女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

我們仔細(xì)觀察一些建筑作品就會發(fā)現(xiàn)，在這些作品中，我們經(jīng)?？梢哉业较嗤膸缀涡螤睢＿@是一種特殊的平面幾何形狀，它可以以各種方式呈現(xiàn)，但始終保持著規(guī)律性和活力：玫瑰窗或玫瑰花飾。我們將把目光停留在兩座建筑上：羅馬的坎皮多格利奧廣場和倫敦綽號“小黃瓜”的摩天大樓。這兩座建筑的歷史、時代和建筑師都截然不同，然而，從特定的觀察點來審視它們，我們會發(fā)現(xiàn)它們都有著相同類型和形狀的玫瑰窗。我們的作品旨在激發(fā)學(xué)生的觀察興趣，同時也建議教師利用這個機(jī)會，按照連續(xù)的思路，從幾何角度向?qū)W生介紹玫瑰窗、組成玫瑰窗的幾何圖形，并分析其在所觀察的建筑中的象征意義和美學(xué)意義。

1 簡介

2015 年米蘭世博會。這一備受歡迎且非常成功的活動的標(biāo)志性雕塑（圖 1）是此次活動的亮點。

圖1 生命之樹（意大利米蘭）。

幾個世紀(jì)以來，生命之樹以各種方式代表著人類。它的形狀與其含義密切相關(guān)。生命之樹的底部樹根和末端樹枝，呈現(xiàn)出由類似樹葉和水滴的元素形成的規(guī)則紋理。樹根和樹頂連接在一起，形成一個旋渦狀的運動，這似乎不僅描述了樹的形狀，還描述了樹緩慢而有規(guī)律的生長過程 [1]。圖 2 中的虛擬重建突出顯示了這種感覺。

圖2 生命之樹的虛擬重建。

讓我們從上往下看。我們看到的形狀就是圖中樹根的形狀。樹冠由大葉子組成，這些葉子部分重疊，分布在規(guī)則的花冠中。

通過虛擬重建反射圖像，我們可以看到一個名為“玫瑰窗”的物體（圖 3）。

圖3生命之樹的虛擬投影。

首先，讓我們試著給出玫瑰花窗的概念，然后再分析我們的重建作品，以了解它是否是玫瑰花窗以及屬于哪種類型。

用現(xiàn)在的話來說，玫瑰窗是一種裝飾元素，一般出現(xiàn)在羅馬式或哥特式教堂的外墻上（圖4），其特點是造型花卉元素重復(fù) “追逐”，但保持在一個圓周內(nèi)。從這個意義上說，它的形狀被解釋為基督教的一種象征，象征著人類生命的循環(huán)往復(fù)與圓圈所代表的上帝的無限性。

圖4 卡普拉尼卡圣弗朗西斯科教堂（意大利維泰博）外墻上的玫瑰窗。

然而，在數(shù)學(xué)語言中，“玫瑰窗”一詞具有非常精確的含義，甚至可以用來描述非常不同的物體。

玫瑰窗 “一詞可解釋為 ”大朵的玫瑰“，因此從廣義上講，也可解釋為 ”大朵的造型花"。

因此，從幾何學(xué)的角度來看，我們可以將數(shù)學(xué)中稱為玫瑰曲線的幾何圖形作為“花朵”的例子。

玫瑰花如圖5所示。通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)它具有中心對稱的特征，并且可以刻在圓周上?；谶@些考慮，我們對幾何玫瑰進(jìn)行了可能的定義。

圖5 格蘭迪玫瑰，源自十八世紀(jì)中葉提供方程的數(shù)學(xué)家的名字。

首先，請記住，在幾何中，如果存在一個將圖形映射到自身的變換，則該圖形具有對稱性。此外，我們還記得，旋轉(zhuǎn)和反射是應(yīng)用于圖形的變換，保持其維度[2，3]。

