導(dǎo)語

2025年12月集智學(xué)園聯(lián)合上海大學(xué)理學(xué)院教授（博導(dǎo)）、知乎“物理學(xué)”話題優(yōu)秀答主李永樂推出「統(tǒng)計物理基礎(chǔ)」系列課程，從統(tǒng)計物理出發(fā)，討論了一個復(fù)雜科學(xué)中的經(jīng)典問題：大量微觀粒子的隨機運動，如何涌現(xiàn)出穩(wěn)定的宏觀定律。

今年，我們希望把這條問題鏈再往前推進一步。如果說統(tǒng)計物理更多關(guān)心的是“現(xiàn)實世界如何描述”，那么「量子物理導(dǎo)論」課程關(guān)心“原子尺度下的世界究竟遵循怎樣的底層規(guī)則”。為初學(xué)者補充經(jīng)典物理必備知識，建立量子態(tài)、密度算符的基本概念，介紹量子力學(xué)中的典型模型與近似方法，建立基于量子力學(xué)思考問題的思路，并以量子計算為典型應(yīng)用案例，以一位用戶的角度提供一條簡明的學(xué)習(xí)路徑：掌握量子語言的起源，提供一個把握當(dāng)代量子科技的接口。

現(xiàn)在量子科學(xué)與技術(shù)進入全球與中國科技布局的核心視野：2025 年被聯(lián)合國確立為“國際量子科學(xué)與技術(shù)年”，而 2026 年政府工作報告和“十五五”規(guī)劃綱要都把量子科技列入未來產(chǎn)業(yè)重點方向。對一個關(guān)注復(fù)雜科學(xué)、人工智能與交叉研究的學(xué)習(xí)者來說，掌握量子物理，既是在補一門重要的基礎(chǔ)語言，也是在回應(yīng)正在展開的科技前沿。

歡迎感興趣的研究者加入課程，現(xiàn)在加入可享早鳥價格。

引入

如何理解量子世界

從1900年量子概念的誕生，到1925年量子力學(xué)建立，所有人都知道必須做點什么，來理解微觀世界的紛繁復(fù)雜的新奇現(xiàn)象。經(jīng)典物理中，可以基于坐標(biāo)和動量完全確定被研究系統(tǒng)的運動狀態(tài)，而到了微觀的原子層面，一切都發(fā)生了改變，科學(xué)家踏入了一個嶄新而陌生的世界。1905年愛因斯坦提出“光子”概念，1913年尼耳斯·玻爾提出量子論，只是在經(jīng)典物理中引入一個“量子概念”，思考問題的方式仍然是經(jīng)典的。這些基于經(jīng)典物理的“補丁”在處理當(dāng)時已知的量子現(xiàn)象取得了極大成功，解釋了光電效應(yīng)、氫原子結(jié)構(gòu)與光譜。但在后續(xù)深入研究時，遭遇種種瓶頸，如多電子原子的光譜、反常賽曼效應(yīng)等。到了1924年德布羅意又大膽提出“物質(zhì)具有波動性”的新思路，種種跡象都呼喚一套新的思路、新的語言，去理解量子世界。

海森堡在多個黑暗的夜里，漫步于路燈下長時間思考，突然想到不應(yīng)該假設(shè)物體的軌跡，而是應(yīng)該首先做好對系統(tǒng)“可以看到”的部分，也就是實驗可以確定的部分的描述。通過引入不可交換順序的乘法，海森堡與波恩、約當(dāng)一道建立起“矩陣力學(xué)”。而根據(jù)“描述波要有一個波動方程”的基本思想，薛定諤在瑞士滑雪期間給德布羅意的天才思想配上了一個方程，讓粒子的波函數(shù)可以計算。又證明出這套“波的語言”和海森堡的“矩陣語言”完全等價。1927年狄拉克又提出一套漂亮的描述方案，形成了目前廣泛使用的“量子語言”。

量子力學(xué)的后續(xù)發(fā)展是爆發(fā)性的，從原子光譜，到亞原子、基本粒子，從固體中的導(dǎo)電、熱容，到宇宙中的白矮星、中子星，無處不在應(yīng)用量子力學(xué)。

