導(dǎo)語

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何瑞杰、夏沛雯 | 作者

張江、王志鵬 | 整理&審校

作者簡介

目錄

1. 歷史

2. 主要內(nèi)容

2.1 幾何思維與相圖表示

2.2 不動點及其穩(wěn)定性

2.2.1 不動點的定義

2.2.2 圖形化穩(wěn)定性判據(jù)

2.2.3 線性穩(wěn)定性分析（定量方法）

2.2.4 勢函數(shù)

2.3 解的性質(zhì)

2.3.1 單調(diào)性與振蕩的不可能性

2.3.2 存在性與唯一性

2.4 數(shù)值積分方法

3. 典型實例

3.1 種群增長模型（邏輯斯諦方程）

3.1.1 模型背景與動力學(xué)意義

3.1.2 連續(xù)時間模型

3.1.3 離散模型與應(yīng)用拓展

3.2 RC電路分析

3.2.1 模型定義

3.2.2 推導(dǎo)過程

3.2.3 模型的解

3.2.4 相圖視角

3.3 企業(yè)生長模型

3.3.1 數(shù)學(xué)形式

3.3.2 解的形式

3.3.3 不動點分析

3.3.4 奇異點分析

3.3.4.1 穩(wěn)定性

3.3.4.2 經(jīng)濟(jì)含義

一維動力學(xué)典型的研究對象是一階自治微分方程，及其解的長期行為。在一維情況下，系統(tǒng)的相圖（phase diagram）稱為相線（phase line），它可由函數(shù) f(x) 在實軸上的符號結(jié)構(gòu)與方向場來刻畫，橫坐標(biāo)為 x ，縱坐標(biāo)為直線上 x 處相點的速度，即。鑒于此，我們可以將系統(tǒng)視為在一條直線（相空間）上流動的流體，函數(shù)定義了該流體的速度場（向量場）。通過該速度場我們可以立即看出系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的不動點，并立即判定處在任意位置為初始狀態(tài)的解的行為。此外，線性穩(wěn)定性分析和系統(tǒng)的勢函數(shù)也可以用來分析系統(tǒng)的不動點，要得到并計算系統(tǒng)的演化軌道，可以使用不同類型的數(shù)值積分方法求解系統(tǒng)的演化微分方程。該系統(tǒng)雖然簡單，但其連續(xù)或離散的形式在各領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用，如企業(yè)增長模型、Logistic 映射、RC 電路等等。

1. 歷史

一維連續(xù)動力系統(tǒng)的研究起源于 19 世紀(jì)末對常微分方程定性理論的探索。法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊（Henri Poincaré）在其著作《天體力學(xué)新方法》（1892）中提出了通過幾何方法研究微分方程解整體行為的思想，確立了相空間、軌道、不動點與穩(wěn)定性等基本概念[1]。 在這一框架下，一維動力系統(tǒng)通常以自治常微分方程 為基本形式，其研究重點集中于不動點的存在性、穩(wěn)定性及解的定性結(jié)構(gòu)。這些思想構(gòu)成了低維動力系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)[2]。

隨著動力系統(tǒng)理論的發(fā)展，一維連續(xù)系統(tǒng)逐漸成為研究非線性現(xiàn)象的重要模型。研究者系統(tǒng)地建立了相圖、線性化方法以及穩(wěn)定性判據(jù)，使得在不求顯式解的情況下，也能夠判斷系統(tǒng)的長期行為。一維動力系統(tǒng)因此被廣泛用于闡釋非線性常微分方程的基本定性，并成為更高維系統(tǒng)研究的入門模型[3]。

在研究含參數(shù)的一維連續(xù)動力系統(tǒng)時，人們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)可能隨參數(shù)變化而發(fā)生突變，例如不動點的產(chǎn)生、消失或穩(wěn)定性的改變。這類現(xiàn)象被統(tǒng)一描述為分岔（bifurcation）。一維系統(tǒng)在分岔理論的發(fā)展中起到了核心作用，典型分岔類型包括鞍結(jié)分岔、跨臨界分岔和叉形分岔，一維動力系統(tǒng)由此成為研究非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變化的標(biāo)準(zhǔn)模型[2][3]。

