女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文討論歐幾里得空間的生物在雙曲或球面幾何的世界中會(huì)如何發(fā)展，反之亦然。各種各樣的視錯(cuò)覺和違反直覺的體驗(yàn)出現(xiàn)了，它們可以用這些幾何圖形的平面模型進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋。

如果我們進(jìn)入雙曲宇宙，會(huì)有什么體驗(yàn)？赫爾曼·馮·亥姆霍茲在《幾何公理的起源和意義》一文中給出了如下答案：

我們可以推斷，對(duì)于一個(gè)像我們?cè)跉W幾里得空間中那樣獲得了空間的視覺測(cè)量和經(jīng)驗(yàn)的觀察者來說，如果有可能進(jìn)入一個(gè)偽球形[即雙曲]世界，會(huì)是什么樣子。這樣的觀察者將繼續(xù)把光線或視線視為直線，如在平坦空間中遇到的，以及它們?cè)趥吻蛐螏缀蔚那蛐伪硎局械恼鎸?shí)情況[即，三維版本的投影盤模型；參見圖1]。因此，偽球形空間中的物體的視覺圖像會(huì)給他留下相同的印象，就好像他在貝爾特拉米的球中心一樣。他會(huì)認(rèn)為他看到了他周圍有限距離的最遙遠(yuǎn)的物體，讓我們假設(shè)100英尺遠(yuǎn)。但是當(dāng)他接近這些遙遠(yuǎn)的物體時(shí)，它們會(huì)在他面前膨脹……而在他身后他們會(huì)收縮。他會(huì)知道他的眼睛判斷錯(cuò)誤。如果他看到兩條直線，在他的估計(jì)中它們與他的世界盡頭平行，他會(huì)發(fā)現(xiàn)沿著它們走得越遠(yuǎn)，它們就越偏離。[1，第316–317頁]

我們打算對(duì)亥姆霍茲的這些簡短論述加以闡述。亥姆霍茲的基本假設(shè)是，生物進(jìn)入一個(gè)不同的世界時(shí)，會(huì)以保持測(cè)地線的方式將其嵌入自己的幾何中，從而扭曲他所看到的世界。在這樣做的過程中，生物的行為是正常的；他使用自己一直使用的相同幾何圖形來解釋世界，并使用“光線沿直線傳播”的假設(shè)將視覺印象轉(zhuǎn)化為這種幾何圖形，就像他一直做的那樣。因此，舉例來說，如果一個(gè)歐幾里得生物進(jìn)入了一個(gè)雙曲世界，他就會(huì)把他的視覺印象強(qiáng)加到他的歐幾里得頭腦中，也就是說，他會(huì)在他的頭腦中把雙曲的大地線表現(xiàn)為歐幾里得幾何意義上的直線，而其他幾何特性則會(huì)相應(yīng)地被扭曲。事實(shí)上，有一個(gè)著名的雙曲幾何模型將雙曲測(cè)地線表示為歐幾里得線，這就是圖1所示的投影圓盤模型。該模型雖然保留了直線，但卻扭曲了尺寸；所有拼塊的雙曲尺寸都相等。

圖1：雙曲幾何的射影圓盤模型(左)和共形圓盤模型(右)。

有了這個(gè)圖形，就很容易證實(shí)亥姆霍茲的說法了。我們應(yīng)該想象自己站在圓盤的中心，當(dāng)我們行走時(shí)，我們應(yīng)該想象自己保持在中心，而地面則像跑步機(jī)一樣在我們腳下移動(dòng)。在我們看來，遠(yuǎn)處的某塊地磚的大小只是離我們最近的地磚的一小部分，但當(dāng)我們走到它跟前時(shí)，這塊遠(yuǎn)處的地磚就會(huì)占據(jù)圖形的中心部分，因此它看起來會(huì)和我們以前站立的地磚一樣大，而那些地磚在我們身后的大小則會(huì)縮小。如果我們把目光投向我們打算步行前往的某個(gè)特定目標(biāo)，那么我們會(huì)發(fā)現(xiàn)步行的時(shí)間比預(yù)期的要長很多，因?yàn)槲覀儠?huì)判斷，例如，前方五塊瓷磚的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于我們所處位置的一塊瓷磚的長度。因此，一般來說，我們會(huì)誤判物體比實(shí)際距離更近、更小。

