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今年秋天，我一覺醒來發(fā)現(xiàn)自己經(jīng)受了一場(chǎng)突如其來的綜合考試，考官竟然是我家剛剛蹣跚學(xué)步的小屁娃，考試第一題就是畫一個(gè)非凸正多邊形。當(dāng)時(shí)是凌晨4點(diǎn)半，我還沒喝咖啡呢。

作者：Courtney Gibbons（漢密爾頓學(xué)院，數(shù)學(xué)副教授）2025-12-1

她研究交換代數(shù)和同調(diào)代數(shù)，主研方向是無限自由分解，通常以Boij-Soderberg理論為視角。

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-12-3

“媽媽，再來點(diǎn)多邊形！”這成了我家娃的口頭禪。對(duì)于我這個(gè)幾何直覺如同平面國居民般的代數(shù)學(xué)家來說，有個(gè)癡迷于形狀的孩子確實(shí)是個(gè)挑戰(zhàn)，但同時(shí)也是一次有趣的冒險(xiǎn)。

家長（或童心未泯的大人）小貼士：有一首很棒的適合兒童的歌曲以及配套的音樂視頻，叫做《九邊形》Nonagonhttps://www.youtube.com/watch?v=z5m8BWk5LoQ ，是

They Might Be Giants

樂隊(duì)（該名字取自一部電影名）演唱的。

我還為三四年級(jí)的學(xué)生制作了一份練習(xí)題，用“No Triangles”的游戲（誰先連線得到三角形的人輸） https://github.com/CRGibbons-Lab/galois-goofballs/blob/main/For-Kids/No-Triangles/wrapper.pdf 來講解形狀和計(jì)數(shù)！

作為一名數(shù)學(xué)家最棒的事情之一（也是為人父母的共同之處）就是你永遠(yuǎn)不知道自己會(huì)需要什么知識(shí)。我在研究生時(shí)期接觸到的多面體讓我掌握了足夠的知識(shí)，足以跟上孩子的步伐。

本專欄文章將帶你踏上一段從多邊形polygon到多面體polyhedra再到多胞形（polytope，有界凸多面體）以及更遠(yuǎn)領(lǐng)域的探索之旅。

多邊形

我家孩子對(duì)多邊形的癡迷可以追溯到我第一次把停車標(biāo)志叫做八邊形octagon的時(shí)候。16個(gè)月大的時(shí)候，他就開始想要更多“邊形”。我最早了解到的一件事是，古希臘人對(duì)邊數(shù)達(dá)到數(shù)億甚至更多的多邊形都有專門的命名?！?strong>polygon”多邊形這個(gè)詞源于古希臘語，“poly”的意思是“多”（比如“polynomial”多項(xiàng)式或“許多數(shù)字”），“gon”指的是角。

想要一個(gè)有1億條邊的多邊形嗎？我想它應(yīng)該叫“億邊形”myriakismyriagon。想要一個(gè)有無限多條邊的多邊形嗎？那就是“無限邊形”（apeirogon，它和圓不一樣！）。

五邊形pentagon準(zhǔn)備參加多邊形派對(duì)。

我的默認(rèn)涂鴉是一個(gè)凸（convex）正n邊形，其中3≤n≤7。

多邊形的定義就是由若干線段通過它們的頂點(diǎn)依次連接起來，形成一個(gè)閉合的環(huán)路。嚴(yán)格來說，構(gòu)成多邊形的線段可以相交，但我的孩子只能識(shí)別出不相交的簡(jiǎn)單多邊形simple polygon。

在將討論范圍限定在簡(jiǎn)單多邊形之后，我的孩子發(fā)現(xiàn)了非正則（irregular）多邊形（邊長不相等或角度不相等的多邊形），然后又發(fā)現(xiàn)了非凸（nonconvex）多邊形——可以從多邊形內(nèi)部的兩點(diǎn)畫出一條線段，這條線段會(huì)穿過多邊形的邊界線段。

不是非正則的多邊形稱為正多邊形regular，不是非凸的多邊形稱為凸多邊形convex！最近，我三歲的孩子定義了“矩形非凸五邊形”，并將其推廣為“矩形非凸多邊形”，他指的是凸包為矩形的非凸多邊形。

什么是凸包convex hull？如果你在平面上取一個(gè)任意形狀，用橡皮筋將其拉伸，然后松開，橡皮筋會(huì)彈回一個(gè)包含原形狀的最小凸形。這個(gè)橡皮筋形狀就是凸包。形式上，點(diǎn)集 S 的凸包是包含 S 的最小凸集，或者等價(jià)地，是 S 中的點(diǎn)所有凸組合的集合。

