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振幅多面體（amplituhedron）是粒子物理學(xué)核心的一種形狀，似乎與折紙數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系。

圖源：Ibrahim Rayintakath / Quanta Magazine

作者：Kevin Hartnett（量子雜志特約撰稿人）2025-10-6

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-10-7

振幅多面體（amplituhedron）是一種幾何形狀，具有近乎神秘的性質(zhì) https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/ ：計(jì)算它的體積，你就會(huì)得到物理學(xué)中關(guān)于粒子如何相互作用的中心計(jì)算的答案。

現(xiàn)在，康奈爾大學(xué)一位名叫帕維爾（帕夏）加拉辛——Pavel (Pasha) Galashin的年輕數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，振幅多面體也與另一個(gè)完全不相關(guān)的學(xué)科神秘地聯(lián)系在一起：折紙（origami）藝術(shù)。在2024年10月發(fā)布的證明中 https://arxiv.org/abs/2410.09574 ，他證明折紙中出現(xiàn)的模式可以轉(zhuǎn)化為一組點(diǎn)，這些點(diǎn)共同形成振幅多面體。不知何故，紙張折疊的方式和粒子碰撞的方式產(chǎn)生了相同的幾何形狀。

“帕夏之前做過(guò)一些與振幅多面體相關(guān)的出色工作，”普林斯頓高等研究院的物理學(xué)家尼瑪·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）說(shuō)，他于2013年與當(dāng)時(shí)的研究生雅羅斯拉夫·特恩卡（Jaroslav Trnka） 一起推出了振幅多面體 https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/ ?！暗@對(duì)我來(lái)說(shuō)是更進(jìn)一層的東西?！?/p>

通過(guò)利用這種與折紙的新聯(lián)系，加拉辛還能解決一個(gè)關(guān)于振幅多面體的開(kāi)放猜想，物理學(xué)家長(zhǎng)期以來(lái)一直認(rèn)為這是正確的，但無(wú)法嚴(yán)格證明：形狀確實(shí)可以切割成更簡(jiǎn)單的構(gòu)建塊，從而對(duì)應(yīng)于物理學(xué)家想要進(jìn)行的計(jì)算。換句話說(shuō)，振幅多面體的各個(gè)部分確實(shí)按照它們應(yīng)該的方式組合在一起。

結(jié)果不僅僅是在兩個(gè)看似不同的研究領(lǐng)域之間架起一座橋梁。加拉辛和其他數(shù)學(xué)家已經(jīng)在探索這座橋還能告訴他們什么。他們正在使用它來(lái)更好地理解振幅多面體，并在更廣泛的環(huán)境中回答其他問(wèn)題。

爆炸性計(jì)算

物理學(xué)家想要預(yù)測(cè)當(dāng)基本粒子相互作用時(shí)會(huì)發(fā)生什么。假設(shè)兩個(gè)稱為膠子（gluon）的亞原子粒子發(fā)生碰撞。它們可能會(huì)原封不動(dòng)地相互反彈，或者轉(zhuǎn)化為一組四個(gè)膠子，或者做別的完全不同的事。每個(gè)結(jié)果都以一定的概率發(fā)生，該概率由稱為散射幅度（scattering amplitude）的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示。

費(fèi)曼圖（Feynman diagram）用于計(jì)算粒子碰撞導(dǎo)致某種結(jié)果的可能性。

圖源：Mark Belan/Quanta Magazine

幾十年來(lái)，物理學(xué)家通過(guò)以下兩種方式之一計(jì)算散射幅度。第一種方法使用費(fèi)曼圖 https://www.quantamagazine.org/how-feynman-diagrams-revolutionized-physics-20190514/ ，描述粒子如何移動(dòng)和相互作用的波浪線圖。每個(gè)圖表代表一個(gè)數(shù)學(xué)計(jì)算；通過(guò)將與不同費(fèi)曼圖相對(duì)應(yīng)的計(jì)算相加，你可以計(jì)算給定的散射幅度。但隨著碰撞中粒子數(shù)量的增加，你需要的費(fèi)曼圖數(shù)量呈爆炸性增長(zhǎng) https://www.quantamagazine.org/strange-numbers-found-in-particle-collisions-20161115/ 。事情很快就會(huì)失控：計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單事件的散射幅度可能需要將數(shù)千甚至數(shù)百萬(wàn)項(xiàng)相加。

