女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文描述了仙人掌的形態(tài)特征，這些特征與植物的螺旋、分形和密鋪有關(guān)。經(jīng)過(guò)更深入地研究可以發(fā)現(xiàn)，它們表現(xiàn)出生長(zhǎng)異常，即冠狀，其中超線性生長(zhǎng)創(chuàng)造了與雙曲幾何和分形曲線相關(guān)的結(jié)構(gòu)。還展示了五個(gè)最近的抽象粘土雕塑，靈感來(lái)自于冠狀仙人掌的形式，并描述了用于建造每一個(gè)的方法。

仙人掌形態(tài)學(xué)與數(shù)學(xué)

仙人掌的形態(tài)表現(xiàn)出分形幾何和混沌、密鋪、多面體以及植物螺旋（斐波那契數(shù)）。此外，冠狀仙人掌還表現(xiàn)出超線性生長(zhǎng)和雙曲幾何學(xué)。要了解數(shù)學(xué)在這些形態(tài)中的作用，了解一些仙人掌形態(tài)學(xué)的基本知識(shí)會(huì)有所幫助。有關(guān)仙人掌形態(tài)學(xué)的更多詳情，請(qǐng)參閱參考文獻(xiàn)1。

仙人掌的整體形態(tài)多種多樣，如圖1所示。其中包括圓球形（如桶狀仙人掌和枕狀仙人掌）、柱狀（如美洲虎仙人掌和風(fēng)琴管仙人掌）、分枝【具有圓柱狀（如絨毛仙人掌）或槳葉狀（刺梨】。許多仙人掌都有分枝，但不同種類的分枝程度差異很大[1]。

圖1：a)球形，b)柱狀，c)圓柱形分支，d)槳狀分支形態(tài)的仙人掌。

仙人掌的樹枝狀特征被稱為莖，莖上通常有棱紋，當(dāng)水從根部吸收時(shí)，莖會(huì)膨脹。在某些物種中，莖被稱為結(jié)節(jié)的突起所覆蓋(例如，圖1(c))。仙人掌的刺是高度修飾的葉子，由一種高度縮小的樹枝產(chǎn)生，形狀大致為半球形(圖2)。

圖 2：薩瓜羅仙人掌和巴哈風(fēng)琴管仙人掌的窠和刺。

在許多仙人掌物種中，有兩種視覺(jué)上有趣的生長(zhǎng)異�，F(xiàn)象，即嵴狀生長(zhǎng)和冠狀生長(zhǎng) [2]。這些情況是基因缺陷和生長(zhǎng)前端（頂端分生組織）受損共同作用的結(jié)果。它們會(huì)從根本上改變植物的形態(tài)，通常會(huì)形成奇異的形態(tài)，尤其是在冠狀標(biāo)本的情況下，具有相當(dāng)?shù)牡袼苊栏校▓D 3）。在冠狀生長(zhǎng)中，一點(diǎn)的生長(zhǎng)被沿著一條線的生長(zhǎng)所取代，而在畸形生長(zhǎng)中，生長(zhǎng)發(fā)生在許多不協(xié)調(diào)的點(diǎn)上，通常會(huì)導(dǎo)致腫塊和不對(duì)稱的形態(tài) [2]。在正常的柱狀仙人掌中，隨著植株變大，偶爾會(huì)出現(xiàn)額外的肋。圖 3（b）就是一個(gè)例子，其外觀類似于晶格中的錯(cuò)位[3]。在冠狀形態(tài)中，有許多這樣的“錯(cuò)位”，以適應(yīng)超線性生長(zhǎng)。

圖3：a)冠狀仙人掌；b)對(duì)“錯(cuò)位”的特寫；c)頂部區(qū)域的細(xì)節(jié)。

分形結(jié)構(gòu)在仙人掌分枝和其他分枝植物中是明顯的。這種分支是混亂的，在植物的發(fā)育過(guò)程中有微小的差異，可能包括環(huán)境因素，導(dǎo)致基于相同的基本遺傳指令的相當(dāng)多的形式。和其他植物一樣，仙人掌的根部也有分枝。

在某些種類的仙人掌中，植物的表面基本上被窠覆蓋。對(duì)于圓柱截面，這些圖案可以被認(rèn)為是包裹在圓柱體周圍的平面鑲嵌。在仙人掌中，平行四邊形的邊對(duì)邊鑲嵌是對(duì)觀察到的圖案的一種適當(dāng)?shù)慕�，如圖4(a)所示。莖的圓形末端可以被看作是球體或多面體的鑲嵌圖案(圖4(b))。此外，通過(guò)在球體上均勻分布點(diǎn)的問(wèn)題，刺在窠上的分布與多面體有關(guān)(圖2)。然而，在仙人掌的情況下，通常有一個(gè)大的中心刺，在邊緣附近有較小的刺。

