女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文深入探討數(shù)學(xué)與新思想之間的朦朧地帶。這看似毫無道理，因?yàn)檎б豢�，�?shù)學(xué)與靈性之間很難有重疊之處。然而，至少對某些藝術(shù)家來說，這確實(shí)令人振奮。

新時(shí)代的數(shù)學(xué)

新時(shí)代的信徒喜歡各種圖案。他們喜歡的圖案之一是由半徑相同的圓形重疊而成，圍繞中心圓排列。根據(jù)他們看到的形狀，他們稱之為 "生命之花"、"生命之種"、"生命之蛋"、"生命之樹 "或 "生命之果"。"生命之花"一詞最早是由 Drunvalo Melchizedek 在其《生命之花的古老秘密》（1999年）一書中使用的，該書的封面圖案就是生命之花。

這種圖案出現(xiàn)在不同的文化中，從達(dá)芬奇到Coldplay等許多藝術(shù)家都曾使用過（圖22.1）。塞浦路斯的古希臘人似乎是第一個(gè)使用這種圖案的人，因?yàn)樵谝吝_(dá)里昂發(fā)現(xiàn)了一個(gè)公元前 8-7 世紀(jì)的碗，中間有一個(gè)圓弧圖案。不過，他們的競爭對手是現(xiàn)在伊拉克北部城市 Dur Sarrukin 的亞述人，他們早在公元前7-6世紀(jì)就在這里繪制了生命之花。羅馬人經(jīng)常使用這種圖案作為裝飾，伊斯蘭和哥特藝術(shù)家也描繪過這種圖案。到了近代，在教堂的窗戶裝飾中，甚至在小型教區(qū)中，仍然可以看到這種圖案。在中國，重疊的圓圈是重要建筑入口處獅爪下的球形圖案。

圖22.1 Jan Detavernier的裝置作品Entrophi在水中有一個(gè)對稱的部分。雖然看不見，但通過水面的反射，可以想象出整個(gè)結(jié)構(gòu)。

也許任何收到過尺子和圓規(guī)文具套裝的人都玩過這種圓形圖案。從一個(gè)圓開始，從該圓上的一個(gè)給定點(diǎn)測量其半徑六次。圍繞這些點(diǎn)繪制六個(gè)半徑與初始圓相同的圓。總共有七個(gè)圓圈。當(dāng)圓以相同的方式添加到這六個(gè)圓上時(shí)，從它們的交點(diǎn)開始，這樣就多了12個(gè)圓�，F(xiàn)在總共將有19個(gè)圓圈。這種結(jié)構(gòu)可以用同樣的方法擴(kuò)展到37圈甚至更多。它們的數(shù)量符合公式n^3-(n-1)^3（圖22.2）。

圖22.2生命之花

這個(gè)令人肅然起敬的圖案可以用來做什么數(shù)學(xué)題呢？當(dāng)然，它有助于獲得繪制柏拉圖五種正多面體的參考點(diǎn)：四面體、立方體、八面體、十二面體和二十面體。盧卡·帕喬利（Luca Pacioli）在閱讀歐幾里德著作的基礎(chǔ)上，在他的《神圣比例》一書中寫到了這一點(diǎn)，并請達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci）為該書繪制插圖。這些插圖之美引發(fā)了一種多面體狂熱，這種狂熱一直持續(xù)到今天（圖 22.3）。

圖22.3 用生命之花繪制的四面體、立方體、八面體、十二面體和二十面體

帕喬利的神圣比例，即數(shù)字1.618......，后來被稱為黃金分割，如上所述，現(xiàn)在經(jīng)常被記為 φ。關(guān)于黃金分割的這些誤解和其他誤解將在本書的其他部分進(jìn)行討論。這里給出的兩幅圖說明了新時(shí)代的一些更有趣的說法：坐在邊長為 2 的正方形底座和 "φ "符號的金字塔下可以改善祈禱或?qū)W習(xí)；"φ "符號將代表 "虛空 "的 "o "和代表 "神圣統(tǒng)一體 "的"1"結(jié)合在一起（圖 22.4）。

