女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

眾所周知，在自然界中，螺旋以其頻繁的出現(xiàn)和眾多的變化，激發(fā)了許多世紀(jì)以來的建筑形式。希臘人將對(duì)數(shù)螺線用于愛奧尼克螺線；許多代建筑師發(fā)展了幾何構(gòu)造來近似螺線的曲線。螺旋主題的一個(gè)發(fā)展是扇形圖案，在這種圖案中，螺旋段圍繞圓心平移。相反扇形圖案的疊加導(dǎo)致了玫瑰花結(jié)。容易建造的圓形玫瑰花結(jié)是一種古老而美麗的路面圖案，可以變化為許多其他動(dòng)機(jī)奠定基礎(chǔ)。

介紹

到目前為止，我們對(duì)自然環(huán)境中螺旋的出現(xiàn)已經(jīng)進(jìn)行了很好的研究和分類，這是我們大多數(shù)人所熟悉的。動(dòng)物世界中的螺旋形生長模式見于鸚鵡螺殼、蝸牛殼和羊角；在植物界，我們可以在向日葵、松果和菠蘿中找到它們。自然螺旋可能與螺旋星云一樣大，也可能與人耳中耳蝸的螺旋結(jié)構(gòu)一樣小(圖1)。1幾個(gè)世紀(jì)以來，建筑師已經(jīng)將來自大自然的螺旋圖案，以及受螺旋啟發(fā)的圖案(如果不是由螺旋實(shí)際構(gòu)建而成)融入到建筑環(huán)境中。本文將討論在建筑中螺旋是如何被用來表達(dá)結(jié)構(gòu)和空間的概念的。

圖1 內(nèi)耳耳蝸的螺旋結(jié)構(gòu)，包含聽覺神經(jīng)末梢。

愛奧尼克式渦卷

希臘建筑師設(shè)計(jì)了三種建筑形式：多立克式、愛奧尼克式和科林斯式；羅馬建筑師采用了希臘建筑形式，并創(chuàng)造了自己的兩種建筑形式：托斯卡納式和復(fù)合式。建筑的 "秩序 "是由所使用的柱子的風(fēng)格以及與柱子搭配的細(xì)節(jié)來定義的。建筑裝飾中對(duì)數(shù)螺旋的原型可能就出現(xiàn)在希臘建筑愛奧尼克式的柱頭渦卷上（圖 2）。

圖2 愛奧尼克柱頭及其組成部分:a)算盤;b)墊子;c)海膽;d)蝸殼;e)眼睛。

關(guān)于建筑秩序的起源，有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，秩序中的各個(gè)元素不僅是為了實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)功能，也是為了以某種方式表達(dá)這種功能。先考慮一下作為承重構(gòu)件的柱子。柱子的形狀表明，它被傳遞到基座的重量壓緊了：直徑不是一個(gè)均勻的圓柱體，而是向柱子的下半部分增大，產(chǎn)生一種被稱為 "entasis "的輕微變形。愛奧尼克柱頭的渦形結(jié)構(gòu)也能以類似的方式表達(dá)壓縮力：在這種情況下，算盤下方的構(gòu)件被迫形成一條向下的曲線。讀者可能對(duì)埃及建筑中的玫瑰花結(jié)柱頭并不陌生。為了直觀地理解渦形的起源，不妨想象一下玫瑰花結(jié)受到擠壓的結(jié)果，即花瓣在必須承受的重壓下被迫向下卷曲。

