2025年是量子力學(xué)誕生一百周年，出現(xiàn)了不少紀(jì)念文章，也有一些紀(jì)念活動。有不少頗為動人的傳奇故事，讓人對那個時代充滿遐想。但每當(dāng)翻開教科書，看到教科書中的每一個方程時，總覺得和那些傳奇故事還是有很大的差異。本文想借助量子力學(xué)成型后的幾個主要方程，來談?wù)勁c之相關(guān)的幾個主要創(chuàng)始者。本文有意避開了主要的物理實驗，盡管它們在量子力學(xué)的建立過程中都起過重要作用。我們僅探討經(jīng)過百年的發(fā)展和精煉，支撐這個理論的幾個最基本方程的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，它們在量子物理建立過程中的作用，以及教學(xué)中常忽視的內(nèi)容，甚至是誤解。從這幾個刻在墓碑上的數(shù)學(xué)物理方程，也可看出一個科學(xué)理論的核心支柱，其實是非常簡潔明了的。

01

普朗克常數(shù)h/?的出現(xiàn)

現(xiàn)代量子論的第一縷曙光，毫無懸念地應(yīng)該歸結(jié)于德國物理學(xué)家馬克斯?普朗克在1900年提出的有關(guān)黑體輻射的電磁輻射率和頻率ν的關(guān)系式[1]：

這個公式和當(dāng)年的實驗數(shù)據(jù)完美吻合，也和當(dāng)時的兩個高頻和低頻極限下的經(jīng)驗公式完全一致。讓人不得不相信和接受這個方程的正確性。這個方程中首次出現(xiàn)了兩個新的物理常數(shù)，即普朗克常數(shù)h或?=h/2π和玻爾茲曼常數(shù)kB。c是光速。然而，這個公式中的hν有能量量綱，它的物理含義超出了當(dāng)時的物理認(rèn)知，是經(jīng)典理論無法解釋的。普朗克發(fā)現(xiàn)，如果用當(dāng)時的玻爾茲曼統(tǒng)計理論，輻射光中含有粒子的話，它們的能量必須是分立的，即量子，這對經(jīng)典物理來說是不可能的，而且是難以接受的。對經(jīng)典粒子來說，能量都是連續(xù)分布的。直到1905年愛因斯坦提出光由光子組成，hν為光子的能量，并用它成功解釋了光電效應(yīng)。將光理解為有粒子屬性的光子，無疑具有革命性的思想。它的真正理解是量子力學(xué)誕生之后，1927年英國理論物理學(xué)家保羅?狄拉克完成了電磁場的能量量子化理論，證實了愛因斯坦的猜想，并提供了堅實的理論基礎(chǔ)。1925年后發(fā)展起來的量子力學(xué)和量子統(tǒng)計理論，將光子看成是滿足玻色—愛因斯坦統(tǒng)計的玻色子，可以推導(dǎo)出普朗克的方程，證明它是完全正確的?，F(xiàn)在我們知道，這個超前出現(xiàn)的物理公式的適用范圍可以從實驗室的小爐子到整個宇宙的微波背景輻射，具有令人難以置信的普適性?？梢哉f，普朗克常數(shù)h的現(xiàn)身是現(xiàn)代量子論的第一個標(biāo)志，后來刻在了普朗克的墓碑上(圖1)。

圖1 馬克斯?普朗克的墓碑。上面刻有普朗克常數(shù)的數(shù)值，h=6.62×10-34 W·s2?，F(xiàn)在在國際標(biāo)準(zhǔn)單位制中h是被定義的物理基本常數(shù)