量子科技的語言

狄拉克晚年曾經(jīng)回顧：什么是量子力學(xué)特有的內(nèi)容？離散的物理量實際上大量存在于經(jīng)典物理之中，弦上駐波和諧振腔中的電磁波就是典型案例。干涉疊加更是在聲波光波中廣泛存在。但微觀粒子的運動的復(fù)概率幅，經(jīng)典物理中沒有，僅存在于量子力學(xué)之中。如何理解這個復(fù)概率幅，是愛因斯坦晚年的一個心病。有人總結(jié)愛因斯坦的一生，稱“愛因斯坦如果在1935年之后以釣魚度過余生，不會對物理學(xué)的發(fā)展造成任何影響。”這個特殊的年份恰好是量子力學(xué)建立十周年。這一年愛因斯坦把他對量子力學(xué)的思考總結(jié)為EPR（Einstein- Podolski- Rosen）佯謬。雖然最后被實驗證明，愛因斯坦對量子力學(xué)的擔(dān)心不成立，但他對量子力學(xué)的“拷問”一直延續(xù)到今天。正如在統(tǒng)計物理中，學(xué)習(xí)者見到的那樣：理論的應(yīng)用在不斷拓展的同時，理論的基礎(chǔ)也在不斷深化，量子力學(xué)至今并未達到發(fā)展的終點。

量子效應(yīng)不只住在實驗室里

2007年，弗萊明團隊在研究光合作用蛋白時，發(fā)現(xiàn)了一件令人困惑的事：能量在葉綠素分子網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)男剩h超任何經(jīng)典隨機行走模型（這又是愛因斯坦開創(chuàng)的一個研究領(lǐng)域）的預(yù)測。更奇怪的是，信號中出現(xiàn)了量子相干的振蕩特征，這意味著激發(fā)態(tài)并非定域在單個分子上，而是以疊加態(tài)分布在整個光合作用中心，像波一樣在多條路徑上同時傳播，通過干涉形成最終路徑。

這個發(fā)現(xiàn)打開了一扇門：生物體系中的量子相干，這個人們以為只能在微觀真空條件下存在的現(xiàn)象，似乎在常溫、嘈雜的生物環(huán)境中，找到了某種方式維持自身。后續(xù)在生命系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了更多的量子效應(yīng)，如鴿子利用地磁場導(dǎo)航的作用機制、嗅覺與視覺的起源。

上述現(xiàn)象與生命系統(tǒng)中的化學(xué)反應(yīng)、氫鍵等現(xiàn)象不同，后者的量子性質(zhì)已經(jīng)被宏觀環(huán)境的噪聲“抹平”，展現(xiàn)的是沒有那么純粹的經(jīng)典統(tǒng)計平均效果，可以采用某些基于經(jīng)典物理的模型描述。

量子效應(yīng)在生命現(xiàn)象中出現(xiàn)，是因為量子力學(xué)本來就是所有物質(zhì)遵循的規(guī)則，在適當(dāng)?shù)膱龊媳厝槐憩F(xiàn)出來。近年來又有科學(xué)家用大分子甚至病毒和納米團簇，成功實現(xiàn)了量子干涉，拓展了量子效應(yīng)的出現(xiàn)范圍。近年來，隨著量子計算的蓬勃發(fā)展，超導(dǎo)、超流的宏觀量子現(xiàn)象也成為熱門話題。2025年諾貝爾物理學(xué)獎頒發(fā)給實現(xiàn)了宏觀量子隧穿的成果，也反映了這一趨勢。

上述較為純粹的量子效應(yīng)，只能以量子語言準(zhǔn)確描述，量子語言也因此成為橫跨物理、化學(xué)、生物和信息科學(xué)的共同必備語言。

這門課從哪里開始，走向哪里

理解量子力學(xué)，需要兩樣?xùn)|西同時到位：正確的數(shù)學(xué)語言，以及與之匹配的物理圖像。缺少前者，量子力學(xué)就會變成一堆神秘主義的比喻；缺少后者，它就只是一套能解題卻不知道自己在做什么的形式機器。