關(guān)于愛奧尼克式渦旋結(jié)構(gòu)及其構(gòu)造的首次描述，要?dú)w功于一位羅馬建筑師和理論家，他就是維特魯威（Vitruvius）的《建筑十書》（Ten Books on Architecture）。由于缺乏插圖，維特魯威的描述很難解釋，而在文藝復(fù)興時(shí)期重新發(fā)現(xiàn)古典建筑之后，各種建造渦旋結(jié)構(gòu)的公式相繼問世，所有這些公式都聲稱是以其羅馬前輩的公式為基礎(chǔ)。在此不一一列舉所有倡導(dǎo)各種方法的人，其中最重要的包括 15 世紀(jì)的萊昂·巴蒂斯塔·阿爾貝蒂（Leon Battista Alberti），16世紀(jì)的安德烈亞·帕拉迪奧（Andrea Palladio）、塞巴斯蒂亞諾·塞爾里奧（Sebastiano Serlio）和賈科莫·維格諾拉（Giacomo Vignola），以及18世紀(jì)的威廉·錢伯斯（William Chambers）和詹姆斯·吉布斯（James Gibbs）。為本研究之目的，我選擇了班尼斯特·弗萊徹的權(quán)威性歷史建筑調(diào)查報(bào)告中提出的方法（圖 3）。這種方法主要是建造形成渦形的對(duì)數(shù)螺旋。第二步，在渦卷的第一條螺旋線上添加第二條螺旋線，形成渦卷的圓角或厚度3。

該程序包括建立與柱直徑相關(guān)的構(gòu)造模塊。蝸殼眼的尺寸與模數(shù)成比例確定。這里討論的方法將眼睛確定為模塊的1/9，或者具有30個(gè)部分的模塊的3-1/3部分。畫出等于1/2模數(shù)的垂直線A-B。通過繪制與模塊中心同心的眼睛(圖3中的B點(diǎn))來進(jìn)行構(gòu)造。眼睛的直徑被分成4個(gè)相等的長度(C-1、1-B、B-4和4-D)；1-B和B-4被分成三等份。三個(gè)正方形的邊分別是1-4、5-8和9-12。從圓規(guī)點(diǎn)1處開始，半徑等于1-A，繪制一條弧到點(diǎn)E。在E處，圓規(guī)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)2，半徑為2- E的弧被繪制到點(diǎn)f。繼續(xù)以這種方式進(jìn)行構(gòu)造，在每個(gè)90°交叉點(diǎn)處改變圓規(guī)位置和半徑，直到最后，圓規(guī)在點(diǎn)12處，半徑為O-12，螺旋在蝸殼的眼睛上閉合。

圖3 蝸殼建筑，在高曼之后。蝸殼的構(gòu)造基于所選擇的模塊，該模塊與柱的直徑相關(guān)。施工準(zhǔn)備如下：畫一條等于1/2模數(shù)的豎線AB。以B為圓心，畫一個(gè)直徑為1/9模數(shù)的圓：這是蝸殼的眼睛。將眼睛的垂直直徑分成4等份(C1，1B，B4，4D。)進(jìn)一步將1B和B4細(xì)分為三分之一(1-5，5-9，9-B，B-12，12-8，8-4。)在1-4，5-8，9-12上構(gòu)造正方形。為了構(gòu)建蝸殼的實(shí)際螺旋，三個(gè)正方形的頂點(diǎn)1到12按照它們的數(shù)字順序用作形成蝸殼的弧的中心..第一個(gè)圓弧，圓心在A，半徑等于1-A，從A到E；第二個(gè)，它的中心在2，半徑等于2-F，從E到F。一個(gè)繼續(xù)以同樣的方式通過所有剩余的中心。最后一個(gè)弧，圓心在12，半徑等于12-O，在眼睛c處閉合。

扇形圖案和玫瑰花結(jié)

對(duì)蝸殼中對(duì)數(shù)螺線的介紹將我們帶到了我的特殊研究領(lǐng)域，即意大利建筑史中鋪裝設(shè)計(jì)的變化性質(zhì)。4鋪裝通常被視為一種次要的裝飾藝術(shù)，但在任何特定的時(shí)代，鋪裝往往會(huì)給數(shù)學(xué)和空間設(shè)計(jì)的概念帶來新的啟示。考慮到地面是建筑作品中最大的不間斷平面：實(shí)際上，它可以成為一種畫布，在上面表達(dá)與建筑有關(guān)的想法。以螺旋為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)構(gòu)成了路面設(shè)計(jì)的一個(gè)子群，我發(fā)現(xiàn)它特別有趣。

