓住兩點(diǎn)，拉直，就得到了這個(gè)空間里的直線。但不要拽太用力，過度拉扯會產(chǎn)生誤差。

曲面對折

還能發(fā)現(xiàn)，正像白紙能沿著直線對折一樣，這個(gè)曲面也可以沿著“直線”完美對折！

step2：畫個(gè)三角形：它的內(nèi)角和是多少？還是180°嗎？

觀察三角形內(nèi)角和是多少度？

觀察發(fā)現(xiàn)，明顯小于180°

step3：試試第五公設(shè)：過“直線”外一點(diǎn)，能畫幾條“平行線”？

圖：平行線不唯一

step4：量量圓的周長：半徑增大時(shí)，周長增長得有多快？

可以發(fā)現(xiàn)：第一圈6針，第二圈12針，第三圈24針，…，第七圈384針！周長指數(shù)級增長！

step5：揉一揉它：變形的時(shí)候，織物上的距離改變了嗎？

基本沒有改變，織片不允許撕扯，距離是它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)！

你會發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)有著內(nèi)蘊(yùn)穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的幾何世界，而且完全不符合歐幾里得的規(guī)則！

進(jìn)一步，如果引入一點(diǎn)專業(yè)的黎曼幾何知識，我們可以定量地研究這個(gè)模型的特性：根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱性，它的黎曼度量是（在極坐標(biāo)系下）

其中根據(jù)織的針數(shù)規(guī)律（并假定每一針是一個(gè)“長度單元格”），可得

從而計(jì)算出它的曲率

——曲率處處相等，而且是一個(gè)負(fù)常數(shù)。

這正是雙曲幾何的“真身”——負(fù)曲率空間。如果羅巴切夫斯基在天有靈，他看到這個(gè)模型，一定會熱淚盈眶吧！

【事實(shí)上，在羅巴切夫斯基之后，黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）、貝爾特拉米（Eugenio Beltrami，1835-1900）、克萊因（Felix Christian Klein，1849-1925）、龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）等數(shù)學(xué)家經(jīng)過許多努力，構(gòu)造出了偽球面、克萊因圓盤、龐加萊圓盤等非歐幾何模型，非歐幾何逐漸被人們所接受?！?/p>

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雙曲幾何的奇妙應(yīng)用

說回開頭的銀耳、生菜葉和海底生物，你知道大自然中為什么有這么多雙曲幾何結(jié)構(gòu)嗎？這不是巧合，這是因?yàn)榇笞匀辉缇桶央p曲幾何的特點(diǎn)為自己所用了。

銀耳、生菜葉、珊瑚“選擇”雙曲幾何，是為了讓自己表面積最大化，提高吸收養(yǎng)分或光線的效率。

海底扁蟲“選擇”這種結(jié)構(gòu)，是為了讓身體既能靈活扭動(dòng)，又不易撕裂，完美適應(yīng)海洋生活。

人類認(rèn)識了雙曲幾何后，也開始在多個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用雙曲幾何：腦科學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、藝術(shù)設(shè)計(jì)……

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雙曲幾何已經(jīng)深刻地滲透進(jìn)許多學(xué)科和人類活動(dòng)中。

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結(jié)語

今天我們用一根鉤針和一團(tuán)棉線，觸摸到了這門奇特幾何學(xué)的溫度。發(fā)明雙曲平面鉤織模型的數(shù)學(xué)家Daina Taimina說：

What I hear I forget,

What I see I remember,

What I touch I understand.

圖：Daina Taimina

這句話道出了學(xué)習(xí)的秘訣。把抽象的概念變成可見、可親、可感的具體對象，讓眼睛和雙手帶著大腦去思考，讓直觀和直覺引領(lǐng)理性去發(fā)現(xiàn)。

你也來試試吧！ 動(dòng)手織一朵“數(shù)學(xué)銀耳”，在針線的起伏中感受非歐幾何的奇妙。

織法可參照下面視頻圓形的織法，唯一需要改變的就是每圈的針數(shù)：

【【鉤針基礎(chǔ)】真綫坊鉤針-零基礎(chǔ)短針圓形教程（crochet circle）】 https://www.bilibili.com/video/BV1gt411j7er/?share_source=copy_web

來源：數(shù)學(xué)經(jīng)緯網(wǎng)

編輯：LogicMoriaty

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