除連續(xù)時間模型外，一維離散動力系統(tǒng)作為相關(guān)研究方向逐漸發(fā)展。典型例子包括 邏輯斯諦映射， 其在參數(shù)變化下可表現(xiàn)出倍周期分岔與混沌行為[4]。 盡管離散系統(tǒng)與連續(xù)一維動力系統(tǒng)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與動力學(xué)性質(zhì)上存在顯著差異，但二者在分岔機制、非線性分析思想以及復(fù)雜行為的產(chǎn)生方式上具有重要聯(lián)系，離散一維系統(tǒng)通常被視為連續(xù)動力系統(tǒng)理論的補充研究方向[5]。

在現(xiàn)代動力系統(tǒng)理論中，一維連續(xù)動力系統(tǒng)被視為理解非線性動力學(xué)與定性分析方法的基礎(chǔ)。其簡單的相空間結(jié)構(gòu)使系統(tǒng)行為能夠被完整刻畫，為研究穩(wěn)定性、分岔以及更高維復(fù)雜系統(tǒng)提供了直觀的理論起點，并在數(shù)學(xué)教育、物理建模和生物動力學(xué)等領(lǐng)域中被廣泛作為非線性系統(tǒng)分析的典型示例[3][2]。

2. 主要內(nèi)容

2.1 幾何思維與相圖表示

在一維動力系統(tǒng)的研究中，幾何思維構(gòu)成了理解系統(tǒng)長期行為的核心工具之一。一維連續(xù)動力系統(tǒng)通常寫為自治常微分方程

其中 x 表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量，t 為時間參數(shù)，f(x) 是定義在實數(shù)軸上的標(biāo)量函數(shù)。該方程描述了系統(tǒng)狀態(tài)在一維相空間（即實數(shù)軸）中的時間演化規(guī)律，是一維動力系統(tǒng)定性分析的基本出發(fā)點[3]。由于系統(tǒng)是自治的，時間本身并不作為相空間坐標(biāo)出現(xiàn)，而僅起到參數(shù)的作用，這使得系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)完全由函數(shù) f(x) 決定。

從幾何角度看，f(x) 在實數(shù)軸上每一點給出了系統(tǒng)狀態(tài)的瞬時演化方向與變化趨勢。當(dāng) f(x) ＞0 時，狀態(tài)隨時間向正方向演化；當(dāng) f(x) ＜0 時，狀態(tài)向負(fù)方向演化；而當(dāng) f(x) =0 時，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，對應(yīng)一個不動點。在一維情況下，通常所說的向量場退化為定義在實數(shù)軸上的方向場，其全部信息可以通過在 x-軸上標(biāo)注箭頭來直觀表示。這種表示方式將微分方程轉(zhuǎn)化為一條“流動方向圖”，從而使系統(tǒng)的整體動力學(xué)結(jié)構(gòu)在幾何上變得清晰可見[5]。

通過考察不動點兩側(cè) f(x) 的符號分布，可以直接判斷不動點的穩(wěn)定性：若軌道在不動點兩側(cè)均指向該點，則對應(yīng)吸引子；若軌道在兩側(cè)均遠(yuǎn)離該點，則對應(yīng)排斥子；若一側(cè)指向而另一側(cè)遠(yuǎn)離，則為半穩(wěn)定不動點。這種穩(wěn)定性判據(jù)完全基于幾何信息，無需顯式求解微分方程，因而構(gòu)成了一維動力系統(tǒng)定性分析的基本方法之一[3]。

與依賴解析解或符號計算的方法相比，基于相圖的幾何分析能夠在不求解方程的情況下揭示系統(tǒng)解的單調(diào)性、極限行為以及長期演化趨勢。對于一維自治系統(tǒng)而言，這種方法在理論上是完備的：系統(tǒng)的全部定性行為均可由相圖的結(jié)構(gòu)刻畫，同時也直接解釋了一維系統(tǒng)中不可能出現(xiàn)周期軌道或振蕩行為的根本原因。因此，幾何思維不僅是研究一維動力系統(tǒng)的基礎(chǔ)工具，也為理解更高維系統(tǒng)中的相空間結(jié)構(gòu)提供了直觀而重要的思想起點[5]。