龐貝的馬賽克路面展示了一系列的圖案，這些圖案似乎暗示了螺旋圖案在創(chuàng)造新的鋪路圖案中的應(yīng)用。一種模式基于圍繞圓心旋轉(zhuǎn)的類似曲線，形成扇形圖案(圖4)。5這種圖案的一個(gè)例子是在意大利法恩扎的Aula del palatium的馬賽克路面上發(fā)現(xiàn)的(圖5)。

圖4 扇形圖案

圖5意大利法恩扎宮殿的馬賽克路面上的扇形圖案。

扇形圖案的下一步是將曲線的方向反轉(zhuǎn)，然后將新的曲線疊加到第一組曲線上。這樣就產(chǎn)生了一組曲線區(qū)域，用兩種顏色渲染后，就形成了由同心帶狀的曲線三角形組成的圖案（圖 6）。6 因?yàn)榘柌祭紫Ｌ亍G勒將這種圓形圖案稱為 "玫瑰花結(jié)"7 ，所以我就用這個(gè)名字來稱呼這一類相關(guān)的圖案。羅馬人在龐貝發(fā)掘時(shí)發(fā)現(xiàn)的路面上也有這樣的圖案，其年代為公元前一世紀(jì)（圖 7）8。

圖6玫瑰花結(jié)圖案

圖7 龐貝玫瑰花結(jié)人行道板

在文藝復(fù)興時(shí)期，玫瑰花結(jié)似乎受到了特別的青睞。在佛羅倫薩，人們?cè)诖蠼烫玫娜诵械郎习l(fā)現(xiàn)了一種玫瑰花結(jié)圖案，而圣皮里托教堂的圣器室則完全被玫瑰花結(jié)圖案覆蓋。在16世紀(jì)，米開朗基羅被認(rèn)為設(shè)計(jì)了兩條帶有玫瑰花結(jié)圖案的人行道，一條是佛羅倫薩圣洛倫索的勞倫森圖書館，另一條是羅馬著名的坎皮多利奧或國會(huì)大廈。11文藝復(fù)興時(shí)期的建筑理論特別重視中央規(guī)劃的教堂，將空間的中心點(diǎn)與宇宙的創(chuàng)造者等同起來。這種對(duì)中心的強(qiáng)調(diào)可以解釋為什么在路面設(shè)計(jì)中經(jīng)常使用玫瑰花結(jié)。作為一個(gè)對(duì)其中心有強(qiáng)烈視覺參考的主題，它以一種清晰的方式向穿過空間的觀察者傳達(dá)了建筑中這一點(diǎn)的重要性。

對(duì)數(shù)和圓形玫瑰花結(jié)

英國心理學(xué)家 J. 弗雷澤（J. Frazer）創(chuàng)造了一個(gè)巧妙的視覺設(shè)計(jì)，并轉(zhuǎn)載于拉爾夫-埃文斯（Ralph Evans）的《色彩導(dǎo)論》（Introduction to Color）一書中，該設(shè)計(jì)以一種引人注目的方式說明了玫瑰花結(jié)圖案與螺旋線之間的關(guān)系12。但是，請(qǐng)讀者注意，必須指出的是，雖然基本的玫瑰花結(jié)圖案很容易辨認(rèn)，但并不是所有的玫瑰花結(jié)都是以同樣的方式構(gòu)成的，也就是說，只有部分玫瑰花結(jié)是以真正的對(duì)數(shù)螺旋構(gòu)成的。其他的則采用簡易方法，這種方法看起來像是由螺旋曲線構(gòu)成的，但其優(yōu)點(diǎn)是建造速度更快。16世紀(jì)的建筑師和理論家塞巴斯蒂亞諾·塞爾利奧坦率地承認(rèn)，建筑的美學(xué)效果取決于工人的運(yùn)氣，他們的運(yùn)氣超過了他們的技術(shù)，他感嘆很難向不學(xué)無術(shù)的工人解釋復(fù)雜的構(gòu)造。也許正是出于這個(gè)原因，一種建造古老而又屢試不爽的玫瑰花結(jié)設(shè)計(jì)的捷徑才廣受歡迎。這種捷徑方法的基礎(chǔ)是一組簡單的圓形結(jié)構(gòu)，我們將在下文中詳細(xì)介紹。但首先，如何區(qū)分對(duì)數(shù)玫瑰花環(huán)和圓形玫瑰花環(huán)呢？答案就在于重疊曲線所形成的間隙的比例。如果間隙越遠(yuǎn)離設(shè)計(jì)中心越大，但比例卻保持不變，那么玫瑰花結(jié)形就是真正的對(duì)數(shù)螺旋。圓形玫瑰花環(huán)的間距會(huì)根據(jù)其在圖案中的位置而改變大小和形狀?，F(xiàn)在比較一下龐貝的玫瑰花環(huán)（圖 7）和佛羅倫薩洗禮堂的玫瑰花環(huán)（圖 8），雖然它們的著色方式相同，但曲線三角形的構(gòu)造卻明顯不同。