對(duì)于非凸多邊形，用我孩子的話來說，凸包就是“填滿缺口”后得到的圖形。所以，我孩子所說的“矩形非凸多邊形”恰好是指那些缺口可以填滿形成矩形的多邊形。

我喜歡這個(gè)定義，但我期待他能發(fā)現(xiàn)關(guān)于凸性convexity的另一種視角，這種視角能讓“填補(bǔ)缺口”的想法在數(shù)學(xué)上更加精確。?? 中的一個(gè)（閉）半空間是超平面的一側(cè)：形如 {x : ?(x) ≥ c} 的集合，其中 ? 為某個(gè)線性泛函，c 為常數(shù)。我所指的定理指出，凸集有兩種互補(bǔ)的描述。

一方面，你可以通過取生成點(diǎn)集的所有凸組合來構(gòu)造一個(gè)凸包。另一方面，同一個(gè)凸集也可以描述為包含它的所有半空間的交集。在二維空間中，這就是我們熟知的凸多邊形是由其支撐線（supporting line）確定的半平面的交集；在高維空間中，它是多面體幾何的基石。我喜歡它，因?yàn)樗试S你根據(jù)哪個(gè)視角能使問題更容易處理，在“點(diǎn)生成形狀”和“不等式勾勒形狀”之間切換。

排除自相交多邊形會(huì)帶來一些尷尬的后果。今年秋天，我一覺醒來發(fā)現(xiàn)自己被突如其來的綜合考試難住了，而監(jiān)考老師竟然是我的孩子，考試第一題就是要我畫一個(gè)非凸正（簡(jiǎn)單）多邊形。當(dāng)時(shí)是凌晨4點(diǎn)半，我還沒喝咖啡。在歐幾里得空間里，這根本不可能，我把它看作是我們共同提出的第一個(gè)猜想。

瑣碎的想法 -- 圖釋一下給定n的不同正n邊形的角度

這些問題常常讓我夜不能寐（如果它們沒有把我從睡夢(mèng)中喚醒的話），我在腦海中不停地畫著幾何圖形。歐幾里得也遇到過同樣的問題嗎？！

非歐幾里得雙曲空間中的正多邊形是埃舍爾（M. C. Escher）的靈感來源。多麗絲·沙茨施奈德（Doris Schattschneider）重建了考克斯特Coxeter對(duì)埃舍爾圓極限的一些注釋 https://www.ams.org/notices/201006/rtx100600706p.pdf 。比爾·卡塞爾曼（Bill Casselman）也在他2010年的專欄文章《埃舍爾是如何做到的？》

How Did Escher Do It?

中談到了埃舍爾的作品。 https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-circle-limit

一個(gè)拋物面（parabolic plane）的局部，另一側(cè)有幼娃涂鴉。

作者試圖繪制一個(gè)用六邊形鋪砌的拋物面（即使看起來不像，但它是凸的?。?，但她被她最年輕的合作者打斷了。

我和孩子目前正在一起閱讀《多邊形圖解》

A Panoply of Polygons

https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=DOL/58 （ 悲傷的是，該書合著者之一是數(shù)學(xué)家兼科普作家克勞迪·阿爾西納Claudi Alsina，上月逝世，享年73歲，他警告人們不要相信基于數(shù)學(xué)公式的愛情預(yù)測(cè)：“關(guān)于愛情預(yù)測(cè)的定理都是騙局?！彼€強(qiáng)調(diào)，“嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)是用頭腦完成的，而優(yōu)美的數(shù)學(xué)是用心傳授的?！? https://en.ara.cat/society/claudi-alsina-mathematician-and-popularizer-dies-at-age-73_1_5563813.html 譯者注）。他很沮喪，因?yàn)橐粋€(gè)給定的多邊形不一定能鋪滿整個(gè)平面，但我們?cè)趯W(xué)習(xí)五邊形方面取得了一些令人興奮的進(jìn)展，以跟上最新的文獻(xiàn) https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/06/01/hat-tricks/ 。