一維動力系統(tǒng)的圖，展示狀態(tài)變量沿實數(shù)軸的演化方向與不動點結(jié)構(gòu)[6]。

2.2 不動點及其穩(wěn)定性

2.1.1不動點的定義

對于離散系統(tǒng) xt+1=g(xt)，滿足 g(x)=x 的點 x* 稱為 g 的不動點。

對于連續(xù)系統(tǒng) ，稱 f(x) 的零點為系統(tǒng)的不動點。

在離散動力學(xué)中，可以驗證對不動點 x*，有 g(g(x*))=g(x*)=x*。直觀上看，這個點在系統(tǒng)的映射下一直保持不動，因此也稱其為系統(tǒng)的平衡解。在連續(xù)的一維動力學(xué)中，如果系統(tǒng)處在不動點的位置，即 ，系統(tǒng)狀態(tài)同樣保持不變。因此在一維連續(xù)動力學(xué)中，我們只需研究 f(x) 的零點。

2.2.2 圖形化穩(wěn)定性判據(jù)

如果畫出 f(x) 的圖像，可以注意到有三種零點。前兩種中 f(x) 的圖像穿過實軸，在零點兩側(cè)函數(shù)值異號；第三種零點兩側(cè)的函數(shù)值同號。根據(jù) f(x) 的幾何意義，可以得出下面的三種不動點：

• 穩(wěn)定不動點（吸引子/匯）： 零點左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)；向量場箭頭從兩邊指向該點。

• 不穩(wěn)定不動點（排斥子/源）： 零點右側(cè)為正，左側(cè)為負(fù)；向量場箭頭從該點指向兩邊。

• 半穩(wěn)定不動點： 零點的兩側(cè)同號；從一側(cè)吸引，從另一側(cè)排斥。

下圖給出了一個一維自治系統(tǒng)的相圖，橫軸的箭頭表示相流的流向。如圖所示，函數(shù) f(x) 有兩個零點，這意味著系統(tǒng)有兩個不動點。左側(cè)的不動點是穩(wěn)定的，當(dāng) x 位于左側(cè)不動點的左側(cè)少許時，其速度向右；當(dāng) x 位于它的右側(cè)少許時，其速度向左。右側(cè)不動點和左側(cè)相反：向左側(cè)或右側(cè)擾動都會使系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離右側(cè)的不穩(wěn)定不動點。

某個一維自治系統(tǒng)的相圖。其穩(wěn)定不動點和不穩(wěn)定不動點分別使用實心圓點和空心圓點表示，箭頭方向指示相流的方向。

2.2.3 線性穩(wěn)定性分析（定量方法）

除了圖形化穩(wěn)定性判據(jù)，還可以從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)角度判定該不動點的穩(wěn)定性。在不動點x*附近定義擾動u(t）=x(t)-x*，其線性化方程為，此時我們關(guān)心f'(x*)的符號。

• 若 f'(x*)＜0，該不動點是穩(wěn)定不動點；

• 若 f'(x*)＞0，該不動點是不穩(wěn)定不動點。

定義特征時間尺度 為 x(t) 在不動點 x* 鄰域內(nèi)發(fā)生顯著變化的時間。

2.2.4 勢函數(shù)

除了使用 f(x) 分析外，還可以使用系統(tǒng)的勢函數(shù) V(x) 進(jìn)行分析。它由定義。

通過該定義，系統(tǒng)行為等價于一個過阻尼粒子在勢能景觀 V(x) 中的運動。粒子總是向勢能減小 () 的方向運動。其中系統(tǒng)的穩(wěn)定不動點 ?V(x) 的局部極小值（勢能谷），而不穩(wěn)定不動點 ?V(x) 的局部極大值（勢能峰）。

2.3 解的性質(zhì)

2.3.1 單調(diào)性與振蕩的不可能性

一維（自治）系統(tǒng) 的解 x(t) 必須是時間 t 的單調(diào)函數(shù)（或為常數(shù)）。換言之，一維系統(tǒng)的解要么是常數(shù)，要么收斂到不動點，要么發(fā)散到無窮。如上方系統(tǒng)的相圖所示

• 如果相點初始位于左側(cè)穩(wěn)定不動點附近，它將收斂到穩(wěn)定不動點；如果相點初始時恰好位于兩個不動點處，則它將始終保持在原位;

