女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

M.C 埃舍爾的平面規(guī)則分割繪畫(huà)被認(rèn)為是他藝術(shù)作品的重要組成部分。他繪制了大約 150 幅平面規(guī)則分割繪畫(huà)，其中一些后來(lái)被用于他的版畫(huà)創(chuàng)作。在幾乎所有這些圖畫(huà)中，起主導(dǎo)作用的都是拼塊。不過(guò)，也有少數(shù)例外。埃舍爾在《平面規(guī)則分割（Regelmatige vlakverdeling）》[1, 第 94 頁(yè)]一書(shū)中給出了他自己對(duì)平面規(guī)則分割的定義，他說(shuō)拼塊應(yīng)該四面緊密貼合，拼塊之間沒(méi)有空隙。換句話說(shuō)，接縫、灌漿，即砌磚工人用來(lái)將每塊石材與相鄰石材粘合在一起的砂漿層，在實(shí)踐中將它們分隔開(kāi)來(lái)，但在理論上可以化整為零。數(shù)學(xué)家將這些接縫稱(chēng)為拼塊的"邊"；邊從來(lái)不被認(rèn)為有任何寬度。

我們可以說(shuō)，這是數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)。從藝術(shù)的角度來(lái)看，拼塊之間的分界線始終存在，我們不能忽視它們。我們可以給予這些分界線更多的關(guān)注，甚至可以省略拼塊。這樣，我們得到的只是一個(gè)以某種規(guī)則方式連接起來(lái)的接縫網(wǎng)格，或者說(shuō)是一個(gè)格子：一個(gè)有許多精心勾勒的孔洞的平面。中國(guó)的窗戶(hù)和屏風(fēng)經(jīng)常采用這種格子結(jié)構(gòu)；參考文獻(xiàn) [3] 收集了大量此類(lèi)設(shè)計(jì)。

在埃舍爾的一些草圖中，這些分隔拼塊的線條似乎確實(shí)占據(jù)了主導(dǎo)地位。例如，在他的《抽象圖案筆記本》[5, p. 87]中的第 11 號(hào)常規(guī)分割圖（Baam '42）和第 133 號(hào)常規(guī)分割圖（Baam '67）[5, p. 226]中都可以看到這一點(diǎn)。乍看之下，這種對(duì)拼塊之間空間的關(guān)注似乎只是注意力的輕微轉(zhuǎn)移，但它卻為埃舍爾可能沒(méi)有時(shí)間研究的藝術(shù)可能性開(kāi)辟了廣闊的領(lǐng)域。如果用埃舍爾自己的比喻來(lái)說(shuō)，在他美麗的平面規(guī)則分割的花園中漫步，就像是發(fā)現(xiàn)了通往毗鄰的另一個(gè)花園的大門(mén)。就像真正的花園一樣，任何描述都無(wú)法替代親眼目睹花開(kāi)的過(guò)程；這些探索主要是通過(guò)圖片來(lái)分享的。

密鋪格子

當(dāng)我們從一個(gè)由大大小小的正方形拼塊組成的簡(jiǎn)單貼面開(kāi)始（圖 I），我們只需將拼塊移開(kāi)，就可以構(gòu)造出灰漿連接的格子。我們稱(chēng)其為"密鋪"。要讓拼塊清晰可見(jiàn)，第一步就是加厚接縫（圖2）。然后我們注意到，除了研究拼塊的整體之外，我們還可以對(duì)其進(jìn)行一些基本的新配置。首先，可以將網(wǎng)格視為一組輪廓線（圖 3）。例如，我們可以利用這組輪廓線，通過(guò)延伸每條輪廓線，甚至交織某些輪廓線來(lái)進(jìn)行構(gòu)造。我們可以在埃舍爾的作品中找到這樣的例子：他的版畫(huà)《蛇》（第 76 頁(yè)）中的纏繞圓環(huán)。另一種方法是將網(wǎng)格分解成等長(zhǎng)的條形，其中每條條形都是由一組連接點(diǎn)組成的直線段。這樣得到的條形網(wǎng)格可以用于條形重疊的三維結(jié)構(gòu)（圖 4）。達(dá)芬奇顯然對(duì)這種條形結(jié)構(gòu)很感興趣。在他的作品中，可以發(fā)現(xiàn)了三種不同的規(guī)則條形網(wǎng)格圖 [2, 第 154-155 頁(yè)]，圖 4 就是其中之一。我們將在下文中詳細(xì)討論這些以及其他可能的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。

