女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

復(fù)雜的幾何設(shè)計(jì)是伊斯蘭藝術(shù)的一個(gè)常見特征。在此，我們將探討這一流派的歷史背景，追溯到伊斯蘭教在早期征服拜占庭領(lǐng)土?xí)r遇到的柏拉圖主義和希臘新柏拉圖主義的影響（尤其是歐幾里得的巨大貢獻(xiàn)）。

此外，現(xiàn)代分析顯示了數(shù)學(xué)方面的關(guān)系。這種分析自然會(huì)導(dǎo)致使用計(jì)算機(jī)圖形來呈現(xiàn)圖案。

伊斯蘭藝術(shù)中的幾何模式

復(fù)雜的幾何圖案是伊斯蘭藝術(shù)和建筑的一個(gè)眾所周知的特點(diǎn)，同時(shí)它還喜歡高度對(duì)稱的排列方式。但這種模式的起源是什么？這種廣泛的風(fēng)格傾向究竟反映了伊斯蘭精神的哪些方面？嚴(yán)肅的伊斯蘭藝術(shù)史學(xué)家自然不愿意對(duì)伊斯蘭裝飾形式的演變妄下結(jié)論——鑒于考古證據(jù)的匱乏，這是可以理解的。但很明顯，一千多年來，伊斯蘭領(lǐng)域內(nèi)的許多民族和種族持續(xù)使用強(qiáng)烈的對(duì)稱布局和高度幾何化的裝飾方式，一定有其原因，而且是令人信服的原因。下面將對(duì)這一問題的各個(gè)方面進(jìn)行探討。

理論、問題和證據(jù)

任何關(guān)于"伊斯蘭幾何設(shè)計(jì)"的討論都應(yīng)考慮到這一主題的廣泛性。從整個(gè)伊斯蘭世界幾個(gè)世紀(jì)的發(fā)展歷程中汲取了大量的實(shí)例，顯然，這是一個(gè)不宜一概而論的主題。但是，在欣賞這種藝術(shù)形式的內(nèi)在品質(zhì)的同時(shí)，并不總是對(duì)其進(jìn)行應(yīng)有的認(rèn)真評(píng)價(jià)。事實(shí)上，不得不說，作為伊斯蘭裝飾藝術(shù)的一個(gè)主題，"幾何模式"所經(jīng)受的無端解釋和誤解遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了其應(yīng)有的份額。其中比較常見的有：

1. 采用幾何和"阿拉伯花紋"圖案完全是因?yàn)椤豆盘m經(jīng)》禁止造像；

2. 認(rèn)為這些圖案是根據(jù)某種潛在的象征意義設(shè)計(jì)的；

3. 認(rèn)為理論數(shù)學(xué)家參與了這些圖案的創(chuàng)作。

第一種說法顯然有一定的影響基礎(chǔ)，因?yàn)橐了固m教嚴(yán)格遵守《出埃及記》第20章第2條誡命（"不可為你造像...... "等）。但是，這種解釋本身完全不足以解釋為什么會(huì)出現(xiàn)這種特殊的形式。至于其他命題，沒有任何證據(jù)表明伊斯蘭幾何圖案或植物圖案中使用了任何形式的象征主義，也幾乎沒有證據(jù)表明前者與純數(shù)學(xué)學(xué)科有任何聯(lián)系。

還應(yīng)該指出的是，在這個(gè)廣泛的主題中，還有其他一些重要方面仍然模糊不清有爭議，而且很可能會(huì)繼續(xù)如此，例如獨(dú)特的伊斯蘭裝飾典范最初出現(xiàn)的確切時(shí)間和地點(diǎn)；它在多大程度上借鑒了晚期古典形式；以及它是否像一些人聲稱的那樣與教義有關(guān)，或者，實(shí)際上，它根本受到宗教或哲學(xué)思想的影響。很明顯，主要的證據(jù)來源始終在于現(xiàn)存作品本身，但即使在這方面也存在問題，尤其是許多建筑記錄已被毀壞。此外，人們往往不清楚一件具體的裝飾藝術(shù)作品是完全歸功于參與制作的藝術(shù)家和工匠，還是由委托人的品味決定的。此外，很少有很好的證據(jù)來說明相關(guān)創(chuàng)作過程的實(shí)際情況，尤其是在大型項(xiàng)目中，例如，可能很難確定紀(jì)念碑的建筑師和受雇裝飾紀(jì)念碑的人員的相對(duì)貢獻(xiàn)。

很有可能，審美優(yōu)先順序的確定以及參與更宏大計(jì)劃的不同機(jī)構(gòu)的貢獻(xiàn)可能存在巨大差異。不過，在阿拉伯式花飾和幾何圖案的細(xì)節(jié)方面的創(chuàng)新通常都是由工匠向上發(fā)展的，這一點(diǎn)似乎是最有可能的。這是一門裝飾性的游戲藝術(shù)，主要源于藝術(shù)家/工匠個(gè)人的創(chuàng)造才能，他們熱衷于用自己的創(chuàng)造技能給贊助人（和他們的同行）留下深刻印象，無論是在他們使用的特定媒介上，還是在他們?cè)O(shè)計(jì)的精致性和復(fù)雜性上。在伊斯蘭藝術(shù)和手工藝中，精湛的技藝一直備受推崇。

至于對(duì)數(shù)學(xué)家在幾何圖案創(chuàng)作方面提供適當(dāng)建議的程度的猜測，同樣，有少量證據(jù)表明，數(shù)學(xué)家通過編寫供工匠閱讀的幾何手冊(cè)（見下文），甚至偶爾舉行跨學(xué)科會(huì)議的形式提供了此類建議，但似乎更有可能的是，創(chuàng)作這些圖案的人通常依靠自己非正式的、非學(xué)術(shù)性的平面幾何工作知識(shí)，而這些知識(shí)顯然相當(dāng)豐富。伊斯蘭藝術(shù)和建筑形成時(shí)期的建筑師都沒有傳記，更不用說工匠了，而后者留下的詳細(xì)工作實(shí)踐的文獻(xiàn)也很少，這也不足為奇。此外，也沒有任何跡象表明他們受到了任何一種總體理論的影響。在這門藝術(shù)中扮演重要角色的幾何圖案、阿拉伯式花飾和書法，通常都是在世代相傳的作坊傳統(tǒng)中創(chuàng)造出來的。

這些不成文的裝飾規(guī)則以及創(chuàng)作技巧，對(duì)于相關(guān)的藝術(shù)家/工匠來說已經(jīng)成為第二天性，在許多情況下，其制作方法幾乎等同于商業(yè)秘密。甚至連這些不同裝飾成分（幾何圖形、阿拉伯式花飾和書法）的專業(yè)化程度以及將這些成分組織成成品的方法都無從知曉。不過，創(chuàng)作幾何圖案的伊斯蘭紋飾師不可能完全熟悉建筑師或從事土木工程、城市規(guī)劃、土地測量等工作的人所需的技術(shù)性更強(qiáng)的幾何知識(shí)。他們的藝術(shù)幾何主要關(guān)注的是優(yōu)雅的外觀，而不是數(shù)學(xué)上的精確性；如果最終效果證明是合理的，那么近似值往往是可以接受的（圖 1）。

圖1：伊斯蘭藝術(shù)的"裝飾典范"由三種不同的元素組成（書法、純幾何圖案和阿拉伯式花飾），它們都以無窮無盡的形式出現(xiàn)。這種藝術(shù)完全是無名的，它違背了藝術(shù)家最崇高的使命，即把精神從世俗的羈絆中解放出來"。(Kühnel 1949）

然而，有關(guān)這些問題和其他問題的證據(jù)不足，困擾著伊斯蘭藝術(shù)史研究。伊斯蘭悠久的文化遺產(chǎn)經(jīng)受了時(shí)間的摧殘，伊斯蘭歷史上許多可怕的破壞性事件意味著考古記錄的重要部分已被毀壞或嚴(yán)重縮減。除了人類付出的慘重代價(jià)外，這也給確定伊斯蘭裝飾藝術(shù)的藝術(shù)演變，特別是從早期的衍生風(fēng)格到成熟形式的發(fā)展路徑帶來了嚴(yán)重困難。

