女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

在中世紀(jì)，伊斯法罕是重要的文化、貿(mào)易和學(xué)術(shù)中心。在薩法維時(shí)代（16-17 世紀(jì)），伊斯法罕成為波斯首都，當(dāng)時(shí)伊斯蘭幾何裝飾的創(chuàng)作達(dá)到了頂峰。我們所知道的許多最復(fù)雜、最精巧的設(shè)計(jì)都裝飾在波斯建筑上，其中包括多層次設(shè)計(jì)，在這些設(shè)計(jì)中，不同尺度的圖案組合在一起，相互補(bǔ)充，相互豐富。在這篇文章中，我們研究了伊斯法罕的五個(gè)圍繞一個(gè)共同主題的雙層設(shè)計(jì)。這些設(shè)計(jì)展示了各種技術(shù)，分析揭示了調(diào)和不相容的幾何圖形和對(duì)稱(chēng)性所需的一些獨(dú)創(chuàng)性和微妙的欺騙性，并制作出令人滿(mǎn)意的藝術(shù)作品。

主題

風(fēng)箏是伊斯蘭幾何藝術(shù)中的特色設(shè)計(jì)元素。風(fēng)箏本身可以單獨(dú)排列成圖案，也可以為其他元素提供結(jié)構(gòu)框架。圖 1 展示了兩種用正方形排列風(fēng)箏的圖案。(a) 部分顯示了四個(gè)風(fēng)箏圍繞中央正方形追逐的有限構(gòu)圖。由于名稱(chēng)不詳，我們將其稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案。我們還將說(shuō)這種方向的圖案是順時(shí)針?lè)较虻淖凅w，而其鏡像則是逆時(shí)針?lè)较虻淖凅w。第（b）部分展示了一個(gè)可以擴(kuò)展到填滿(mǎn)整個(gè)平面的重復(fù)圖案。它包含了旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案的兩種鏡像形式。

圖1：有限和無(wú)限旋轉(zhuǎn)的風(fēng)箏圖案。

伊斯蘭裝飾有三種形式：書(shū)法、花草和幾何。所有這些都作為次要裝飾形式應(yīng)用到了旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖上。圖 2(a)中的隔間采用了風(fēng)格化的Kufic書(shū)法裝飾；該設(shè)計(jì)取自伊斯法罕哈基姆清真寺（Masjid Hakim）中的一塊小拼塊板；Wade藏品[17]中的照片IRA 1017 顯示了原作。網(wǎng)站 [14] 是有關(guān)Kufic書(shū)法的有用資源，并提供了許多碑文的譯文。圖 2(b) 顯示的是突尼斯凱魯萬(wàn)烏克巴大清真寺木門(mén)板上浮雕的阿拉伯式圖案。烏茲別克斯坦撒馬爾罕 TillaKari 伊斯蘭學(xué)校的另一個(gè)花卉圖案可參見(jiàn) [17] 或 [15, 第 236 頁(yè)] 中的照片 TRA 0732。它是銀鍍金石膏制品，飾帶上有簡(jiǎn)單的花飾。在伊斯法罕的伊瑪目清真寺（Masjid-i Imam）（以前稱(chēng)為皇家清真寺（Masjid-i Shah））的一個(gè)大iwan的兩側(cè)，有兩個(gè)更大、更精致的花飾。它們構(gòu)成了一對(duì)鏡像的旋渦風(fēng)箏圖案，并用多色彩繪拼塊繪制而成。文獻(xiàn) [17] 和 [15, 第 260 頁(yè)] 中的 IRA 0225 號(hào)照片展示了其全貌。稍后我們將看到幾何圖形的例子。

圖2 應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案的簡(jiǎn)單裝飾示例。 (a) Kufic書(shū)法。(b)花卉圖案。

雖然圖 1(a) 中的有限圖形是本文的重點(diǎn)，但我們也將列舉幾個(gè)圖 1(b) 中重復(fù)圖案的例子。Wade的檔案中包含阿格拉要塞石雕浮雕（IND 0404 和 IND 0407）和齋浦爾大君宮殿格子屏風(fēng)（IND 1019）的照片。伊斯法罕汗清真寺的木質(zhì)門(mén)板和磚砌壁畫(huà)的實(shí)例見(jiàn) [1]。

正如這些例子所示，旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖在伊斯蘭世界非常普遍。除了本身是一個(gè)圖案外，它還是組織大型構(gòu)圖的有用工具，因此，人們?cè)谶@個(gè)簡(jiǎn)單的形式上運(yùn)用了各種風(fēng)格和技術(shù)來(lái)構(gòu)建復(fù)雜的設(shè)計(jì)。

