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數(shù)學(xué)，美在哪里？

所謂“數(shù)學(xué)之美”，也是個(gè)老生常談的話題了，我不揣冒昧，也談?wù)勎业恼J(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)，美在簡(jiǎn)潔

有這樣一個(gè)問(wèn)題：給你平面坐標(biāo)系上的三個(gè)定點(diǎn)，求過(guò)這三個(gè)定點(diǎn)的圓的方程。如果讓普通的中學(xué)生來(lái)求解，肯定是先作出其中兩點(diǎn)連線的垂直平分線方程，然后再作一垂直平分線方程，繼而求交點(diǎn)、半徑，才能得到圓方程，多么麻煩。但數(shù)學(xué)家不是這樣，他們直接寫(xiě)出圓的方程：

這是多么的簡(jiǎn)潔。利用行列式的性質(zhì)立刻可以看出，、、 均滿足這個(gè)方程，所以這個(gè)方程確實(shí)是過(guò)已知的三個(gè)點(diǎn)，而且 和 的系數(shù)相同、沒(méi)有 項(xiàng)，完全符合圓的方程特點(diǎn)。

該方程不但適用于一般情況，也適用于退化情況：只要將方程按第一行（或第一列）展開(kāi)，馬上可以看出當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)的余子式為零時(shí)，這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)為零，即此圖形退化為直線，而這個(gè)余子式恰好就是以已知點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的二倍。換言之，當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)代表的三角形面積為零（此時(shí)三點(diǎn)共線），所求的過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的圖形為直線。

可能有人會(huì)說(shuō)，前面的行列式如果展開(kāi)的話，并不簡(jiǎn)潔，那么請(qǐng)看微積分基本定理：

以一個(gè)式子溝通了導(dǎo)數(shù)和積分之間的關(guān)系，何等簡(jiǎn)潔？

不但數(shù)學(xué)式子是簡(jiǎn)潔的，數(shù)學(xué)理論也是簡(jiǎn)潔的�！稁缀卧尽钒颜麄�(gè)幾何的知識(shí)體系都建立在了五條公設(shè)和五條公理上，即使到了現(xiàn)代公理體系的經(jīng)典著作《幾何基礎(chǔ)》，也只有二十條公理，而這些公理能推出的命題則不可勝數(shù)。

數(shù)學(xué)，美在奇妙

這里的奇妙有兩方面的含義，一是結(jié)論本身的奇妙，二是求解（求證）過(guò)程的奇妙。晚年的愛(ài)因斯坦回憶兒時(shí)曾經(jīng)談到“一本關(guān)于歐幾里得平面幾何的小書(shū)”，并且舉了一個(gè)例子——三角形的三個(gè)高交于一點(diǎn)。這個(gè)定理的神奇之處在于，一方面它很不容易由觀察得出，另一方面也在于它的一個(gè)著名的證明過(guò)程居然會(huì)用到四點(diǎn)共圓，而這個(gè)定理本身無(wú)論前提還是結(jié)論都和圓毫無(wú)關(guān)系。

能體現(xiàn)數(shù)學(xué)之奇妙的還有尺規(guī)作圖。眾所周知的是，正七邊形不能用尺規(guī)作出，但正十七邊形居然可以，甚至可以用單獨(dú)一只圓規(guī)或者單獨(dú)一把尺子（配合一個(gè)已知圓）作出，真可謂神乎其技。

類似的驚奇還出現(xiàn)在“有理數(shù)和整數(shù)一樣多”“實(shí)數(shù)比有理數(shù)多得多”的證明中。乍看起來(lái)，無(wú)窮多的東西怎么能比較多少？但是數(shù)學(xué)家能夠像普通人處理 一樣處理無(wú)窮，真是不可思議�？墒橇硪环矫妫袝r(shí)數(shù)學(xué)家處理的研究對(duì)象又是很少的，比如所謂的布爾代數(shù)，只涉及兩個(gè)對(duì)象——0 和 1，很難想象數(shù)學(xué)家會(huì)研究這么“貧乏”的東西，更難以想象的是，數(shù)學(xué)家居然從中得出了非常豐富的結(jié)論。

在學(xué)習(xí)泰勒展式和傅里葉分析前，你可曾想過(guò)，（幾乎）“任何”函數(shù)都可以化成統(tǒng)一的形式，乃至無(wú)論函數(shù)本身的定義如何，都可以用四則運(yùn)算來(lái)計(jì)算？筆者中學(xué)時(shí)代常困惑于“數(shù)學(xué)用表是怎樣編制的”這個(gè)問(wèn)題，待學(xué)完泰勒展式后這個(gè)問(wèn)題迎刃而解。

下面兩個(gè)命題從表面上看似乎是矛盾的，以至于很難相信它們竟會(huì)同時(shí)成立：一是素?cái)?shù)是無(wú)窮多的，二是存在著任意（給定）長(zhǎng)度的連續(xù)的合數(shù)數(shù)列。這兩個(gè)命題都能用很簡(jiǎn)短的方式加以證明，其可靠性是確定無(wú)疑的。這展示了數(shù)學(xué)奇妙特性的另一方面。