• 如果相點初始位于不穩(wěn)定不動點的右側(cè)，可知相點的速度始終向右，且逐漸增加，因此它最終將發(fā)散至（正）無窮大。

作為單調(diào)性的直接推論，一維系統(tǒng)不可能出現(xiàn)周期解、超調(diào)或阻尼振蕩。這是由實線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定的，假設(shè)某個一維自治系統(tǒng)的解是周期或存在超調(diào)，那么一定會存在某個狀態(tài)，對應(yīng)這兩個不同的 ，這將違背自治系統(tǒng)解的唯一性，從而與常微分方程基本理論相矛盾。因此一維自治系統(tǒng)的解一定是單調(diào)的。

2.3.2 存在性與唯一性

在應(yīng)用視角下，我們總是假定的一維系統(tǒng) 存在唯一的解。但一些看似簡單的病態(tài)系統(tǒng)擁有不止一個解。例如考慮 ，可以驗證 x(t)≡0 和 都是原系統(tǒng)的解。究其原因， 在 x=0 處的斜率為無窮大，而該系統(tǒng)除了上面兩個解外還有無窮多個解。

下面給出了保證解存在性和唯一性的條件。

一維自治系統(tǒng)解的存在性與唯一性定理

若 f(x) 及其導(dǎo)數(shù) f'(x) 在包含初始點 x0 的開區(qū)間上連續(xù)，則初值問題

的解 x(t) 在 t=0 的某個鄰域 (-Τ，Τ) 內(nèi)存在且唯一。

• 考慮 這一例子中的 f'(x) 在 x=0 處有無窮間斷點，因此不滿足存在性和唯一性定理的條件。注意該定理只是說解在初始時間的某個鄰域內(nèi)存在，而不是說解對所有時間都有存在。

• 考慮系統(tǒng) 可以檢查該系統(tǒng)符合上述定理的條件，在 t=0 的一個鄰域內(nèi)存在唯一解。解上述微分方程可得 x(t)=tan(t)，可知只有當(dāng) t∈(-π/2，π/2) 時才有解。

2.4 數(shù)值積分方法

數(shù)值積分方法（numerical integration methods）是通過將連續(xù)時間離散化，把常微分方程 (或更一般的，f(x, t))轉(zhuǎn)化為逐步更新的遞推關(guān)系，從而在離散時間點上近似計算系統(tǒng)軌道隨時間演化的方法[7][8]。在動力系統(tǒng)問題中，解析解往往難以獲得，而相圖與軌道結(jié)構(gòu)的定性研究又依賴對軌道的生成與比較，因此數(shù)值積分成為研究與數(shù)值實驗中的基礎(chǔ)工具之一[3]。

從幾何直覺上看，數(shù)值積分等價于在狀態(tài)空間中用有限的時間步長 h 逐步逼近真實軌道：步長越小，局部逼近通常越好，但計算量也隨之增加；步長過大則可能引入顯著的截斷誤差，甚至導(dǎo)致數(shù)值軌道在定性行為上偏離真實解（例如出現(xiàn)錯誤的發(fā)散或虛假的穩(wěn)定性）[8]。因此實際計算常需要在精度、穩(wěn)定性與計算成本之間進(jìn)行權(quán)衡[7]。

數(shù)值積分方法可按更新結(jié)構(gòu)與穩(wěn)定性特征粗略分為以下類別：

• 顯式方法：下一步狀態(tài)由已知的當(dāng)前信息直接計算，如歐拉方法與各類 Runge–Kutta 方法；實現(xiàn)簡單、計算效率高，但在剛性問題或強敏感系統(tǒng)中可能受到穩(wěn)定性限制[8][9]。

• 隱式方法：下一步狀態(tài)需通過求解代數(shù)方程獲得，通常具有更好的穩(wěn)定性，因此常用于剛性系統(tǒng)或需要較大步長的情形[8]。

• 多步方法：利用多個歷史時間點的信息更新（如 Adams–Bashforth 與 Adams–Moulton 系列），在長時間積分中可提高效率，但對初始步的生成與誤差傳播較敏感[8]。

• 自適應(yīng)步長方法：通過誤差估計動態(tài)調(diào)整步長，在保證誤差控制的同時減少不必要的計算，是工程與科學(xué)計算中常見的通用策略[9]。