因此，我們可以推導(dǎo)出，一個有限維度的圖形，如果它具有某種對稱性特征，那么就可以從它的一部分開始，通過旋轉(zhuǎn)和反射的組合來構(gòu)建它。

有了這些基本概念，讓我們試著給玫瑰花形下定義。

如果一個中心對稱的平面圖形只能通過圍繞對稱中心旋轉(zhuǎn)n 次（n = 2、3、......）才能得到，且旋轉(zhuǎn)角度等于轉(zhuǎn)角的1/n，那么這個圖形就叫做循環(huán)玫瑰形。

圖6是循環(huán)玫瑰的一個例子。它是米蘭大教堂最著名的標(biāo)志之一：“Raza”（或一個光芒四射的太陽，為比斯喬內(nèi)加冕，是維斯康蒂家族的紋章標(biāo)志），是位于主祭壇后方天頂中央窗戶內(nèi)的著名窗戶的主要元素之一。

圖6 米蘭大教堂中的Raza。

圖7和圖8展示了它的幾何重構(gòu)。特別是，對圖7中的底座“花瓣”進(jìn)行連續(xù)旋轉(zhuǎn)，就得到了圖 8 中的玫瑰花。

圖7 旋轉(zhuǎn)玫瑰窗的局部構(gòu)造。

圖8 循環(huán)玫瑰窗的構(gòu)造。

如果通過圍繞中心的n 次（ n = 2、3、......）旋轉(zhuǎn)和圍繞通過中心的反射軸的n 次（ n = 2、3、......）反射的組合，可以建立一個具有中心對稱的平面圖形，則稱為二面玫瑰。

在圖9中，我們有一個二面角玫瑰的例子。這是米蘭大教堂彩色玻璃窗的另一個玫瑰窗，位于南耳堂的后殿。

圖9 米蘭大教堂的玫瑰窗。

圖10和圖11顯示了它的幾何重構(gòu)?？梢钥闯觯诿倒宥骟w中，由于全局變換的反射分量，除了對稱中心之外，還有對稱軸。

圖10二面體玫瑰窗的局部結(jié)構(gòu)。

圖11四面體玫瑰窗的構(gòu)造。

現(xiàn)在讓我們看看圖3的形狀：它是一個中心對稱的平面圖形。它由十二片“葉子”組成，形成一個包含在圓周中的花冠。每個葉片相對于一個軸對稱。形狀的12個對稱軸匯聚于一點，即對稱中心(圖12)。

圖12生命之樹虛擬投影中的對稱性。

因此，它是一種幾何形式，可以通過相對于對稱軸的十二次“半葉”反射和圍繞對稱軸的十二次十二分之一轉(zhuǎn)角幅度的旋轉(zhuǎn)來產(chǎn)生。

在這一點上，我們能夠得出結(jié)論，圖3中的形狀可以解釋為二面角玫瑰，其中每片葉子在幾何上是伯努利雙紐線的一半[2]。

但是什么是伯努利雙紐線呢？雙紐線(圖13)是一個封閉的平面曲線，中心有一個雙點，有一個對稱軸，它立即讓人想起無限的數(shù)學(xué)符號，從而給玫瑰窗中的內(nèi)在增加了象征性的標(biāo)志。

圖13伯努利雙紐線。

這種特殊的二面體玫瑰將成為建筑中有趣和有意義的元素。

在這部作品中，我們提供了兩個例子，兩位建筑師米開朗基羅和福斯特設(shè)計的兩個建筑的俯視圖：時間上相隔幾個世紀(jì)，不會弄錯，但由同一個符號聯(lián)系在一起。

這是兩張?zhí)祉攬D。第一個在羅馬的Piazza del Campidoglio，第二個在倫敦的Foster著名的小黃瓜。

我們在兩個完全不同的地方有兩朵玫瑰，也不同于教堂正面的經(jīng)典玫瑰窗。

讓我們試著去觀察它們，找到幾何形狀，解讀它的象征意義。

2 觀察與組合

2.1 羅馬坎皮多格里奧廣場

羅馬七座山丘中最著名的卡皮托利尼山（Capitoline Hill）荒廢不堪，甚至被放牧的山羊侵占，教皇保羅三世（Paul III）于 1540 年左右委托米開朗基羅對廣場進(jìn)行改造。