《量子物理導(dǎo)論》這門課從經(jīng)典力學(xué)的哈密頓框架出發(fā)，因為哈密頓-雅可比方程與薛定諤方程之間存在深刻的結(jié)構(gòu)類比，光學(xué)與力學(xué)的波動圖像被量子力學(xué)拿來拓展描述粒子的“物質(zhì)波”。本課程逐步建立量子態(tài)、算符、測量、密度矩陣的完整語言，基于勢箱、諧振子、散射、隧穿等典型模型，給出現(xiàn)實問題的應(yīng)用案例，訓(xùn)練物理直覺；以變分、微擾、WKB等近似方法處理更為復(fù)雜的系統(tǒng)，最終以量子計算與量子信息作為落點，在這里量子力學(xué)的所有奇異性質(zhì)變成了可以工程化的資源。

課程中將配合數(shù)值計算：用Numerov法求解定態(tài)問題，用量子蒙特卡洛處理多體基態(tài)，用量子計算模擬軟件實現(xiàn)量子門。計算是建立直覺最直接的方式。

這是集智學(xué)園和上海大學(xué)李永樂教授的第二次合作。上一次，我們共同完成了基礎(chǔ)系列課程。李教授是上海大學(xué)理學(xué)院物理系副主任，長期從事量子動力學(xué)與原子分子物理研究，也是知乎物理領(lǐng)域最具影響力的創(chuàng)作者之一，累計獲得41萬+贊同。本系列課程我們致力于把量子力學(xué)從一門“只有物理系學(xué)生才需要學(xué)”的理論性較強的專業(yè)課，變成跨領(lǐng)域研究者真正能使用的框架語言。

量子力學(xué)在被發(fā)現(xiàn)將近一百年后，仍然沒有一個所有人都接受的詮釋。物理學(xué)家對“測量意味著什么”“波函數(shù)是否描述現(xiàn)實”爭論至今。但有一件事沒有爭議：它是人類歷史上經(jīng)過最精確驗證的物理理論，它的預(yù)言精度超過任何其他已知理論，而它所揭示的自然圖景，疊加、糾纏、退相干、信息與現(xiàn)實的關(guān)系，正在重塑我們對計算、生命和物質(zhì)本身的理解。

如果你對量子力學(xué)感興趣，歡迎加入我們的系列課程。

課程主題：量子物理導(dǎo)論

背景與簡介

量子科學(xué)與技術(shù)正在進入更廣闊的科學(xué)研究與技術(shù)創(chuàng)新視野。2025 年被聯(lián)合國確立為“國際量子科學(xué)與技術(shù)年”，中國也已將量子科技納入未來產(chǎn)業(yè)重點方向。據(jù)國際知名分析機構(gòu)MarketsandMarkets分析，到2030年，全球量子科技相關(guān)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值將達到數(shù)百億美元。今后圍繞量子計算、量子通信、量子精密測量，以及相關(guān)材料、器件與算法的研究，量子力學(xué)已經(jīng)走出基礎(chǔ)科研的殿堂，拓展到廣泛的理工科應(yīng)用領(lǐng)域，成為未來工程相關(guān)領(lǐng)域的又一新基石。

但對于很多交叉學(xué)科研究者來說，量子依然帶著明顯門檻。一方面，它常常被理解為一套抽象而艱深的理論，且實用范圍都在原子以及亞原子級別；另一方面，量子相關(guān)技術(shù)又在不斷進入現(xiàn)實問題，從原子鐘、核磁共振，到分子模擬、量子信息、量子計算及基于量子計算的的量子優(yōu)化、量子化學(xué)與藥物設(shè)計，量子力學(xué)早已不是一門只局限于大學(xué)及科研機構(gòu)之內(nèi)的知識。它正在成為未來前沿技術(shù)的基礎(chǔ)語言之一。

真正困難的地方，往往不在于是否聽說過量子，而在于如何學(xué)習(xí)。很多學(xué)習(xí)者從各種科普、新聞中得知量子計算、量子糾纏、量子隧穿這些名詞，卻缺少一條清楚的學(xué)習(xí)路徑：量子理論如何從我們中學(xué)開始就熟知的經(jīng)典物理中生長出來，它的基本語言是什么，又該如何理解各種通用教材中的若干基礎(chǔ)模型。