圖8 佛羅倫薩洗禮堂的玫瑰花結(jié)嵌板。

Construction of the circular rosette

The construction begins with the establishment of a “reference circle” to define the outer limit of the rosette. Next, the reference circle is divided into a number of segments by radial lines passing through the center; the greater the number of radials, the denser the rosette. In the next step, a “centrum ring” is determined, a circle concentric with the reference circle. Finally, the “radial circles” are drawn, one for each radial, the center of which lies at the intersection of the centrum ring and the radials (Figure 9). There will be, obviously, as many radial circles as there are radial lines; their overlapping creates the modules of the rosette. Proportions of the modules of the rosette depend upon the relationships between the reference circle and the radial circles. Albrecht Dürer constructed the rosette for a wooden pavement in 1525.13 In his design, the diameter of each of the twelve radial circles, as well as that of the centrum ring, is equal to the radius of the reference circle. Using the same proportions but doubling the number of radial circles produces a denser rosette.

圓形玫瑰花結(jié)的構(gòu)造

構(gòu)建從建立“參考圓”開始，以定義玫瑰花結(jié)的外部界限。接下來，參考圓被穿過中心的徑向線分成若干段；輻射線的數(shù)量越多，玫瑰花結(jié)越密。下一步，確定“中心圓”，即與參考圓同心的圓。最后，畫出“徑向圓”，每個(gè)徑向一個(gè)，其中心位于中心圓和徑向圓的交叉點(diǎn)(圖9)。顯然，有多少徑向線，就會(huì)有多少徑向圓；它們的重疊創(chuàng)造了玫瑰花結(jié)的模塊。玫瑰花結(jié)的模數(shù)比例取決于參考圓和徑向圓之間的關(guān)系。阿爾布雷特·丟勒在1525年為木制路面建造了玫瑰花結(jié)圖案。13在他的設(shè)計(jì)中，12個(gè)徑向圓的直徑，以及中心圓的直徑，等于參考圓的半徑。使用相同的比例，但將徑向圓的數(shù)量增加一倍，會(huì)產(chǎn)生更密集的玫瑰花結(jié)。

圖9. 丟勒提出的玫瑰花結(jié)以及玫瑰花結(jié)的要素：a) 參考圓；b) 中心圓；c) 徑向圓。

另外三個(gè)例子說明了結(jié)構(gòu)元素之間的關(guān)系。當(dāng)徑向圓的周長穿過參考圓的圓心時(shí)，圓心處就會(huì)形成一個(gè)花朵狀。當(dāng)徑向圓的直徑大于參考圓的半徑時(shí)，就會(huì)形成一個(gè)空的內(nèi)圈。例如，在玫瑰花結(jié)中，徑向圓的直徑等于參考圓直徑的 6/10，而中心圓的直徑等于參考圓直徑的 4/10。將徑向圓的直徑增大到參考圓直徑的 2/3（將中心圓的直徑減小到參考圓直徑的 1/3），可使中心圓與空內(nèi)環(huán)的圓周重合。徑向圓的圓心直徑與參考圓直徑的比值越大，空內(nèi)圈的直徑就越大。在最后一個(gè)例子中，徑向圓的直徑等于參考圓直徑的 3/4（而圓心圓的直徑等于參考圓直徑的 1/4 ）；此時(shí)圓心圓的直徑小于空內(nèi)圈的直徑。