我最喜歡的多邊形是十七邊形heptadecagon，它在《多邊形全集》

Panoply

中得到了充分的闡述。 高斯證明了正17邊形可以用圓規(guī)和直尺構(gòu)造出來（這是我迄今為止對(duì)“代數(shù)”幾何理解最接近的一次） https://www.scientificamerican.com/article/why-this-great-mathematician-wanted-a-heptadecagon-on-his-tombstone/ 。具體來說，他證明了 cos(2π/17) 是代數(shù)的（即代數(shù)數(shù)），這意味著它可以由整數(shù)通過加法、乘法、n次冪及其逆運(yùn)算構(gòu)造出來。

更一般地，高斯證明了正n邊形可以用直尺和圓規(guī)構(gòu)造，當(dāng)且僅當(dāng) n 是 2 的冪與不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的乘積。費(fèi)馬素?cái)?shù)是形如 F_k = 2^{2^k} + 1 的數(shù)；目前已知的費(fèi)馬素?cái)?shù)只有五個(gè)（3, 5, 17, 257, 65537），而 17 是五邊形之外第一個(gè)“非平凡”的費(fèi)馬素?cái)?shù)。因此，正十七邊形是第一個(gè)不能從歐幾里得幾何中直接構(gòu)造出來的正多邊形。（雖然據(jù)說高斯從未畫過正十七邊形，但我認(rèn)為我畫過很多正十七邊形，所以很可能至少無意中畫過。）

媽媽眼中的多邊形：多邊形錐（polygonal cone）。

當(dāng)代數(shù)學(xué)家看到一個(gè)多邊形時(shí)，他們首先想到的就是讓它生成一個(gè)錐：取其所有頂點(diǎn)（或者邊，取決于你的心情）的非負(fù)線性組合，就能得到一個(gè)多面體錐（polyhedral cone）。在二維空間中，這就像用手電筒從原點(diǎn)照射多邊形，然后觀察光線如何填充一個(gè)楔形區(qū)域。錐體讓多邊形開始展現(xiàn)出“長大”的一面：它們可以在任何維度中自由生長，它們可以用不等式自然地描述，而且它們也是后文中出現(xiàn)的扇（fan）的素材。

我的孩子曾經(jīng)喜歡過很多多邊形，但他目前最喜歡的是正五邊形和正三角形——哦，不，我是說等邊三角形。為什么呢？

第三維度

等邊三角形向 19 位朋友解釋如何制作二十面體。

這個(gè)正二十面體（icosahedron）由20個(gè)等邊三角形組成。和19個(gè)朋友一起拍集體照是個(gè)好主意嗎？

你最近仔細(xì)觀察過足球嗎？它的表面是由六邊形hexagon和五邊形組成的；事實(shí)上，它由12個(gè)五邊形和20個(gè)六邊形構(gòu)成。想象一下，一個(gè)由20個(gè)等邊三角形組成的正二十面體，然后切掉一個(gè)頂點(diǎn)。每個(gè)頂點(diǎn)都是五個(gè)三角形的頂點(diǎn)，所以切掉一個(gè)頂點(diǎn)后，就得到了一個(gè)五邊形。對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)都重復(fù)這個(gè)操作，你會(huì)發(fā)現(xiàn)截角二十面體其實(shí)就是一個(gè)形狀緊湊的足球（或者說，足球就像一個(gè)略微膨脹的截角二十面體）。因此，在我孩子眼里，足球就是連接正五邊形和等邊三角形的神奇紐帶。

我本無意承認(rèn)多邊形可以推廣到多面體，但我偶然得到了一本溫寧格Wenninger的《多面體模型》

Polyhedral Models

https://www.cambridge.org/core/books/polyhedron-models/10671EF05A56A5697C670A4C0E973ACF ，于是我們突然開始探討截角（truncation）、星形化（stellation）以及最終構(gòu)造“均勻非凸立體”的種種細(xì)節(jié)。

對(duì)我而言，歐拉示性數(shù)（Euler characteristic）是計(jì)算代數(shù)不變量的工具。但我的孩子對(duì)著名的歐拉示性數(shù)公式（頂點(diǎn)數(shù)V - 棱數(shù)E + 面數(shù)F）有著直觀的理解，并且明白對(duì)于任何凸多面體，這個(gè)公式都等于二。每個(gè)凸多面體也都有一個(gè)“內(nèi)部空間”和一個(gè)“外部空間”，這就是我對(duì)“二”的理解。