李永樂老師的《量子物理導(dǎo)論》課程希望提供的，正是這樣一個起點。課程從經(jīng)典物理出發(fā)，補充分析力學(xué)及波動的基礎(chǔ)知識，進入量子力學(xué)的實驗基礎(chǔ)與基本假設(shè)，逐步展開希爾伯特空間、密度算符、勢箱、諧振子、散射、近似方法，以及量子計算與量子信息的初步內(nèi)容。它的重點，不只是讓學(xué)習(xí)者知道若干結(jié)論，更是幫助學(xué)習(xí)者建立一套可持續(xù)生長的結(jié)構(gòu)：如何從經(jīng)典物理中生長出量子物理，如何從紛繁復(fù)雜的物理現(xiàn)象中抽象出最基本的簡化兩字模型，如何使自己的思維與當(dāng)代量子科技適配。

這門課程尤其適合已經(jīng)具備一定理工基礎(chǔ)、希望系統(tǒng)進入量子世界的學(xué)習(xí)者。無論后續(xù)興趣指向量子信息、量子計算、量子化學(xué)、量子生物學(xué)、藥物與材料的模擬計算，還是希望在自己的研究中更扎實地理解微觀體系，這門課都可以作為一個穩(wěn)健的起點。

八講課程大綱

1. 從經(jīng)典到量子：哈密頓力學(xué)、相空間與波動基礎(chǔ)

2. 量子理論如何成立：實驗線索、基本假設(shè)與基本理論體系

3. 當(dāng)量子系統(tǒng)遇到環(huán)境：密度矩陣、糾纏與退相干

4. 量子束縛態(tài)的起點：勢箱、能級離散與不確定性

5. 最重要的定態(tài)模型：諧振子、相干態(tài)與代數(shù)方法

6. 量子世界的神奇現(xiàn)象：散射、勢壘與量子隧穿

7. 處理真實問題：變分、微擾、WKB與近似計算

8. 新興的量子科技：量子信息與量子計算初步

課程講師

李永樂，現(xiàn)任上海大學(xué)理學(xué)院物理系副主任、教授、博士生導(dǎo)師，上海市“青年東方學(xué)者”，主要從事計算原子分子物理研究，涵蓋量子動力學(xué)、化學(xué)物理、分子鐵電及人工智能量子蒙特卡洛等領(lǐng)域。2002-2006年就讀于天津大學(xué)應(yīng)用化學(xué)專業(yè)，期間在山東大學(xué)化學(xué)院交流，2006-2011年獲南京大學(xué)理論化學(xué)博士學(xué)位，2012-2015年先后于新墨西哥大學(xué)、紐約大學(xué)從事博士后研究。2019-2021年訪問加州理工學(xué)院13個月。開設(shè)“玩轉(zhuǎn)量子世界”在線科普課程。長期講授大學(xué)物理、統(tǒng)計物理、計算物理等課程。在集智學(xué)園講授《統(tǒng)計物理基礎(chǔ)》系列課程。

個人官方主頁：https://physics.shu.edu.cn/info/1082/1166.htm 知乎主頁：https://www.zhihu.com/people/yongle-li-86

課程目標(biāo)

1. 建立系統(tǒng)的量子物理基礎(chǔ)認(rèn)知

2. 掌握典型模型與核心求解方法

3. 搭建通向現(xiàn)代量子科技與交叉研究的入口

課程特色

1. 從經(jīng)典走向量子，結(jié)構(gòu)清楚

2. 基礎(chǔ)內(nèi)容與現(xiàn)代量子視角相結(jié)合

3. 結(jié)合真實案例，增強問題意識

4. 配套代碼實踐，推動從理解到計算

課程詳情

1、從經(jīng)典到量子：哈密頓力學(xué)、相空間與波動基礎(chǔ)

圖片來源：https://syskool.com/phase-space-and-symplectic-geometry-the-geometric-language-of-classical-mechanics/

課程簡介：

量子力學(xué)的誕生并非憑空而來，它深深植根于經(jīng)典物理的土壤之中。早在量子理論出現(xiàn)之前，物理學(xué)家們便已發(fā)現(xiàn)一個令人著迷的事實：描述光線傳播的費馬最短光程原理，與描述粒子運動的最小作用量原理，在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上竟驚人地相似。哈密頓將這一類比推向極致，建立起以他名字命名的力學(xué)體系，而哈密頓–雅可比方程與光的波動方程之間的深層對應(yīng)，最終成為薛定諤建立量子力學(xué)的重要線索。