圖4：窠鑲嵌在a)仙人掌的圓柱形區(qū)域和b)枕形仙人掌的圓形末端。

仙人掌中窠的分布一般呈斐波那契螺旋狀。圖 5（a）是一個(gè)例子，在一張枕狀仙人掌的照片上畫出了連接窠的螺旋線。在這種情況下，有8條螺旋線沿一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，13條沿另一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)。圖 5(b) 顯示了具有相同數(shù)字的未燒制粘土雕塑，使用定制的粘土工具在光滑的空心球形粘土上刻畫出弧形凹槽。這與菠蘿或松果裝飾雕塑元素（如頂飾，通常由木材制成）有些相似。它們通常呈現(xiàn)鏡面對(duì)稱，每個(gè)方向的螺旋數(shù)量相同，在這種情況下，它們并不能準(zhǔn)確反映自然界中的斐波納契螺旋[4]。

圖5: a)亞利桑那州魚鉤仙人掌的葉狀螺旋。b)使用相同斐波納契數(shù)8和13 (2022，未燒制)的泥塑。

冠狀仙人掌

不同種類的仙人掌由于冠狀花序而引起的形態(tài)變化差異很大。雖然術(shù)語(yǔ)“指數(shù)增長(zhǎng)”通常用于由超線性增長(zhǎng)引起的波浪表面，但這種增長(zhǎng)不一定是指數(shù)增長(zhǎng)。因此，這里使用“超線性增長(zhǎng)”。冠狀仙人掌沿著線形前緣生長(zhǎng)，可以形成扇形，波浪形，在某些情況下，嚴(yán)重折疊的形式讓人聯(lián)想到分形曲線。桶狀和針墊狀的球形仙人掌呈密集折疊的外形，類似于腦珊瑚[5]或雙曲鉤針[6]，如圖6所示。在這些植物中，折疊結(jié)構(gòu)的密度是如此之高，以至于很難看到內(nèi)部發(fā)生了什么，特別是與之相應(yīng)的高密度的刺遮蔽了人們的視線。柱狀仙人掌，如仙人掌和藍(lán)桃金娘，以及枝狀仙人掌，如跳膽，通常表現(xiàn)出局部扇形。在柱狀仙人掌中，扇形形式通過(guò)引入許多額外的肋骨或“脫位”而促進(jìn)，如圖3(c)和7(a)所示。在有明顯結(jié)節(jié)的膽囊中，扇形與額外的結(jié)節(jié)行相適應(yīng)(圖8)。

同樣值得注意的是“兔耳朵”刺梨的扭曲形狀(圖1(d)中的規(guī)則形狀)。如圖7(b)所示，這些植物的槳葉由于超線性生長(zhǎng)而起伏。這種植物既被描述為冠狀植物，也被描述為怪物[2,7]，但似乎沒(méi)有表現(xiàn)出沿線生長(zhǎng)，這似乎是冠狀植物的一個(gè)定義特征。

圖6：a)冠狀金色桶形仙人掌b)有大致向外可見(jiàn)的生長(zhǎng)前沿。

圖7：a)大型有羽冠的藍(lán)色桃金娘仙人掌的扇形形態(tài)，展示了額外的肋骨是如何適應(yīng)超線性生長(zhǎng)的。b)怪物“兔子耳朵”仙人球仙人掌。兩張照片都是在亞利桑那州鳳凰城的沙漠植物園拍攝的。

正常仙人掌的生長(zhǎng)發(fā)生在樹枝末端的單個(gè)點(diǎn)上，而冠狀仙人掌的生長(zhǎng)是沿著線發(fā)生的。這擾亂了通常觀察到的斐波那契數(shù)列螺旋模式。在圖8中，描繪了冠狀仙人掌嵴臂的形態(tài)。在一定程度上可以追蹤有冠臂中彎曲的結(jié)節(jié)行(盡管斷裂和無(wú)序區(qū)域是不可避免的)，但在生長(zhǎng)前沿附近的分布太混亂了，以至于無(wú)法說(shuō)明行數(shù)。從一個(gè)點(diǎn)來(lái)看，這種無(wú)序也可以在斐波那契數(shù)列螺旋增長(zhǎng)的中心附近看到，但通常來(lái)說(shuō)，在離中心稍遠(yuǎn)的地方計(jì)數(shù)螺旋是很簡(jiǎn)單的。

