那個(gè)改變世界的數(shù)學(xué)工具

兩千多年前，亞里士多德提出了"自然厭惡真空"的觀點(diǎn)。他或許不會(huì)想到，這一思想竟預(yù)示了后來(lái)熱力學(xué)定律的誕生。

維持真空需要做功，物質(zhì)總是傾向于填補(bǔ)空缺。

時(shí)光流轉(zhuǎn)到1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉正在鉆研一個(gè)類似的物理現(xiàn)象：

熱量是如何在物體中傳導(dǎo)的？當(dāng)一個(gè)物體各部分溫度不均勻時(shí)，熱能又是如何流動(dòng)直至達(dá)到平衡？

在那個(gè)時(shí)代，科學(xué)家們把熱量看作是一種在物理系統(tǒng)內(nèi)部流動(dòng)的"物質(zhì)"。雖然我們現(xiàn)在知道熱量本身并不是物質(zhì)，而是能量傳遞的過程，但這種歷史觀念卻深深印在了我們的語(yǔ)言中。

物理學(xué)家至今仍在使用"熱傳遞"這個(gè)說法。

一個(gè)"離經(jīng)叛道"的數(shù)學(xué)思想

傅里葉的解決方案在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了軒然大波。

他建議用偏微分方程來(lái)描述溫度變化，更令人震驚的是，他提出任何函數(shù)（甚至是不連續(xù)的函數(shù)）都可以表示為正弦波和余弦波的無(wú)限疊加。

一根金屬棒，一端熱一端冷。隨著時(shí)間推移，整根棒子會(huì)達(dá)到統(tǒng)一的溫度。

傅里葉告訴我們，這個(gè)過程可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確描述。溫度分布函數(shù)可以分解為一系列波的疊加，我們現(xiàn)在稱之為傅里葉級(jí)數(shù)。

這就像是給復(fù)雜的自然現(xiàn)象找到了一套通用的"翻譯密碼"。任何復(fù)雜的信號(hào)或現(xiàn)象都可以分解為簡(jiǎn)單波形的組合。

計(jì)算機(jī)時(shí)代的加速器

20世紀(jì)中葉，當(dāng)計(jì)算機(jī)終于能夠幫助我們處理復(fù)雜數(shù)值計(jì)算時(shí)，快速傅里葉變換（FFT）誕生了。從

此，我們可以把幾乎任何類型的信號(hào)輸入計(jì)算機(jī)，F(xiàn)FT會(huì)迅速給出構(gòu)成這個(gè)信號(hào)的各種頻率成分及其強(qiáng)度。

這個(gè)數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用范圍令人驚嘆。電子音頻視頻信號(hào)處理、圖像處理、語(yǔ)音識(shí)別、密碼學(xué)，幾乎遍布現(xiàn)代科技的每個(gè)角落。

聲音的秘密：從時(shí)間到頻率

讓我們從聽覺開始探索。

當(dāng)我們聽到聲音時(shí)，耳朵接收到的是隨時(shí)間變化的空氣壓力波動(dòng)。這些波形信息經(jīng)過傅里葉變換后，就變成了頻譜，顯示每個(gè)頻率成分的強(qiáng)度。

以標(biāo)準(zhǔn)音A為例，頻率為440赫茲的純音經(jīng)過傅里葉變換后，在頻譜圖上就是440赫茲處的一個(gè)尖峰。如果我們同時(shí)播放440赫茲和1760赫茲兩個(gè)音調(diào)，頻譜圖上就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)對(duì)應(yīng)的尖峰。

但現(xiàn)實(shí)中的聲音要復(fù)雜得多。

比如峽谷鷦鷯的歌聲，其頻譜圖（聲譜圖）顯示了隨時(shí)間變化的復(fù)雜頻率結(jié)構(gòu)。圖上每一個(gè)豎直切片都是那一時(shí)刻聲音的傅里葉變換，顏色越亮代表聲音越響。

雖然我們主要聽到幾個(gè)最響的頻率（如3000、6000、9000赫茲），但實(shí)際上還有成千上萬(wàn)個(gè)較弱的頻率成分共同構(gòu)成了這種鳥類獨(dú)特的聲音。

望遠(yuǎn)鏡的眼睛：光的衍射密碼

當(dāng)光線通過孔徑時(shí)會(huì)發(fā)生衍射現(xiàn)象，光會(huì)散開形成特定的圖案。望遠(yuǎn)鏡或相機(jī)的鏡頭實(shí)際上就是一個(gè)光學(xué)孔徑，而衍射圖案的形狀取決于孔徑的形狀。

這里有個(gè)令人驚奇的發(fā)現(xiàn)：光學(xué)成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF），也就是點(diǎn)光源在圖像中的實(shí)際形狀，正是系統(tǒng)孔徑的傅里葉變換！

圓形孔徑產(chǎn)生同心圓環(huán)狀的衍射圖案，而方形孔徑則產(chǎn)生不同的圖案。這個(gè)原理幫助我們理解為什么哈勃太空望遠(yuǎn)鏡和詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡拍攝的星星圖像會(huì)有不同的特征。

哈勃望遠(yuǎn)鏡使用圓形主鏡，中心有個(gè)洞，副鏡由四條支架支撐。因此哈勃拍攝的亮星圖像總是有四條衍射峰，形成"十"字形圖案。

韋伯望遠(yuǎn)鏡的情況更有趣。它使用18片六邊形鏡片組成的主鏡，副鏡由三條支架支撐。所以韋伯拍攝的亮星會(huì)顯示六條主要的衍射峰（來(lái)自六邊形鏡面）和兩條較弱的衍射峰（來(lái)自三條支架）。

對(duì)比哈勃和韋伯拍攝的同一片鷹狀星云圖像，我們可以清楚地看到這些不同的衍射特征。這就是傅里葉變換在實(shí)際觀測(cè)中的直觀體現(xiàn)。

自然界的數(shù)學(xué)語(yǔ)言

傅里葉變換不只是抽象的數(shù)學(xué)概念，它深深植根于自然界的運(yùn)行法則中。從我們的感官系統(tǒng)到宇宙深處的恒星，從日常聽到的音樂到尖端的科學(xué)儀器，波動(dòng)現(xiàn)象無(wú)處不在。

我們的耳朵實(shí)際上就是一個(gè)生物版的傅里葉分析儀，內(nèi)耳將聲波分解為不同頻率成分，然后傳遞給大腦的聽覺皮層進(jìn)行解讀。

我們的眼睛雖然也是圓形孔徑，但其衍射圖案太小太弱，我們感知不到。我們看到的星星就是點(diǎn)光源。

結(jié)語(yǔ)：數(shù)學(xué)與自然的完美契合

從古希臘哲學(xué)家的思辨到現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用，從音樂的美妙到宇宙的壯麗，傅里葉變換為我們提供了理解自然界的獨(dú)特視角。它告訴我們，復(fù)雜的現(xiàn)象往往可以分解為簡(jiǎn)單要素的組合，而這種分解方法正是大自然運(yùn)行的基本法則。

如果說自然厭惡真空，那么可以肯定地說：自然鐘愛傅里葉變換。這個(gè)數(shù)學(xué)工具不僅幫助我們理解世界，更讓我們領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)與自然之間那種近乎神奇的和諧統(tǒng)一。

你最喜歡傅里葉變換的哪個(gè)應(yīng)用呢？