圖 3 展示的是伊斯法罕星期五清真寺（Masjid-i Jami）的西側(cè)iwan。iwan是一個(gè)開(kāi)放式的高拱形門(mén)廊，提供了一個(gè)用于裝飾的大門(mén)面。這個(gè)例子很有意思，因?yàn)樗形鍓K三種不同設(shè)計(jì)的旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏板：拱門(mén)兩側(cè)的高窄板上各有兩塊，拱門(mén)正面的整個(gè)高度上都有，內(nèi)墻北側(cè)還有一塊。我們將研究這些設(shè)計(jì)和另外兩種設(shè)計(jì)的構(gòu)造。

圖3 伊斯法罕星期五清真寺的西面iwan

旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏的幾何圖形

風(fēng)箏是一個(gè)凸四邊形，有兩對(duì)相鄰的等長(zhǎng)邊。我們假設(shè)風(fēng)箏不是等邊形，因此它有兩條長(zhǎng)度為 s 的短邊和兩條長(zhǎng)度為 t 的長(zhǎng)邊。如果θ是兩條長(zhǎng)邊之間的銳角，那么兩條短邊之間的鈍角就是 180°-θ。注意 θ=2tan-1(s/t)

旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案的幾何形狀非常簡(jiǎn)單。將構(gòu)成外正方形的四條線(xiàn)稱(chēng)為框架，將包圍內(nèi)正方形并從其輻射出來(lái)的四條線(xiàn)稱(chēng)為轉(zhuǎn)子。假設(shè) x 是框架的邊長(zhǎng)，y 是轉(zhuǎn)子中小方塊的邊長(zhǎng)。那么 x = t + s，y = t - s。事實(shí)上，任何一對(duì) x、y、s 和 t 都決定了另外兩個(gè)。如果忽略刻度，整個(gè)圖形就是由θ決定的。

圖 4 展示了擺放旋風(fēng)風(fēng)箏圖案的一種方法。首先，取邊長(zhǎng)為 s+t 的正方形 ABCD，在每條邊上標(biāo)上一個(gè)點(diǎn)，將其分成長(zhǎng)度為 s 和 t 的線(xiàn)段，這樣長(zhǎng)線(xiàn)段和短線(xiàn)段就會(huì)交替出現(xiàn)在正方形的四周。以 E 為圓心劃一條半徑為 EA 的圓弧，以 F 為圓心劃一條半徑為 FA 的圓弧。這兩條弧相交于 G，AEGF 就是所需的風(fēng)箏。

旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖的構(gòu)造簡(jiǎn)單，但這一特性并不足以解釋其作為裝飾圖案的起源。可能是數(shù)學(xué)圖表提供了靈感。10世紀(jì)的波斯數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家阿布·瓦法(Abu 'l Wafa)撰寫(xiě)了《關(guān)于工匠所需的幾何結(jié)構(gòu)》(On The Geometric Constructions for The Artisan)一書(shū)，其中提到了幾何學(xué)家和工匠之間的會(huì)議，會(huì)上介紹了理論構(gòu)造并討論了實(shí)際應(yīng)用[13]。在第 10 章中，使用了剪貼法來(lái)構(gòu)造給定面積的正方形。例如，要構(gòu)建一個(gè)面積為 5 的正方形，可以放置兩個(gè)單位正方形，使它們共用一條邊，然后沿對(duì)角線(xiàn)剪切所得到的矩形；兩組這些碎片加上另一個(gè)單位正方形就可以組成一個(gè)面積為 5 的正方形--圖 5(a)。移除虛線(xiàn)段后，就得到了圖 1(b) 中的周期圖案模板；通過(guò)在邊界正方形的邊上進(jìn)行反射，可以重復(fù)該模板。

圖4 在正方形中制作風(fēng)箏

圖5 可能的靈感來(lái)源為旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏主題。在(a)中t: s = 2:1，在(b)中t: s = 4:3。

在畢達(dá)哥拉斯定理的眾多證明中，也有類(lèi)似的圖形。中國(guó)古籍《周髀算經(jīng)》中包含了以 3-4-5 三角形為例對(duì)該定理的討論--圖 5(b)�，F(xiàn)存最古老的手稿是上海圖書(shū)館收藏的一份 13 世紀(jì)的副本，但其中大部分內(nèi)容要比伊斯蘭教早數(shù)百年。伊斯蘭藝術(shù)受到中國(guó)的影響，因此中世紀(jì)的伊斯蘭學(xué)者也有可能知道這個(gè)證明。