在這個方程中同時引入的另外一個常數(shù)kB，后來被稱為玻爾茲曼常數(shù)，而不是普朗克第二常數(shù)。普朗克在他的諾貝爾獎演講中還專門強(qiáng)調(diào)，“這個常數(shù)通常被稱為玻爾茲曼常數(shù)，但據(jù)我所知，玻爾茲曼本人從未提出過它——這很奇怪，原因可能是，從玻爾茲曼偶爾的言論來看，他從未考慮過對這個常數(shù)進(jìn)行精確測量的可能性”[2]。kB可由理想氣體常數(shù)R和阿伏伽德羅常數(shù)NA的比值來確定，kB=R/NA。當(dāng)時R是已知的，普朗克從黑體輻射的實驗數(shù)據(jù)精確給出了NA，并由法拉第常數(shù)推出了基本電荷e的數(shù)值，其精度也遠(yuǎn)高于當(dāng)時的測量值。一個方程中同時引進(jìn)了兩個被現(xiàn)代國際單位制SI中定義的基本物理常數(shù)(另外兩個是光速c和基本電荷e)，它同時還暗示了可能出現(xiàn)新的科學(xué)。這是科學(xué)史上絕無僅有的個例。因此，它的重要性無論怎么評價，都不過分。這也可以理解為什么二戰(zhàn)后德國國家科學(xué)機(jī)構(gòu)被命名為馬克斯?普朗克學(xué)會和眾多的馬克斯?普朗克研究所，用以紀(jì)念普朗克的偉大科學(xué)貢獻(xiàn)。

02

普朗克關(guān)系和德布羅意關(guān)系

普朗克關(guān)系是指粒子能量和頻率的關(guān)系式：E=hν。有時也被稱為普朗克—愛因斯坦關(guān)系，起初主要是從普朗克公式出發(fā)，強(qiáng)調(diào)光的粒子屬性的一面。經(jīng)典物理中粒子有兩個物理量來描述，能量和動量，而基于麥克斯韋方程的電磁學(xué)理論認(rèn)為光是一種電磁波，它也有兩個物理特征量，頻率和波長。1924年法國青年學(xué)者路易?德布羅意在他的博士論文中提出了粒子動量和波長λ的關(guān)系式。這兩個公式一起[3]

把大家熟悉的光的波動特性和粒子特性結(jié)合統(tǒng)一起來。它們揭示了物質(zhì)的波動性和粒子性的兩個方面，即波粒二象性。他把相對論中粒子的能量和動量組成的四維矢量，推廣到頻率和波矢組成四維矢量。這兩組不同物理量之間的聯(lián)系是普朗克常數(shù)。德布羅意認(rèn)為，光子也有個微小的質(zhì)量，這樣有質(zhì)量的粒子如電子等和光子一樣都具有波的特性，波是物質(zhì)的一個基本屬性，并提出了相位波(phase wave)的概念。相位波本身并不帶有能量，但有波長和相速度。利用駐波的特性，德布羅意可以推導(dǎo)出半經(jīng)典的玻爾—索末菲量子化條件，和相空間的量子化條件，在量子理論方面邁出了極為重要的一步。人類第一次認(rèn)識到微觀粒子同時具備粒子和波動的性質(zhì)，將經(jīng)典物理的動量和能量的概念以及波的頻率和波長統(tǒng)一到微觀的粒子上，是物質(zhì)的基本構(gòu)成，從而揭開了量子世界的神秘面紗。當(dāng)頻率和波長和粒子的概念聯(lián)系上后，粒子其實也不是原來意義上的概念了。如光子實際上是光的電磁場量子化后的一種能量振動模式，每個振動模的能量是分立的，既不是粒子也不是波，超出了粒子和波的經(jīng)典圖像。德布羅意的博士論文被稱為史上最重要的博士論文。德布羅意的思想當(dāng)時并沒有實驗支持，但是影響極大。這一點和有些人一直強(qiáng)調(diào)的實驗觀測推動物理發(fā)展的論斷不同，在關(guān)鍵的節(jié)點上，原創(chuàng)理論的突破往往是超前的。保羅?朗之萬將德布羅意的論文送了一份給愛因斯坦，愛因斯坦讀后立刻意識到這是期待已久的理論突破，并向他的同行推薦，如玻恩。德布羅意的思想對量子物理的產(chǎn)生和發(fā)展起到了積極推動作用，一年后直接激勵了薛定諤給出描寫物質(zhì)波的薛定諤方程，創(chuàng)立了波動力學(xué)?！跋辔徊ā备拍钪皇沁^渡性的理論，但這兩個方程留下來了，有了新的物理含義。他的理論提出了四年后，德布羅意獲得了1929年諾貝爾物理學(xué)獎。

03

矩陣力學(xué)：對易關(guān)系和運(yùn)動方程

在1925年夏天開始建立的矩陣力學(xué)中，兩個代表性的數(shù)學(xué)方程是德國哥廷根大學(xué)的玻恩和他的學(xué)生約當(dāng)提出的基本對易關(guān)系（注：在許多教科書中，把基本對易關(guān)系稱為正則對易關(guān)系，我覺得基本對易關(guān)系更確切些。）和運(yùn)動方程[4]：