在動力系統(tǒng)研究中，數(shù)值積分方法常用于生成相軌跡與時間序列、繪制相圖并輔助分析不動點穩(wěn)定性與分岔結(jié)構(gòu)；對于混沌系統(tǒng)，數(shù)值結(jié)果對初值與誤差傳播更為敏感，因此通常更適合作為對定性結(jié)構(gòu)與局部行為的數(shù)值探索工具，而不宜將單條長時間軌道視為精確預(yù)測[3][5]

關(guān)于具體算法形式與誤差階數(shù)，通常在各方法的獨立條目中詳細(xì)討論，如歐拉方法、Runge–Kutta 方法等[7][9]。

3. 典型實例

3.1 種群增長模型（邏輯斯諦方程）

3.1.1 模型背景與動力學(xué)意義

邏輯斯諦方程（logistic equation）是一類用于描述有限資源環(huán)境下種群增長的常微分方程模型。該方程由比利時數(shù)學(xué)家皮埃爾·弗朗索瓦·費赫爾胡斯特（Pierre-Fran?ois Verhulst）于 1838 年提出，最初用于解釋人口增長過程中由資源限制引起的自我抑制現(xiàn)象，被認(rèn)為是一維動力系統(tǒng)方法在種群生物學(xué)中的早期且經(jīng)典的應(yīng)用實例[10]。

從動力學(xué)角度看，邏輯斯諦方程刻畫了種群數(shù)量在規(guī)模較小時近似呈指數(shù)增長，而隨著資源競爭加劇，增長速度逐漸減慢并最終趨向某一穩(wěn)定上限（環(huán)境承載量）的典型過程。這種由正反饋與負(fù)反饋共同作用所產(chǎn)生的 S 型增長行為，使該模型成為理解非線性反饋如何改變增長規(guī)律的入門范例，并在生態(tài)學(xué)、流行病學(xué)以及更一般的生物動力學(xué)建模中得到廣泛應(yīng)用[11]。

3.1.2 連續(xù)時間模型

在最常見的連續(xù)時間形式中，邏輯斯諦方程寫為

其中 N(t) 表示時間 t 的種群數(shù)量，r 為內(nèi)稟增長率，K 為環(huán)境承載量。方程右端由兩部分構(gòu)成：rN 對應(yīng)“數(shù)量越多增長越快”的自催化式增長趨勢，而因子 1-N/K 則體現(xiàn)資源限制帶來的負(fù)反饋，使得當(dāng) N 接近 K 時增長率趨于零，從而自然產(chǎn)生增長飽和并形成 S 型增長曲線[11]。系統(tǒng)的相圖如下圖所示：原點是系統(tǒng)的不穩(wěn)定不動點。系統(tǒng)有一個穩(wěn)定不動點 N=K，即為環(huán)境承載量。

邏輯斯諦方程的相圖，原點是系統(tǒng)的不穩(wěn)定不動點。系統(tǒng)有一個穩(wěn)定不動點 N=K，即為環(huán)境承載量。

在給定初值條件下，該方程可寫出解析解

其中常數(shù) A 由初始種群數(shù)量決定。該解的曲線如下圖所示，直觀地展示了系統(tǒng)從早期快速增長到后期逐漸穩(wěn)定在 K 附近的過渡過程。

邏輯斯諦方程解的典型 S 型增長曲線示意圖，展示種群數(shù)量隨時間增長并逐漸趨近環(huán)境承載量的行為。

3.1.3 離散模型與應(yīng)用拓展

除連續(xù)時間形式外，邏輯斯諦方程在離散時間建模中也有一個極其重要的對應(yīng)物：邏輯斯諦映射（logistic map）

xn+1=rxn(1-xn) (5)

該映射在參數(shù)變化下可呈現(xiàn)從穩(wěn)定定點到周期軌道、再到倍周期分岔與混沌等豐富動力學(xué)行為，因此常被作為一維離散動力系統(tǒng)與混沌理論的經(jīng)典示例[12]。