德布羅意天才的思想：粒子具有波動性，啟發(fā)了科學(xué)家把研究機械振動、機械波與光波的理論應(yīng)用于量子力學(xué)。這才有了量子疊加與量子干涉的概念�；陔姶挪ǖ膱龅母拍钜踩谌肓孔恿W(xué)。這些內(nèi)容在非物理專業(yè)的“大學(xué)物理”中介紹較為孤立與不足，向初學(xué)者介紹量子物理，最好補充相關(guān)的概念。

本節(jié)課將系統(tǒng)梳理拉格朗日力學(xué)與哈密頓力學(xué)的核心框架，包括最小作用量原理、勒讓德變換、哈密頓正則方程與相空間圖景。課程還將介紹正則變換與哈密頓–雅可比方程，并著重呈現(xiàn)光學(xué)、經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)三者之間深刻的數(shù)學(xué)類比。最后，我們將回顧波的疊加、干涉與衍射現(xiàn)象，為理解量子世界積累必要的物理圖像。

課程大綱：

1. 復(fù)習(xí)經(jīng)典力學(xué)中的拉格朗日力學(xué)、哈密頓力學(xué)，以及相關(guān)的振動與波的知識。

2. 最小作用量原理；拉格朗日方程；勒讓德變換；哈密頓方程；作用量-角變量；相空間；劉維爾定理；正則變換；生成函數(shù)與哈密頓-雅可比方程；光學(xué)、力學(xué)與量子力學(xué)類比。

3. 波的疊加、波的干涉、衍射。駐波。

課程重點：

1. 哈密頓方程與哈密頓-雅可比方程。光學(xué)、力學(xué)與量子力學(xué)之間的類比。波的干涉、衍射與相關(guān)的能量。

課程難點：

1. 相空間中的坐標(biāo)變換：切觸變換。

2、量子理論如何成立：實驗線索、基本假設(shè)與態(tài)空間語言

圖片來源：Hans J. Briegel , Thomas Müller, Projective Simulation in Action, Springer, 2025 (Open Access)

課程簡介：

二十世紀(jì)初，一系列精心設(shè)計的實驗接連向經(jīng)典物理發(fā)出挑戰(zhàn)。黑體輻射展示出的紫外災(zāi)難、光電效應(yīng)和康普頓散射中光子與電子相互作用、氫原子光譜的譜線分布規(guī)律、Stern-Gerlach實驗揭示的自旋，每一個現(xiàn)象都在訴說同一件事：經(jīng)典理論的框架已不足以描述微觀世界。

本節(jié)課將梳理這些奠基性實驗的物理內(nèi)涵，理解它們?nèi)绾喂餐赶蛄孔永碚摰谋匾�。在此基礎(chǔ)上，我們將正式引入量子力學(xué)的基本假設(shè)體系：物理態(tài)用Hilbert空間中的態(tài)矢量描述，可觀測量對應(yīng)Hermite算符，測量如何反映系統(tǒng)的狀態(tài)信息，以及系統(tǒng)如何隨時間演化。我們將以量子計算中的量子比特為具體例子，借助Dirac符號建立起量子力學(xué)的語言框架。這套語言簡潔而強大，是貫穿整個量子力學(xué)體系的核心工具。

課程大綱：

1. 量子力學(xué)的實驗基礎(chǔ)概述：黑體輻射、光電效應(yīng)、盧瑟福散射、氫原子光譜、康普頓散射、Stern-Gerlach實驗、布拉格散射、中子散射、Frank-Hertz實驗

2. 量子力學(xué)的基本假設(shè)：1）態(tài)和可測量（observables）; 2）測量；3）演化。以量子計算為例，介紹Hilbert空間。

課程重點：

1. 粒子與波動性質(zhì)的統(tǒng)一。

課程難點：

1. Dirac符號與Hilbert空間表述的量子力學(xué)。

3、當(dāng)量子系統(tǒng)遇到環(huán)境：密度矩陣、糾纏與退相干

圖片來源：https://www.youtube.com/watch?v=ma136N8d3Xc

課程簡介：

在傳統(tǒng)的量子力學(xué)教科書中，一般僅介紹孤立的單粒子系統(tǒng)。然而現(xiàn)實中的量子系統(tǒng)從不孤立——它由多個粒子組成，也與周圍的環(huán)境具有相互作用，這種相互作用需要我們進一步拓展對量子態(tài)的描述語言。