使用密鋪網(wǎng)格的首次構(gòu)造

由于密鋪網(wǎng)格是去掉拼塊后剩下的網(wǎng)，因此現(xiàn)在的孔洞代替了拼塊。這意味著我們可以重疊和交織密鋪網(wǎng)格。例如，在圖 5 中，兩份圖 2 中的網(wǎng)格被交織在一起。我們已經(jīng)注意到，通過(guò)繪制輪廓（如圖 3），也可以通過(guò)擴(kuò)展輪廓來(lái)進(jìn)行連接構(gòu)造。

有趣的是，我們可以從第一種結(jié)構(gòu)過(guò)渡到第二種結(jié)構(gòu)。在圖 6 中，我們可以看到 M.C. 埃舍爾最初繪制的一個(gè)交織密鋪網(wǎng)格。如果將兩個(gè)不同顏色的六邊形密鋪格的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)中的每一條粗線一分為二，并將由此產(chǎn)生的雙線重新編織，我們就可以得到圖 7 所示的相連輪廓圖。擴(kuò)展這些輪廓線并重新編織，我們就得到了圖 8 和色板 27a。(請(qǐng)注意，圖 8 需要五種顏色才能分辨出相互連接的股線）。在圖 9 和圖 10 中，我們看到了三層交織的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。將圖 6 轉(zhuǎn)化為圖 7 的相同步驟也用于將圖 10 中的密鋪網(wǎng)格轉(zhuǎn)化為圖 II 中的連接輪廓。彩板 27b 顯示的是四層交織結(jié)構(gòu)。

三維構(gòu)造

一些密鋪網(wǎng)格或連接輪廓的圖紙可以很容易地轉(zhuǎn)換成真實(shí)的三維結(jié)構(gòu)。在伊斯蘭裝飾中經(jīng)常出現(xiàn)的一些拼塊就是這一練習(xí)的豐富素材。以交織密鋪網(wǎng)格的形式出現(xiàn)的情況并不少見(jiàn)。圖 12 中交織的六邊形環(huán)可以看作是立方元素的投影。圖 13、14、15 和彩板 27c 展示了不同的例子，說(shuō)明如何將圖 12 中的結(jié)構(gòu)圖案加工成由全等聯(lián)的三維形式組成的三維網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，其邊緣可追溯到立方體的六個(gè)邊緣。

我們也可以從一個(gè)二維的密鋪格開(kāi)始，將它變成一個(gè)不可能的三維結(jié)構(gòu)。在圖 16 中，我們對(duì)一個(gè)密鋪網(wǎng)格進(jìn)行了陰影處理，使其看起來(lái)是三維的，并形成了一個(gè)不可能的結(jié)構(gòu)：彭羅斯三角。我們甚至可以做出交織的不可能結(jié)構(gòu)：圖 17 和圖 18 顯示了其中的兩個(gè)。從圖 12 中相同的二維交織網(wǎng)格開(kāi)始，通過(guò)不同的陰影，我們也可以制作出彭羅斯三角的不可能交織網(wǎng)格，如圖 19 和彩板 27d。雖然圖 20 看起來(lái)很不一樣，但它的起點(diǎn)與圖 19 是相同的密鋪網(wǎng)格。將圖 21 中的不可能三維網(wǎng)格與 [1，第 155 頁(yè)] 中的伊斯蘭設(shè)計(jì)進(jìn)行比較是很有趣的。

更多層次，不同層次

交織密鋪網(wǎng)格可以通過(guò)幾種方式構(gòu)建。層數(shù)是我們可以改變的一個(gè)因素。帶有大方孔和小方孔的密鋪網(wǎng)格（圖 2）可以交織出不同數(shù)量的副本：圖 5 交織了兩層，而圖 22 則交織了四層。圖 23 和圖 24 是以平面密鋪格為基礎(chǔ)繪制的，圖 16 也是以平面密鋪格為基礎(chǔ)繪制的，但圖 23 有三層，圖 24 有七層。

另一種方法是使用相同的密鋪點(diǎn)陣副本，其中一些副本的比例不同，稍后我們將看到更多實(shí)例。在圖 25 中，我們熟悉的由正方形和八邊形組成的阿基米德密鋪有四層全等的密鋪網(wǎng)格。在圖 26 中，使用了三層相同的密鋪網(wǎng)格，但灰色層的比例較小。