伊斯蘭藝術(shù)與其他偉大文化的藝術(shù)作品一樣，都具有使人一眼就能認(rèn)出的風(fēng)格特征——但創(chuàng)造這些獨(dú)特文化品質(zhì)的確切特質(zhì)卻往往不那么容易確定（Wade 2018）。當(dāng)然，伊斯蘭教對(duì)幾何裝飾的偏愛是其特征的重要組成部分，也是讓人一眼就能辨認(rèn)出來的原因之一——但這種藝術(shù)表現(xiàn)形式本質(zhì)上是一個(gè)更廣泛主題的組成部分，即對(duì)稱。當(dāng)然，許多其他文化也使用對(duì)稱，但在伊斯蘭教中，對(duì)稱是一個(gè)必要條件。伊斯蘭藝術(shù)不僅僅是充滿了幾何對(duì)稱——這是它的核心原則。這個(gè)話題的首要問題必須是：為什么以及如何形成的？

我們冒著被指責(zé)為前文提到的那種以偏概全的風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)于幾何模式在伊斯蘭藝術(shù)和建筑中的起源和持續(xù)使用，我們自己的直覺是，它在某種程度上反映了古典哲學(xué)傳統(tǒng)的美學(xué)理想，而這種美學(xué)理想在其發(fā)展的早期階段就已被徹底吸收到伊斯蘭的主流思想中。當(dāng)然，我們指的是始于畢達(dá)哥拉斯、由柏拉圖鞏固并由后期古典主義的"新柏拉圖主義者"延續(xù)的思想推測。伊斯蘭教擴(kuò)展到希臘化的古代晚期這一領(lǐng)域的事實(shí)意味著，新柏拉圖主義是伊斯蘭教接觸到的第一種主要哲學(xué)，后來伊斯蘭教將其中的許多主題納入了自己廣闊的哲學(xué)視野。事實(shí)上，希臘古典哲學(xué)在很大程度上成為了伊斯蘭傳統(tǒng)的一部分。在伊斯蘭教的形成時(shí)期，柏拉圖和亞里士多德的許多思想尤其被認(rèn)為是可以接受的，甚至完全符合伊斯蘭教的核心信仰。

柏拉圖思想流派的一個(gè)核心概念是理想形式與美之間的聯(lián)系，它專注于幾何形式的純粹性，將其作為這些概念的一種表現(xiàn)形式，這似乎與伊斯蘭藝術(shù)的主要主題有著密切的關(guān)系。早在伊斯蘭教出現(xiàn)之前，希臘作家普魯塔克就像一位真正的畢達(dá)哥拉斯主義者一樣，將幾何與柏拉圖傳統(tǒng)中的靈性聯(lián)系在一起——"幾何的作用是將我們從感官和墮落的世界引向理智和永恒的世界。因?yàn)閷?duì)永恒的思考是哲學(xué)的目的，正如對(duì)神秘的思考是宗教的目的一樣"。還有比這更完美的描述嗎？在千百年來的伊斯蘭世界中，幾何圖案種類繁多，其背后的深層意圖以及對(duì)這一模式的不斷藝術(shù)探索過程是什么？在我們看來，這一流派以其純粹的幾何圖形，在歐幾里得平面的舞臺(tái)上不斷上演著對(duì)稱的舞蹈，是典型的柏拉圖風(fēng)格。至于這些崇高的哲學(xué)思想是如何傳播給生活在社會(huì)底層的工匠的，當(dāng)然完全是另一回事......。

象征意義

正如前文所述，我們很容易將象征意義賦予我們稱之為"伊斯蘭裝飾典范"的傳統(tǒng)形式劇目，即在伊斯蘭世界的藝術(shù)和建筑中以這種或那種形式出現(xiàn)的書法、阿拉伯式花紋和幾何元素劇目。這很誘人，但卻是誤解。盡管有各種與此相反的說法，但這些形式很少帶有任何象征性或教義性的聯(lián)系。事實(shí)上，伊斯蘭藝術(shù)始終避免使用象征意義——但由于不愿接受這一事實(shí)，導(dǎo)致近來對(duì)這一流派的各種誤讀，尤其是對(duì)其幾何方面的誤讀。其中包括神秘主義/宗教解釋，包括涉及神秘的"宇宙學(xué)"和占星術(shù)象征意義的庸俗的"新時(shí)代"解釋；幾何結(jié)構(gòu)中不太可能使用的魔方；以及賦予特定的教義關(guān)聯(lián)——所有這些都是沒有實(shí)際證據(jù)的歸因。會(huì)講阿拉伯語的Wasma'a K. Chorbachi 在研究了數(shù)百幅原始作坊圖后，發(fā)現(xiàn)其中沒有任何關(guān)于神秘學(xué)、占星學(xué)或宗教象征意義的內(nèi)容（Chorbachi，1989 年，第 771 頁）。事實(shí)上，最近對(duì)這一體裁象征意義的錯(cuò)誤歸因似乎正是因?yàn)樗谖鳉W（或其他任何地方）的藝術(shù)中沒有真正的對(duì)等體裁。

至于教義方面的聯(lián)系，喬納森·布魯姆認(rèn)為，到了法蒂瑪王朝（什葉派）后期，純粹的阿拉伯式樣和幾何圖形的趣味占據(jù)了統(tǒng)治地位，在伊斯蘭國家的其他地方也是如此。他確信這些圖案和裝飾方式與教義無關(guān)（Bloom 2007）。同樣，特里·艾倫（Terry Allen）也寫道，沒有證據(jù)支持幾何圖案被理解為阿拔斯王朝和遜尼派的"象征"這一說法（Allen 2004）。希拉·布萊爾（Sheila Blair）則宣稱，在她看來，圓形文字和幾何圖形的神圣化與十世紀(jì)的宗教宗派主義毫無關(guān)系（Blair 2006）。

事實(shí)上，到10世紀(jì)時(shí)，幾何圖案、阿拉伯式花飾和書法已成為伊斯蘭藝術(shù)的既定特色，而且這種裝飾典范在伊斯蘭教義的制定過程中經(jīng)歷了各種紛爭，并得以發(fā)展和延續(xù)。無論是否存在"遜尼派復(fù)興"，這些形式都已成為一種國際伊斯蘭風(fēng)格。由于蒙古人的入侵造成了這一時(shí)期考古證據(jù)的匱乏，大量的阿拔斯藝術(shù)和建筑在蒙古人的入侵中被毀，因此有關(guān)這一風(fēng)格發(fā)展的特殊藝術(shù)史問題變得異常復(fù)雜。不過，要了解幾個(gè)世紀(jì)前實(shí)際創(chuàng)作作品的藝術(shù)家/手工藝人和建筑師的心態(tài)，總會(huì)遇到更多普遍的困難。與文化態(tài)度或世界觀產(chǎn)生共鳴的風(fēng)格總是從下而上產(chǎn)生的，而不是從上而下刻意強(qiáng)加的。誰知道每個(gè)工匠的真正想法是什么呢？歸根結(jié)底，作品本身才是最重要的。伊斯蘭裝飾中的許多幾何圖形、阿拉伯式花飾和書法變化就像伊斯蘭精神本身一樣獨(dú)一無二，并具有深遠(yuǎn)的文化共鳴和自身的意義。

早期伊斯蘭藝術(shù)：伊斯蘭審美情趣的出現(xiàn)

最早時(shí)期，即第一個(gè)伊斯蘭王朝倭馬亞王朝時(shí)期的伊斯蘭藝術(shù)和建筑給人的第一印象是陌生的，幾乎沒有后來伊斯蘭藝術(shù)的特征。這是因?yàn)橐了固m教的文化和藝術(shù)價(jià)值遠(yuǎn)比純粹的宗教價(jià)值發(fā)展得更為漸進(jìn)。倭馬亞王朝（Umayyads）在征服敘利亞的初期，從阿拉伯的阿爾赫賈茲（Al Hejaz）地區(qū)向北遷移，建立了大馬士革作為首都和行政中心（公元 661 年）。在這里，他們很快采用了前拜占庭當(dāng)局的行政和民事做法，并在很短的時(shí)間內(nèi)從粗暴的征服者轉(zhuǎn)變?yōu)槌墒斓能娛沦F族。當(dāng)代的記載表明，盡管新的穆斯林政權(quán)對(duì)自己的宗教使命充滿信心，但拜占庭領(lǐng)土上的文明先進(jìn)給他們留下了深刻的印象，尤其是該地區(qū)基督教藝術(shù)和建筑的富麗堂皇和美輪美奐。