邏輯斯諦模型及其變體廣泛用于生態(tài)學(xué)中的種群增長描述，也常作為更復(fù)雜模型（例如加入時間延遲、空間擴(kuò)散或隨機擾動）的基準(zhǔn)框架；此外，其 S 型增長形態(tài)也被借用到社會科學(xué)中的技術(shù)擴(kuò)散與增長過程刻畫中，并在形式上與統(tǒng)計學(xué)中的邏輯斯諦回歸等方法產(chǎn)生聯(lián)系[11]。

3.2 RC電路分析

3.2.1 模型定義

考慮下圖所示的 RC 電路，電阻大小為 R ，電容量為 C 。記左端輸入電壓為 Vin，電容器兩端的電壓 VC 為輸出電壓，電路中的電流為 I。由于，電容器上的電荷量 Q 遵循下面的微分方程

(6)

串聯(lián)RC電路，左側(cè)為輸入電壓，電阻值為 R，電容量為 C，輸出電壓為電容兩端的電壓。引自[13]

3.2.2 推導(dǎo)過程

根據(jù)基爾霍夫定律，可得

(7)

(8)

當(dāng) Vin 為恒定電壓 V0 時，考慮電容 C 上的電荷量 Q 。有

(9)

將公式(9) 中的 整理至等號左邊，就得到系統(tǒng)（關(guān)于電量Q）的動力學(xué)為。

3.2.3 模型的解

在上述設(shè)定條件下，系統(tǒng)動力學(xué)（公式 (6)）的通解為

(10)

如果要求初始時刻電容器上電荷量為零，即 Q(0)=0，則有 K=-V0C，即

(11)

相應(yīng)地，也能得到電容器的穩(wěn)態(tài)電荷量Q(∞)=V0C，因此其穩(wěn)態(tài)電壓 VC(∞) 為 V0，輸出電壓隨時間變化規(guī)律為 ，其中 Τ=RC 稱為時間常數(shù)，它決定電容器充電的快慢。

3.2.4 相圖視角

公式(6)對應(yīng)著如下圖所示的RC串聯(lián)電路系統(tǒng)相圖，可見相圖中為一截距為正，斜率為負(fù)的直線，有一個全局穩(wěn)定不動點 Q*=V0C。另外，從該函數(shù)也可明顯的看出上面的結(jié)論：當(dāng)電容初始電荷量為零時，依該函數(shù)，其電荷量會一直增長，無限趨于穩(wěn)定不動點。

RC 電路系統(tǒng)的相圖。橫軸為電容器的電荷量Q，縱軸為電容器電荷量的變化率。該系統(tǒng)的相圖為一斜率為負(fù)的直線，和橫軸的交點為 Q*=V0C，即為系統(tǒng)的穩(wěn)定不動點。

3.3 企業(yè)生長模型

企業(yè)生長模型是陶如意、張江、Geoffrey West等人提出的、基于企業(yè)規(guī)模標(biāo)度律和企業(yè)財務(wù)平衡方程構(gòu)建的企業(yè)資產(chǎn)變化的微分方程，刻畫企業(yè)的平均生長動力學(xué)。

3.3.1 數(shù)學(xué)形式

(12)

其中：

• A是企業(yè)的資產(chǎn)

• cI和βI代表企業(yè)的資產(chǎn)和企業(yè)凈利潤I之間冪律關(guān)系的參數(shù)（）

• cL和βL代表資產(chǎn)和企業(yè)總債務(wù)L之間的冪律關(guān)系參數(shù)（）

上式被稱為企業(yè)普適生長方程（general growth equation)。

3.3.2 解的形式

對公式(12)直接積分，難以給出資產(chǎn)隨時間的顯式解析表達(dá)式，但可以給出企業(yè)資產(chǎn)生長軌跡的隱式解

(13)

公式(13)被稱為企業(yè)通用生產(chǎn)曲線（general growth curve），其中，t 是企業(yè)的市場年齡。下圖展示了個體企業(yè)時間軌跡在平均尺度上和模型預(yù)測的吻合情況，結(jié)果顯示，在美國、中國和歐洲的上市企業(yè)數(shù)據(jù)集中，模型表現(xiàn)和數(shù)據(jù)吻合，詳見下圖。

