1874 年，德國數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）發(fā)表了一篇論文，證明“無窮大”也有大小之分。這篇論文被后世視為數(shù)學(xué)史上的里程碑，它奠定了集合論的基礎(chǔ)，讓數(shù)學(xué)家們第一次認真對待了那個被回避了數(shù)千年的概念，康托爾也因此被奉為孤身馴服“無窮大”的天才。

圖 | 格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）（來源：ETH-Bibliotek Z）

但 150 年后，一封重新出現(xiàn)的信件讓人們不得不重新問一個問題：“無窮大”，究竟是誰提出的？

2025 年 3 月 12 日，當代德國數(shù)學(xué)家德米安·古斯（Demian Goos）來到哈勒大學(xué)的一間辦公室。退休教授兼康托爾協(xié)會主席卡琳·里希特（Karin Richter）遞給他一個文件夾，里面裝著幾十封發(fā)黃的手寫信件。古斯一頁頁翻看，然后停在一封信前。

這封信的日期是 1873 年 11 月 30 日，署名是同為德國數(shù)學(xué)家的理查德·戴德金（Richard Dedekind）。這封信此前被認為已經(jīng)遺失，并被認為可能毀于二戰(zhàn)，也可能被康托爾本人銷毀。而這封信的內(nèi)容，涉及到康托爾 1874 年發(fā)表的那篇注明論文的核心部分。

圖 | 理查德·戴德金（Richard Dedekind）（來源：ETH Library）

康托爾、戴德金與“無窮大”的問題

1845 年，康托爾出生于俄國圣彼得堡，11 歲時隨家人移居德國。他的父親曾寫信告誡他，許多有天分的人最終被反對者擊敗，要想成為科學(xué)領(lǐng)域的杰出人物，就必須在質(zhì)疑聲中堅持下去。康托爾終身保存著這封信。

后來，康托爾進入柏林大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，師從卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）、利奧波德·克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）等人。康托爾研究的核心問題之一是“無窮大”。在 19 世紀之前，數(shù)學(xué)家們普遍回避“無窮大”這個概念。

古希臘哲學(xué)家芝諾（Zeno of Elea）用“無窮大”構(gòu)造過悖論，基督教神學(xué)則將真正的“無窮大”視為上帝獨有的屬性。大數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在 1831 年的一封信中表示，“無窮大”只是一種說話的方式，而非真正的數(shù)學(xué)對象。

到 19 世紀下半葉，隨著數(shù)學(xué)家們開始重新審視數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念，“無窮大”問題無法再被忽視。康托爾和戴德金分別獨立給出了實數(shù)的嚴格定義。戴德金的方法后來被稱之為戴德金分割。

1872 年夏天，康托爾和戴德金在瑞士度假時相遇，兩人進行了長時間的數(shù)學(xué)討論，此后保持通信。當時康托爾 27 歲，性格外向，急于發(fā)表論文；戴德金 40 歲，性格內(nèi)向，發(fā)表論文謹慎。

1873 年 11 月，康托爾開始和戴德金通信討論一個關(guān)鍵問題：能否將實數(shù)與自然數(shù)一一對應(yīng)。康托爾已經(jīng)證明有理數(shù)可以和自然數(shù)一一對應(yīng)，因此有理數(shù)的集合與自然數(shù)的集合大小相同，即數(shù)學(xué)上所稱的可數(shù)。但是康托爾無法證明實數(shù)是否同樣可數(shù)。

戴德金在 11 月 30 日的回信中說，他也無法證明實數(shù)是否可數(shù)，但他證明了代數(shù)數(shù)可以和自然數(shù)一一對應(yīng)。代數(shù)數(shù)是指代數(shù)方程的解，比如 2 的平方根。戴德金在信末寫道，提供這些信息是希望可能會對康托爾有所幫助。

12 月 7 日，康托爾寫信告訴戴德金，他證明實數(shù)不可數(shù)，即實數(shù)的數(shù)量多于自然數(shù)。但他的證明較為復(fù)雜，戴德金隨后回信提出了一個簡化版本，讓證明更清晰且不失嚴謹性。康托爾在收到戴德金的信之前，自己也想到了類似的簡化思路，但是沒有像戴德金那樣寫出完整論證。