可以注意到，在所有情況下，圓心環(huán)的直徑總是等于參考圓的直徑減去徑向圓的直徑。在分析現(xiàn)有的玫瑰花結(jié)以確定其結(jié)構(gòu)時(shí)，圓形玫瑰花結(jié)結(jié)構(gòu)的這一特性很有幫助。

玫瑰花結(jié)設(shè)計(jì)中的空內(nèi)環(huán)是使其看起來像是由重疊的對(duì)數(shù)螺旋構(gòu)成的關(guān)鍵之一，因?yàn)閮?nèi)環(huán)就像是曲線閉合的眼睛。但是，為了讓人充分感受到這一設(shè)計(jì)是由對(duì)數(shù)螺旋構(gòu)成的，必須在看到間隙縮小之前將玫瑰花結(jié)切斷。事實(shí)上，在我所研究的幾乎所有路面設(shè)計(jì)中，都是這樣處理玫瑰花結(jié)的。讀者會(huì)注意到，在圓形玫瑰花結(jié)中，徑向圓重疊產(chǎn)生的間隙會(huì)隨著從中心向外移動(dòng)而增大，直到某個(gè)極限（如前所述，間隙的比例一直在變化）。此時(shí)，當(dāng)它們接近參考圓的圓周時(shí)，大小開始減小。在真正的對(duì)數(shù)玫瑰花結(jié)中，間隔的大小并沒有減小，而是不斷增大。

玫瑰花結(jié)的銜接

玫瑰花結(jié)的一個(gè)特性使其成為一種有價(jià)值的圖形裝置，那就是基本的玫瑰花結(jié)可以通過顏色的使用而產(chǎn)生不同的圖案。圖案中最簡單的色彩運(yùn)用是將兩種顏色交替涂抹在間隙處，形成一種螺旋狀的棋盤圖案。埃皮達(dá)魯斯（Epidaurus）托洛斯（Tholos）的路面就是這樣描繪的。最常見的處理方法可能是使用兩種顏色，一種用于每個(gè)間隔的下半部分，另一種用于上半部分。這在羅馬馬賽克路面和佛羅倫薩洗禮堂中都有發(fā)現(xiàn)。佛羅倫薩大教堂的馬賽克鋪板采用了更復(fù)雜的色彩處理方法，三個(gè)間隔的連續(xù)組形成條帶，條帶交織在一起，形成編織圖案。然后通過添加陰影線增加了設(shè)計(jì)的深度。米開朗基羅的勞倫森圖書館人行道板與佛羅倫薩大教堂中的編織圖案相似，但分隔圖案間隙的條帶并非由單一的玫瑰花結(jié)圖案形成，而是通過添加相同的第二個(gè)玫瑰花結(jié)圖案，其徑向與基本玫瑰花結(jié)圖案的徑向略有偏離。除了施工簡便和可以通過顏色變化之外，圓形玫瑰花結(jié)的第三個(gè)特點(diǎn)也推薦將其用作鋪路設(shè)計(jì)，那就是它可以像任何重復(fù)的圖案一樣有效地建造。實(shí)際的建造過程是這樣的：大理石加工廠的藝術(shù)家繪制圖案，并標(biāo)明需要切割的木模板；用模板在大理石板上劃線；在加工廠切割大理石并進(jìn)行粗加工，然后運(yùn)到工地；在工地上像拼圖一樣拼接大理石塊，然后用砂漿鑲嵌，最后進(jìn)行精細(xì)拋光。通過觀察佛羅倫薩洗禮堂嵌板上的圓形圖案，我們可以數(shù)出共有 409 塊大理石組成了嵌板。對(duì)佛羅倫薩大教堂中的籃形編織壁板進(jìn)行研究后發(fā)現(xiàn)，其制作效率較低，拼塊數(shù)量略少，為 396 塊，但形狀數(shù)量較多，為 25 個(gè)（圖 10）。玫瑰花結(jié)設(shè)計(jì)的另一個(gè)特點(diǎn)是，除了產(chǎn)生尺寸增大和減小的間隙外，它還產(chǎn)生了一組組點(diǎn)，這些點(diǎn)可以連接成一系列直徑越來越大的同心圓。在圓形玫瑰花結(jié)中，圓的直徑只增加到一定限度，然后再減小到最外層的圓最終與參考圓重合。這類似于圓形玫瑰花結(jié)的間隙先增大后縮小的過程。在對(duì)數(shù)玫瑰花結(jié)中，圓的直徑不斷增大。這些同心圓可以作為創(chuàng)造新設(shè)計(jì)的比例裝置。其中一個(gè)設(shè)計(jì)將扭曲的方形排列投射到路面上，就像人們仰望一個(gè)格子連接的穹頂：三個(gè)同心圓從中心向外移動(dòng)時(shí)，彼此間的距離越來越遠(yuǎn)（圖 11）。這些圓環(huán)的間距與圓形花結(jié)的間距相吻合。