本節(jié)課將引入密度算符這一更為普遍的量子態(tài)語言。不同于純態(tài)的態(tài)矢量描述，密度矩陣能夠統(tǒng)一處理純態(tài)與混合態(tài)，包含了實驗中必不可少的統(tǒng)計信息。當(dāng)一個量子系統(tǒng)與環(huán)境發(fā)生糾纏，對環(huán)境自由度求偏跡之后，系統(tǒng)的密度矩陣將失去相干性，經(jīng)典概率的圖像由此浮現(xiàn)——這便是退相干。我們將從密度矩陣的動力學(xué)方程出發(fā)，理解這一過程的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并借此重新審視量子測量的本質(zhì)：測量究竟是一個怎樣的物理過程，它與系統(tǒng)–環(huán)境相互作用之間又有著怎樣的深層聯(lián)系。

課程大綱：

1. 密度算符的概念與多體問題；純態(tài)與混合態(tài)；量子糾纏。

2. 系統(tǒng)與環(huán)境；退相干的概念。

3. 測量的討論。

課程重點：

1. 密度矩陣及其動力學(xué)方程

課程難點：

1. 如何思考具有環(huán)境的量子態(tài)演化

4、量子束縛態(tài)的起點：勢箱、能級離散與不確定性

圖片來源：https://physicsopenlab.org/2015/11/20/quantum-dots-a-true-particle-in-a-box-system/

課程簡介：

當(dāng)一個粒子被限制在有限的空間范圍內(nèi)，經(jīng)典力學(xué)允許它擁有任意的能量，空間中出現(xiàn)的概率也處處相等。而量子力學(xué)給出了截然不同的答案：能量只能取一組離散的值，粒子的空間分布也隨之呈現(xiàn)出非均勻的結(jié)構(gòu)。無限深勢箱是量子束縛態(tài)最簡單的模型，卻已經(jīng)蘊含了量子化的核心機制。

本節(jié)課將從勢箱出發(fā)，求解其本征值與本征波函數(shù)，討論簡并現(xiàn)象的來源與物理含義，并將這一簡單模型應(yīng)用于真實體系——共軛分子中的π電子、量子點的光學(xué)性質(zhì)、葉綠素中心的能級結(jié)構(gòu)——展示量子束縛態(tài)模型在化學(xué)與材料物理中的實際解釋力。此外，我們將引入海森堡不確定關(guān)系，從波函數(shù)的空間展寬與動量展寬的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，理解不確定性的量子力學(xué)根源。課程最后將討論自由粒子與波包，關(guān)注如何構(gòu)造出局域化的、且能夠隨時間演化的量子態(tài)，以及波包隨時間的彌散行為。

課程大綱：

1. 勢箱中的粒子；簡并。應(yīng)用案例：共軛分子、量子點、花青染料分子、葉綠素中心電子、堿基對中的π電子。

2. 不確定關(guān)系。

3. 自由粒子；波包。

課程重點：

1. 勢箱中粒子的本征值與波函數(shù)

課程難點：

1. 簡并；波包

5、最重要的定態(tài)模型：諧振子、相干態(tài)與算符方法

圖片來源：網(wǎng)絡(luò)

課程簡介：

諧振子是量子力學(xué)中最重要的定態(tài)模型，沒有之一。從固體中的晶格振動到電磁場的量子化，從化學(xué)鍵的振動模式到光合作用中的激子耦合，再到光與物質(zhì)相互作用，諧振子的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)無處不在。正因如此，徹底掌握諧振子不僅是理解這些物理體系的前提，更是進入量子場論等更高層次理論的必要準(zhǔn)備。