因此，最早的重要伊斯蘭建筑項(xiàng)目，特別是耶路撒冷的圓頂寺和大馬士革的大清真寺，旨在與最令人印象深刻的基督教圣地相媲美，甚至勝過它們，也就不足為奇了。當(dāng)然，它們也是伊斯蘭教地位上升的象征，在建造這些紀(jì)念碑時(shí)，穆斯林顯然對(duì)圣地的功能和外觀有了自己的想法。但此時(shí)新的統(tǒng)治者仍是少數(shù)，因此受委托建造和裝飾這些紀(jì)念碑的建筑師、建造者和藝術(shù)家/工匠很可能主要是基督徒。因此，穆斯林統(tǒng)治頭幾十年中這些建筑和其他建筑的裝飾方面特別有趣，因?yàn)樗鼈冿@示了伊斯蘭獨(dú)特的審美偏好（Al-Khalili，2010 年；Freely，2009 年；Kennedy，2005 年）。

上述兩座古跡最顯著的特點(diǎn)之一就是使用了大面積的精細(xì)馬賽克壁畫。這些壁畫的主題大部分是繁茂的植物造型，其意義和含義并不完全清楚，但在這兩處古跡中，這些裝飾很可能指的是穆斯林對(duì)信徒來世天堂的憧憬。巖石穹頂上精致的、風(fēng)格化的植物造型來自于晚期的古代造型，并被鑲嵌在寶石狀裝飾和書法的延伸帶中。大清真寺的馬賽克比巖石穹頂晚建約 15 年，其馬賽克更具有表現(xiàn)力，包括輝煌花園中的異國建筑、流淌的河流和婀娜多姿的樹木。但是，這兩座紀(jì)念碑都沒有基督教意義上的圣像——事實(shí)上，根本沒有人或動(dòng)物的形象，穆斯林顯然認(rèn)為這些主題在這樣的宗教環(huán)境中是完全不合適的。

然而，這種藝術(shù)和建筑給人留下的印象明顯是精神上的，本質(zhì)上是一種有序的超凡脫俗。這種靜謐感是通過使用建筑和裝飾的對(duì)稱性來實(shí)現(xiàn)的，而這種對(duì)稱性并不依賴于任何公開的符號(hào)。巖石穹頂?shù)鸟R賽克鑲板與建筑物強(qiáng)烈的整體對(duì)稱性相一致，再加上建筑物整體建筑風(fēng)格的刻意重復(fù)，似乎是為了讓朝圣者在其內(nèi)部產(chǎn)生一種游離感。在這里，正如在后來的伊斯蘭建筑裝飾中一樣，有一種建筑實(shí)體消解的感覺。大馬士革大清真寺的馬賽克展現(xiàn)了一種不同的視覺效果，但同樣，其鑲板似乎描繪了一種理想的、天堂般的存在狀態(tài)。特別有趣的是，這些美學(xué)偏好，尤其是對(duì)強(qiáng)烈對(duì)稱的使用，似乎受到了新柏拉圖態(tài)度的影響，而這種態(tài)度已經(jīng)被該地區(qū)的基督教思想所吸收（見下文）。大馬士革大清真寺的窗格等其他有趣的建筑細(xì)節(jié)也是基于早期的形式，似乎反映了新的伊斯蘭感性認(rèn)識(shí)（圖 2）。至少可以說，在伊斯蘭建筑的早期階段就出現(xiàn)純粹幾何裝飾效果的可能性是耐人尋味的，尤其是這些例子在設(shè)計(jì)上似乎比明顯源自古代晚期的模型更具有冒險(xiǎn)精神。奧列格·格拉巴（Oleg Grabar）在談到伊斯蘭教早期使用裝飾的這些例子和其他例子時(shí)指出，這些例子似乎顯示了對(duì)以前形式的有意選擇，同時(shí)避免了明顯、僵硬的結(jié)構(gòu)，并傾向于使用通過對(duì)稱排列能夠無限延伸的裝飾圖案（Grabar 1973）。

圖2：大馬士革烏瑪亞德大清真寺的窗花圖案明顯源自晚期古典模式，但似乎表明伊斯蘭世界對(duì)圖案的使用更具活力

伊斯蘭教的希臘繼承：數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)

畢達(dá)哥拉斯是伊斯蘭數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)軍人物。誠然，其中摻雜了希臘和印度的元素，但一切都是從新畢達(dá)哥拉斯的觀點(diǎn)出發(fā)的。(De Boer 1903）

在伊斯蘭教的第二個(gè)世紀(jì)，阿拔斯王朝在巴格達(dá)建立了新的首都，穆斯林的管理者和學(xué)者能夠從他們控制的廣袤土地上汲取大量的知識(shí)。古典、羅馬、希臘、中國、印度、波斯和埃及的各種學(xué)問開始出現(xiàn)并得到研究，但最重要的一般和實(shí)用知識(shí)來源仍然是大量的希臘著作，這些著作是穆斯林在征服埃及和敘利亞的拜占庭時(shí)期首次接觸到的。

倭馬亞哈里發(fā)統(tǒng)治下的早期穆斯林將大馬士革作為他們的行政中心，他們對(duì)希臘人的博學(xué)水平以及埃及和敘利亞的總體文明生活水平印象深刻。這一地區(qū)曾被羅馬統(tǒng)治了7個(gè)世紀(jì)，是希臘文明的繼承者，自公元4世紀(jì)以來一直信奉基督教。當(dāng)伊斯蘭教于公元7世紀(jì)末進(jìn)入這一地區(qū)時(shí)，人們?nèi)栽趥魇谠缙诠诺浜拖ＥD化時(shí)代的希臘科學(xué)和文學(xué)（盡管是通過基督教的視角過濾的），以及柏拉圖和亞里士多德的哲學(xué)。起源于這些哲學(xué)的新柏拉圖主義對(duì)這一環(huán)境產(chǎn)生了持久的影響（Morewedge，1992 年）。

然而，穆斯林在第一次接觸到這一龐大的古典知識(shí)體系時(shí)，他們的反應(yīng)就出現(xiàn)了分歧。古典主義帶有異教徒和異教的色彩，因此受到那些嚴(yán)格信奉宗教的人的極大懷疑，但由于快速發(fā)展的帝國的行政管理現(xiàn)在必須用阿拉伯語進(jìn)行，因此迫切需要將包括官方文件在內(nèi)的大量書面材料從希臘原文翻譯過來。穆斯林需要學(xué)習(xí)的東西很多，拜占庭的資料也有很多值得借鑒的地方，盡管翻譯希臘文資料的最初動(dòng)力可能純粹是出于實(shí)用的原因，但隨著對(duì)這些豐富信息的日益熟悉，人們不可避免地對(duì)希臘思想產(chǎn)生了更廣泛的興趣。早期的翻譯往往是非官方的，即由私人贊助，但由于這些資料顯然在許多領(lǐng)域都大有可為，這種情況將有所改變。隨著希臘原文翻譯數(shù)量的增加和質(zhì)量的提高，它們的價(jià)值變得越來越明顯。在這一階段，醫(yī)學(xué)論文以及有關(guān)占星術(shù)和煉金術(shù)的論文尤其引人關(guān)注，但隨著越來越多的主題被翻譯出來，它們已成為穆斯林社會(huì)所吸收的普遍文化影響的一部分。這種文化滲透的最終結(jié)果是，伊斯蘭教接受了希臘晚期的態(tài)度，以至于這些態(tài)度幾乎被默認(rèn)為其自身傳統(tǒng)的重要組成部分。在許多方面，伊斯蘭公民生活的模式在此確立，并永久性地融入了其自身的伊斯蘭精神。