圖8：a)羽冠跳蛛的扇形形態(tài)，b)生長(zhǎng)曲線。

受到冠狀仙人掌啟發(fā)的雕塑作品

冠狀仙人掌是最近幾件陶瓷雕塑的靈感來(lái)源。這些作品都是抽象作品，其形式以仙人掌的冠狀花序?yàn)榛A(chǔ)，而不是逼真的仙人掌形象。這些作品沒(méi)有試圖塑造逼真的窠，也沒(méi)有加入刺。有些作品甚至連整體形態(tài)都與真實(shí)的仙人掌沒(méi)有密切聯(lián)系。

帶有脊?fàn)罱Y(jié)構(gòu)和“錯(cuò)位”的雙曲面，如上圖3和圖 7(a)，是最近兩件作品的靈感來(lái)源。在第一件名為 "Groovy Hyperbolic Form "的作品中，我首先制作了一個(gè)雙曲面，然后用專門制作的粘土工具將脊壓入其中（圖 9）。壓脊的過(guò)程相對(duì)容易，但制作出來(lái)的作品并沒(méi)有完全體現(xiàn)出仙人掌的雕塑感。第二件作品名為“鳳冠仙人掌形態(tài)”，我首先制作了一個(gè)三葉表面，每個(gè)葉片都有一些雙曲線特征。如圖10(a)所示，我剪下橫截面為三角形的木條，然后將它們逐一粘貼在一起。這是一個(gè)相對(duì)費(fèi)力的過(guò)程，在槳葉的邊緣，兩邊的條帶以拉鏈的方式相接，需要相當(dāng)小心。圖 10b 所示的雕塑結(jié)果更好地捕捉到了這些植物的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。

在冠狀仙人掌中，觀察到生長(zhǎng)沿著一條線進(jìn)行。雖然有許多關(guān)于冠形植物生長(zhǎng)的文章(如參考文獻(xiàn)8)，但我不知道任何數(shù)學(xué)模型。相比之下，從一個(gè)點(diǎn)開始的葉序已經(jīng)被模擬了一個(gè)多世紀(jì)[9]。由于植物是由細(xì)胞組成的，一條連續(xù)的線顯然不是一個(gè)準(zhǔn)確的模型。因此，一個(gè)合理假設(shè)是，增長(zhǎng)是從一系列密集的點(diǎn)開始的。這些可以很容易地用葉序螺旋模型。在圖11(a)中，三個(gè)這樣的螺旋沿著一條線隔開。試圖以圖形方式延伸旋臂，使它們相互作用，形成類似于圖8所示的一系列曲線。注意，額外的行(錯(cuò)位)從中心向外引入幾行，以獲得更均勻的間距。線之間產(chǎn)生的枕狀區(qū)域，對(duì)應(yīng)于仙人掌中的小窩，是四邊形的(忽略輕微的彎曲)，除了成對(duì)生長(zhǎng)中心中間的四個(gè)位置和從連接中心的線的任一方向偏移。在這四個(gè)地方，仍有較大的區(qū)域，由六條曲線圍成。圖11(b)顯示了厚槳狀粘土形式的實(shí)施，其中使用定制的手工粘土和木制工具形成凹槽。

圖9：靈感來(lái)自冠狀的仙人掌的陶瓷雕塑a)在雙曲粘土表面制作的凹槽細(xì)節(jié)；b)成品，“絕妙的雙曲形式”(2021)。

圖10：陶瓷雕塑的靈感來(lái)自冠狀藍(lán)色桃金娘仙人掌:a)建造方法，用三角形的條附在槳狀的形式上；b)成品，“冠狀仙人掌形狀”(2021)。

球狀仙人掌(如圖6)的冠頂與柱狀仙人掌的冠頂截然不同，其表面結(jié)構(gòu)與腦珊瑚相似。隱藏底層結(jié)構(gòu)的密集表面特征與空間填充曲線有關(guān)。受這些形式啟發(fā)的泥塑，具有超線性生長(zhǎng)和大致半球形的外殼，如圖12所示。這些曲線并不是事先計(jì)劃好的，而是通過(guò)捏一個(gè)厚的環(huán)狀粘土塊，有意識(shí)地避免規(guī)則的結(jié)構(gòu)而創(chuàng)造出來(lái)的。我以前展示過(guò)類似的雕塑，它們有精心設(shè)計(jì)的分形曲線結(jié)構(gòu)[10，11]。