米開朗基羅提議并獲得了一個正面開闊、略呈梯形的廣場，目的是使廣場轉(zhuǎn)向羅馬廣場，而不是轉(zhuǎn)向同樣處于荒廢狀態(tài)的羅馬廣場，主要是轉(zhuǎn)向圣彼得廣場，在那里，通過文藝復(fù)興時期的建筑，城市的活力再次得到發(fā)展。

米開朗基羅設(shè)計或重新設(shè)計的宮殿俯瞰著廣場。如今，卡皮托利尼博物館和羅馬市政府就設(shè)在這些建筑中（圖 14）。

圖14羅馬的坎皮多利奧廣場。

在廣場上，米開朗基羅設(shè)計了著名的樓梯，由于工程進(jìn)展緩慢，在現(xiàn)代按照米開朗基羅的設(shè)計(圖15)，代替了以前的土路，路面實際上已經(jīng)完成。事實上，僅在四個世紀(jì)后的1940年，米開朗基羅的最初想法再次得到考慮，廣場根據(jù)米開朗基羅的設(shè)計鋪設(shè)，米開朗基羅在中心放置了著名的馬庫斯·奧勒留鍍金銅像(目前放置在Capitoline博物館，由復(fù)制品取代)。

地板為深色石材，配以白色石材圖案。所代表的圖案通常被定義為一個鑲嵌在橢圓形中的十二角星。

通過這個圖案，人行道必須表現(xiàn)出這個被古羅馬人視為神圣之地的中心地位的重新發(fā)現(xiàn)。

米開朗基羅在設(shè)計中準(zhǔn)確地選擇了生命的象征，生命本應(yīng)在這個地方重生。

在這個圖案（圖16）中，我們發(fā)現(xiàn)了與本章開頭所述相同的理念。在這里，一連串鱗片狀的部分通過旋轉(zhuǎn)相互追逐，并有一個變體：輪廓變成了橢圓形。換句話說，幾何玫瑰窗發(fā)生了變形：向一個方向擴(kuò)展。

圖16坎皮多利奧廣場地板的裝飾圖案。

著名的米開朗基羅廣場圖案也出現(xiàn)在2007年所有歐元區(qū)國家為紀(jì)念歐洲經(jīng)濟(jì)共同體成立50周年而發(fā)行的兩枚歐元硬幣上，該共同體的條約是在國會大廈的Palazzo dei Conservatori簽署的。

2.2倫敦圣瑪麗亞克斯街30號摩天大樓

我們改變環(huán)境和歷史時期。讓我們?nèi)惗?，觀察由當(dāng)代建筑師諾曼·福斯特的工作室設(shè)計的建筑，我們看到他在他的家鄉(xiāng)工作。

我們所觀察的建筑是倫敦的圣瑪麗斧 30 號摩天大樓，位于倫敦金融城，非正式地稱為“小黃瓜”（圖 17）。

圖17圣瑪麗斧街30號摩天大樓。

這座建筑高180 米，于2004年竣工，目前由一家保險公司使用，其原址是1992年被愛爾蘭共和軍引爆的炸彈嚴(yán)重?fù)p壞的大樓。由于該建筑遭受了嚴(yán)重破壞，因此決定不對其進(jìn)行修復(fù)，而是建造一座完全不同的新建筑。

設(shè)計的結(jié)果是一座新穎而不笨重的建筑，內(nèi)部空間寬敞、實用而明亮。

材料和能源生產(chǎn)組織使其成為一座環(huán)境可持續(xù)發(fā)展的建筑。

讓我們來看看它的外形。這個昵稱來自于它特有的魚雷形狀。

然而，我們的幾何眼光促使我們做出兩個考慮。

首先，我們觀察到，它是一個圍繞垂直軸旋轉(zhuǎn)的圓周表面，其上疊加了一個錐形表面，并由一個圓圈封閉，這個圓圈就是閉合燈籠的形狀。在這個意義上，我們提出了一個重建方案（圖18）[4]。