伊斯蘭教第二大哈里發(fā)王朝阿拔斯王朝（伊斯蘭教第三個(gè)世紀(jì)）所謂的巴格達(dá)黃金時(shí)代的特點(diǎn)是，不僅對(duì)希臘知識(shí)，而且對(duì)帕提亞和印度知識(shí)的翻譯都異常熱衷。但是，即使到了著名的智慧之家（Bayt al-Hikma）在巴格達(dá)成立（公元830年）的時(shí)候，伊斯蘭知識(shí)分子對(duì)柏拉圖、亞里士多德和普羅提諾等重要人物的熟悉程度也不亞于拜占庭世界的知識(shí)分子?；浇毯酮q太教早先對(duì)古典思想進(jìn)行的調(diào)整促進(jìn)了這一進(jìn)程，可以說，這些調(diào)整"凈化"了古典思想中的異教色彩，使其更容易為伊斯蘭教所接受。

宮廷從大馬士革轉(zhuǎn)移到巴格達(dá)意味著哈里發(fā)的"拜占庭化"在很大程度上被其宗教政治思想、態(tài)度和禮儀的 "波斯化 "所取代（盡管統(tǒng)治者仍然傾向于阿拉伯人）。但是，人們對(duì)希臘文本的興趣卻絲毫未減。Bayt al-Hikma 最初是作為一個(gè)翻譯中心建立的，但后來自然而然地發(fā)展成為一個(gè)圖書館，再后來成為一所大學(xué)，為學(xué)者們提供希臘文和其他著作。這一機(jī)構(gòu)的建立也意味著人們很快就會(huì)從拜占庭、波斯和印度等所有可用的來源積極尋找各種學(xué)術(shù)課題的原始手稿。與大馬士革一樣，最先翻譯的是那些被認(rèn)為對(duì)統(tǒng)治者最直接有用的書籍，包括醫(yī)學(xué)、占星術(shù)、農(nóng)業(yè)和其他技術(shù)論文，但隨著翻譯運(yùn)動(dòng)的加快，特別是在哈里發(fā)哈倫·拉希德統(tǒng)治時(shí)期，學(xué)者們將注意力轉(zhuǎn)向了科學(xué)和哲學(xué)著作。到九世紀(jì)上半葉哈里發(fā)的兒子哈里發(fā)·馬蒙統(tǒng)治時(shí)期，翻譯運(yùn)動(dòng)已成為一種非常時(shí)尚的活動(dòng)，涉及許多不同的翻譯團(tuán)隊(duì)和抄寫員，由皇家宮廷和私人富豪資助。

巴格達(dá)宮廷圈對(duì)希臘思想的日益熟悉使人們產(chǎn)生了一種由衷的欽佩之情，尤其是對(duì)那些涉及哲學(xué)/科學(xué)和數(shù)學(xué)主題的文本。歐幾里得、阿波羅尼烏斯和阿基米德的作品尤其受到極大的尊重。數(shù)學(xué)家 al-Hajjaj ibn Matar 在哈倫·拉希德統(tǒng)治時(shí)期（公元786-809 年）將歐幾里得的著作翻譯成了阿拉伯語（他后來為自己的兒子、未來的哈里發(fā)馬蒙提供了簡略但經(jīng)過改進(jìn)的版本）。

公元9世紀(jì)，巴格達(dá)作為哈里發(fā)王朝的首都，是伊斯蘭世界的知識(shí)、宗教和商業(yè)中心。這是一個(gè)科學(xué)和醫(yī)學(xué)創(chuàng)新非凡的時(shí)期，其發(fā)展往往與哲學(xué)推測有關(guān)。伊斯蘭知識(shí)分子對(duì)古典數(shù)學(xué)和幾何學(xué)原理的理解加深，自然而然地產(chǎn)生了自信感，使他們能夠不斷進(jìn)步，并在必要時(shí)糾正其杰出前輩的論斷。在哈里發(fā)·馬蒙統(tǒng)治時(shí)期（公元 813-833 年），數(shù)學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的新著作明顯增多。這些著作往往遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了單純的翻譯。一個(gè)新的伊斯蘭學(xué)者階層出現(xiàn)了，他們能夠?qū)οＥD著作進(jìn)行注釋，并越來越多地參與原創(chuàng)性研究。例如，在天文學(xué)方面，對(duì)托勒密《天文學(xué)大成》的研究促使馬蒙制定了一項(xiàng)計(jì)劃，以驗(yàn)證現(xiàn)有星圖的準(zhǔn)確性。這反過來又促成了官方天文學(xué)家的任命，并在巴格達(dá)和大馬士革建立了天文臺(tái)--為伊斯蘭教與這門科學(xué)長達(dá) 700 年的合作奠定了基礎(chǔ)（其巨大成就為現(xiàn)代天文學(xué)做出了巨大貢獻(xiàn)）。翻譯運(yùn)動(dòng)本身在公元 10 世紀(jì)末或多或少地結(jié)束了，這主要是因?yàn)楝F(xiàn)有的一切都已翻譯完畢，但同時(shí)也因?yàn)榇藭r(shí)伊斯蘭科學(xué)已經(jīng)真正建立了自己的體系，并產(chǎn)生了大量原創(chuàng)作品。

在巴格達(dá)的"黃金時(shí)代"，最令人矚目的成就之一是嘗試精確測量地球的周長，這是阿爾·馬蒙個(gè)人感興趣的一個(gè)項(xiàng)目，這也表明了當(dāng)時(shí)科學(xué)探索的普遍精神。第一次嘗試是對(duì)伊拉克西北部辛賈爾的一片平坦沙漠進(jìn)行精確測量，比較測量過程開始和結(jié)束時(shí)北極星的高度，然后根據(jù)角度差計(jì)算地球的曲率。結(jié)果是8000 farsakhs（24,000 英里），并由第二次考察進(jìn)行了檢驗(yàn)，在當(dāng)時(shí)是非常準(zhǔn)確的。

哈里發(fā)馬蒙親自聘用了著名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家阿赫瓦里茲米，他的許多成就中包括將印度數(shù)字引入阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)。阿赫瓦里茲米還開發(fā)了我們現(xiàn)在所知的代數(shù)（al-Jebr）程序，并將自己的名字命名為"算法"。此時(shí)的巴格達(dá)宮廷中洋溢著一種令人振奮的親科學(xué)氛圍，但在這種早期伊斯蘭的環(huán)境中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)理性與信仰的調(diào)和問題。哈里發(fā)對(duì)宗教界對(duì)他的原理性主義觀點(diǎn)的批評(píng)越來越多，他的回應(yīng)是推廣被稱為穆塔濟(jì)勒主義的神學(xué)，認(rèn)為安拉的道德義務(wù)是理性思維可以理解的，而且由于知識(shí)源于理性，后者應(yīng)該是"最終的仲裁者"。穆塔齊勒派不喜歡對(duì)《古蘭經(jīng)》進(jìn)行傳統(tǒng)的擬人化解釋，甚至宣稱《古蘭經(jīng)》不能被恰當(dāng)?shù)匾暈榘怖脑捳Z，因?yàn)榘怖豢赡苡锌煞蛛x的部分。這種觀點(diǎn)認(rèn)為，《古蘭經(jīng)》是創(chuàng)造出來的，而不是像流行的宗教信仰認(rèn)為的那樣是永恒的。