最有趣的交織密鋪格是由一種以上的密鋪格組合而成的。例如，圖 27 是同一網(wǎng)格的右轉(zhuǎn)版和左轉(zhuǎn)版的組合（見(jiàn)圖 2）。在圖 28 中，圖 2 中的密鋪格與八角方形密鋪格結(jié)合在一起。在圖 29 和圖 30 中，您可以看到埃舍爾的黑白六邊形密鋪網(wǎng)格（圖 6）與帶方孔和八角孔的網(wǎng)格相結(jié)合。

埃舍爾平面規(guī)則分割圖的變換

將不同類(lèi)型的密鋪網(wǎng)格結(jié)合起來(lái)的一個(gè)意想不到的結(jié)果是，我們可以使用其中的一些方法將埃舍爾的一個(gè)密鋪圖轉(zhuǎn)換成他的圖集中的另一個(gè)。在第一個(gè)例子中（圖 31），我們從埃舍爾的日本武士（第 4 號(hào)正則表達(dá)式圖畫(huà)，[5, 第 118 頁(yè)]）開(kāi)始。我們按照埃舍爾另一幅作品（圖 32）的密鋪網(wǎng)格，將這套由三塊相互交錯(cuò)的拼塊組成的密鋪圖小心翼翼地分割成三塊相等的碎片。現(xiàn)在，將這些碎片拉開(kāi)（圖 33）并翻轉(zhuǎn)（圖 34）后，我們可以將它們重新組合在一起，看，三個(gè)日本武士變成了三只蜥蜴（圖 35），完全符合埃舍爾的第 25 號(hào)平面規(guī)則分割圖（圖 36）（見(jiàn)第 427 頁(yè)）。

當(dāng)你想進(jìn)行這種轉(zhuǎn)換時(shí)，你首先要仔細(xì)選擇兩種密鋪。日本武士的拼塊有三種不同的三折旋轉(zhuǎn)點(diǎn):三個(gè)頭交匯處、三只左手交匯處和三只右手交匯處。蜥蜴密鋪也有三種不同的三重旋轉(zhuǎn)點(diǎn)。當(dāng)我們想要組合兩個(gè)密鋪時(shí)（為了將一個(gè)變成另一個(gè)），在疊加密鋪時(shí)，這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)精確匹配是很重要的。這可以通過(guò)六種不同的方式實(shí)現(xiàn)，其中一種如圖37所示。

將兩幅對(duì)稱(chēng)圖的底層三角形網(wǎng)格重疊，使不同的三重旋轉(zhuǎn)中心相吻合

下一步是選擇一個(gè)由三個(gè)日本武士組成的、在三重旋轉(zhuǎn)點(diǎn)上相交的群組，然后看看我們是否可以使用蜥蜴圖的輪廓作為從三重中心點(diǎn)到群組邊界的切割線，從而使切割后的碎片數(shù)量很少。在六種可能的疊加密鋪圖中，每一種都有三種不同的方法來(lái)選擇這樣一個(gè)由三個(gè)日本武士組成的圖形群組，然而只有圖 32 中的圖形群組可以利用蜥蜴的輪廓線切割成不超過(guò)三塊的圖形。

在埃舍爾的作品集中，有許多密鋪圖都可以用來(lái)進(jìn)行這種變換，而且在某些情況下，成功疊加和切割的可能性還不止一種。從埃舍爾的魚(yú)密鋪圖（正分割圖第 20 號(hào)（彩板 2））中，我們可以以一個(gè) 4 重旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為中心，將四條魚(yú)組成的魚(yú)群分割成四塊全等的碎片，從而將埃舍爾的正分割圖第 23 號(hào)[5，第 133 頁(yè)]中的魚(yú)轉(zhuǎn)化成四只鳥(niǎo)（見(jiàn)圖 38--43）。但是，如圖 43-50 所示，這四只鳥(niǎo)也可以切成四塊，這樣我們就可以用它們做成八條魚(yú)（來(lái)自同一幅埃舍爾圖 20）！這里的訣竅在于使用不同比例的密鋪網(wǎng)格組合。我們?cè)趫D 26 中已經(jīng)看到過(guò)這一點(diǎn)。