企業(yè)生長曲線在中國、美國、歐洲的上市企業(yè)數(shù)據(jù)集上的擬合結(jié)果。縱坐標(biāo)是企業(yè)的資產(chǎn)，橫坐標(biāo)是根據(jù)通用生長方程經(jīng)過對齊后的企業(yè)的有效年齡（Effective Age），可見與企業(yè)增長模型的解與實際數(shù)據(jù)集吻合。

當(dāng) β≈1 的時候，可以得到一個極佳的近似，此時企業(yè)生長方程的解是一個隨時間變化的冪律形式：

(14)

其中

3.3.3 不動點分析

分析企業(yè)生長方程的動力學(xué)性質(zhì)，我們可知，方程只有一個不動點A=0，該點意味著企業(yè)的資產(chǎn)為0，考慮到企業(yè)資產(chǎn)往往不會出現(xiàn)為0的情況，該點通常并無實際的經(jīng)濟(jì)意義。

3.3.4 奇異點分析

進(jìn)一步分析可知，方程存在奇異點，即分母為0的情況，此時dA/dt→∞。下面我們對奇異點A*展開分析。

令分母，得到奇異點。

3.3.4.1 穩(wěn)定性

對奇異點進(jìn)行穩(wěn)定性分析，即判斷 的正負(fù)。我們得到兩種情況：

• 當(dāng) βL＞1 時，，意味著此時奇異點是一個吸引子，企業(yè)生長靠近該點。

• 當(dāng) βL＜1 時，，意味著此時奇異點是一個排斥子，企業(yè)規(guī)模遠(yuǎn)離該點。

下圖展示了不同βL取值情況的企業(yè)生長軌跡及其變化率的可視化圖像：

企業(yè)生長軌跡及其變化率和不同參數(shù)的關(guān)系。第一行子圖表示企業(yè)規(guī)模（對數(shù)坐標(biāo)）隨著時間t的演化軌跡。第二行子圖表示企業(yè)對數(shù)生長率和企業(yè)（對數(shù)）規(guī)模的函數(shù)關(guān)系，圖中的箭頭代表企業(yè)規(guī)模變化的速度，箭頭越粗代表變化越快。左、中、右分別代表βL＜1, =1, ＞1三種不同的參數(shù)情況。βL＜1時，企業(yè)生長方程存在一個左奇異點，該點是不穩(wěn)定的；βL=1時，企業(yè)是一個冪律生長；βL＞1時，企業(yè)生長方程存在一個右奇異點，且該點是一個穩(wěn)定的奇異點。

3.3.4.2 經(jīng)濟(jì)含義

對應(yīng)到企業(yè)生長行為，也可以分成對應(yīng)兩種類型的生長閾值：

• 當(dāng)βL＞1時，由于此時奇點是一個吸引子，意味著小于規(guī)模奇點A*的企業(yè)可以持續(xù)增長，而大于規(guī)模奇點A*的企業(yè)則表現(xiàn)為衰退，此時奇點A*是一個生長上限。

• 而當(dāng)βL＜1時，由于此時奇點是一個排斥子，意味著大于規(guī)模奇點A*的企業(yè)可以持續(xù)增長，而小于規(guī)模奇點A*的企業(yè)則表現(xiàn)為衰退，此時奇點A*是一個生長門檻。

參考文獻(xiàn)

1. Poincaré, H. (1892). Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste. Paris: Gauthier-Villars.

2. Katok, A. & Hasselblatt, B. (1995). Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press.

3. Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Reading, MA: Perseus Books.

4. May, R. M. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, 261(5560), 459–467.

5. Devaney, R. L. (1986). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 2nd ed. Addison-Wesley.

6. "Phase Graph". Swarma Pattern. Swarma Club. Retrieved 2025-12-21.

7. Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis (9th ed.). Brooks Cole.

8. Hairer, E., N?rsett, S., & Wanner, G. (1993). Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. Springer.

9. Butcher, J. C. (2016). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations (3rd ed.). Wiley.

10. Verhulst, P.-F. (1838). "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement". Correspondance Mathématique et Physique.

11. Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology I: An Introduction (3rd ed.). Springer.

12. Edelstein-Keshet, L. (2005). Mathematical Models in Biology. SIAM.

13. "RC Circuit". Wikipedia. Retrieved 2026-01-14.

參考文獻(xiàn)可上下滑動查看

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