第二種方法于2000年代初引入，稱為BCFW遞歸（BCFW，Britto-Cachazo-Feng-Witten，布里托-卡查索-馮波-威滕）。它將復(fù)雜的粒子相互作用分解為更小、更簡(jiǎn)單的相互作用，更容易研究。你可以計(jì)算這些更簡(jiǎn)單相互作用的幅度，并使用稱為圖（graph）的頂點(diǎn)和邊的集合來(lái)跟蹤它們。這些圖告訴你如何將更簡(jiǎn)單的相互作用重新拼接在一起，以計(jì)算原始碰撞的散射幅度。

這些圖跟蹤復(fù)雜的BCFW遞歸公式。

BCFW遞歸比費(fèi)曼圖需要更少的工作。你可能只需要將數(shù)百項(xiàng)相加，而不是將數(shù)百萬(wàn)項(xiàng)相加。但這兩種方法都有相同的問(wèn)題：最終的答案通常比過(guò)程中所需的大量計(jì)算要簡(jiǎn)單得多，許多項(xiàng)最終會(huì)被抵消。

然后，在2013年，阿卡尼-哈米德和特恩卡有了一個(gè)令人驚訝的發(fā)現(xiàn)：粒子碰撞的復(fù)雜數(shù)學(xué)實(shí)際上是偽裝的幾何學(xué)。

被幾何學(xué)拯救

2000年代初期，麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家亞歷山大·波斯特尼科夫（Alexander Postnikov）正在研究一種被稱為正格拉斯曼流形（positive Grassmannian）的幾何對(duì)象。

自1930年代以來(lái)，正格拉斯曼流形一直是數(shù)學(xué)界感興趣的主題，它是以高度抽象的方式構(gòu)建的。首先，以n維空間為例，并考慮位于其中的某個(gè)給定較小維度的所有平面。例如，在我們居住的三維空間中，你可以找到無(wú)限多的平坦的二維平面，它們向各個(gè)方向展開(kāi)。

每個(gè)平面——本質(zhì)上是更大的n維空間的切片——都可以由稱為矩陣（matrix）的數(shù)字?jǐn)?shù)組定義。你可以從該矩陣中計(jì)算某些值，稱為余子式（minor），這些值告訴你平面的性質(zhì)。

帕維爾·加拉辛 （Pavel Galashin） 在折紙和粒子物理學(xué)之間建立了聯(lián)系。

圖源：Pavel Galashin

現(xiàn)在只考慮你空間中那些余子式都是正數(shù)的平面。所有這些特殊的“正”平面的集合為你提供了一個(gè)復(fù)雜的幾何空間——正格拉斯曼流形。

為了理解正格拉斯曼流形豐富的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)家將其劃分為不同的區(qū)域，使得每個(gè)區(qū)域由具有特定模式的各種平面組成。波斯特尼科夫希望讓這項(xiàng)任務(wù)變得更容易，他想出了一種方法來(lái)跟蹤不同區(qū)域以及它們?nèi)绾谓M合在一起。他發(fā)明了他所說(shuō)的“平面雙色圖”（plabic graph，單詞plabic是planar bicolored的縮寫）——由邊連接的黑白頂點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，繪制后沒(méi)有邊交叉。每個(gè)plabic圖刻畫了正格拉斯曼流形的一個(gè)區(qū)域，為數(shù)學(xué)家提供了一種視覺(jué)語(yǔ)言，否則將由密集的代數(shù)公式定義。

在波斯特尼科夫推出他的平面雙色圖近十年后，阿卡尼-哈米德和特恩卡試圖計(jì)算各種粒子碰撞的散射幅度。當(dāng)他們努力研究BCFW遞歸公式時(shí)，他們注意到了一些不可思議的事情。他們用來(lái)跟蹤計(jì)算的圖看起來(lái)就像波斯特尼科夫的平面雙色圖。出于好奇，他們開(kāi)車去麻省理工學(xué)院見(jiàn)他。