本節(jié)課將用兩種互補的方法求解諧振子問題。解析法通過直接求解薛定諤方程，得到以厄米多項式表達的波函數(shù)；代數(shù)法則引入產(chǎn)生算符與消滅算符，將能級的求解轉(zhuǎn)化為純粹的算符代數(shù)——無需求解微分方程，僅憑對易關(guān)系便可導(dǎo)出全部本征值。這一方法的簡潔性揭示了量子諧振子背后更深的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，我們將引入相干態(tài)，它是諧振子本征態(tài)的特殊疊加，在量子態(tài)中最接近經(jīng)典簡諧運動的行為。課程還將結(jié)合Numerov數(shù)值方法，展示如何用計算手段求解一維定態(tài)問題。

課程大綱：

1. 諧振子問題：解析法與代數(shù)法。例子：光合作用中的激子。

2. 相干態(tài)。

課程重點：

1. 一維諧振子的本征值與波函數(shù)

課程難點：

1. 產(chǎn)生與消滅算符

代碼：一維諧振子勢的Numerov法數(shù)值計算。

6、量子世界的神奇現(xiàn)象：散射、勢壘與量子隧穿

圖片來源：網(wǎng)絡(luò)

課程簡介：

經(jīng)典粒子遭遇能量高于自身的勢壘時，結(jié)果只有反射一種情況。量子力學(xué)卻給出了根本不同的答案，粒子有一定概率穿越這道經(jīng)典意義上不可逾越的障礙，這便是量子隧穿。隧穿并非一種特殊的例外，而是用波動來描述粒子的必然結(jié)果，是量子世界的基本特征之一。

本節(jié)課將從勢階問題出發(fā)，系統(tǒng)建立一維量子散射的分析框架，引入反射系數(shù)與透射系數(shù)，理解入射波、反射波與透射波之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，我們將轉(zhuǎn)向方形勢壘，定量分析隧穿概率對勢壘高度與寬度的依賴，并以蛋白質(zhì)中的電子隧穿和聲子通過真空傳遞為例，展示這一純粹的量子效應(yīng)在真實生物與材料體系中的重要作用。課程還將討論有限深勢阱的散射問題，完善定態(tài)散射的整體圖景。全程結(jié)合一維量子散射的數(shù)值模擬，直觀展示波函數(shù)在不同勢場結(jié)構(gòu)下的行為。

課程大綱：

1. 勢壘

2. 方形勢壘。例子：蛋白質(zhì)中的電子隧穿、聲子通過真空傳遞

3. 有限深勢阱

課程重點：

1. 散射截面

課程難點：

1. 量子隧穿

代碼：一維量子散射計算模擬。

7、處理真實問題：變分、微擾、WKB與近似計算

課程簡介：

量子力學(xué)中能夠精確求解的模型屈指可數(shù)——勢箱、諧振子、氫原子、自由落體等少數(shù)幾種。真實的物理與化學(xué)體系，從氦原子到復(fù)雜分子，幾乎無一例外地需要借助近似手段才能得到可靠的結(jié)果。如何通過合理近似，對量子系統(tǒng)作出定量的預(yù)測，是量子力學(xué)走向?qū)嵱玫年P(guān)鍵一步。

本節(jié)課將系統(tǒng)介紹三類核心近似方法。變分法以能量的下界原理為基礎(chǔ)，通過優(yōu)化試探波函數(shù)的參數(shù)逼近基態(tài)能量；定態(tài)微擾論則在已知精確解的模型基礎(chǔ)上，將系統(tǒng)的額外相互作用視為加在理想系統(tǒng)的微擾，可以做級數(shù)展開，逐階修正本征值與本征態(tài)。WKB近似適用于勢函數(shù)緩變的情形，通過半經(jīng)典的波函數(shù)擬設(shè)，在經(jīng)典允許區(qū)與禁戒區(qū)分別建立近似解，并在轉(zhuǎn)折點附近銜接。課程結(jié)合氫原子與氦原子基態(tài)能量的計算，對比變分法、微擾法與量子蒙特卡洛三種數(shù)值方案的思路與精度，展示近似方法從解析到數(shù)值的完整圖景。