早在1923年至1924年冬季，玻恩給出了一系列有關(guān)“原子力學(xué)”的講座，探討舊量子論的局限性并規(guī)劃一個建立“終極原子力學(xué)”的計劃。1924年他發(fā)表了“關(guān)于量子力學(xué)”一文[5]，歷史上首次引進(jìn)“量子力學(xué)”一詞，他給出了新的量子力學(xué)有別于舊量子論的條件：自然中所有基本變化必須是非連續(xù)的，作用變量的改變應(yīng)該是普朗克常數(shù)的整數(shù)倍。1925年6月，玻恩和他的學(xué)生約當(dāng)，完成了一篇量子轉(zhuǎn)變過程的微擾理論，其中就用到了分離的“量子矢量”，即矩陣元[6]。到了7月份，海森伯在德國北方小島度完假后，將他的手稿交給玻恩，看是否值得發(fā)表，就去了英國劍橋訪問。海森伯在文章中結(jié)合了玻恩和約當(dāng)?shù)牧W(xué)自由度不連續(xù)表示和玻爾的虛擬振子的思想，利用傅里葉變換試圖建立發(fā)射光譜頻率強(qiáng)度和玻爾原子模型中原子軌道頻率之間的關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)了一些求和規(guī)則。同時利用托馬斯和庫恩對玻爾—索末菲量子化條件的修正，得到了諧振子的本征值，包括零點能，這是著名的“一人文章”[7]。玻恩在閱讀了海森伯的手稿后，立刻認(rèn)識到這些求和規(guī)則實際上是矩陣的運(yùn)算關(guān)系。要得到海森伯的結(jié)果，動量p和位置q不能對易，需要滿足基本的對易關(guān)系。玻恩覺得需要一些更嚴(yán)格的證明，于是先去找他的前助手泡利，泡利直接拒絕了玻恩，還說不希望玻恩的數(shù)學(xué)毀了海森伯的物理思想。玻恩只好找自己的學(xué)生約當(dāng)，約當(dāng)在幾個星期內(nèi)完成了證明，并且同時建立了運(yùn)動方程，玻恩和約當(dāng)?shù)奈恼?月份寄出，這是著名的“二人文章”[4]。到11月份，把“二人文章”做了推廣并加上部分應(yīng)用，玻恩、海森伯和約當(dāng)又寫了一篇“三人文章”[8]。至此，這三篇“一人文章”“二人文章”“三人文章”的問世，正式標(biāo)志矩陣力學(xué)的成型。而基本對易關(guān)系的建立，標(biāo)志了新的量子力學(xué)的誕生。它第一次揭示了物理算符的不可交換性，同時賦予了普朗克常數(shù)h不同尋常的物理含義，成為量子物理的基本標(biāo)示。玻恩十分自豪自己“是寫下不可交換符號的物理定律的第一人”，是他“研究生涯的高潮”。而運(yùn)動方程應(yīng)該是約當(dāng)對應(yīng)經(jīng)典的哈密頓方程首先推導(dǎo)出來的。但這兩個方程的重要性因為其數(shù)學(xué)特性，當(dāng)時明顯被人低估了?，F(xiàn)在，這兩個方程是量子力學(xué)的基本假設(shè)，其實是不可推導(dǎo)的。

雖然一起合寫了“三人文章”，但海森伯本人對玻恩和約當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)部分的內(nèi)容并不了解，甚至有所保留。這反映在他當(dāng)時寫給泡利的信中：我身處一個思維和感受與我截然相反的環(huán)境，我不知道自己是否太笨，無法理解數(shù)學(xué)。哥廷根分裂成了兩個陣營，一派像希爾伯特……他們談?wù)摼仃囈胛锢韺W(xué)所帶來的巨大成功；而另一派，像弗蘭克，則認(rèn)為我們永遠(yuǎn)無法理解矩陣?，F(xiàn)在常有人提到海森伯不懂矩陣，卻建立了矩陣力學(xué)，應(yīng)該是言過其實了。如果青年海森伯將他的手稿交給玻爾，而不是玻恩，那可能又是另外一個命運(yùn)了。當(dāng)然，歷史沒有如果。