“午餐時(shí)我們說(shuō)，‘這很奇怪，我們看到的是完全相同的東西，’”阿卡尼-哈米德回憶道。

他們是對(duì)的。為了計(jì)算n個(gè)粒子碰撞的散射幅度，物理學(xué)家必須將許多BCFW項(xiàng)相加——這些項(xiàng)中的每一項(xiàng)都對(duì)應(yīng)于n維的正格拉斯曼流形的一個(gè)區(qū)域。

阿卡尼-哈米德和特恩卡意識(shí)到，這種幾何聯(lián)系可能使計(jì)算散射幅度變得更加容易。使用有關(guān)粒子碰撞的數(shù)據(jù)（例如粒子的動(dòng)量），他們定義了正格拉斯曼流形的低維陰影。這個(gè)陰影的總體積等于散射幅度。

因此，振幅多面體誕生了 https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/ 。

對(duì)應(yīng)于涉及8個(gè)膠子的粒子碰撞的振幅多面體的圖解。

而使用費(fèi)曼圖，同樣的計(jì)算大約需要500頁(yè)的代數(shù)內(nèi)容。

圖源：尼瑪·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）

圖源：Andy Gilmore

這只是故事的開(kāi)始。例如，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家想要確認(rèn)，定義正格拉斯曼流形區(qū)域的相同平面雙色圖也可以定義振幅多面體的各個(gè)部分——并且這些部分沒(méi)有間隙或重疊，完美地組合在一起以包含形狀的確切體積。這種希望后來(lái)被稱為三角剖分猜想（triangulation conjecture）：振幅多面體能否干凈地三角剖分或細(xì)分為更簡(jiǎn)單的構(gòu)建塊？

證明這一點(diǎn)將鞏固阿卡尼-哈米德和特恩卡的愿景：產(chǎn)生粒子碰撞散射幅度（盡管效率低下）的復(fù)雜BCFW公式可以理解為振幅多面體構(gòu)建塊體積的總和。

這不是一件容易的事。一方面，從一開(kāi)始就很明顯確實(shí)有兩個(gè)振幅多面體。第一個(gè)是用動(dòng)量-扭量（momentum-twistor）坐標(biāo)定義的——一種巧妙的數(shù)學(xué)重新標(biāo)記，使形狀更易于使用，因?yàn)樗c正格拉斯曼流形和波斯特尼科夫的平面雙色圖自然相關(guān)。數(shù)學(xué)家們?cè)?021年能夠證明這個(gè)版本的振幅多面體的三角剖分猜想 https://arxiv.org/abs/2112.02703 。

另一個(gè)版本稱為動(dòng)量振幅多面體（momentum amplituhedron），而是直接根據(jù)碰撞粒子的動(dòng)量來(lái)定義的。物理學(xué)家更關(guān)心第二個(gè)版本，因?yàn)樗c真實(shí)的粒子碰撞和散射實(shí)驗(yàn)使用相同的語(yǔ)言。但用數(shù)學(xué)來(lái)描述也更難。因此，三角剖分猜想仍然開(kāi)放。

如果動(dòng)量振幅多面體的三角剖分失敗，那么就意味著振幅多面體不是理解計(jì)算散射振幅的BCFW公式的正確方法。

十多年來(lái)，這種不確定性一直揮之不去——直到對(duì)紙張折疊的研究開(kāi)始提出前進(jìn)的方向。

尋找大腳怪

帕維爾·加拉辛并沒(méi)有著手研究折紙或振幅多面體。2018年，作為波斯特尼科夫的研究生之一，他和一位同事剛剛證明了正格拉斯曼流形模型和伊辛模型之間存在有趣的聯(lián)系，伊辛模型（Ising model）用于研究鐵磁體等系統(tǒng)的行為。加拉辛現(xiàn)在正試圖從正格拉斯曼流形的角度來(lái)理解關(guān)于伊辛模型的著名證明——特別是它所表現(xiàn)出的特殊對(duì)稱性。

在進(jìn)行證明時(shí)——他在接下來(lái)的幾年里斷斷續(xù)續(xù)地回到這個(gè)項(xiàng)目——加拉辛遇到了幾篇有趣的論文，研究人員使用其他類型的圖表來(lái)使幾何形狀更易于處理：折紙折痕圖案。這些線條圖告訴你怎樣折紙來(lái)制作鶴或青蛙。