Ozdural 認(rèn)為[13]，圖 5 中的圖形可能激發(fā)了工匠們的藝術(shù)想象力。一旦知道了周期性圖案，就可以很容易地提取出旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案。他舉例說(shuō)，星期五清真寺西廂房?jī)?nèi)壁上的旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案就是一種可能的應(yīng)用。像 "卍 "這樣的手性圖案廣泛存在于許多文化中，而 "回旋風(fēng)箏 "圖案似乎是伊斯蘭裝飾中獨(dú)有的。也許它的發(fā)現(xiàn)需要一些數(shù)學(xué)功夫。

變體1

圖 6(c)顯示的是以星期五清真寺西墻正面上嵌板為基礎(chǔ)的幾何設(shè)計(jì)。兩個(gè)面板都是逆時(shí)針?lè)较颉Ｔ谶@里，風(fēng)箏上裝飾的是在三角形網(wǎng)格上構(gòu)建的周期性圖案的一部分。圖 6(a) 顯示了圖案的六邊形重復(fù)單元。黑色圖案與 "阿里 "這個(gè)名字的常見(jiàn)方形Kufic文字有關(guān)。在這里，文字被截?cái)嗖⒎瓷涑鰜?lái)；在托普卡帕卷軸(Topkapi Scroll)[12] 第 91 板的中心位置，對(duì)文字進(jìn)行了很好的六邊形處理。圖 6(b)顯示了如何使用六邊形來(lái)填充一個(gè)小角度為 60° 的風(fēng)箏。雖然圖 6(c) 并非清真寺鑲板的真實(shí)再現(xiàn)（馬賽克的布局并不精確），但這種方法或類(lèi)似方法顯然是其構(gòu)造的基礎(chǔ)。

圖6 伊斯法罕星期五清真寺的雙層設(shè)計(jì)。

在此，我們需要對(duì)術(shù)語(yǔ)做一些說(shuō)明。圖中紅色線(xiàn)條表示設(shè)計(jì)的基本幾何結(jié)構(gòu)，但在成品中并不明顯。我們將自始至終使用這一慣例。我們還將紅線(xiàn)勾勒出的形狀稱(chēng)為拼塊，將拼塊的集合稱(chēng)為拼塊。這是為了將它們與單獨(dú)的陶瓷形狀區(qū)分開(kāi)來(lái)，我們稱(chēng)其為 "嵌塊"（tesserae），它們被組合在一起形成面板或馬賽克。

圖 6(c) 是一個(gè)簡(jiǎn)單的雙層設(shè)計(jì)示例：在一個(gè)設(shè)計(jì)中使用了兩種不同比例的幾何圖案。在伊斯蘭裝飾中可以找到許多多層次圖案相互作用的例子。在早期的作品中，大型圖案背景中的空隙會(huì)逐漸被花卉或幾何圖案填滿(mǎn)，使圖案沒(méi)有空隙。在一些最優(yōu)秀的雙層幾何設(shè)計(jì)作品中，細(xì)分等數(shù)學(xué)過(guò)程被用于生成密切相關(guān)的大尺度和小尺度圖案 [3, 4, 6, 10]。

在本文介紹的圖案中，旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖是大型圖案的基本框架，并通過(guò)以下方式對(duì)其進(jìn)行輔助裝飾：

·用書(shū)法、阿拉伯式花紋或幾何圖案填充風(fēng)箏和中央廣場(chǎng)的內(nèi)部

·用阿拉伯式花紋或幾何圖案帶勾勒出格子的輪廓，加粗框架和轉(zhuǎn)子的線(xiàn)條。

這兩種技術(shù)（填充和勾勒）分別對(duì)應(yīng)于Bonner [3]提出的 2 級(jí)設(shè)計(jì)分類(lèi)中的 A 類(lèi)和 B 類(lèi)。

在雙層次設(shè)計(jì)的最佳范例中，大尺度圖案和小尺度圖案是互補(bǔ)的，即其中一個(gè)圖案的突出特征得到另一個(gè)圖案的突出或支持。圖6(c) 沒(méi)有做到這一點(diǎn)：風(fēng)箏的六邊形細(xì)分為構(gòu)建小尺度圖案提供了良好的基礎(chǔ)，小尺度圖案中的兩個(gè)方向與風(fēng)箏的長(zhǎng)邊對(duì)齊，但圖案的焦點(diǎn)不夠突出，無(wú)法在需要的地方增加重點(diǎn)。此外，風(fēng)箏是獨(dú)立處理的，而不是作為綜合圖形的一部分，因此它們的邊界沒(méi)有連續(xù)性。我們將分析的其他例子表明，要找到一個(gè)與旋渦風(fēng)箏圖的特征相匹配的小型圖案是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。