課程大綱：

1. 變分法

2. 微擾法

3. WKB近似

課程重點：

1. 量子蒙特卡洛、定態(tài)微擾論

課程難點：

1. WKB波函數(shù)擬設(shè)、WKB計算框架

代碼：量子蒙特卡洛法、變分法、微擾法求解氫原子與氦原子基態(tài)能量。

8、新興的量子科技：量子信息與量子計算初步

圖片來源：Peter Greenwood for Quanta Magazine

課程簡介：

量子計算是量子力學(xué)的一個完美應(yīng)用。經(jīng)典計算機的基本單元是比特，只能取0或1；量子計算機的基本單元是量子比特，它是一對量子基矢|0>與|1>的任意疊加態(tài)，并可以用Bloch球上的一個方向向量直觀表示。這一簡單的推廣，帶來了信息處理能力的根本性變化。

本節(jié)課將從量子比特的幾何描述出發(fā)，建立量子計算的基本語言框架。我們將介紹量子門的概念——作用在量子比特上的幺正變換——以及如何用量子門的組合構(gòu)造量子線路。在此基礎(chǔ)上，我們將深入討論量子糾纏：多比特系統(tǒng)的量子態(tài)并不總能分解為各比特態(tài)的張量積，糾纏態(tài)攜帶的關(guān)聯(lián)超越了任何經(jīng)典系統(tǒng)所能實現(xiàn)的范圍，這正是量子計算相較于經(jīng)典計算擁有潛在優(yōu)勢的根本來源。課程結(jié)合量子加法門的模擬實現(xiàn)，展示量子線路如何在具體計算任務(wù)中運作。

課程大綱：

1. 量子態(tài)的描述：量子比特與Bloch球

2. 量子糾纏

3. 量子門

課程重點：

1. 量子計算中的量子態(tài)描述

課程難點：

1. 量子糾纏

代碼：用Python中的Cirq等量子計算模擬模塊，實現(xiàn)量子加法門。

推薦參考教材

1. Richard Liboff, Introductory Quantum Mechanics, 2003, Addison Wesley, ISBN 0-8053-8714-5

2. Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Lalo?, Quantum Mechanics, Vol. 1-3, Wiley-ACH

3. 盧文發(fā)，《量子力學(xué)與統(tǒng)計力學(xué)》，上海交通大學(xué)出版社，2013，ISBN 978-7-313-09729-3

4. Nielson & Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 2010, ISBN 978-1-107-00217-3

課程適用對象

1. 物理、化學(xué)、材料、計算科學(xué)等專業(yè)的本科高年級生與研究生

2. 有高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、常微分方程基礎(chǔ)的理工科研究者

3. 對復(fù)雜系統(tǒng)、AI for Science、量子信息、量子化學(xué)有興趣的跨學(xué)科學(xué)習(xí)者

4. 希望補上量子基礎(chǔ)、建立現(xiàn)代量子語言的人

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播。本系列課程不安排免費直播。

2. 課程周期：2026年4月27日-2026年6月22日，每周一晚18點-20點進行。

3. 課程定價：原價799，早鳥價499，早鳥優(yōu)惠截止到2026年4月28日中午12點。

掃碼付費報名課程課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5724?from=wechat

付費流程：

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加課程負(fù)責(zé)人微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程獎學(xué)金機制

1. 途徑一：課程共創(chuàng)任務(wù)：課程字幕

為鼓勵學(xué)員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識傳播成果，并構(gòu)建課程知識共建社群。為此，我們特別設(shè)立激勵機制，讓您的學(xué)習(xí)之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結(jié)束后，助教會于課程群內(nèi)發(fā)布字幕共創(chuàng)任務(wù)。學(xué)員通過參與這些任務(wù)，不僅能加深對內(nèi)容的理解，還可獲得積分獎勵。積分可兌換其他讀書會課程或?qū)嵨铼勂�，助力您的持續(xù)成長。

1. 途徑二：招募課程助理1名

付費報名課程后，聯(lián)系助教微信申請課程助理。經(jīng)溝通，成為正式課程助理，完成課程助理任務(wù)，在課程結(jié)束后退全額學(xué)費。

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預(yù)讀班鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/4082

6. 《玩轉(zhuǎn)量子世界講座》：https://www.koushare.com/live/details/8639

7. “玩轉(zhuǎn)量子世界”科普課（共6節(jié)）：https://www.koushare.com/video/details/24092?series_id=477