遺憾的是，亥姆霍茲并沒有詳細(xì)說明他的論述所依據(jù)的假設(shè)，因此留下了許多未解之謎。尤其是，我們?yōu)槭裁匆褂猛队皥A盤模型而不是保角圓盤模型？雙曲大小失真現(xiàn)象與我們?cè)谄胀W幾里得空間中的日常經(jīng)驗(yàn)（即遠(yuǎn)處的物體看起來更?。┚烤褂惺裁搓P(guān)系？

我們將嘗試回答這些問題。首先，我們應(yīng)該明確，我們并不是在假設(shè)距離和大小是以某種數(shù)學(xué)上定義明確的方式（例如，根據(jù)到達(dá)眼睛的光線的角度測(cè)量）來判斷的。相反，我們假設(shè)生物是以它們一直以來的方式來判斷距離和大小的。這包括有關(guān)光線到達(dá)眼睛的入射角度和其他類似度量的某些數(shù)學(xué)原理，但也涉及各種經(jīng)驗(yàn)事實(shí)和對(duì)世界的假設(shè)。

以圖2中的瓷磚地板為例。當(dāng)我們看到瓷磚地板的透視圖（如左圖）時(shí)，我們會(huì)推斷所有瓷磚的大小相同。數(shù)學(xué)原理在這里發(fā)揮了作用；除其他效果外，數(shù)學(xué)原理還能讓我們辨別真假透視圖，如右圖中的透視圖。

圖 2：瓷磚地板的精確透視圖（左）和不精確透視圖（右）。

然而，瓷磚大小相等的推論并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)依據(jù)。畢竟，在某些簡化的假設(shè)條件下，比如我們只有一只眼睛，沒有“迷霧”或焦距差異，也沒有判斷物體遠(yuǎn)近的其他因素等，其他幾何排列也可以給人完全相同的視覺印象。事實(shí)上，在這些假設(shè)條件下，上面的圖片和實(shí)際的瓷磚地板會(huì)給人完全相同的視覺印象。我們推斷自己看到的是鋪著大小相等的正方形瓷磚的地板，這一推斷與數(shù)學(xué)原理、經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)日常生活中通常會(huì)遇到的物體類型的隱含假設(shè)糾纏在一起。我們假設(shè)，當(dāng)我們進(jìn)入雙曲空間時(shí)，所有這一切都會(huì)延續(xù)下去。

因此，如果我們看到的東西看起來像是瓷磚地板的精確透視圖，我們就會(huì)認(rèn)為我們看到的是大小相等的瓷磚。在雙曲世界中，什么樣的幾何構(gòu)造會(huì)給我們這樣的視覺印象呢？在投影圓盤模型中，很容易就能畫出給人這種視覺印象的圖形：只需在模型中畫出歐幾里得正方形的規(guī)則網(wǎng)格。由于光是直線傳播的（在這個(gè)模型中是歐幾里得直線），所以當(dāng)我們把網(wǎng)格上的點(diǎn)連接到觀察者的眼點(diǎn)時(shí)，就會(huì)得到一束與歐幾里得情況無異的直線。

然而，保角圓盤模型也保留了通過中點(diǎn)的測(cè)地線。那么，在這個(gè)論證中，我們是否可以用共形盤代替投影盤呢？嚴(yán)格地說，就純視覺數(shù)據(jù)而言，我們可以這樣做。但是，我們判斷直線度的能力并不僅僅局限于視網(wǎng)膜幾何。我們對(duì)直線度的感知還受到一些文化線索的影響，例如所有車輪都對(duì)準(zhǔn)的汽車軌跡、匆忙的行人、慣性運(yùn)動(dòng)的物體以及建筑物的邊緣及其陰影。有了這些暗示的幫助，共形磁盤的情況不太可能欺騙我們；我們很可能會(huì)把瓷磚地板的表面印象當(dāng)作游樂園游樂場(chǎng)那種故意制造的視覺錯(cuò)覺。另一方面，在投影圓盤的情況下，我們沒有這樣的借口，所以我們會(huì)相信瓷磚地板的錯(cuò)覺以及隨之而來的對(duì)距離的錯(cuò)誤估計(jì)。