這種對(duì)伊斯蘭教基本戒律的詮釋令人興奮，但在宗教正統(tǒng)派中卻完全不受待見，他們對(duì)這些理性主義思想的方方面面都極力反對(duì)。最終，這場沖突引發(fā)了一場意識(shí)形態(tài)危機(jī)，導(dǎo)致哈里發(fā)馬蒙（al-Mamun）試圖通過將接受穆塔茲主義作為官方服務(wù)的條件來迫使人們接受這一觀點(diǎn)，面對(duì)持續(xù)不斷的反對(duì)聲，他對(duì)那些拒絕接受其統(tǒng)治的人實(shí)施了宗教裁判所（mihnah）。這反過來又引起了宗教和民眾對(duì)這些舉措的強(qiáng)烈反響，因此哈里發(fā)試圖在理性實(shí)踐和宗教遵守之間強(qiáng)加某種程度的分離最終失敗了。事后看來，這證明是伊斯蘭教的一個(gè)岔路口，最終信仰優(yōu)先于理性——古典希臘態(tài)度的影響力因此下降。在隨后的幾個(gè)世紀(jì)里，科學(xué)思想和懷疑、理性的思維在伊斯蘭世界繼續(xù)發(fā)揮著重要作用，并取得了許多重要發(fā)現(xiàn)，但客觀地說，伊斯蘭科學(xué)在公元前1000年左右達(dá)到頂峰，并進(jìn)入漫長而緩慢的衰落期。不幸的是，此后伊斯蘭世界的宗教保守主義和教條主義傾向越來越傾向于創(chuàng)造不利于追求科學(xué)知識(shí)的條件。

這一過程中的一個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻發(fā)生在公元十一世紀(jì)，當(dāng)時(shí)頗具影響力的神學(xué)家加扎利在一本名為《哲學(xué)家的不一致性》（Tahafut al-Falasifa）的著作中抨擊了整個(gè)希臘哲學(xué)傳統(tǒng)（尤其是新柏拉圖主義的"喚醒"原則），將其斥為異端邪說。這一宣言標(biāo)志著伊斯蘭認(rèn)識(shí)論的重要轉(zhuǎn)變。然而，此時(shí)新柏拉圖主義的態(tài)度已被伊斯蘭主流思想徹底同化，具有諷刺意味的是，加扎利本人在駁斥新柏拉圖主義和其他古典哲學(xué)時(shí)也使用了古典辯證法。新柏拉圖主義繼續(xù)以許多微妙的方式影響著伊斯蘭文化；然而，伊斯蘭藝術(shù)中的超凡脫俗、幾何圖形、先入為主的思想確實(shí)可以看作是這一持久遺產(chǎn)的一部分。這種宗教哲學(xué)的復(fù)雜思想不太可能引起大多數(shù)藝術(shù)家/手工藝者的興趣，但他們（以及伊斯蘭社會(huì)中的許多其他人）似乎通過上述文化滲透的方式吸收了其中的許多廣泛概念。

加扎利（Al-Ghazali，公元 1058-1111 年）是伊斯蘭文化史上的杰出人物，至今仍被視為最偉大的宗教思想家之一。他之所以重要，是因?yàn)樵谒幍臅r(shí)代，法律和立法事務(wù)中的終極權(quán)威問題（其根源在于上文提到的穆塔茲主義之爭）已成為文化危機(jī)的一部分。伊斯蘭社會(huì)朝著各種不可調(diào)和的方向發(fā)展，其中包括希臘理性/哲學(xué)傳統(tǒng)的持續(xù)挑戰(zhàn)。加扎利在個(gè)人層面上經(jīng)歷了這種認(rèn)識(shí)論上的分裂，表現(xiàn)為信仰和良知危機(jī)，導(dǎo)致精神和身體完全崩潰。他從這一創(chuàng)傷經(jīng)歷中恢復(fù)過來，從以前極端的哲學(xué)懷疑論轉(zhuǎn)變?yōu)楦由衩氐亟邮芟戎獑⑹镜淖饔?。他的《宗教科學(xué)的復(fù)興》（Ihya ulum l-din）對(duì)伊斯蘭真理進(jìn)行了徹底的重新聚焦，影響巨大。通過這部著作和其他作品，他被譽(yù)為"信仰的恢復(fù)者"。他的成就體現(xiàn)在他的思想被廣泛接受。對(duì)于蘇菲派來說，他仍然是一位神秘主義者；對(duì)于正統(tǒng)神學(xué)家來說，他是一位重要的宗教導(dǎo)師；而對(duì)于法學(xué)家來說，他仍然是一位受人敬仰的杰出法學(xué)家。

后來，加扎利（他出版了約70本著作）間接影響了歐洲的理性思想，特別是通過托馬斯·阿奎那和帕斯卡爾的哲學(xué)著作，使歐洲理性思想從黑暗時(shí)代緩慢地崛起。

伊斯蘭世界的理論幾何學(xué)和手工藝實(shí)踐

鑒于其起源，木工需要大量的各種幾何知識(shí)。它需要關(guān)于比例和測量的一般或?qū)ｉT的知識(shí)，以便以適當(dāng)?shù)姆绞綄⑿问綇臐撛谧優(yōu)楝F(xiàn)實(shí)，而關(guān)于比例的知識(shí)必須求助于幾何學(xué)家。因此，希臘主要的幾何學(xué)家都是木匠大師。《原理》的作者歐幾里得就是一位木匠，并因此而聞名?！秷A錐曲線》一書的作者阿波羅尼烏斯、墨涅拉烏斯等人也是如此。伊本·胡爾敦（Ibn Khuldun）摘自他的《Muqaddimah》（Khaldun 1967）。

伊斯蘭哲學(xué)家和社會(huì)歷史學(xué)家伊本·胡爾敦在其經(jīng)典百科全書式的《世界史》（Muqaddimah，完成于公元 1377 年）的導(dǎo)言中，對(duì)幾何學(xué)和手工藝提出了各種看法，上面的引文就摘自這些看法。他的評(píng)論很有意思，部分原因是這些評(píng)論顯然熟悉古典數(shù)學(xué)的各種重要人物，還因?yàn)檫@些評(píng)論似乎反映了建筑師和工匠所使用的幾何學(xué)與伊斯蘭教從希臘人那里繼承的學(xué)術(shù)幾何學(xué)傳統(tǒng)之間的默契。對(duì)幾何問題的這種明顯的共同興趣使近代的許多人認(rèn)為兩者之間的聯(lián)系比證據(jù)所證明的要密切得多。當(dāng)然，伊斯蘭教中兩種幾何學(xué)都有大量的證據(jù)，但歸根結(jié)底，它們之間相互聯(lián)系的證據(jù)卻很少。

希臘數(shù)學(xué)傳統(tǒng)在伊斯蘭領(lǐng)域的延續(xù)，尤其是其幾何學(xué)，無疑令人印象深刻。幾何學(xué)從翻譯運(yùn)動(dòng)一開始就受到青睞，主要是因?yàn)樗性S多明顯的實(shí)際應(yīng)用。歐幾里得的《幾何原本》為平面幾何奠定了基礎(chǔ)，該書很早就被翻譯過來，并因其有條不紊、合乎邏輯的論述而備受推崇。事實(shí)上，這部著作不僅是理論幾何學(xué)的基礎(chǔ)，也是邏輯方法論的典范。它通過一系列公理的穩(wěn)步推進(jìn)，為伊斯蘭各種數(shù)學(xué)和科學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)性樹立了標(biāo)桿。