這種折痕圖案會(huì)產(chǎn)生一只天鵝。

折紙?jiān)谶@里突然出現(xiàn)似乎很奇怪。但多年來(lái)，折紙的數(shù)學(xué)已經(jīng)出奇地深刻。關(guān)于折紙的問(wèn)題——例如給定的折痕圖案是否會(huì)產(chǎn)生一種可以壓平而不撕裂的形狀——在計(jì)算上很難解決?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)家們已經(jīng)知道折紙可用于執(zhí)行各種計(jì)算 https://www.quantamagazine.org/how-to-build-an-origami-computer-20240130/ 。

2023年，在探究有關(guān)伊辛模型的論文中折紙?jiān)谧鍪裁磿r(shí)，加拉辛遇到了一個(gè)引起他注意的問(wèn)題。假設(shè)你只有有關(guān)折痕圖案的外部邊界的信息，即紙張的邊界，折痕將其分成不同的線段。特別是，假設(shè)你只有關(guān)于這些線段在折疊前后在空間中的位置的信息。你總能找到一個(gè)完整的折痕圖案，既滿足這些約束，又能產(chǎn)生可以正確展平的折紙形狀嗎？數(shù)學(xué)家們推測(cè)答案是肯定的，但沒(méi)有人能證明這一點(diǎn)。

加拉辛發(fā)現(xiàn)這個(gè)猜想很驚人，因?yàn)樵谒ǔ５难芯款I(lǐng)域，即處理正格拉斯曼流形，檢查物體的邊界是獲取有關(guān)該物體的信息的常用方法。

Jaroslav Trnka（上）和Nima Arkani-Hamed（下）引入了振幅多面體，以便更輕松地執(zhí)行粒子物理學(xué)中的重要計(jì)算。

圖源：Jaroslav Trnka / UC Davis Dateline；Maximilien Brice Julien-Marius Ordan

但幾個(gè)月來(lái)，他沒(méi)有取得任何進(jìn)展。然后他突然意識(shí)到：這個(gè)問(wèn)題不僅與他自己的工作有同樣的味道。它可以用振幅多面體的語(yǔ)言重寫。動(dòng)量振幅多面體，就是這樣。

“這比我愿意承認(rèn)的時(shí)間要長(zhǎng)得多，”他說(shuō)?！澳悴粫?huì)想到這種聯(lián)系，所以你永遠(yuǎn)不會(huì)意識(shí)到這一點(diǎn)。你不應(yīng)該在曼哈頓看到大腳怪。”

但他能證明這一點(diǎn)嗎？

忘記平坦

加拉辛考慮了涉及一定數(shù)量粒子的碰撞，并從劃分為該數(shù)量的線段的折痕圖案邊界開(kāi)始。

他用一個(gè)由兩個(gè)數(shù)字組成的向量來(lái)描述每條線段。接下來(lái)，他寫下了向量，描述了折疊后相同線段的新位置應(yīng)該是什么。這些是根據(jù)他感興趣的碰撞中粒子動(dòng)量的信息確定的。

然后，對(duì)于每條線段，他將“之前”和“之后”的向量組合成一個(gè)四維向量。通過(guò)將所有這些向量中的數(shù)字列為一組坐標(biāo)，加拉辛能夠在高維空間中定義一個(gè)點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)并不只存在于高維空間的任何地方——它存在于動(dòng)量振幅多面體中。

加拉辛證明，關(guān)于平折折痕圖案的折紙問(wèn)題的答案確實(shí)是肯定的——并且每當(dāng)可以在給定邊界上找到這樣的折痕圖案時(shí)，該邊界編碼的點(diǎn)必須位于振幅多面體中。

這是一種全新的思考形狀的方式?！斑@是帕夏工作最令人驚奇的地方，這種與折紙的聯(lián)系只是給了你動(dòng)量振幅多面體的令人難以置信漂亮的單行定義，”阿卡尼-哈米德說(shuō)。

加拉辛基于折紙的新解釋讓他對(duì)如何最終解決動(dòng)量振幅多面體的中心謎題有了想法。如果他能夠證明每個(gè)折紙派生的點(diǎn)不僅位于振幅多面體內(nèi)部，而且位于一個(gè)非常特定的區(qū)域內(nèi)，那么他就可以解決三角剖分猜想——就像這些區(qū)域?qū)㈡i定在一起而沒(méi)有間隙或重疊一樣。