圖18圣瑪麗亞克斯30號摩天大樓的虛擬重建。

其次，沿著穿過表面的較暗的線，我們抓住了一個類比，同時，也抓住了與生命之樹的一個深刻的區(qū)別。這個長條，沿著投影在建筑表面的阿基米德螺旋圖案，像生命之樹樹干的木質(zhì)構(gòu)件一樣纏繞著。好好看看這兩個數(shù)字！

由此可以看出兩者的不同之處：生命之樹的樹根和樹冠都是開放的，而小黃瓜的底部是封閉的，以適應(yīng)城市的需要，因為城市是由狹窄的街道和眾多的建筑組成的，而小黃瓜 的頂部則 “呈圓錐形”，這樣就不會給風(fēng)提供過大的吹拂面積。從高處俯瞰可以看到：兩座建筑都有一個有趣的 “星形 ”玫瑰窗，這又將它們與從坎皮多格利奧廣場頂端俯瞰的景色聯(lián)系在一起（圖 15 和圖 19）。

圖19：從上面看圣瑪麗亞克斯30號摩天大樓。

我們的模擬(圖20)確定了通過將雙紐線的一半旋轉(zhuǎn)等于圓角的十八分之一的旋轉(zhuǎn)角而獲得的玫瑰。

圖20 圣瑪麗亞克斯30號摩天大樓俯視模擬圖。

建筑師是否特意研究了這種效果？無論答案如何，我們都認(rèn)為，這種視覺效果為這座被譽(yù)為世界上最著名的建筑增添了額外的魅力。

我們首先觀察了生命之樹。它是生命的象征。通過對這一理念的延伸，坎皮多格里奧廣場將這一象征作為文藝復(fù)興時期新生活的中心，而福斯特的建筑作品則仍然是這一象征，它矗立在一個代表著重建和更新的生活的地方。

3 結(jié)論

除了通過類比將不同對象聯(lián)系起來的觀察好奇心之外，本作品還想傳遞一個信息：對任何主題的展望，即使是膚淺的，但具有強(qiáng)烈的跨學(xué)科性，都有助于激發(fā)對各個方向的興趣[4]。

如果用戶是學(xué)生，他可以借此機(jī)會探索不同領(lǐng)域的主題[5]。在這種情況下，用戶可以對幾何圖形的某些方面產(chǎn)生更濃厚的興趣，同時特別注意觀察建筑物體；也可以激發(fā)用戶尋找現(xiàn)實中的實例和應(yīng)用，從理論上研究幾何圖形的某些部分；還可以通過關(guān)注象征意義來完成每次觀察，這有助于形成一種參與性和感性的視野。

參考文獻(xiàn)

1. Caliò F, Marchetti E (2017) Curves and surfaces: method and creativity in design process, TOJET: Turk Online J Educ Technol 1:688–693

2. Betti R, di Geometria L (1995) vol 1 e 2. Zanichelli, Bologna

3. Budden FJ (1972) The fascination of groups. Cambridge University Press, Cambridge

4. Caliò F, Lazzari C, Marchetti E (2020) Architetture in superficie-Osservare il mondo con gliocchi della Matematica. Francesco Brioschi Editore, Milano

5. Caliò F, Marchetti E (2020) To observe, to deduce, to reconstruct, to know, faces of geometry. From Agnesi to Mirzakhani. In: Magnaghi Delfino P, Mele G, Norando T (eds) Lecture notes in networks and systems, vol 88, Springer, pp 41–54. ISBN 978-3-030-29795-4

6. Franca Caliò, Caterina Lazzari, and Elena Marchetti, Roses in Architecture: One Symbol, Different Objects

青山不改，綠水長流，在下告退。

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