然而，另外一個天才的橫空出世，讓整個學(xué)界震驚。英國劍橋大學(xué)當(dāng)時年僅22歲的研究生狄拉克，在1925年底，獨自一人發(fā)表了題為《量子力學(xué)的基本方程》的文章[9]。在那年8月狄拉克的導(dǎo)師拉爾夫?福勒(Ralph Fowler)教授交給他海森伯的一人文章，3個月后，狄拉克利用經(jīng)典力學(xué)中泊松符號的關(guān)系，導(dǎo)出了基本對易關(guān)系，并建立了運(yùn)動方程。文章簡明清晰，一出手，就是教科書級別的。按楊振寧的說法是“秋水文章不染塵”。這個工作應(yīng)該獨立于玻恩和約當(dāng)?shù)墓ぷ?，而且早于那篇著名的三人文章。狄拉克的博士論文直接以《量子力學(xué)》為題，這也是物理學(xué)史上的另一篇最重要的博士論文。玻恩在讀到狄拉克的文章后，十分震驚。事后，他承認(rèn)這是他科學(xué)生涯中最為震驚的事件之一，他以為自己和學(xué)生創(chuàng)立了矩陣力學(xué)，結(jié)果卻要和一個從不知名的小青年來分享。當(dāng)然，碰到天才是痛苦的，即使他自己也是一位大學(xué)者。所以，矩陣力學(xué)可以說是德國哥廷根的玻恩、約當(dāng)和海森伯，以及英國劍橋的狄拉克分別獨立地發(fā)展起來的，而海森伯的一人文章是重要的催化劑。

圖2 馬克斯?玻恩的墓碑，上面刻有基本對易關(guān)系，

后來基本對易關(guān)系被刻在玻恩的墓碑上，用來紀(jì)念他對現(xiàn)代科學(xué)的偉大貢獻(xiàn)(圖2)。但在教科書中，基本對易關(guān)系和運(yùn)動方程鮮有人以玻恩—約當(dāng)甚至狄拉克的名字來命名，這有違于當(dāng)時的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)和慣例，而且運(yùn)動方程在教科書中時常被稱為海森伯運(yùn)動方程，這也是特別荒謬的。海森伯的“一人文章”中唯一一次出現(xiàn)的運(yùn)動方程其實是牛頓方程。一直以來，哥本哈根學(xué)派把測不準(zhǔn)原理作為量子力學(xué)的一個基本原理，到現(xiàn)在還有許多學(xué)者這樣認(rèn)為。其實海森伯的測不準(zhǔn)原理是由基本對易關(guān)系加上測量原理，可以直接推導(dǎo)出來的必然結(jié)果，我每年在量子力學(xué)的課堂上都會推導(dǎo)一次，推導(dǎo)多了，就懷疑它是否真的是基本原理?？梢娀緦σ钻P(guān)系才是量子力學(xué)中更為基本的方程，這一點在一般教科書中并沒有強(qiáng)調(diào)。對易關(guān)系本身決定了位置和動量的不可同時測量性，是物理的本質(zhì)，它并不是由物理測量過程引起的。量子世界的不確定性是由基本對易關(guān)系決定的。當(dāng)然，對量子物理的理解也需要一個歷史過程。

狄拉克后來說，那個時代，往往二流的物理學(xué)家可以做出一流的工作。從泡利拒絕玻恩一事，我覺得這是一個反例，一流物理學(xué)家有時也只能做二流的工作。其實泡利晚年對自己的科學(xué)成就也有反思，不知是否也包括對玻恩的傲慢和拒絕一事，至少他嚴(yán)重低估了線性代數(shù)對矩陣力學(xué)的建立起到的關(guān)鍵作用和更深刻的影響。另外，海森伯和泡利起初對矩陣關(guān)系和形式理論的抗拒，也從另一個側(cè)面說明玻恩和約當(dāng)工作的獨立性，他們的工作并非海森伯工作的簡單推廣和衍生。同時也反映出，一百年前人們對數(shù)學(xué)在描述物理過程中的作用，在認(rèn)識上存在一定的局限性。

聯(lián)合國教科文組織將2025年定為量子科技國際年(IYQ2025)，是以1925年矩陣力學(xué)的誕生為標(biāo)志，也有人認(rèn)為是以海森伯在德國北海的黑爾戈蘭島的思想突破為起點。其實從1924年德布羅意的理論開始，就已經(jīng)揭開了建立量子力學(xué)的序幕。