創(chuàng)建一個(gè)如圖12所示的雕塑依賴于能夠收縮和塑造表面，以建立超線性增長(zhǎng)，而不允許如圖6所示的密集堆積。結(jié)果，這些特征變得狹窄，創(chuàng)造了一個(gè)與冠狀球狀仙人掌截然不同的外觀。還要注意，圖12的脊都是一條連續(xù)的線。雖然單個(gè)完整的生長(zhǎng)前沿似乎有可能在有冠的球狀仙人掌中形成，但在圖6中映入眼簾的是一組虛線。斷裂是由于生長(zhǎng)前沿在植物的整個(gè)外殼中折疊得太深而不可見(jiàn)。

為了更好地捕捉這種外觀，我在一個(gè)大致呈半球形的底座表面上涂上厚厚的粘土條，制作了另一個(gè)雕塑(圖13(a))。內(nèi)部結(jié)構(gòu)顯然與冠仙人掌或腦珊瑚不相似，但可見(jiàn)部分更忠實(shí)地再現(xiàn)了它。雖然最終的作品，如圖13(b)所示，在整體形式上有點(diǎn)類似于冠狀球狀仙人掌，但缺乏脊和刺使它無(wú)法聯(lián)想到仙人掌。取而代之的是光滑的管狀生物實(shí)體，如蠕蟲或腸道。

圖11：三組相互作用的葉序螺旋線a)紙上設(shè)計(jì)，b)泥塑(2022，未燒制)。

圖12：受有冠球狀仙人掌啟發(fā)的泥塑(2022，未燒制)a)建造方法，基于捏一個(gè)厚的粘土盤；b)完全構(gòu)建的部件。

圖13：受冠狀球狀仙人掌啟發(fā)的泥塑(2022，未燒制):a)建造方法，用泥帶固定在半球形底座上；b)完全構(gòu)建的部件。

總結(jié)和結(jié)論

我描述了仙人掌結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)特征，并仔細(xì)觀察了表現(xiàn)出稱為冠狀的生長(zhǎng)異常的植物。葉序螺旋、分形結(jié)構(gòu)和雙曲線特征都在這些植物中起作用。還展出了五件受冠狀仙人掌造型啟發(fā)的泥塑作品。這項(xiàng)工作可以通過(guò)雕刻更復(fù)雜的形式來(lái)擴(kuò)展，更好地捕捉圖7a中仙人掌展示的戲劇或圖6中仙人掌的復(fù)雜性。也可以開發(fā)由點(diǎn)生長(zhǎng)源線產(chǎn)生的生長(zhǎng)特征的更詳細(xì)的數(shù)學(xué)模型。本文中所有的照片都是我拍攝的，所有的植物都在我亞利桑那州的院子里，除非另有說(shuō)明。

參考文獻(xiàn)

[1] Wikipedia. “Cactus.” https://en.wikipedia.org/wiki/Cactus.

[2] G. Stein. “Dave’s Garden – Cristate and Monster Succulents.” 2011.

https://davesgarden.com/guides/articles/view/3448.

[3] Wikipedia. “Crystallographic Defect.”

https://en.wikipedia.org/wiki/Crystallographic_defect#Line_defects.

[4] Google image search using the search string “pineapple pinecone finial”.

[5] Wikipedia. “Brain coral.” https://en.wikipedia.org/wiki/Brain_coral.

[6] D. Taimina. Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes. CRC Press, 2019.

[7] Llife Encyclopedia of Living Forms. “Opuntia microdasys f. monstruosa hort.”

http://www.llifle.com/Encyclopedia/CACTI/Family/Cactaceae/19885/Opuntia_microdasys_f._monstruosa.

[8] N.H. Boke and R.G. Ross. “Fasciation and Dichotomous Branching in Echinocereus

(Cactaceae).” Amer. J. Botany, Vol. 65, No. 5, 1978, pp. 522–530.

[9] D.W. Thompson. On Growth and Form. Cambridge University Press, 1917.

[10] R.W. Fathauer. “Sculptural Forms Based on Radially-developing Fractal Curves.” Bridges Conference Proceedings, Waterloo, Canada, 2017, pp. 25–32.

https://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-25.html.

[11] R. Fathauer, “Robert Fathauer – Art Inspired by Mathematics and Nature.”

http://robertfathauer.com/.

[12] R.W. Fathauer, Crested Cactuses and Mathematical Sculpture

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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