這里的基本網(wǎng)格只是一個(gè)正方形網(wǎng)格。當(dāng)我們想把兩個(gè)不同比例的正方形網(wǎng)格組合起來(lái)時(shí)，可以進(jìn)行哪些比例的組合呢？要回答這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)谡叫尉W(wǎng)格上畫(huà)一個(gè)大正方形，使大正方形的角點(diǎn)位于網(wǎng)格點(diǎn)上，如圖 51 所示?，F(xiàn)在用小正方形單位來(lái)測(cè)量大正方形的面積。根據(jù)勾股定理，這個(gè)面積是 a^2 + b^2。這意味著我們可以把任何這樣的大正方形分成 a^2 + b^2 個(gè)小正方形，其中 a 和 b 都是非負(fù)整數(shù)。這就得出了一系列大正方形的面積：1、2、4、5、8、9、10......如表 1 所示。

表1：表中條目為 a^2 + b^2

在我們將四只鳥(niǎo)變成八條魚(yú)的例子中，我們首先通過(guò)連接兩次和四次旋轉(zhuǎn)的中心行在每個(gè)密鋪上制作一個(gè)正方形網(wǎng)格（參見(jiàn)圖38和43）。請(qǐng)注意，這些網(wǎng)格中的每個(gè)正方形的面積正好等于一個(gè)主題（一只鳥(niǎo)或一條魚(yú)），因此每個(gè)正方形可以代表一個(gè)主題。將魚(yú)的正方形網(wǎng)格視為圖51中的小正方形，然后放大鳥(niǎo)密鋪的比例，以使以4倍旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為中心的四只鳥(niǎo)的群集（四只鳥(niǎo)正方形）符合圖51中所示的大正方形，其中a = b = 2。那么大的正方形包含四只鳥(niǎo)和2^2 + 2^2 = 8條魚(yú)。另請(qǐng)注意，兩個(gè)密鋪的四重中心是重疊的。

四只鳥(niǎo)可以變成八條魚(yú)，因?yàn)榻⒃?×2直角三角形斜邊上的大正方形具有這樣的性質(zhì):大網(wǎng)格的四重中心疊加在小網(wǎng)格的四重中心上。從表1中選擇的允許這種疊加的任意一對(duì)數(shù)m，n可以用于4重旋轉(zhuǎn)的密鋪，以將m個(gè)圖案變成n個(gè)圖案。

那么，在三重旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中擴(kuò)展如何，就像日本武士和蜥蜴:我們能從三個(gè)日本武士中制造出六只蜥蜴嗎？首先，請(qǐng)記住，我們需要在兩層的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)之間建立某種良好的規(guī)則連接。圖52中兩個(gè)不同比例的六邊形格子的組合似乎給出了一個(gè)解決方案，但精確計(jì)算表明紅色六邊形和黑色六邊形的面積比例為4比7。

一般來(lái)說(shuō)，使用等邊三角形的等距網(wǎng)格并遵循正方形網(wǎng)格的推理，我們看到任何等邊三角形都可以分成a^2 + b^2 + ab小等邊三角形（見(jiàn)圖53），因此我們只能使用（面積）系列1，3，4，7，9，12，13，16，19，21的數(shù)字組合。如表2所示。

表2：表中條目為 a^2 + b^2 + ab

所以蜥蜴的數(shù)量不可能翻倍。（注意：我們只允許在變換中使用密鋪的分隔線作為切割線。)

條形網(wǎng)格

在埃舍爾的作品中還有一個(gè)很好的例子，他用接合點(diǎn)代替了拼塊。這就引出了處理密鋪格的第三種方法：我們可以將密鋪格分割成一組全等的條格，其中每個(gè)條格都由一組相連的接點(diǎn)組成。出于多種原因，我將這組網(wǎng)格分為兩類(lèi)：a) 有交叉條的網(wǎng)格；b) 無(wú)交叉條的網(wǎng)格。

埃舍爾的版畫(huà)《觀景樓》（第 135 頁(yè)）就是第一類(lèi)中的一個(gè)例子。如果仔細(xì)觀察建筑物的下部窗戶(hù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)鐵窗欞是用鐵條構(gòu)成的：水平鐵條穿過(guò)垂直鐵條上的孔，反之亦然（圖 54 展示了一扇窗戶(hù)的特寫(xiě)）。在埃舍爾生活過(guò)幾年的羅馬，你可以找到很多這種鐵窗的例子。你可能會(huì)覺(jué)得這沒(méi)什么特別的。但我在羅馬看到的所有鐵窗都可以很容易地拆卸，只需將鐵條相互滑動(dòng)即可。圖 55 中的照片展示了一種不同的系統(tǒng)。拆卸的方法是繞著中間部分，從四個(gè)方向分別松開(kāi)柵欄，直到窗網(wǎng)完全散開(kāi)。然而，當(dāng)我們看到埃舍爾的設(shè)計(jì)（圖 56 中的細(xì)節(jié)圖）時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這種網(wǎng)總是保持在一個(gè)整體中。埃舍爾對(duì)這一主題做出了自己的"不可能"變體。