變體2

圖 7 展示的是 Madar-iShah Madrasa（國(guó)王之母或皇家神學(xué)院）的 A 型 2 層旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏設(shè)計(jì)，該學(xué)院也被稱(chēng)為 Chahar Bagh Madrasa。中央大庭院的每個(gè)角落都有一個(gè)拱門(mén)，拱門(mén)通向一個(gè)八角形的小庭院，可以通往學(xué)院的各個(gè)房間。概況見(jiàn) [15，第 293 頁(yè)]。旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏的設(shè)計(jì)在小庭院的屋頂下方重復(fù)出現(xiàn)。該設(shè)計(jì)有兩種鏡像形式，小型圖案的構(gòu)成也各不相同。

圖7 來(lái)自伊斯法罕 Madar-i Shah 伊斯蘭學(xué)校的 A 型 2 層設(shè)計(jì)。

馬賽克是采用 "切割拼塊 "技術(shù)制作的：將涂有單色釉的大塊拼塊切割成小塊拼塊，然后將其拼接成馬賽克面板。在這里，黃色的星形磚塊標(biāo)出了隔間的形狀，并體現(xiàn)了風(fēng)箏長(zhǎng)邊和短邊 2:1 的比例。風(fēng)箏內(nèi)部由看似隨意排列的黑色和綠松石組成。這種小規(guī)模的圖案是基于一種模塊化設(shè)計(jì)系統(tǒng)，它是許多伊斯蘭圖案的基礎(chǔ) [6, 7, 10, 11]。該基本系統(tǒng)由圖 8 所示的三個(gè)等邊拼塊組成：一個(gè)規(guī)則的十邊形，上面裝飾有十個(gè)小風(fēng)箏，組成一個(gè){10/3}星形圖案；一個(gè)形似領(lǐng)結(jié)的六邊形，上面裝飾有兩個(gè)與十邊形上的風(fēng)箏相同的風(fēng)箏；還有一個(gè)凸六邊形，上面有一個(gè)梭形圖案。這些底層拼塊的邊界在馬賽克成品中并不明顯，但可以從設(shè)計(jì)中復(fù)原：黑色拼塊是拼塊上的前景圖案，黃色拼塊是十角形的中心，而綠松石拼塊則是由拼塊邊緣的背景區(qū)域融合而成。

圖8 通用模塊化設(shè)計(jì)系統(tǒng)中的元素。

拼塊的排列是模塊化系統(tǒng)在這種雙層圖案中的典型應(yīng)用：十角形拼塊的中心與大型圖案的突出特征相吻合，其他拼塊的邊緣或鏡面線(xiàn)與風(fēng)箏的輪廓對(duì)齊--見(jiàn)圖 9。然后用更多的拼塊填充隔間的內(nèi)部。在這種情況下，十角形圖案的中心是大面積圖案中線(xiàn)條的拐角和交界處，同時(shí)也是風(fēng)箏長(zhǎng)邊的分界線(xiàn)�？蚣苌系氖切沃行膶⒚織l邊分成三個(gè)相等的部分。

圖9 圖7的第一階段分析。

如果風(fēng)箏的長(zhǎng)邊和短邊的比例是 2:1，那么風(fēng)箏中的小角度θ大約是 53.13°。在馬賽克背景下，這個(gè)角度與 54°--一個(gè)與模塊化系統(tǒng)的 10 重幾何形狀相符的角度--無(wú)法區(qū)分。但是，它與旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案的 4 重對(duì)稱(chēng)不符。請(qǐng)注意，所有的十角形都具有相同的方向（頂點(diǎn)在頂部），僅這一點(diǎn)就將整個(gè)設(shè)計(jì)的對(duì)稱(chēng)性降低為 2 重旋轉(zhuǎn)。整個(gè)圖案是不對(duì)稱(chēng)的，因?yàn)槊總�(gè)風(fēng)箏都有自己的不規(guī)則填充物。

根據(jù)連接十邊形拼塊的兩個(gè)頂點(diǎn)或兩條邊的不同，大型圖案中的線(xiàn)條可分為兩類(lèi)。連接兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)條由兩塊拼塊的對(duì)角線(xiàn)和一塊拼塊的邊緣覆蓋；其他線(xiàn)條（除底部中心外）則由兩塊弓形拼塊和兩塊拼塊的不同序列覆蓋。事實(shí)上，這些拼塊組合產(chǎn)生的兩個(gè)長(zhǎng)度并不完全相等，圖 9 所示的結(jié)構(gòu)是一種幾何謬誤。圖 10 顯示了左上角風(fēng)箏的小尺寸圖案及其自然幾何形狀，清楚地說(shuō)明了這一點(diǎn)。請(qǐng)注意斷口內(nèi)端的兩個(gè)半領(lǐng)結(jié)拼塊。頂部中心的縫隙和邊界錯(cuò)位都很小，只要對(duì)一些棋子的大小和形狀稍作調(diào)整，就能使小比例圖案適合可用空間，而不會(huì)引起注意。