論文的發(fā)表與一個世紀后的新證據(jù)

康托爾當時面臨的問題是：數(shù)學(xué)界權(quán)威克羅內(nèi)克強烈反對“無窮大”概念，且和戴德金有過節(jié)。克羅內(nèi)克是《克雷爾雜志》的編委，這本雜志是當時最重要的數(shù)學(xué)刊物之一。如果康托爾提交一篇與戴德金共同署名、且明確提出“無窮大”存在不同大小的論文，很可能會被克羅內(nèi)克拒稿。

康托爾采取了兩個措施。首先，他為論文選擇了一個只提及代數(shù)數(shù)的標題，將戴德金關(guān)于代數(shù)數(shù)可數(shù)的證明放在前面，當自己的實數(shù)不可數(shù)證明放在后面，并以低調(diào)的措辭呈現(xiàn)。其次，他在論文中只署了自己的名字。

1873 年，康托爾將論文郵寄給《克雷爾雜志》。當年圣誕節(jié)前后他寫信給戴德金，稱魏爾斯特拉斯建議他發(fā)表這篇論文，并對戴德金寫道“你的意見對我?guī)椭艽蟆?。論文發(fā)表后，戴德金中斷了與康托爾的通信，持續(xù)大約三年之久。

1900 年前后，戴德金在一張手寫便條中記錄，他曾向康托爾提供代數(shù)數(shù)可數(shù)的證明，以及實數(shù)不可數(shù)證明的簡化版本，數(shù)月之后這些內(nèi)容出現(xiàn)在康托爾署名的論文中。當時，這張便條并未公開發(fā)表。

1930 年代，數(shù)學(xué)家埃米·諾特（Amalie Noether）和哲學(xué)家讓·卡瓦耶斯（Jean Cavaillès）整理戴德金的遺留稿件時發(fā)現(xiàn)了戴德金保留的康托爾來信以及這張便條。

他們在 1937 年出版了這些信件，但是并未針對內(nèi)容做出評論。西班牙塞維利亞大學(xué)數(shù)學(xué)史家何塞·費雷羅斯（José Ferreirós）認為，他們是有意讓信件自己說話。

此后數(shù)十年間，歷史學(xué)家試圖尋找戴德金 1873 年郵寄給康托爾的信，但一直無果。這些信據(jù)稱在康托爾去世后留在哈勒大學(xué)辦公室，可能在二戰(zhàn)期間或戰(zhàn)后盟軍占領(lǐng)哈勒時遺失。沒有這些信，學(xué)術(shù)界無法確認戴德金的說法，因此對于康托爾的爭議也就停留在推測層面。

本文開頭提高的當代數(shù)學(xué)家古斯曾在阿根廷擔任足球裁判 15 年，后從事數(shù)學(xué)研究并獲得博士學(xué)位，2023 年開始從事科學(xué)內(nèi)容創(chuàng)作。在準備一檔關(guān)于康托爾的播客時，古斯注意到了 1993 年費雷羅斯發(fā)表的論文，其中指出康托爾可能沒有通過論文署名來體現(xiàn)戴德金的貢獻。但由于缺乏直接證據(jù)，這一觀點未被廣泛接受。

于是，古斯開始尋找相關(guān)資料。他在一個名為康托爾協(xié)會的網(wǎng)站上看到一封 1877 年戴德金寫給康托爾信件的掃描件。網(wǎng)站底部寫道，這些信件是康托爾的后代在 2009 年捐贈的。

古斯通過查閱家譜等資料，找到捐贈者其實是康托爾的曾孫女安吉麗卡·法倫（Angelika Vahlen），法倫是一位考古學(xué)家。法倫將信件捐給了哈勒大學(xué)，這些信件后來交由康托爾協(xié)會主席里希特保管。