達(dá)芬奇

現(xiàn)在我們來(lái)看第二類(lèi)條形網(wǎng)格：無(wú)交叉條形網(wǎng)格。圖 4 展示了這種條形網(wǎng)格的一個(gè)例子。請(qǐng)注意，在這個(gè)例子中，所有的條形網(wǎng)格都可以看作是三個(gè)接合點(diǎn)（網(wǎng)格的三個(gè)連續(xù)邊緣）的組合。這似乎是一個(gè)理想的數(shù)字。有了這個(gè)額外的限制，我們就可以定義一個(gè)構(gòu)造系統(tǒng)如下：三橫條網(wǎng)格是由單位長(zhǎng)度為 3 的橫條構(gòu)成的，因此我們可以在橫條上定義四個(gè)連接點(diǎn)：兩個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)中間點(diǎn)。條形只能以一種方式連接：一根條形的端點(diǎn)連接另一根條形的中間點(diǎn)。每根橫杠上的每個(gè)點(diǎn)都應(yīng)與另一個(gè)點(diǎn)相連。

根據(jù)這一定義，可以設(shè)計(jì)出許多不同的規(guī)則網(wǎng)格（圖 57-60 只是其中的幾個(gè)例子）。在使用這一系統(tǒng)幾個(gè)月之后（它被證明是穹頂、球體、柱子等的完美建筑系統(tǒng)），我發(fā)現(xiàn)了達(dá)芬奇的圖紙[2]，在圖紙中可以看到這些條形網(wǎng)格的三個(gè)例子（圖 61），可能是用于屋頂建筑的！

列奧納多的條形網(wǎng)格系統(tǒng)手稿

利用有限條形網(wǎng)格系統(tǒng)（其中的條形必須是彎曲的，這樣它們才能按照規(guī)則連接起來(lái)），我們可以構(gòu)造出一些正多面體和半正多面體，這也是埃舍爾和達(dá)芬奇最喜歡的主題。每個(gè)頂點(diǎn)都有三個(gè)面相交的多面體可以用達(dá)芬奇的非交叉型條形網(wǎng)格來(lái)構(gòu)建。圖 62 是一個(gè)四面體，圖 63 是一個(gè)十二面體，圖 64 是一個(gè)截頂八面體。每個(gè)頂點(diǎn)都有四個(gè)面相交的多面體可以用埃舍爾的交叉型條形網(wǎng)格來(lái)構(gòu)造。在一些示例圖中，突出顯示的是一個(gè)條形的單個(gè)閉合環(huán)。圖 65 顯示的是一個(gè)八面體，圖 66 顯示的是一個(gè)長(zhǎng)方體，圖 67 顯示的是一個(gè)菱形長(zhǎng)方體，彩板 27e 和 f 顯示的是一個(gè)截頂十二面體和一個(gè)菱形十二面體。

雖然這里顯示的數(shù)字是計(jì)算機(jī)生成的，但我已經(jīng)成功地用木材、丙烯酸和其他材料構(gòu)建了數(shù)字模型。它們不需要膠水或緊固件——單個(gè)“桿”僅通過(guò)交織結(jié)構(gòu)固定在一起。

1.M·C·埃舍爾，阿特拉尼景觀，繪畫(huà)，1931年5月25日

這幅畫(huà)是對(duì)訪問(wèn)“M·C·埃舍爾，1898-1998:1998年6月24日至28日在羅馬拉韋洛舉行的國(guó)際會(huì)議”網(wǎng)站的人的問(wèn)候盡管埃舍爾在60年前記錄了這個(gè)地點(diǎn)，但它幾乎沒(méi)有變化。與J.A.F. De Rijk拍攝于1973年的封面照片相比