圖10 圖7中的小比例圖案的一部分，它沒(méi)有被限制為適合風(fēng)箏。

其他風(fēng)箏的填充物也做了類(lèi)似的調(diào)整--在右下角的風(fēng)箏中，"問(wèn)題 "被推到了風(fēng)箏的小角度，影響到了框架（如圖 9 中的不連續(xù)性所示）。

事實(shí)上，使用這種策略是不可能用拼塊完全覆蓋正方形框架的�，F(xiàn)在我們將簡(jiǎn)要證明這一點(diǎn)--對(duì)技術(shù)不感興趣的讀者可以跳到下一節(jié)。

在任何由圖 8 中的三塊拼塊組成的拼塊中，所有的十邊形拼塊都有相同的方向，而領(lǐng)結(jié)和梭子形拼塊都可以出現(xiàn)在以 36°的重?cái)?shù)對(duì)齊的五個(gè)方向上。我們要求與正方形中某條直線(xiàn)相交的拼塊必須與該拼塊的邊線(xiàn)或鏡像線(xiàn)相交。

我們假設(shè)拼塊的邊長(zhǎng)為 1。我們將用圖 11(a) 所示的參數(shù)δ和λ來(lái)表示拼塊之間的一些距離�；叵胍幌�，正五邊形的對(duì)角線(xiàn)和邊的長(zhǎng)度都是黃金分割比τ。我們有：

首先，我們考慮圖 11 中的垂直距離。

（v1）邊長(zhǎng)為1。

（v2）圖11（a）中的五邊形表明十邊形的半徑（中心到頂點(diǎn)）是其邊長(zhǎng)的τ倍。

（v3）圖11（b）顯示領(lǐng)結(jié)腰部的距離為1 - 2δ。

（v4）具有關(guān)系式（v2）的圖11（c）顯示線(xiàn)軸的長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)為2（τ-δ）。

圖11 圖8中拼塊的屬性。

(h1) 圖 11（b）顯示領(lǐng)結(jié)的長(zhǎng)鏡面線(xiàn)的長(zhǎng)度為 2λ。

(h2) 回顧圖 11（b）中兩條紅線(xiàn)的長(zhǎng)度之比為τ，我們可以推導(dǎo)出十邊形的頂點(diǎn)（中心到邊的中點(diǎn)）為λτ。

(h3) 利用圖 11(c)和關(guān)系式 (h1) 及 (h2) 我們可以推導(dǎo)出梭子的短鏡面線(xiàn)的長(zhǎng)度為 2λ(τ-1)。

圖9中正方形的垂直線(xiàn)必須被距離（v1）–（v4）的合理組合所覆蓋。這些由δ和τ參數(shù)化，因此正方形邊長(zhǎng)必須屬于Q[√5]。正方形的水平線(xiàn)必須被距離（h1）–（H3）的有理組合覆蓋；這些由λ和τ參數(shù)化。雙根號(hào)λ不在域Q[√5]中。因此拼塊覆蓋的垂直和水平距離是不可通約的。

變體 3

圖 12 顯示的是從星期五清真寺西側(cè)iwan 正面拍攝的下一對(duì) A 型雙層旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏中的一個(gè)。與上一對(duì)（變體 1）一樣，兩幅圖案均為逆時(shí)針?lè)较�。馬賽克以黑色和金色為主，風(fēng)箏以白色勾勒。在 Madrasa 的設(shè)計(jì)（變式 2）中，由于使用了 10 點(diǎn)的星星而產(chǎn)生的問(wèn)題在這里得到了避免，使用了 12 點(diǎn)的星星。這些星星與整個(gè)設(shè)計(jì)的 4 重對(duì)稱(chēng)性以及邊框和內(nèi)部正方形四角的 90° 角相吻合。

