新智元報(bào)道

編輯：KingHZ 桃子

【新智元導(dǎo)讀】 「哈密頓分解」難題，終于破解！88歲「算法祖師爺」高德納再更論文，Claude 4.6+GPT-5.4聯(lián)合破解了奇偶數(shù)情形。甚至，GPT-5.4直出一篇14頁論文，引爆全網(wǎng)。

88歲的老爺子，終于填平了自己當(dāng)年挖下的坑！

三周前，「算法祖師爺」、圖靈獎(jiǎng)最年輕的得主高德納被Claude震驚：一個(gè)懸了多年的算法難題，竟被Claude Opus 4.6解決了。

論文一開篇，他直呼「震驚、震驚」！

論文地址：https://cs.stanford.edu/~knuth/papers/claude-cycles.pdf

但進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上存在760種類似的分解方法，Claude只是找到了其中一個(gè)。

它只攻克了m為奇數(shù)的「堡壘」，對(duì)于m為偶數(shù)的情況，仍然沒有通用解。

更新后的論文顯示，這一難題取得了巨大的進(jìn)展！

GPT-5.4 Pro接棒Claude，對(duì)所有m≥8的偶數(shù)直出長(zhǎng)達(dá)14頁的論文，并通過計(jì)算驗(yàn)證了高達(dá)m=2000的情形。

不僅如此，GPT與Claude聯(lián)動(dòng)后，通過多智能體工作流，為奇數(shù)和偶數(shù)m找到了更簡(jiǎn)潔的構(gòu)造方法。

還有人使用Lean語言，將Claude關(guān)于奇數(shù)情況的證明形式化。

至此，「哈密頓分解」難題徹底解決。

從Claude 4.6到GPT-5.4，再加上業(yè)界諸多大佬合力，終于把數(shù)十年的坑填上了。

論文的最后，老爺子感慨道——

我們的確生活在一個(gè)非常有趣的時(shí)代。愿原力與你同在。

88歲算法祖師爺，挖了一個(gè)「大坑」

一直以來，在組合數(shù)學(xué)里，哈密頓路徑（Hamiltonian Path）是一座易守難攻的要塞。

簡(jiǎn)單來說，它要求在復(fù)雜的圖形網(wǎng)絡(luò)中，尋找一條不重復(fù)地經(jīng)過每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的閉合環(huán)路。

而「哈密頓分解問題」，則是要將一個(gè)圖完美地拆解為多個(gè)這樣的環(huán)路。這不僅是計(jì)算量的博弈，更是對(duì)數(shù)學(xué)構(gòu)造能力的極限壓榨。

這個(gè)坑，是高德納親手挖下的。

在他撰寫計(jì)算機(jī)科學(xué)巨著《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》（TAOCP）的過程中，哈密頓分解始終是一個(gè)讓他掛念的「補(bǔ)丁」。

這個(gè)問題已經(jīng)懸置了數(shù)十年，用術(shù)語描述如下：

此前，學(xué)術(shù)界始終無法給出覆蓋奇數(shù)與偶數(shù)情形的完整全解。

隨著節(jié)點(diǎn)增加，搜索空間呈指數(shù)級(jí)爆炸，人類的大腦在那種深度的黑暗面前，往往會(huì)感到生理性的無力。

過去三十年，無數(shù)天才試圖填坑，但大多折戟于那道「奇偶全解」的最后防線。

直到2026年的這個(gè)春天，高德納決定換一種武器。

偶數(shù)m，有解了?