2. M.C. 埃舍爾，對(duì)稱(chēng)圖 20，1938 年 3 月。鉛筆、墨水、水彩

3. M.C. 埃舍爾，對(duì)稱(chēng)圖 78，1950 年 10 月。鉛筆、墨水、水彩

4. M.C.埃舍爾，《圓極限3》，1959 年。木刻

5. M.C. 埃舍爾，《三個(gè)相交的平面》，1954 年。木刻

6.道格拉斯·德納姆。6色對(duì)稱(chēng)的雙曲線圖案，基于埃舍爾圓形極限3和{10，3}密鋪的魚(yú)圖案

7.道格拉斯·德納姆。8色對(duì)稱(chēng)雙曲圖案，基于埃舍爾70號(hào)對(duì)稱(chēng)圖的蝴蝶圖案和{7，3}密鋪圖案

8. 瑪喬麗·賴(lài)斯，《芙蓉花》，1978 年。彩色鉛筆和墨水

9. 瑪喬麗·賴(lài)斯，《玫瑰》，1998 年。彩色鉛筆和墨水

10. Makoto Nakamura，《樹(shù)林中的詭計(jì)》，1991 年。水粉畫(huà)

11. Makoto Nakamura，《風(fēng)與波》，1993 年。水粉畫(huà)

12. 伊娃·諾爾，《變化的拼塊》，1993 年。計(jì)算機(jī)生成

13. 伊娃·諾爾，《水生 S》，1993 年。印刷和手工上色

14. 伊娃·諾爾，系列 XIII，1992 年。丙烯酸畫(huà)布

15. Robert Fathauer，基于彭羅斯P1型的非周期性密鋪

16. Robert Fathauer，《分形蛇》，1994 年。絲網(wǎng)印刷

17.Victor Donnay。

a施瓦茨p曲面。

b測(cè)地線運(yùn)動(dòng)是混沌的球體。

c施瓦茨p曲面的四個(gè)副本。

d測(cè)地線運(yùn)動(dòng)為混沌的環(huán)面

18. 道格拉斯·鄧納姆制作的雙孔環(huán)面，用埃舍爾的密鋪裝飾

19.迪克·特梅斯，魚(yú)眼視圖，1995年。亞克力球體上的絲網(wǎng)印刷

20.迪克·特梅斯，巴黎圣母院，1995年。聚乙烯球形丙烯酸樹(shù)脂

21.喬斯·德·梅伊，一扇既能看到外面又能看到里面的窗戶(hù)，為Ars & Mathesis之友創(chuàng)作，1993-94。布面丙烯

22.喬斯·德·梅伊，廣闊溫暖沙漠中的擋風(fēng)玻璃，1996年。布面丙烯

23.維克多·阿塞維多，《外質(zhì)廚房》，1987年。計(jì)算機(jī)圖形

24.花邊制作者維克多·阿塞維多，1997年。計(jì)算機(jī)圖形

25.泰迦·克拉塞克。準(zhǔn)晶世界。1996.布面丙烯

26.泰迦·克拉塞克。準(zhǔn)立方體訴1997。布面丙烯

27. Rinus Roelofs.

a 五色六邊形編織圖。

b 四層交織的八角方形密鋪圖。

c 由立方體邊緣組成的環(huán)形網(wǎng)。

d 不可能的彭羅斯三維網(wǎng)格。

e 網(wǎng)格截頂十二面體。

f 網(wǎng)格菱形十二面體

參考文獻(xiàn)

[1] S.J. Abas and A.S. Salman, Symmetries of Islamic Geometrical Patterns, London, World Scientific, 1995.

[2] Leonardo da Vinci, Codex Atlanticus, f 328 v-a (1508-1510). Reproduced in Leonardo Architect, by Carlo Pedretti, Translated by Sue Brill, New York, Rizzoli International Publications, 1985.

[3] Daniel Sheets Dye, Chinese Lattice Designs, New York, Dover Publications, 1974. Reprint of A Grammar of Chinese Lattices, Harvard University Pr., 1937 and 1949.

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[5] B. Griinbaum and G.e. Shephard, Tilings and Patterns, New York, W.H. Freeman, 1987

[6] D. Schattschneider, Visions ()f Symmetry: Notebooks, Periodic Drawings, and Related Work of M.e. Escher, New York, W.H. Freeman, 1990.

[7] Rinus Roelofs, Not the Tiles, but the Joints: A little Bridge Between M.e. Escher and Leonardo da Vinci

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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