對(duì)于本文討論的主題而言，最重要的是，早期伊斯蘭翻譯家和學(xué)者的新探究精神以及他們對(duì)希臘學(xué)問的熱情似乎對(duì)伊斯蘭文化態(tài)度產(chǎn)生了更廣泛的影響。眾所周知，伊斯蘭對(duì)復(fù)雜的幾何圖案情有獨(dú)鐘，可以說是所有藝術(shù)形式中最"科學(xué)"的一種，這可以看作是這種共同熱情的一種表現(xiàn)，也表明了伊斯蘭世界對(duì)古典數(shù)學(xué)知識(shí)的吸收程度。因此，一些評(píng)論家認(rèn)為伊斯蘭數(shù)學(xué)家和工匠在裝飾板上表現(xiàn)出高度的幾何復(fù)雜性方面進(jìn)行了一定程度的合作；但實(shí)際上，幾乎沒有證據(jù)表明這種跨學(xué)科合作真正發(fā)生過。數(shù)學(xué)家和各種能工巧匠肯定對(duì)幾何學(xué)非常熟悉。但是，他們的興趣、技能和目標(biāo)是不同的（他們?cè)谏鐣?huì)中的地位也是不同的）。正如藝術(shù)史學(xué)家特里·艾倫（Terry Allen）在談到這一主題時(shí)所指出的，我們不能簡單地將幾何興趣的每一種表現(xiàn)形式混為一談（Allen 2004）。作為數(shù)學(xué)分支的理論幾何學(xué)與工匠和建筑師使用的"實(shí)踐"幾何學(xué)是同樣專業(yè)但又截然不同的學(xué)科。認(rèn)為裝飾圖案中的復(fù)雜幾何圖形源于對(duì)幾何理論的深刻理解，這種觀點(diǎn)在很大程度上是錯(cuò)誤的。此外，盡管"幾何模式"確實(shí)成為伊斯蘭藝術(shù)中無處不在的裝飾形式，但這并不是伊斯蘭世界對(duì)幾何產(chǎn)生更普遍興趣的表現(xiàn)。沒有關(guān)于普通穆斯林公民如何看待幾何裝飾的記載（我們可以想象，他們會(huì)像我們今天一樣印象深刻、興趣盎然），但這并不意味著他們會(huì)比現(xiàn)代的非穆斯林更了解幾何裝飾的基本構(gòu)造原理。這些更有可能屬于專業(yè)領(lǐng)域的內(nèi)幕知識(shí)。

事實(shí)上，在伊斯蘭教中世紀(jì)的任何現(xiàn)存數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，幾乎都沒有關(guān)于裝飾的記載。其藝術(shù)和建筑藝術(shù)中的幾何形式都是由藝術(shù)家/工匠創(chuàng)造的，實(shí)際上，從純數(shù)學(xué)的角度來看，即使是最復(fù)雜的裝飾板也相對(duì)微不足道。當(dāng)然，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家對(duì)幾何設(shè)計(jì)感興趣是再自然不過的事了——他們現(xiàn)在仍然如此。誠然，我們可以看到一些"學(xué)術(shù)"幾何學(xué)家與使用幾何圖形的工匠之間的交流，但同樣沒有證據(jù)表明他們?cè)趯?shí)際項(xiàng)目中進(jìn)行了合作。據(jù)此可以判斷（因?yàn)榇祟惤佑|的證據(jù)往往來自學(xué)術(shù)方面），雙方之間從未有過完全的思想碰撞。"給工匠的建議"之類的文獻(xiàn)，往往是指手畫腳地試圖讓藝術(shù)家/工匠"正確地"，即按照純粹的歐幾里得幾何原理來構(gòu)造他們的設(shè)計(jì)。如前所述，在設(shè)計(jì)中加入"近似"（即在設(shè)計(jì)中加入"不完全"規(guī)則的圖形）是任何幾何學(xué)術(shù)家都無法接受的，但設(shè)計(jì)師偶爾也會(huì)接受。

幾個(gè)世紀(jì)以來，復(fù)雜圖案在伊斯蘭世界的廣泛使用清楚地表明，這種表達(dá)方式滿足了伊斯蘭精神中不可或缺的東西——尤其是因?yàn)閹缀文Ｊ降氖褂貌⒉皇且匀魏螁我坏?、不間斷的傳統(tǒng)來表達(dá)的。從技術(shù)上講，在伊斯蘭幾何圖案中創(chuàng)造高度復(fù)雜性的方法有很多種，最終只有廣泛的幾何主題本身是不變的。這就是說，盡管在不同的伊斯蘭地區(qū)，隨著時(shí)間的推移，幾何圖案的復(fù)雜性有增加的趨勢，但其表現(xiàn)形式和方法卻多種多樣。然而，耐人尋味的是，隨著時(shí)間的推移，這些不起眼的穆斯林工匠設(shè)法發(fā)掘并利用了形式對(duì)稱排列的許多可能性（見下文"現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析"部分），用于裝飾目的。

毫無疑問，藝術(shù)家/手工藝人（自愿或非自愿）在相隔遙遠(yuǎn)的地區(qū)旅行，而在不同的時(shí)間和地點(diǎn)，圖案書籍和施工圖紙會(huì)為傳承提供便利。由于伊斯蘭教的歷史支離破碎，傳統(tǒng)很可能被打破，有時(shí)會(huì)以微妙的不同方式重新恢復(fù)，圖案也會(huì)從一種媒介改編成另一種媒介。從整體上看，這一悠久的傳統(tǒng)表明，隨著時(shí)間的推移，嘗試與堅(jiān)持既定的形式并存。伊斯蘭裝飾紋樣的使用有其連續(xù)性，但真正不變的是對(duì)平面分割的基本幾何原理的透徹理解，以及對(duì)藝術(shù)幾何的精通。這涉及到對(duì)一套不言而喻的規(guī)則的敏銳認(rèn)識(shí)，其中包括強(qiáng)烈的對(duì)稱意識(shí)，以及對(duì)框架板塊內(nèi)各元素細(xì)致、均衡分布的偏好。歸根結(jié)底，正是這些標(biāo)準(zhǔn)，而不是任何數(shù)學(xué)公式，在很大程度上使各式各樣的伊斯蘭藝術(shù)具有可識(shí)別性、連貫性和獨(dú)特性。

伊斯蘭世界的數(shù)學(xué)及其與幾何裝飾的關(guān)系

近來，早期伊斯蘭科學(xué)家和數(shù)學(xué)家對(duì)世界知識(shí)所做的巨大貢獻(xiàn)得到了一定程度的認(rèn)可，這是早該得到的。特別是，伊斯蘭學(xué)術(shù)在恢復(fù)和發(fā)展古典文獻(xiàn)以及隨后將這一龐大的學(xué)術(shù)體系傳播到中世紀(jì)歐洲方面所起的作用，現(xiàn)在已得到廣泛承認(rèn)。人們不再認(rèn)為，從古典時(shí)期到現(xiàn)代早期，歐洲的學(xué)術(shù)鏈?zhǔn)且幻}相承的——現(xiàn)在人們正確地認(rèn)識(shí)到，文藝復(fù)興時(shí)期對(duì)所有科學(xué)重新燃起的巨大興趣在很大程度上是由伊斯蘭的博學(xué)所推動(dòng)的（蒙哥馬利·瓦特，1972 年；薩利巴，2011 年）。

我們已經(jīng)提到了伊斯蘭科學(xué)的"黃金時(shí)代"，它興盛于阿拔斯王朝早期（公元8世紀(jì)到10世紀(jì)之間的巴格達(dá)），涌現(xiàn)出了阿赫瓦里茲米、金迪和奧馬爾·海亞姆等杰出學(xué)者。但是，伊斯蘭科學(xué)建立在古典、帕提亞和印度知識(shí)的基礎(chǔ)之上，在未來的幾個(gè)世紀(jì)里，將繼續(xù)在廣袤的伊斯蘭領(lǐng)地的各個(gè)中心取得重大進(jìn)展。只要社會(huì)、知識(shí)和經(jīng)濟(jì)條件有利，就會(huì)取得進(jìn)步，尤其是在數(shù)學(xué)、天文學(xué)、光學(xué)和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。盡管如此，"科學(xué)"——它與異教哲學(xué)的聯(lián)系從未被完全遺忘——仍然受到正統(tǒng)派的懷疑。在皇室的庇護(hù)下，具有科學(xué)頭腦的思想家通常會(huì)受到一定程度的保護(hù)，以免受到更加狂熱的宗教批評(píng)家的影響——無論如何，宗教批評(píng)家對(duì)數(shù)學(xué)等抽象領(lǐng)域的研究不太關(guān)心。因此可以說，至少在較高的知識(shí)層次上，數(shù)學(xué)（尤其是幾何）研究在整個(gè)中世紀(jì)伊斯蘭世界都得到了很好的確立和廣泛的傳授，亞歷山大柏拉圖主義者歐幾里得和托勒密分別作為幾何學(xué)和天文學(xué)的鼻祖，保持了他們受人尊敬的地位。