這些論據(jù)支持亥姆霍茲的原理，即生物進(jìn)入一個(gè)不同的世界時(shí)，會(huì)以保留大地的方式將其嵌入自己的幾何中，從而扭曲他所看到的世界。既然這個(gè)原理已經(jīng)確立，我們就可以把它推廣到其他幾何中去，自娛自樂一番。

讓我們先來看看球面幾何。亥姆霍茲再次為我們提供了一些簡短的意見：

如果我們用歐幾里得的空間來測(cè)量，進(jìn)入一個(gè)三維的球形空間，就會(huì)產(chǎn)生一種相反的錯(cuò)覺。我們會(huì)認(rèn)為較遠(yuǎn)的物體比實(shí)際距離更遠(yuǎn)、更大，而且在接近它們時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們到達(dá)它們的速度比我們從它們的外觀所預(yù)期的要快……然而，球形世界中最奇特的景象應(yīng)該是我們自己的后腦勺。[1，第 317-318 頁］

的確，我們會(huì)看到自己的后腦勺，因?yàn)榍蛎鎺缀螌W(xué)中的測(cè)地線是大圓，所以從我們的后腦勺到我們的眼睛存在測(cè)地線路徑。那么度量扭曲呢？是否有一個(gè)類似于雙曲面的模型可以幫助我們理解為什么這些扭曲是亥姆霍茲所報(bào)告的那種類型呢？根據(jù)亥姆霍茲原理，如果我們進(jìn)入一個(gè)球形宇宙，我們就會(huì)以保全測(cè)地線的方式將其映射到我們的歐幾里得思維中。事實(shí)上，確實(shí)存在這樣一種映射：gnomonic 投影，即從球心到切面的投影（示例見圖 3）。由于球面上的測(cè)地線是球面與通過其中心的平面的交點(diǎn)，因此其投影是該平面與投影到切線平面的交點(diǎn)，即一條直線，因此測(cè)地線投影顯然是保全測(cè)地線的。18]

通過圖3，我們可以證實(shí)亥姆霍茲的說法。假設(shè)我們站在圖的中心，我們認(rèn)為瑞典和非洲一樣大，但如果我們走到瑞典，就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們大錯(cuò)特錯(cuò)了。我們認(rèn)為靠近兩極的東西幾乎是無限遙遠(yuǎn)的，而實(shí)際上這個(gè)距離只是球體周長的四分之一，所以我們會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)我們可以很容易地到達(dá)那里?？傊覀儠?huì)錯(cuò)誤地判斷物體比實(shí)際距離更遠(yuǎn)、體積更大。

這里存在的一個(gè)問題是，在 gnomonic 投影法下，只有半個(gè)球體被映射到平面上。當(dāng)然，來自球面另一半的光線也會(huì)到達(dá)我們的眼睛。那么，我們?cè)撊绾谓忉寔碜赃@一半的光線呢？它在我們的幾何世界概念中的位置如何？或者說，既然我們看到自己的后腦勺“在”我們的“前面”，我們?cè)趺纯赡芟胂蟪鏊摹熬嚯x”呢？這種現(xiàn)象并不像初看起來那么荒謬。事實(shí)上，它與我們?nèi)粘Ｓ^察天空的經(jīng)驗(yàn)類似。當(dāng)我們仰望天空時(shí)，我們看到的是星星、太陽和月亮，但我們的視覺印象并不像本地物體那樣帶有任何距離的內(nèi)涵。我們有一個(gè)“地平線”，在這個(gè)地平線之外，我們無法判斷距離。因此，對(duì)于進(jìn)入球形世界的歐幾里得生物來說，球體的遠(yuǎn)半部分就類似于我們的夜空；他們會(huì)看到它，但他們的度量概念并不適用。

現(xiàn)在，讓我們考慮一下其他世界的生物進(jìn)入我們世界的相反情況。同樣，我們的規(guī)則是，每個(gè)生物都會(huì)以保全測(cè)地線的方式將我們的世界映射到他自己的幾何世界中。