圖12 伊斯法罕星期五清真寺的A型兩層設(shè)計(jì)。

圖 13 顯示了設(shè)計(jì)的基本結(jié)構(gòu)。12 點(diǎn)星形由圓形表示。以相鄰中心之間的距離為單位，我們可以看到風(fēng)箏的長(zhǎng)邊和短邊的比例為 4:2，因此 θ≈53.13° 。面板被細(xì)分為 20 個(gè)單位方格和 8 個(gè)邊長(zhǎng)比例為 2:1 的小風(fēng)箏。為了形成馬賽克，每個(gè)小正方形都用標(biāo)準(zhǔn)的星形圖案填充，四角的中心是 12 點(diǎn)星，中心是 8 點(diǎn)星。這種圖案覆蓋了整個(gè)面板的一半以上。小風(fēng)箏上的裝飾采用的是類(lèi)似圖 10 中的蝴蝶結(jié)拼塊和梭形拼塊的拼塊，但根據(jù)十二角形拼塊方案的角度進(jìn)行了調(diào)整。12 點(diǎn)星與陰影圓中的局部幾何形狀不符（如果等距排列，則無(wú)法與風(fēng)箏的邊對(duì)齊），但這并不影響視覺(jué)。

我們已經(jīng)看過(guò)三個(gè) A 類(lèi)型（填充）的例子，現(xiàn)在我們來(lái)看看 B 類(lèi)型（勾勒）的例子。

圖13 對(duì)圖 12 的分析

變體 4

圖 14 顯示的是星期五清真寺西井灣內(nèi)墻著名的雙層旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖案。照片 IRA 0520、IRA 0604 和 IRA 0605 提供了更廣闊的視角和一些細(xì)節(jié)[17]。

圖14 伊斯法罕星期五清真寺的 B 型 2 層設(shè)計(jì)。

勾勒出框架和轉(zhuǎn)子的條帶由 10 點(diǎn)星形片段組成。如圖 15(a)所示，將這些星星的中心點(diǎn)連接起來(lái)，就可以將條帶分成近似正方形的單元條。以正方形的邊長(zhǎng)為單位，沿著帶子的中心線(xiàn)測(cè)量，我們可以看到框架的每條邊長(zhǎng)為 15 個(gè)單位，而中央正方形的邊長(zhǎng)為 5 個(gè)單位。因此，每個(gè)風(fēng)箏的邊長(zhǎng)（同樣）是 2:1 的比例。

圖15 對(duì)圖 14 的分析

根據(jù)圖15(b) 所示的模板，在每個(gè)正方形單元格中填充一個(gè)圖案，就形成了小尺寸設(shè)計(jì)。這個(gè)圖案是用另一個(gè)模塊系統(tǒng)構(gòu)建的，這次有四個(gè)裝飾圖案：一個(gè)帶有{10/4}星形圖案的正十邊形、一個(gè)帶有{5/2}星形（或五角星形）圖案的正五邊形、一個(gè)帶有風(fēng)箏圖案的黃金分割等腰三角形和一個(gè)帶有箭頭圖案的梯形。該模板可以重復(fù)使用，形成周期性的星形圖案--請(qǐng)參閱 [17] 中的 IND 0705 號(hào)照片。將該模板應(yīng)用于圖 15(a) 中的正方形單元格是有問(wèn)題的，因?yàn)槟０灞旧聿皇钦叫危ǜ叨燃s為寬度的 95%）。因此，需要對(duì)嵌塊進(jìn)行一些處理才能使其適合。五角星受變形的影響最大--它們?cè)隈R賽克中明顯不規(guī)則。

盡管大尺度圖案具有 4 重對(duì)稱(chēng)性并被分解為正方形，但模板上的圖案卻只有 2 重對(duì)稱(chēng)性。在圖 15（a）中，模板的方向用模板中心的雙箭頭圖案表示；框架周?chē)母北敬怪迸帕校D(zhuǎn)子中的副本則從右上角到左下角排列。

轉(zhuǎn)子中的條帶與框架中的條帶之間的夾角約為 54°，因此與模板底層的 10 重幾何圖形相吻合。這意味著小尺寸圖案中的星星和其他圖案有可能在整個(gè)設(shè)計(jì)中保持一致的排列（如變體 2）。然而，如果制作馬賽克的工匠意識(shí)到了這一點(diǎn)，要么他們認(rèn)為這一點(diǎn)并不重要，要么他們?cè)谠O(shè)計(jì)布局時(shí)犯了錯(cuò)誤。在馬賽克中，框架中的星星有一個(gè)垂直的尖頂，而轉(zhuǎn)子中的星星有一個(gè)水平的尖頂。如果將轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn) 90°，所有的星星都會(huì)有相同的排列方式，而且在轉(zhuǎn)子與框架的交界處，小比例設(shè)計(jì)也會(huì)兼容。在馬賽克中，情況并非如此，需要進(jìn)一步的變戲法來(lái)掩蓋它。