為此，他設(shè)計(jì)了一種算法，將邊界圖案作為輸入，并為其分配獨(dú)特的折痕圖案。折痕圖案將始終遵循將其與振幅多面體幾何形狀聯(lián)系起來(lái)的規(guī)則：也就是說(shuō)，折疊時(shí)，紙張仍然能夠變平。

然后，加拉辛將折痕圖案表示為平面雙色圖：首先，他在折痕圖案的每個(gè)區(qū)域的中間畫一個(gè)點(diǎn)，如果折疊紙張后該區(qū)域朝上，則將其涂成白色；如果該區(qū)域朝下，則將其涂成黑色。然后，他在有公共折痕的區(qū)域的頂點(diǎn)之間繪制了一條邊。

此平面雙色圖中的邊連接共享折痕的區(qū)域。

最后，他證明這張圖雕刻出了一個(gè)振幅多面體區(qū)域。由折痕圖案的邊界編碼的點(diǎn)位于該區(qū)域內(nèi)。

這足以解決三角測(cè)量問(wèn)題。如果振幅多面體中的兩個(gè)區(qū)域重疊，即如果振幅多面體中的一個(gè)點(diǎn)位于兩個(gè)不同的區(qū)域中，則相當(dāng)于能夠?qū)⑦吔鐖D案與兩個(gè)不同的折痕圖案相匹配。但加拉辛設(shè)計(jì)了他的算法來(lái)產(chǎn)生獨(dú)特的匹配，所以這是不可能的。同樣，該算法也暗示不能有間隙：振幅多面體中的每個(gè)點(diǎn)都可以重寫為邊界，并且每個(gè)邊界在作為算法的輸入時(shí)，都整齊地落在一個(gè)區(qū)域內(nèi)。

振幅多面體完美地結(jié)合在一起。

新夢(mèng)想

對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，證明的優(yōu)雅性是令人嘆為觀止的。

“將兩個(gè)看似不相關(guān)的想法聯(lián)系起來(lái)總是非常漂亮的，”哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)家勞倫·威廉姆斯（Lauren Williams）說(shuō)?！拔乙郧皬奈纯紤]過(guò)折紙折痕圖案，所以看到它們與振幅多面體相聯(lián)系真是太驚訝了?！?/p>

加拉辛分享了勞倫的驚訝?！拔覜](méi)有很好的解釋為什么折紙的邊界是振幅多面體中的點(diǎn)，”他說(shuō)?！跋闰?yàn)地，沒(méi)有理由讓一個(gè)與另一個(gè)有關(guān)系?！钡Ｍ磥?lái)的調(diào)查能夠揭示這種聯(lián)系的更深層次的原因。

他還希望他的成果能夠幫助他實(shí)現(xiàn)最初的目標(biāo)：通過(guò)正格拉斯曼流形的視角理解鐵磁體模型及相關(guān)系統(tǒng)。也許使用折紙會(huì)有所幫助。

更廣泛地說(shuō)，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家想看看他們是否可以通過(guò)折紙來(lái)思考它，從而更多地了解振幅多面體——并在更廣泛的粒子碰撞理論計(jì)算中運(yùn)用它。例如，一個(gè)目標(biāo)是能夠直接根據(jù)振幅多面體的體積計(jì)算粒子碰撞的散射幅度，而無(wú)需將其分解成碎片。也許繼續(xù)探索折痕圖案和粒子碰撞之間的聯(lián)系將有助于實(shí)現(xiàn)這個(gè)夢(mèng)想。

“作為一名物理學(xué)家，我一百萬(wàn)年內(nèi)都不會(huì)想出這個(gè)，”阿卡尼-哈米德說(shuō)。“但我發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)了不起的結(jié)果，我想更多地了解它，看看它會(huì)告訴我們什么?！?/p>

參考資料

https://www.quantamagazine.org/origami-patterns-solve-a-major-physics-riddle-20251006/

https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

https://arxiv.org/abs/2410.09574

https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

https://www.quantamagazine.org/how-feynman-diagrams-revolutionized-physics-20190514/

https://www.quantamagazine.org/strange-numbers-found-in-particle-collisions-20161115/

https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

https://arxiv.org/abs/2112.02703

https://www.quantamagazine.org/how-to-build-an-origami-computer-20240130/

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