對(duì)于球形生物來說，借助球面鏡就可以非常生動(dòng)地說明這一點(diǎn)。如果將一面球面鏡（大小合適）對(duì)著圖3中的球面投影插圖，在尼日利亞下方的切點(diǎn)處與之相觸，鏡中的圖像將是我們習(xí)慣看到的一個(gè)幾乎完美的地球。(您可以使用放大的gnomonic 投影圖來親自嘗試一下。如果把圖形放大到與報(bào)紙版面差不多大，那么就可以使用一個(gè)與保齡球差不多大的花園裝飾品鏡子；如果放大得更小，就可以使用一個(gè)普通的圣誕球作為鏡子）。這證明了照鏡子近似于gnomonic投影的逆投影（因?yàn)樗俺蜂N”了原來的投影）。因此，這個(gè)地圖也幾乎是保全測(cè)地線的，所以它可以用來計(jì)算球形生物在我們的世界中是如何判斷距離和大小的。顯然，球形生物會(huì)認(rèn)為所有東西都離自己很近（不超過圓周的四分之一），而且非常小（比如，從遠(yuǎn)處用球面鏡觀察一座山，它看起來很小，比近處的一分錢硬幣還?。?/p>

圖3:地球Gnomonic投影到尼日利亞正南方的一個(gè)相切平面上。(出自[3])。)

雙曲生物則會(huì)有相反的誤解。同樣，投影圓盤是連接我們兩個(gè)世界的橋梁，因?yàn)樗哂写蟮乇Ｈ?。但現(xiàn)在情況相反了；雙曲生物會(huì)把投影圓盤的度量標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)加給我們的世界。這樣，他就會(huì)認(rèn)為，距離我們只有幾英寸（或者他的圓盤半徑是多少）的物體幾乎是無限遠(yuǎn)的（要到達(dá)那里，我們必須穿過這么多的瓷磚），而且非常大（因?yàn)樗采w了這么多的瓷磚）。如果他發(fā)現(xiàn)自己只需一兩步就能走到那里，而且這些物體并不像他想象的那樣巨大，他會(huì)多么驚訝啊。在這里，“度量地平線 ”現(xiàn)象又是非常明顯的。雙曲生物只能判斷其圓盤半徑范圍內(nèi)的距離。其他一切都會(huì)被他判定為無法估量的遙遠(yuǎn)，就像我們看到的夜空一樣。因此，他在這方面的困惑就好比我們突然意識(shí)到站在腳尖上就能伸手觸摸到月亮一樣。

我們還需要考慮雙曲生物進(jìn)入球形世界的情況，反之亦然。這些情況下所需的大地保全映射可以通過上述映射的組合來獲得，并以歐幾里得幾何作為中間階段。因此，要了解球形生物如何體驗(yàn)雙曲世界，我們只需在球面鏡中觀察觸及圓心的投影圓盤模型即可。根據(jù)我們迄今為止的討論，雙曲直線=投影圓盤模型中的歐幾里得直線≈鏡面投影下的球面直線，因此這給出了雙曲幾何的近似保全測(cè)地線球面模型。因此，球面生物會(huì)認(rèn)為所有東西都非常近（根據(jù)圓盤和球面的半徑，也許在周長的十分之一以內(nèi)），而且與實(shí)際大小相比非常?。ㄟh(yuǎn)處的拼塊小得令人難以置信）。相反，雙曲生物對(duì)球形空間的體驗(yàn)是通過將投影圓盤度量強(qiáng)加在球體的gnomonic投影上而獲得的。這樣，球面直線 = 球面投影上的直線 = 投影圓盤上的直線，因此大地線得以保留。因此，雙曲生物的錯(cuò)覺將由上述與這些映射相關(guān)的兩種錯(cuò)覺組成；他會(huì)認(rèn)為物體非常遠(yuǎn)（幾乎所有物體甚至都在“度量水平線”之外）和非常大（因?yàn)樗鼈兏采w了如此多的方格）。

參考文獻(xiàn)

[1] Hermann Helmholtz, “The origin and meaning of geometrical axioms,” Mind, Volume 1 Number 3 (1876), pages 301–321.

[2] William T. Shaw, Complex Analysis with Mathematica, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

[3] Eric W. Weisstein, Gnomonic projection—From MathWorld; available at: http://mathworld.wolfram.com/GnomonicProjection.html, ac

cessed on June 26, 2013.

[4] Viktor Bl?sj?, Hyperbolic Space for Tourists

青山不改，綠水長流，在下告退。

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