然而，如前所述，在伊斯蘭社會(huì)中，幾乎沒有證據(jù)表明"理論"數(shù)學(xué)家與幾何工匠之間存在互動(dòng)，盡管有少量現(xiàn)存文獻(xiàn)表明這種互動(dòng)偶爾會(huì)發(fā)生。作者 Gülru Necipoglu（1995 年）和 Alpay ?zdural（2000 年）挑出了幾個(gè)例子——一個(gè)源于10世紀(jì)，涉及數(shù)學(xué)家和占星家 Abu al-Wafa al-Buzjani，另一個(gè)是公元14世紀(jì)關(guān)于"互鎖圖形"的佚名波斯文。

Al-Wafa al-Buzjani（公元 940-998 年）著有一本實(shí)用幾何手冊(cè)《工匠必備的幾何構(gòu)造》（Risala fima yahtaju al-sani'u min a'mal al-handasa），現(xiàn)存四個(gè)已知的手寫版本——一個(gè)阿拉伯語版本和三個(gè)波斯語版本。原著是在巴格達(dá)用阿拉伯語寫成的，但已不復(fù)存在，后來的每個(gè)副本都有一些缺失的信息和章節(jié)?，F(xiàn)存的阿拉伯語版本（保存在伊斯坦布爾阿亞索菲亞圖書館）雖然不是原版，但比其他版本更完整。三份波斯語手稿中最著名的一份保存在法國巴黎國家圖書館。雖然這部作品明顯是針對(duì)藝術(shù)家/工匠的，但其總體基調(diào)是對(duì)他們不愿采用"適當(dāng)?shù)?（即歐幾里得）幾何構(gòu)造方法的批評(píng)。

《聯(lián)鎖相似或全等圖形》（On interlocking similar or congruent figures, F? tadakhul al-ashkal almutashabiha aw al-mutawafiqa)是一本幾何手冊(cè)，作者不詳，可能起源于伊爾汗王朝時(shí)期的大不里士。該書似乎既關(guān)注圖形的"謎題"方面，也關(guān)注圖形在裝飾中的應(yīng)用，這表明該書可能并非專門針對(duì)藝術(shù)家/手工藝者。

關(guān)于數(shù)學(xué)家參與裝飾方案的典故還有一些，但都不太具體。多才多藝的發(fā)明家阿爾賈扎里在《巧妙的機(jī)械裝置》一書中繪制并描述了一個(gè)精心設(shè)計(jì)的門圖（不過作者喬治-薩利巴指出，該書所依據(jù)的翻譯可能有誤）。奧瑪爾-海亞姆（Omar Khayyam）在《工匠和幾何學(xué)家的會(huì)議》中提到了一個(gè)誘人的典故，但這個(gè)典故也很含糊，容易引起誤解。總之，根據(jù)這些證據(jù)和其他現(xiàn)有證據(jù)，很難對(duì)任何時(shí)期學(xué)術(shù)界持續(xù)參與伊斯蘭幾何裝飾流派的概念提出任何實(shí)質(zhì)性的主張。

歷史視角的結(jié)論

在這里，我想讓你們理解的"形狀美"，不是大眾所理解的"形狀美"，比如活物之美或與活物相似的繪畫之美，而是直角和圓形的交替之美，以及人們用圓規(guī)、方尺和規(guī)則從直角和圓形中創(chuàng)造出的曲面和實(shí)體之美。因?yàn)檫@些東西和其他東西一樣，不是有條件的美，而是本身就是美的。

——柏拉圖，出自《菲利伯斯對(duì)話錄》

通過多年對(duì)伊斯蘭設(shè)計(jì)幾何模式的了解，我們發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)更有趣的方面是，并不存在單一的"伊斯蘭圖案關(guān)鍵"，而是有多種實(shí)現(xiàn)幾何復(fù)雜性的方法。事實(shí)上，地區(qū)差異導(dǎo)致了一系列不同的模式、圖案家族和對(duì)稱類型，更不用說對(duì)幾何"純粹性"的不同態(tài)度了。這也許是這門藝術(shù)最迷人的地方，因?yàn)樗坪跻隽艘粋€(gè)問題："在這個(gè)廣泛的美學(xué)傳統(tǒng)中，不變的標(biāo)準(zhǔn)究竟是什么？也就是說，在如此漫長的時(shí)期內(nèi)，在如此廣闊的地理區(qū)域內(nèi)，是什么讓伊斯蘭對(duì)幾何圖案的關(guān)注作為一種重要的藝術(shù)表現(xiàn)形式持續(xù)至今？

這里的命題是，伊斯蘭教對(duì)對(duì)稱和幾何裝飾形式的執(zhí)著，最終都源于特定古典哲學(xué)傳統(tǒng)的美學(xué)理想，即柏拉圖主義/新柏拉圖主義，它在伊斯蘭教文化演變的早期階段就被徹底吸收到伊斯蘭教的主流思想中，但后來卻遭到宗教反對(duì)。簡而言之，我們認(rèn)為，伊斯蘭幾何主義喜歡在歐幾里得平面上無休止地玩弄抽象幾何圖形，本質(zhì)上是一種柏拉圖式的藝術(shù)形式。

我們意識(shí)到，從學(xué)術(shù)角度看，這一論斷可能被視為毫無希望的泛泛之談。然而，對(duì)這一主題的所有研究都面臨同樣的問題。如上所述，學(xué)術(shù)界數(shù)學(xué)家參與伊斯蘭幾何藝術(shù)發(fā)展的真實(shí)證據(jù)很少（但這并不意味著沒有），而教義影響至上的觀點(diǎn)（如"遜尼派復(fù)興"理論所表達(dá)的）至少是值得懷疑的。盡管如此，正如本注釋開頭所述，伊斯蘭世界的藝術(shù)和建筑之所以堅(jiān)持強(qiáng)烈的對(duì)稱布局和高度幾何化的裝飾模式，一定有其令人信服的原因。這種美學(xué)傾向似乎在伊斯蘭文化自信的早期階段就已形成，而且確實(shí)是伊斯蘭文化自信的一種表現(xiàn)形式。一旦確定了這一特定的美學(xué)軌跡，即高度對(duì)稱的裝飾形式已成為文化表達(dá)的主要手段，繼承下來的晚期古典主義裝飾元素自然會(huì)得到美化、發(fā)展，并隨著時(shí)代的變遷而變得更加復(fù)雜。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析

十九世紀(jì)末，費(fèi)多羅夫、舍恩菲斯和巴羅對(duì)17個(gè)壁紙群（二維晶體學(xué)群）和 230 個(gè)三維晶體學(xué)群進(jìn)行了分類?，F(xiàn)代權(quán)威分析見 Grünbaum 和 Shephard (1987)。一個(gè)被多次提出的問題是，在最偉大的伊斯蘭幾何遺址之一的阿爾罕布拉宮中出現(xiàn)了多少種重復(fù)類型。這些研究包括 Müller (1944)、Jaworski (2006)、Montesinos (1985)、Grünbaum (2006)和Du Sautoy (2008)。在我們的案例中，我們只考慮有明顯重復(fù)的直邊密鋪圖案。這就是圖3。

圖3：阿爾罕布拉宮中出現(xiàn)的對(duì)稱性

這意味著我們的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)只有17種情況中的8種，而Du Sautoy有所有17種情況。關(guān)于對(duì)稱組在整個(gè)伊斯蘭世界的出現(xiàn)頻率，見表（Wichmann和Wade 2017年，第208頁）。該表顯示了一個(gè)非常不均勻的分布，具有兩個(gè)對(duì)稱性，沒有已知的伊斯蘭示例:××（pg）和22×（pgg）。

實(shí)際建筑物的圖案區(qū)域通?？梢员憩F(xiàn)為上述類型的重復(fù)圖案。如圖4所示，有些圖案以圓形對(duì)稱的方式展示更為真實(shí)。另見 Wichmann 和 Wade（2017 年，第 207 頁，圖，A31）。這一分析由布爾貢（Bourgoin）首先進(jìn)行；見布爾貢（Bourgoin）（1873 年，1879 年）。對(duì)這一領(lǐng)域的興趣部分歸功于歐文·瓊斯（Owen Jones，1856 年；瓊斯和古里，1837 年）的工作。