我的孩子最終會(huì)明白，如果你拿一個(gè)凸多面體，忽略它的棱是直線，它的表面在拓?fù)鋵W(xué)上就是一個(gè)球面。對(duì)于任何表面是球面的物體，歐拉示性數(shù)都是 2；這才是公式真正度量的。神奇之處不在于數(shù)字 2 本身——而在于無論你有多少個(gè)面，或者你如何奇特地組合它們，只要保持凸性，這個(gè)交替計(jì)數(shù)就不會(huì)改變。（我和孩子用磁力片發(fā)現(xiàn)，小星形十二面體small stellated dodecahedron的歐拉示性數(shù)大約是6 ；他現(xiàn)在還不認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，事實(shí)上是-6）

面、棱和頂點(diǎn)是構(gòu)成我最喜歡的組合定義凸形狀——單形（simplex，復(fù)數(shù)為simplices）——的基本單元。對(duì)于每個(gè)維度，都存在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單形：頂點(diǎn)是零維單形；棱是一維單形，它的余維數(shù)為1的面由兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成；等邊三角形是二維單形，它的余維數(shù)為1的面由三條棱構(gòu)成，余維數(shù)為2的面由三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成；正四面體是三維單形，具有四個(gè)三角形面、六條棱和四個(gè)頂點(diǎn)。

在維度d中，標(biāo)準(zhǔn)單形有d+1個(gè)頂點(diǎn)，并且這些頂點(diǎn)的每個(gè)子集都構(gòu)成一個(gè)面。因此，一個(gè)4維單形有5個(gè)頂點(diǎn)、10條棱、10個(gè)三角形面和5個(gè)四面體面。你不能像想象四面體那樣想象它，但你仍然可以把它視為該維度中“最簡(jiǎn)單的多胞體”，并對(duì)其進(jìn)行計(jì)數(shù)和推理。單形是多胞體委婉地向世人介紹自我的方式。

多胞體（polytope）是有界多面體；等價(jià)地，它是有限個(gè)點(diǎn)的凸包。雖然有些人認(rèn)為多面體是多邊形的三維對(duì)應(yīng)物，但齊格勒Ziegler的《多胞形講義》

Lectures on Polytopes

https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-8431-1 將多面體描述為（超）半空間的潛在無界交集。多胞體與多邊形一樣，是有界的。

所有這些概念之間的聯(lián)系是什么？對(duì)我來說，它被稱為單純扇（simplicial fan）。錐（cone）是一個(gè)在正（positive）縮放下封閉的集合：如果 x在錐中，那么對(duì)于所有 λ≥ 0，λx 也都在錐中。扇是由有限的、沿公共面拼接在一起的多面體錐組成的集合，就像一塊以原點(diǎn)為共同頂點(diǎn)的幾何拼接的被子。

當(dāng)你不再問“形狀是什么？”，而是開始問“形狀在哪些方向上表現(xiàn)相同？”時(shí)，扇就出現(xiàn)了。如果扇中的每個(gè)錐都由線性無關(guān)的射線生成，則該扇是單純的（simplicial）——因此每個(gè)錐看起來都像是高維三角形楔形的類似物。

具有五邊形正包絡(luò)（positive hull）的單純扇。它也是五個(gè)半空間的交集。

一切都回到了原點(diǎn)。凸包是半空間的交集？這就好比多胞形及其正規(guī)扇用同一種語言的兩種方言表達(dá)。多邊形錐？那是扇的基本構(gòu)成單元。單純形？某種意義上，單純扇就是你用三角剖分方向空間得到的結(jié)果，就像我孩子把二十面體稱為鑲嵌橢球體一樣。如果我的孩子繼續(xù)要求“更多多邊形”，我估計(jì)他接下來會(huì)要求“更多錐”，之后，必然會(huì)要求“更多扇”。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2025/12/01/everything-i-need-to-know-about-polygons-i-learned-from-my-pre-kindergartner/

https://www.youtube.com/watch?v=z5m8BWk5LoQ

https://github.com/CRGibbons-Lab/galois-goofballs/blob/main/For-Kids/No-Triangles/wrapper.pdf

https://www.ams.org/notices/201006/rtx100600706p.pdf

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-circle-limit

https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=DOL/58

https://en.ara.cat/society/claudi-alsina-mathematician-and-popularizer-dies-at-age-73_1_5563813.html

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/06/01/hat-tricks/

https://www.scientificamerican.com/article/why-this-great-mathematician-wanted-a-heptadecagon-on-his-tombstone/

https://www.cambridge.org/core/books/polyhedron-models/10671EF05A56A5697C670A4C0E973ACF

https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-8431-1

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