上一次Claude Opus 4.6，在31次探索之后，終于提出了一套簡(jiǎn)單的規(guī)則——

s = (i + j + k) mod m

其中依據(jù)s、i、j的情況，再去決定是否增加i、增加j、增加k，具體規(guī)則如下：

如果s=0，根據(jù)j的值決定移動(dòng)方向。如果0

結(jié)果，Claude通過程序驗(yàn)證了，當(dāng)m=3,5,7,9,11，路徑全部成立。

可以看到，Claude只解決了m為奇數(shù)的情況，至于m為偶數(shù)的問題，還未得出真正的解。

直到3月3日，F(xiàn)ilip Stappers給老爺子寫信說，「這事兒還有后續(xù)」。

Stappers讓Claude Opus 4.6再次針對(duì)m為偶數(shù)，算了大概4個(gè)小時(shí)，終于有些眉目，但沒有完整的解。

最終，Claude建立了一個(gè)類似于奇數(shù)情況的局部纖維構(gòu)造，然后通過運(yùn)行搜索來進(jìn)行修補(bǔ)完善。

在最后的階段中，它把主要時(shí)間用在了「加快搜索」的速度上，而不是去尋找一個(gè)真正的構(gòu)造方法。

它跑了許多程序，試圖用模擬「退火」或「回溯」算法來尋找解。

在Stappers建議下，讓Claude使用ORTools CP-SAT（谷歌開源工具包的一部分，帶有AddCircuit約束）求解，奇跡發(fā)生了。

現(xiàn)在的程序，在短短幾秒鐘內(nèi)就能直接跑出結(jié)果！

緊接著在3月4日，來自新加坡好友Ho Boon Suan帶來了更震撼的消息。

他利用gpt-5.3-codex生成了一段代碼，成功實(shí)現(xiàn)了偶數(shù)m≥8的分解。

為了驗(yàn)證可靠性，他測(cè)試了8到200之間所有的偶數(shù)m，以及400-2000之間的一些隨機(jī)偶數(shù)，結(jié)果都沒問題。

要知道，當(dāng)m=2000時(shí)，那可是一個(gè)擁有80億個(gè)頂點(diǎn)的龐大圖結(jié)構(gòu)！

若是純靠人力，來手算證明其正確性簡(jiǎn)直是「天方夜譚」。

幾乎同一時(shí)間，來自Lean社區(qū)的Kim Morrison動(dòng)作極其迅速。

他把之前關(guān)于Claude構(gòu)造正確的證明形式化驗(yàn)證，并于3月4日及時(shí)地發(fā)到了網(wǎng)上。

數(shù)學(xué)天才，扎堆研究

另一位名為「Exocija」的匿名研究者，找到了一種適用于奇數(shù)m的全新構(gòu)造。

單從計(jì)算的角度來看，這極可能是目前最簡(jiǎn)潔的方案，盡管它的證明也許不是最簡(jiǎn)單的。

在C語言程序中，只需將特定的幾行替換為極其精簡(jiǎn)的邏輯代碼，就能獲得有效的分解。

而且，幾乎每一步，都巧妙地利用了恒等置換「012」。

if (s == 0) d = (j == m - 1? "201" : "021");else if (s == m - 1) d = (j == 0? "102" : "120");else d = "012";

他是如何做到的？答案是：跨模型協(xié)作。

Exocija在GPT-5.4和Claude 4.6 Sonnet這兩個(gè)頂尖模型之間不斷來回粘貼文本，利用它們不同的思考維度相互啟發(fā)，最終成功拼湊出了完整的證明。

0修改，GPT-5.4直出14頁論文

關(guān)于偶數(shù)m的構(gòu)造問題，真正的高潮還在后面。

既然gpt-5.3-codex生成的算法規(guī)律過于復(fù)雜，Ho Boon Suan決定給GPT-5.4 Pro下達(dá)一個(gè)終極指令：

你的任務(wù)是嚴(yán)格證明之前給出的算法，當(dāng)m是≥ 8的偶數(shù)時(shí)，確實(shí)總是能產(chǎn)生三個(gè)長(zhǎng)度均為m3的循環(huán)。

最好能深入說明一下這個(gè)算法為何有效，并探討是否有更簡(jiǎn)單的構(gòu)造方法。

誰曾想，GPT-5.4 Pro直接交出了一份令人驚嘆的答卷——

一篇排版精美、邏輯嚴(yán)密、長(zhǎng)達(dá)14頁的學(xué)術(shù)論文。

從「摘要」到「結(jié)論」，結(jié)構(gòu)完整，起承轉(zhuǎn)合嚴(yán)絲合縫。

而且，它還采用了TeX標(biāo)準(zhǔn)，高德納本人就是TeX的發(fā)明者，AI似乎在用這一語言向他致敬。

最重要的是，論文通過了Lean形式化驗(yàn)證工具的檢驗(yàn)。

用Ho的原話來說，這完全是GPT-5.4 Pro獨(dú)立完成的壯舉，他連一個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)都不需要修改！

這意味著，它的邏輯鏈條在數(shù)學(xué)意義上是「絕對(duì)真理」。

AI「左右互搏」，

Claude+GPT終成完美證明

這個(gè)故事的集大成者是Keston Aquino-Michaels。

不僅為奇數(shù)m的情形找到了另一種有效的分解，同時(shí)為偶數(shù)m的情形給出了一種優(yōu)雅的分解，其簡(jiǎn)潔程度遠(yuǎn)超此前方法。