圖10 佛羅倫薩圣瑪麗亞教堂人行道上的編織面板。

圖 11 源自玫瑰花結(jié)的 "拱形 "設(shè)計(jì)。

結(jié)論

螺旋被用作建筑元素壓縮力的風(fēng)格化表達(dá)，也是一組重要路面設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。這兩者都是建筑師觀察自然世界的結(jié)果，這個(gè)世界同樣讓數(shù)學(xué)家著迷。在蝸殼和玫瑰花結(jié)的建造中，這兩個(gè)學(xué)科結(jié)合在一起，創(chuàng)造出的藝術(shù)作品至今仍能向我們傳達(dá)它們的真理。

參考文獻(xiàn)

1. For more about spirals, cf. Philip J. Davis, Spirals: From Theodorus to Chaos (Wellesley, Massachusetts: A.K. Peters, 1993); Theodore Cook, The Curves of Life (1914, reprinted New York: Dover Publications, 1986).

2. The spiral volute is found also in the Greek Corinthian order, and in the Roman Composite order. For descriptions of all the orders, cf. Robert Chitham, The Classical Orders of Architecture (New York: Rizzoli, 1985).

3. Cf. Bannister Fletcher, A History of Architecture on the Comparative Method, 12th ed. (New York: Charles Scribner’s Sons, 1945), p. 100, fig. Q.

4. Cf. Kim Williams, Italian Pavements: Patterns in Space (Houston: Anchorage Press, 1998).

5. Cf. Asher Ovadiah, Geometric and Floral Patterns in Ancient Mosaics (Rome: L’Erma di Bretschneider, 1980), p.153.

6. Cf. Asher Ovadiah, op. cit., p. 144.

7. Cf. Albrecht Dürer, The Painter’s Manual. Walter L. Strauss, trans. (New York: Abaris, 1977), p. 153 and fig. 21.

8. This pavement panel is now on display in the National Museum, Rome.

9. Cf. Cyril Harris, ed., Historic Architecture Sourcebook, 1977, reprinted as An Illustrated Dictionary of Historic Architecture, (New York: Dover Publications, 1983), illustration under heading “Tholos,” p. 531.

10. The pavement of the Baptistery of Florence is interesting as a geometric study in itself. Cf. Kim Williams, “The Sacred Cut Revisited: The Pavement of the Baptistery of San Giovanni, Florence” in Mathematical Intelligencer, Vol. 16, no. 2 (Spring 1994), pp. 18-24.

11. The rosette of this last is framed by an ellipse rather than a circle.

12. This figure appears in Harold Jacobs, Mathematics, A Human Endeavor, 2nd ed., (New York: John Wiley and Sons, 1980), p. 351.

13. See note 7.

14. For more about this pavement, cfr. Ben Nicholson and Jay Kappraff, “The Hidden Pavement Designs of the Laurentian Library” in Nexus II: Architecture and Mathematics, Kim Williams, ed. (Fucecchio, Florence: Edizioni dell’Erba, 1998), pp. 87-98.

15. I count the star-shaped piece in the center as one piece and one shape.

16. Kim Williams, Spirals and Rosettes in Architectural Ornament

最后放幾本扯犢子書目

青山不改，綠水長流，在下告退。

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