星形擺放

當(dāng)長(zhǎng)度參數(shù) x、y、s 和 t 為整數(shù)時(shí)，可以在旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏圖形上放置花朵或星星等離散圖案，使其中心位于圖形上，有些圖案與線(xiàn)條的角和交叉點(diǎn)重合，并且沿圖形所有線(xiàn)條等距排列。

圖 16(a) 顯示了旋風(fēng)風(fēng)箏設(shè)計(jì)的模板，其中 x = 11，y = 3。這意味著θ≈59.49°，這個(gè)角度在實(shí)際應(yīng)用中與 60°無(wú)異。該圖由正方形條帶組成；在轉(zhuǎn)子與框架相接處，條帶被簡(jiǎn)單疊加，在每個(gè)交界處相接的兩個(gè)正方形同心。

圖16 帶有 12 點(diǎn)星形圖案的新型 B 型 2 層設(shè)計(jì)。

要?jiǎng)?chuàng)建 B 型圖樣，我們需要找到一個(gè)具有正方形重復(fù)單元，并且與 90°和 60°交點(diǎn)兼容的星形圖樣。我們?cè)诖瞬唤忉屝切螆D案的構(gòu)造，相關(guān)信息請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[5, 8, 9]。不過(guò)，12 點(diǎn)星形顯然是符合這些要求的候選圖案。

圖16(c)顯示了一個(gè)傳統(tǒng)圖案的四個(gè)重復(fù)單元，該圖案取自Bourgoin的第94版[2]。它采用了另一種裝飾拼塊模塊系統(tǒng)：3 邊、4 邊和 12 邊的正多邊形，以及在等邊三角形兩邊各豎起一個(gè)直角等腰三角形而形成的盾形拼塊 [16，第 18 頁(yè)]。圖16(d)顯示了在圖16(a)的每個(gè)方格中放置該重復(fù)單元的結(jié)果；轉(zhuǎn)子和框架之間的連接采用了圖 16(b)所示的簡(jiǎn)單斜接。結(jié)果是一個(gè) B 型 2 層旋翼風(fēng)箏圖案，12 點(diǎn)星星（圖中為黃色）沿帶狀中心線(xiàn)等距分布。

盡管中世紀(jì)的藝術(shù)家們有可能繪制出這樣的圖案，但我們并不知道有哪件旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏的主要星形圖案是沿著邊框的中心線(xiàn)排列的。最接近的是照片 [17] EGY 1609 中的邊框圖案，該圖案顯示了一個(gè)轉(zhuǎn)角 90° 的帶狀 12 點(diǎn)星形圖案。

在大多數(shù) 2 層設(shè)計(jì)中，小尺度設(shè)計(jì)是星形圖案，大尺度設(shè)計(jì)的決定性特征（角和交叉點(diǎn)）位于小尺度設(shè)計(jì)的星形中心。在 B 型設(shè)計(jì)中，大尺度設(shè)計(jì)的決定性特征是帶狀邊界上的角。

在圖 14 的示例中，10 點(diǎn)星形圖案的中心點(diǎn)盡可能沿帶邊均勻分布�？蚣艿耐饨�、中央正方形的角和風(fēng)箏的 90°角都位于星形中心。風(fēng)箏的鈍角和銳角與星形中心并不自然重合，盡管星形被放置在框架上下兩側(cè)的銳角處。

圖 17 顯示，可以設(shè)計(jì)出所有帶狀邊界長(zhǎng)度都是整數(shù)的旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏。在轉(zhuǎn)子和框架的每個(gè)交界處都有一個(gè) 3-4-5 三角形，帶寬為 4 個(gè)單位。沿帶中心線(xiàn)測(cè)量，x = 36，y = 12。這意味著風(fēng)箏的長(zhǎng)邊和短邊之比為 2:1，θ≈53.13°。