數(shù)學(xué)，美在統(tǒng)一

給出平面直角坐標(biāo)系上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積怎么計(jì)算呢？還是用行列式表示比較容易：

這里內(nèi)層的豎線表示行列式，外層的豎線表示絕對(duì)值。而立體直角坐標(biāo)系上四棱錐的體積公式則是

數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，其距離則可以寫(xiě)作

看出來(lái)系數(shù)的奧妙了嗎？沒(méi)錯(cuò)，正是維度階乘的倒數(shù)。

如果你取消上面的絕對(duì)值符號(hào)，那么會(huì)有更統(tǒng)一的結(jié)論：以平面為例，任給四個(gè)點(diǎn) 、、、，則有 ，這里的 是帶號(hào)面積，以角標(biāo)下第一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 、第二點(diǎn)的坐標(biāo)為 、第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 。這樣處理，無(wú)論點(diǎn) D 在三角形 ABC 的內(nèi)部還是外部，結(jié)論都是一樣的。

仍以前面說(shuō)過(guò)的過(guò)平面上已知三點(diǎn)的圓方程為例，可以方便地?cái)U(kuò)展為三維空間乃至 維空間里 個(gè)點(diǎn)的球方程。

體現(xiàn)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的還有求最值的方法。筆者在高中時(shí)代為了求最值可沒(méi)少受罪，比如什么直接法、函數(shù)增減法、判別式法等等（那時(shí)高中還不講導(dǎo)數(shù)），但是到了大學(xué)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)求最值只要先求得導(dǎo)函數(shù)再解方程，然后比較一下就可以了啊。

數(shù)學(xué)，美在嚴(yán)謹(jǐn)

培根曾說(shuō)，數(shù)學(xué)使人嚴(yán)密。有幾個(gè)學(xué)生在初中沒(méi)有受過(guò)“有且僅有”“當(dāng)且僅當(dāng)”一類字眼的折磨？還有就是證明一個(gè)東西是另一個(gè)東西的“充要條件”，或者在證明軌跡的時(shí)候要先證明一次“符合條件的點(diǎn)在所求線段上”，再證明一次“不符合條件的點(diǎn)不在所求線段上”，當(dāng)時(shí)覺(jué)得多此一舉，但是后來(lái)才知道只有這樣才能保證正確性。

另外的例子是在學(xué)習(xí)微積分時(shí)，先要背所謂的 ε-δ 定義，這個(gè)已經(jīng)很繞嘴了，什么“任給”、“存在”、“當(dāng)”……然后每學(xué)一個(gè)定理時(shí)，總是要注意前提——函數(shù)是在開(kāi)區(qū)間里連續(xù)，還是在閉區(qū)間里連續(xù)，或者是開(kāi)區(qū)間里可導(dǎo)，還是閉區(qū)間里可導(dǎo)。連續(xù)還有一致連續(xù)，非一致連續(xù)，間斷還有第一類間斷點(diǎn)、第二類間斷點(diǎn)，收斂還有條件收斂、絕對(duì)收斂……然而這正是數(shù)學(xué)的特質(zhì)。她以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶匦�，篩選出了真正的裙下之臣。

在缺乏邏輯傳統(tǒng)和邏輯課程的中國(guó)，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)特質(zhì)，是一種可貴的補(bǔ)充。其中，初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的證明題是特別有利于培養(yǎng)“言之有據(jù)”等邏輯規(guī)則的。這里容不下花言巧語(yǔ)，容不下轉(zhuǎn)移話題，不能借助類比等手段。你必須以“事實(shí)”（所給條件）為依據(jù)，以“法律”（公理、定義、定理）為準(zhǔn)繩，腳踏實(shí)地進(jìn)行論證，有一說(shuō)一，有二說(shuō)二。說(shuō)到這里，有一種應(yīng)試傾向應(yīng)該得到糾正，那就是讓學(xué)生遇到不會(huì)的題目去“蒙”，或者把條件羅列一下直接寫(xiě)個(gè)結(jié)論。筆者認(rèn)為，理想的教學(xué)方法是，要求學(xué)生會(huì)做的題目要做對(duì)，不會(huì)的地方要老實(shí)留空，但這主張實(shí)在難以實(shí)行。

關(guān)于數(shù)學(xué)之美，當(dāng)然可以談?wù)摰牡胤竭�有很多，比如很應(yīng)該從抽象之美的角度談一談（群論、線性代數(shù)可以作為例子），還有數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容之豐富和有力可能也是數(shù)學(xué)之美的組成部分，但筆者能力所限，只能避而不談了。其實(shí)就是以上內(nèi)容，可能也不免謬誤或者不當(dāng)，敬請(qǐng)讀者指正。