圖 | 德米安·古斯（Demian Goos）（來源：Zack Savitsky for Qu）

2025 年 3 月，古斯和里希特見面，查看了她保管的信件。古斯原計劃查看那封 1877 年的信件，卻意外發(fā)現(xiàn)了 1873 年 11 月 30 日戴德金寫給康托爾的那封信。信中內(nèi)容涉及到代數(shù)數(shù)的可數(shù)性證明，這與戴德金后來便條中的說法一致。隨后古斯經(jīng)過數(shù)次溝通，終于從里希特那里獲得了這封信的掃描件，并于 2026 年公開這一塵封許久的發(fā)現(xiàn)。

新發(fā)現(xiàn)的信件為戴德金便條上的說法提供了直接證據(jù)，信中包含的代數(shù)數(shù)可數(shù)證明，與康托爾 1874 年論文第一部分內(nèi)容是吻合的。戴德金在信末的表述也表明，他確實主動向康托爾提供了這一證明。而關(guān)于實數(shù)不可數(shù)證明的簡化版本，在古斯此次發(fā)現(xiàn)的信中并沒有直接提及，這是因為戴德金是在 12 月稍晚的另一封信中提出簡化方案的，而那一封信至今尚未找到。

（來源：University of Halle）

遺產(chǎn)與爭議

盡管通過技巧順利發(fā)表了論文，但是康托爾卻在論文在發(fā)表后繼續(xù)遭到業(yè)內(nèi)反對他的前輩抵制。1883 年，當康托爾申請柏林大學(xué)教職時，那位前輩更是直接予以否決。1884 年，康托爾因為抑郁癥首次住院，此后多次因為精神問題住院，與學(xué)界漸行漸遠。1917 年，他被送入哈勒大學(xué)附屬精神病院，1918 年在院中去世。

康托爾去世之后，他的集合論逐漸被新一代數(shù)學(xué)家接受，后來成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一。他獲得的榮譽包括 1904 年英國倫敦皇家學(xué)會頒發(fā)的西爾維斯特獎?wù)碌取?/p>

戴德金對數(shù)學(xué)的貢獻包括實數(shù)定義、代數(shù)數(shù)論和環(huán)論基礎(chǔ)。他的工作對于后世影響深遠，但是公眾知名度遠不及康托爾。在 2026 年的今天，依然沒有英文版的戴德金傳記，他的維基百科頁面長度也只有康托爾頁面的四分之一。

美國圣母大學(xué)集合論學(xué)者喬爾·戴維·哈姆金斯（Joel David Hamkins）告訴媒體，他對戴德金了解得越多，就越發(fā)感受到戴德金的優(yōu)秀?？低袪栕C明了很多重要定理，但是戴德金可能是更偉大的數(shù)學(xué)家。

西班牙塞維利亞大學(xué)數(shù)學(xué)史家何塞·費雷羅斯認為，數(shù)學(xué)是集體的事業(yè)，即使是集合論這樣基礎(chǔ)性的工作，也不是由單個人獨立完成的?？低袪柈敃r年輕、熱情，在發(fā)表論文時做出了一個有問題的決定。

此次古斯的發(fā)現(xiàn)公開后，部分德國數(shù)學(xué)家質(zhì)疑其重要性。古斯回應(yīng)稱，如果署名不重要，那么論文應(yīng)該匿名發(fā)表。康托爾協(xié)會主席里希特說，康托爾是一個不太容易與人建立聯(lián)系的人，對他而言這非常困難。費雷羅斯則指出，每個科學(xué)領(lǐng)域都需要一個英雄，化學(xué)有拉瓦錫，力學(xué)有牛頓，相對論有愛因斯坦?？偸侵挥幸粋€英雄的話，通常是簡化之后的敘事。

參考資料：

https://www.quantamagazine.org/the-man-who-stole-infinity-20260225/

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E7%90%86%E6%9F%A5%E5%BE%B7%C2%B7%E6%88%B4%E5%BE%B7%E9%87%91

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%A0%BC%E5%A5%A5%E5%B0%94%E6%A0%BC%C2%B7%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%B0%94

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