圖22.4 “神圣金字塔”和黃金分割的神圣解釋

回到"生命之花"，人們也可以從中獲得一些計(jì)算上的樂趣，把 1 到 48 的數(shù)字放在其中，這樣在某些圓圈中和圓圈的某些部分中的所有數(shù)字之和總是 294（見插圖中的彩色部分）。這不是 "魔方"，而是印度數(shù)學(xué)家納拉亞那·潘迪塔（Narayana Pandita，1325-1400 年）創(chuàng)造的 "魔法蓮花"。它出現(xiàn)在他的著作《Ganita Kaumudi》（《數(shù)學(xué)的月光》，1356 年）中。這一印度起源非常符合新紀(jì)元的思維定勢，這的確很神奇（圖 22.5）。

圖22.5納拉亞娜·潘迪塔的神奇蓮花：彩色區(qū)域的數(shù)字加起來都是294

這肯定不是高等數(shù)學(xué)，但數(shù)學(xué)家們可以為人們在精神追求中求助于幾何或算術(shù)而感到榮幸，這確實(shí)是許多人的共同追求。比利時(shí)藝術(shù)家揚(yáng)·德塔弗尼爾（Jan Detavernier）對"生命之花"情有獨(dú)鐘，他制作了一臺滴水機(jī)，用電腦控制水滴從高處滴落在平整的水面上，水滴的波紋描繪出一朵朵生命之花。Detavernier 解釋說，"通過一些附加的音樂和燈光效果，他的裝置《Drops》將觀眾帶入'幾何創(chuàng)世紀(jì)的氛圍中'，'圓的幾何芭蕾'（圖22.6）。

圖22.6 Jan Detavernier 的裝置作品Drops

四面體

新時(shí)代也有制造3D的生命之花的方法，但這需要更多的解釋。從四個(gè)四面體開始，用它們組成一個(gè)四面體，將其中三個(gè)四面體的邊兩兩對齊，其中一個(gè)頂點(diǎn)是公共的，也是兩兩對齊，然后將其中一個(gè)四面體放在這三個(gè)四面體的上面。在第一個(gè)四面體的旁邊和上面倒置四個(gè)類似的四面體組。在剩下的空間里再放三個(gè)。第一步有4個(gè)小正四面體，下一步有20個(gè)，最后一步有32個(gè)（圖 22.7）。

圖22.7 4、20和32四面體

現(xiàn)在，再次從四個(gè)四面體組開始，以類似的方式將三個(gè)四面體組緊挨在一起，再將一個(gè)四面體組放在頂部，形成一個(gè)更大的四面體組。這不禁讓人聯(lián)想到所謂的謝爾賓斯基結(jié)構(gòu)。再取一個(gè)這樣的大結(jié)構(gòu)，將其翻轉(zhuǎn)過來，放入第一個(gè)結(jié)構(gòu)中。第一個(gè)結(jié)構(gòu)有4 × 4個(gè)四面體，加上倒置的四面體中的16個(gè)，又有32個(gè)四面體。最后，將整個(gè)結(jié)構(gòu)插入前面的32個(gè)四面體中，就得到了64個(gè)四面體的形狀（圖 22.8）。

圖22.8 16、32和64四面體

接下來，請看俯視圖，就好像初始四面體站在水平面上。頂點(diǎn)與生命之花完全吻合。當(dāng)然，有些圓的交點(diǎn)與投影的任何一點(diǎn)都不對應(yīng)，但這并不影響一個(gè)優(yōu)秀的新時(shí)代人（圖 22.9）。

圖22.9 64個(gè)四面體結(jié)構(gòu)的俯視圖；線視圖；生命之花上的同一線視圖

用正方形覆蓋64個(gè)四面體結(jié)構(gòu)的某些部分，就得到了立方八面體。它是由八個(gè)三角形面和六個(gè)正方形面組成的阿基米德實(shí)體。建筑師巴克明斯特·富勒（Buckminster Fuller）非常喜歡這種結(jié)構(gòu)，這可能是因?yàn)樗业搅艘环N方法，可以將正方形折疊起來，只留下八個(gè)三角形，形成一個(gè)八面體（圖 22.10）。

圖22.10 64四面體結(jié)構(gòu)，覆蓋有額外正方形的相同結(jié)構(gòu)，以及立方體八面體

富勒還用他那典型的行話，將“環(huán)形流”賦予了立方八面體。人們可以說這是詩意的語言，也可以說這是晦澀的語言，這取決于人們對這類說法的欽佩或厭惡程度。無論如何，一個(gè)變形的環(huán)繞著長方體，不管這意味著什么。新時(shí)代的人將其視為“能量流”，并稱其中心為“奇點(diǎn)”（圖22.11）。