圖4：伊斯法罕的 Kasehgaran Madrasah（Al-Naqsh，1983 年），*5-（d5）對(duì)稱，數(shù)據(jù) 181/F111。關(guān)于該圖案及其后的參考文獻(xiàn)，請(qǐng)參見 (TI 2019)

另一種現(xiàn)代分析方法是僅用尺子和圓規(guī)來構(gòu)造圖案。高斯的研究表明，17邊形的正多邊形是可以構(gòu)造的（伊斯蘭藝術(shù)中似乎沒有），而9邊形的正多邊形是不可以構(gòu)造的（伊斯蘭藝術(shù)中至少有三個(gè)例子）；見Jagy (2000)。

在許多情況下，對(duì)伊斯蘭圖案線描的分析是簡單明了的。例如，在 Wichmann 和 Wade（2017 年，第8章）中，一個(gè)來自阿爾罕布拉宮的圖案被證明是完全確定的，這意味著任何與數(shù)學(xué)表述的偏差都是錯(cuò)誤的。關(guān)于星形圖案的分析，請(qǐng)參見 Lee (1987) 和 Lee and Soliman (2014)。

許多伊斯蘭圖案的一個(gè)特點(diǎn)是重復(fù)使用特定的瓷磚形狀。在瓷磚的情況下，這可以通過復(fù)制過程來實(shí)現(xiàn)。一組常見的瓷磚是那些包含khatem的瓷磚，khatem是頂角為90°的8角星形多邊形瓷磚。Wichmann和Wade（2017年，圖9.10）給出了這樣一組瓷磚。

許多拼塊圖案的一個(gè)重要特征是中央有一顆大星。在摩洛哥，圖 5 就是一個(gè)很好的例子。從圖中可以看出，中央星形圖案周圍的黑色條帶上有大小不一的六邊形拼塊，這是電腦繪圖中數(shù)學(xué)分析的結(jié)果。手工繪制的圖案往往會(huì)進(jìn)行調(diào)整以避免此類問題。16個(gè)點(diǎn)的恒星在這方面只有很小的差異，但對(duì)于較大的恒星，情況就一目了然了。詳情請(qǐng)參見Wichmann 和 Wade（2017 年，第 10 章）。

圖5：非斯皇家宮殿，Paccard (1980)，data203/S32A

有一類重要的密鋪圖案，其角度總是 36的倍數(shù)（Wichmann 和 Rigby，2009 年）。這個(gè)角度確保了 10 角星形多邊形的角度可以達(dá)到 72 或 108 度。此類圖案種類繁多，土耳其的清真寺就是很好的代表。

圖6展示了這類圖案的基本特征。圖（a）中顯示了兩顆主要的星星，都是 10 點(diǎn)。圖（b）是一種常見的菱形圖案。這兩種圖案都有一顆 10 點(diǎn)星，周圍是風(fēng)箏和黑色花瓣--這就是玫瑰花形的一個(gè)例子。請(qǐng)注意，鉆石的大小可以通過調(diào)整玫瑰花形之間的距離來改變。

圖6：十邊形圖案。(a) 兩種星型。(b) 星形和菱形

另一類圖案是具有六重對(duì)稱性的圖案：*632(p6m) 或 632(p6)。圖7顯示的是一個(gè)24點(diǎn)的星形圖案，但這類六重圖案也可能有6點(diǎn)或12點(diǎn)的星形圖案。

圖7：非斯，data194/FEZ1

另兩個(gè)例子見圖 8。圖（a）是六邊形而不是星形，但不同尋常之處在于三向交錯(cuò)。這可以通過引入一個(gè)小三角形來避免（如某些變體）。圖（b）是伊朗 Kharraqan 東部墓塔的早期圖案。這里使用的顏色來自土耳其。

圖8：六邊形圖案的兩個(gè)例子。(a)六邊形和交錯(cuò)。(b)早期示例

最后一類圖案是那些數(shù)學(xué)分析非常困難或非常耗時(shí)以至于不值得進(jìn)行的圖案（因?yàn)樗鼰o法闡明設(shè)計(jì)）。Wichmann 和 Wade（2017 年，第 16 章）的第一部分中就出現(xiàn)了這樣的圖案，其中進(jìn)行了棘手的分析，并給出了人工構(gòu)造的替代方案。這一類圖案的存在并不令人驚訝，因?yàn)樽畛醯乃囆g(shù)家們是在設(shè)計(jì)一種效果，并沒有使用數(shù)學(xué)。

盡管很明顯伊斯蘭世界傳達(dá)了他們的設(shè)計(jì)理念，但各個(gè)地區(qū)都有自己獨(dú)特的風(fēng)格。Wichmann 和 Wade（2017，圖 17.4）對(duì)此進(jìn)行了總結(jié)。另一項(xiàng)分析是為各種設(shè)計(jì)制作日期，以便繪制柱狀圖。Wichmann 和 Wade（2017 年，圖 17.3）對(duì)此進(jìn)行了分析，但由于獲得了更多數(shù)據(jù)，因此在此進(jìn)行了修訂。

圖 9 顯示了圖案首次出現(xiàn)的日期與頻率的對(duì)比分析。右側(cè)的文字顯示了直方圖中出現(xiàn)頻率較高的地區(qū)或遺址。阿爾罕布拉宮和法特普爾-錫克里的圖案數(shù)量之多非常明顯。布盧姆（2001 年）認(rèn)為，現(xiàn)成的紙張有助于圖案的傳播。

圖9：數(shù)據(jù)分析

電腦使用

使用現(xiàn)代圖形工具在計(jì)算機(jī)上繪制自己的伊斯蘭風(fēng)格圖案的吸引力是顯而易見的（Wichmann 2001）。因此，互聯(lián)網(wǎng)上有許多此類材料的網(wǎng)站。

有三本書對(duì)這一問題的考慮也比許多互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)站更為細(xì)致。在 Castéra（1999 年）一書中，作者只考慮了摩洛哥的圖案。這本書提供了美麗多彩的圖案，而且繪制得非常完美。需要注意的一個(gè)問題是大星的邊界，如上所述，Wichmann 和 Wade（2017 年，第10章）對(duì)這一問題進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析?？紤]一下圖 10 中巴黎清真寺中由摩洛哥工匠制作的精美圖案的一部分。圖中大部分瓷磚都是以相關(guān)形狀的 Khatems 為基礎(chǔ)。不過，其中一顆棕色星星有7個(gè)點(diǎn)，以便與48點(diǎn)的星星相吻合。相比之下，該圖底部的 16 點(diǎn)星星則沒有任何困難。

圖10：中心星邊界部分，data0/S48P1

倫敦?cái)z政公園清真寺中還有一個(gè)幾乎無法用數(shù)學(xué)方法分析的棘手設(shè)計(jì)。在這里，七角星是設(shè)計(jì)的一個(gè)組成部分，而不是克服潛在問題的一種手段；見圖 11。

圖11：攝政公園清真寺，穹頂下的邊界，數(shù)據(jù)0/REG1

第二本值得考慮的書是 Broug（2013 年）。正文包括一些出色的照片，其中許多照片都不易找到。文中的小圖提供了在電腦上制作完整圖案的線索。附錄中只有圖紙，主要是使用 Broug（2008 年）中描述的技術(shù)繪制的。其中一些圖紙似乎具有伊斯蘭風(fēng)格，而不是根據(jù)實(shí)際文物繪制的。繪制方法并不總能繪制出伊斯蘭范例中使用比例的圖案。

第三本著作是Bonner寫的（2016 年），旨在全面介紹伊斯蘭幾何圖案，似乎是以書籍形式收集伊斯蘭幾何圖案最多的一本書。奇怪的是，該書略去了格子圖案；見 http://www.tilingsearch.org/special/lattice.html。書中提供了約 100 張照片，但在制作大量圖表時(shí)顯然使用了更多照片。如果這些圖案不是發(fā)明，則會(huì)注明其來源，不過許多照片的來源并不明確。最后一章由克雷格·卡普蘭（Craig Kaplan）介紹了制作伊斯蘭圖案的算法。該書是一部令人印象深刻的作品集，在未來許多年里仍將是圖案的重要來源。

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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