此外，他還發(fā)掘出了一篇高德納之前遺漏的相關(guān)參考文獻(xiàn)（即下圖最后參考文獻(xiàn)）。

預(yù)印本：https://arxiv.org/abs/2203.11017

最妙的是，他還細(xì)致分析了這種聯(lián)合交互模式，對(duì)于未來如何應(yīng)對(duì)并解決新問題具有潛在的重要意義。

完整報(bào)告：https://github.com/no-way-labs/residue/blob/main/paper/completing_claudes_cycles.pdf

開源項(xiàng)目：https://github.com/no-way-labs/residue

簡(jiǎn)單來說，Keston Aquino-Michaels并沒有簡(jiǎn)單地向AI提問，而是構(gòu)建了精妙的「協(xié)作工作流」。

這更像是一場(chǎng)跨越碳基與硅基的協(xié)同演習(xí)，是Claude、GPT和人類的密切合作。

其中，兩個(gè)Agent獨(dú)立運(yùn)行，使用相同的「Residue」提示詞。

兩個(gè)智能體使用的結(jié)構(gòu)化探索提示詞

但各自發(fā)揮特長(zhǎng)：

• Agent O：5次探索解決奇數(shù)情況（符號(hào)證明）

• Agent C：找到m=4,6,8,10,12的具體解（數(shù)據(jù)）

但兩個(gè)Agent沒有直接對(duì)話，通過Orchestrator中轉(zhuǎn)——數(shù)據(jù)、工具都經(jīng)由指揮者（人類引導(dǎo)的Opus 4.6）傳遞。

Orchestrator需要判斷「何時(shí)傳、傳什么、以什么格式傳」，這不是兩個(gè)Agent自己能完成的。

比如，Agent O在偶數(shù)情況卡在m=10，無法推進(jìn)；Orchestrator將Agent C的解傳遞給Agent O；Agent O收到后，立即識(shí)別出模式：m?2層「批量層」+2層「修復(fù)層」。

最終，那個(gè)困擾了人類幾十年的「奇偶情形全解」，在兩個(gè)AI智能體的瘋狂交鋒中，被徹底鑿穿。

人類圈定戰(zhàn)場(chǎng)，機(jī)器填補(bǔ)深淵

這次「填坑」，標(biāo)志著科學(xué)研究范式的徹底轉(zhuǎn)折。

科學(xué)家的身份變了。比如，高德納不再是那個(gè)在紙上計(jì)算每一行代碼的工匠，他定義了問題的邊界，設(shè)計(jì)了驗(yàn)證的邏輯，然后指揮AI去填補(bǔ)那道試錯(cuò)的黑洞。

研究的范式變了。人類只需定義邊界，而AI填補(bǔ)深淵。

數(shù)學(xué)家最珍貴的能力不再是算力，而是「提出問題的直覺」和「驗(yàn)證答案的審美」。

AI負(fù)責(zé)在無限的試錯(cuò)中尋找路徑，而人類負(fù)責(zé)在終點(diǎn)確認(rèn)這是否就是我們要找的真理。

下一個(gè)是誰？

當(dāng)88歲的算法泰斗都開始用AI填坑，我們必須意識(shí)到：數(shù)學(xué)研究的工作方式正在發(fā)生不可逆的轉(zhuǎn)折。

這不僅僅是高德納的勝利，更是人類智力的一次「外掛式升級(jí)」。

在「機(jī)器左右互搏」的時(shí)代，連最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)殿堂都已經(jīng)向AI敞開大門。

如果你還在糾結(jié)「AI是否會(huì)取代我」，那么你可能已經(jīng)錯(cuò)過了成為下一個(gè)「智力架構(gòu)師」的機(jī)會(huì)。

下一個(gè)被AI鑿穿的世紀(jì)難題，會(huì)是黎曼猜想，還是物理學(xué)的統(tǒng)一場(chǎng)論？

在這個(gè)「極其有趣的時(shí)代」，我們唯一的恐懼，應(yīng)該是對(duì)這種進(jìn)化速度的漠視。

參考資料：

https://x.com/slow_developer/status/2038399555490791765

https://x.com/mubeitech/status/2038388810157826467

https://x.com/BoWang87/status/2037648937453232504