圖22.11 環(huán)繞變形環(huán)的立方八面體、環(huán)形本身，以及帶有變形環(huán)的原始64四面體結(jié)構(gòu)

上面提到的藝術(shù)家Jan Detavernier被這種詩意的幾何圖像所打動(dòng)，制作了一個(gè)他挑釁性地稱為Entrophi的裝置。該構(gòu)造是64四面體結(jié)構(gòu)的3D模型。它在水中有一個(gè)看不見的對稱部分，但由于水面的反射，整個(gè)結(jié)構(gòu)可以想象出來。為了模仿環(huán)形流，他在頂部安裝了噴泉。這件藝術(shù)品于2020年在比利時(shí)梅嫩展出（圖22.12）。

圖22.12 揚(yáng)·德塔弗尼爾的環(huán)形流四面體

空間疊加

當(dāng)我第一次看到64四面體結(jié)構(gòu)時(shí)，我并沒有被環(huán)形流動(dòng)或與生命之花的聯(lián)系所深深打動(dòng)，更多的是被四面體的堆疊過程所打動(dòng)。當(dāng)然，將立方體堆疊在彼此的頂部、前面和后面，并將它們推在一起，可以不留任何間隙地填滿整個(gè)空間——只要想想堆滿紙板箱或啤酒板條箱的倉庫就知道了。它們可能有一些矩形面，因此不一定是立方體，但它們的面相互垂直，所以它們堆疊得很好，就像立方體一樣。

很明顯，那么四面體呢？64正四面體形狀中的正四面體是否表明可以只用正四面體來填充空間？亞里士多德（公元前384-322年）是這樣認(rèn)為的。他是與蘇格拉底和柏拉圖齊名的偉大希臘古典哲學(xué)家。他被稱為第一位“普世之人”，對當(dāng)時(shí)已知的幾乎所有科學(xué)都感興趣，包括數(shù)學(xué)。在他的著作《論天》（De Caelo）中。亞里士多德指出：

眾所周知，在所有多邊形中，有三個(gè)圖形填充了它們所在的平面：三角形、正方形和六邊形；而在所有空間體中，只有兩個(gè)，即四面體和立方體。

1800年來，亞里士多德文本的注釋者不遺余力地證明這位偉大的希臘學(xué)者是正確的，直到德國人雷焦蒙塔努斯（1436-1476 年）意識到，在堆疊正四面體時(shí)，無論如何堆疊，總會有一些剩余空間。畢竟，兩個(gè)面之間的夾角約為 70°31.7...'，如果將 5 個(gè)面圍在一條公共邊上，就會剩下約 360°- 5 × 70°31.7...' = 7°21'。這是一個(gè)很小的角度，在用石頭或木頭制作四面體時(shí)很難注意到這個(gè)角度。也許亞里士多德是根據(jù)"經(jīng)驗(yàn)"觀察得出結(jié)論的，但從理論上講這是不正確的（圖 22.13）。

圖22.13 一個(gè)四面體和五個(gè)四面體，沒有填滿空間

那么，64四面體結(jié)構(gòu)是怎么回事呢？仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)某些四面體之間存在八面體空間。四面體和八面體合在一起確實(shí)可以填充空間（圖22.14）。

圖22.14 將上述 64 個(gè)四面體結(jié)構(gòu)前面的藍(lán)色金字塔移除后，可以看到其中有一個(gè)八面體孔（下圖第二和第三列）。此外，在將其轉(zhuǎn)化為立方八面體時(shí)添加的每個(gè)正方形上都有四個(gè)金字塔，每個(gè)金字塔都可以補(bǔ)全為一個(gè)八面體（上圖第二和第三列）

雖然用一種形狀的棱柱磚就足以砌墻，但如果想用四面體砌墻，就必須使用兩種形狀的棱柱磚。不管把四面體放在八面體上會不會產(chǎn)生滑動(dòng)效應(yīng)，提出四面體和八面體結(jié)構(gòu)似乎確實(shí)很有趣，當(dāng)然也很新穎（圖 22.15）。

圖22.15 八面體和用四面體和八面體磚砌成的墻

從結(jié)構(gòu)上看，四面體無疑是最堅(jiān)固的，因?yàn)樗挥傻冗吶切谓M成，不會變形，而正方形或長方形則很容易坍塌。我們會很快看到四面體和八面體磚嗎？

青山不改，綠水長流，在下告退。

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