圖17 具有整數(shù)邊界的帶狀網(wǎng)絡(luò)。

當(dāng)試圖選擇一個(gè)幾何形狀與旋風(fēng)風(fēng)箏設(shè)計(jì)相匹配的星星時(shí)，最好能找到一個(gè)近似于θ的 360°的分?jǐn)?shù)。分母可以直接或通過(guò)簡(jiǎn)單的關(guān)系給出一個(gè)合適星星的點(diǎn)數(shù)。在這種情況下，3/20 是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。然而，要從多達(dá) 20 個(gè)點(diǎn)的星星上繪制圖案是很困難的。小尺度幾何圖案最自然的選擇是具有 10 重圖案的星形圖案。正如我們所見(jiàn)，這絕非易事。10重對(duì)稱(chēng)的圖案與整個(gè)圖案的 4重對(duì)稱(chēng)并不兼容：10 點(diǎn)星形圖案在整個(gè)圖案中具有相同的方向，因此一些帶狀邊界會(huì)穿過(guò)相對(duì)的尖頂，而另一些則會(huì)穿過(guò)尖頂之間。此外，還存在制作一個(gè)正方形模板來(lái)覆蓋帶狀圖案，以及在垂直和水平方向上覆蓋 3-4-5 三角形的問(wèn)題。即使這樣做了，小尺度的圖案也可能會(huì)顯得過(guò)于繁瑣和復(fù)雜，不能有效地作為裝飾--大圖案和小圖案之間的尺度和明顯的復(fù)雜性差別太大了。

最后一個(gè)例子展示了解決星形擺放問(wèn)題的另一種方法。

變體5

圖 18 展示了星期五清真寺的另一個(gè) B 型 2 層設(shè)計(jì)。其他視圖見(jiàn) [17] 中的照片 IRA 0721 和 IRA 0722。在這個(gè)例子中，將星星放在突出位置比等間距更重要。小尺度圖案的基本結(jié)構(gòu)如圖 19 所示。將波段劃分為單元的線(xiàn)條連接著星形中心。從左到右，沿著圖框底部，我們可以看到四個(gè)正方形、四個(gè)矩形和最后一個(gè)正方形。每個(gè)矩形的寬度由其包含的等邊三角形決定。這種排列在框架的其他邊上重復(fù)出現(xiàn)。AB : BC = √3，因此 θ = 60°。

圖18 伊斯法罕星期五清真寺的 B 型 2 層設(shè)計(jì)。

要制作轉(zhuǎn)子，從 A 處架設(shè)一條線(xiàn)，與框架底部成 60°角。在框架的兩側(cè)重復(fù)上述步驟，并將四條線(xiàn)延長(zhǎng)，直到它們相交。例如，從 A 開(kāi)始的直線(xiàn)與從 D 開(kāi)始的直線(xiàn)在 E 點(diǎn)相交。這四條直線(xiàn)在圖形中間圍成一個(gè)正方形，并將其細(xì)分為 3×3 的全等正方形陣列。這些正方形比框架中的正方形�。篍F 約為 CD 的 94%。右下方的風(fēng)箏由直線(xiàn) CF 完成。注意 CF 和 DE 不是平行的，而是偏離框架的。將 CF 的中點(diǎn)標(biāo)記為 G。

這種蜂窩狀結(jié)構(gòu)為布局小尺度圖案提供了框架。主要的星形圖案有 12 個(gè)點(diǎn)，因此與條帶四角的 90°角和 60°角相匹配。中央陣列中的 16 顆星星排列整齊，使其尖頂位于晶格邊界上；相鄰星星的尖頂相觸。框架中的 12 點(diǎn)星星排列整齊，使晶格邊界在星尖之間通過(guò)--這種差異可能有助于掩蓋它們比其他星星相距更遠(yuǎn)的事實(shí)。位于 G 處的星星標(biāo)志著兩種方向的過(guò)渡，共有 13 個(gè)點(diǎn)�？蚣苤械恼叫螁卧行陌� 8 個(gè)點(diǎn)的星形圖案。三角形 CDG 幾乎是等邊的（C 處的夾角約為 62.19°），這對(duì)于應(yīng)用其他三角形的裝飾來(lái)說(shuō)已經(jīng)足夠接近了。

每種晶格都有自己的填充物，而且這些填充物的應(yīng)用始終如一。整個(gè)圖案沒(méi)有突兀的并列或突兀的變化，而是巧妙地展現(xiàn)了各種圖案之間看似毫不費(fèi)力的過(guò)渡。

結(jié)論

上面討論的例子突出了在試圖設(shè)計(jì)和制作兩級(jí)旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏設(shè)計(jì)時(shí)遇到的一些問(wèn)題。設(shè)計(jì)離散圖案（如B型圖案中沿表帶中心線(xiàn)均勻分布的花朵）所需的數(shù)學(xué)很簡(jiǎn)單，中世紀(jì)的工匠也能理解。研究星星圖案更加困難，但通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)風(fēng)箏的一些形狀是可能的，它們的角度與星星的幾何形狀一致。盡管如此，應(yīng)用星形圖案來(lái)覆蓋樂(lè)隊(duì)仍然存在理論和實(shí)踐上的挑戰(zhàn)，中世紀(jì)的藝術(shù)家們提出了巧妙而有吸引力的解決方案。

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青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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