04

波動力學(xué)：薛定諤方程

從1925年的圣誕節(jié)開始，到1926年的9月，奧地利物理學(xué)家埃爾文?薛定諤以“量子化作為本征值問題：I—IV” (Quantization as an eigenvalue problem)為題目連續(xù)發(fā)表了4篇系列論文，提出了以他名字命名的方程，靜態(tài)的薛定諤方程[10—13]：

和含時的薛定諤方程：

這個理論的建立主要受德布羅意相位波的思想和德國數(shù)學(xué)家赫爾曼?外爾規(guī)范理論的啟發(fā)，而直接誘因是他在瑞士高等理工學(xué)院(ETH)的同事皮特?德拜。德拜在薛定諤介紹德布羅意工作的一個非正式研討會后直接問到，“如果粒子是波的話，應(yīng)該有個方程吧？”薛定諤以他非凡的物理直覺和對現(xiàn)實世界的實驗結(jié)果的深刻理解，獨自一人完成了這個使命。在幾周后的一個報告會上，薛定諤對德拜說，“你要個方程，我就給你一個方程”(圖3)。

圖3 在奧地利阿爾卑巴赫村(Alpbach Village, Austria)的薛定諤墓碑，上面刻有含時薛定諤方程

至今我并不真的相信他的所謂數(shù)學(xué)推導(dǎo)，這個方程在當(dāng)時應(yīng)該也不可能是推導(dǎo)的，因為這些數(shù)學(xué)符號和它們代表的物理含義，當(dāng)時連薛定諤自己都不是很清楚。他只是覺得，如果粒子是波的話，從經(jīng)典的波動方程出發(fā)，利用經(jīng)典力學(xué)中的一些關(guān)系式，一步一步地可以給出有關(guān)神秘的ψ的方程式。至于神秘的ψ是什么，他也不知道。但這還是能反映出薛定諤深厚的物理數(shù)學(xué)功底，以及他對新興物質(zhì)波的理解，同時也能反映出薛定諤的思想歷程。海森伯當(dāng)時就懷疑薛定諤是利用自由粒子的動能與動量的關(guān)系
，德布羅意關(guān)系式，加上平面波的數(shù)學(xué)函數(shù)形式ψ(x, t)∝ei(kx-ωt)=ei(px-Et)/?直接猜出來的。著名的物理家理查·費(fèi)曼在演講中對薛定諤方程作了如下論述：“我們從哪里得到這個方程？哪兒也找不到。你不可能從任何已知的事物中推導(dǎo)出它。它源于薛定諤的思想，是他在努力理解現(xiàn)實世界的實驗觀察結(jié)果時發(fā)明的”。

神奇的是薛定諤方程和氫原子能譜的解是同時出現(xiàn)。1925年底已有新聞?wù)f泡利利用矩陣力學(xué)推出了氫原子能譜，而薛定諤在1926年1月底投出他的文稿[10]時，日期其實只比泡利的文章[14]晚十天。在那個靠郵差人工投遞的年代，這個時間差應(yīng)該是可以忽略不計的。薛定諤說他是從哈密頓—雅可比方程出發(fā)，用神秘的lnψ代替了作用量S，推導(dǎo)出他的方程，也沒解釋怎樣得到這個方程。但是能從一個微分方程推出分立的氫原子能譜，即使是巧合，也是令人震驚的。這個結(jié)果為他的方程的合法性提供了一個強(qiáng)有力的支持。在他的第二篇文章中[11]，薛定諤試圖從最小作用量原理推導(dǎo)了這個波動方程，同時給出了諧振子和剛性轉(zhuǎn)子的解。這些解都是可以在現(xiàn)在的量子力學(xué)教科書中看到的標(biāo)準(zhǔn)題目和解答。在第4篇文章中[13]他進(jìn)一步給出了含時薛定諤方程。在這期間，他以“海森伯—玻恩—約旦的量子力學(xué)和我的之間的關(guān)系”為題，發(fā)表了另外一篇文章[15]，在連續(xù)“位置表象”中，位置r是連續(xù)變量，可以得到動量的算子表示p=-i??r，這樣位置和動量就滿足與矩陣力學(xué)相同的基本對易關(guān)系，這也暗示他的理論和矩陣力學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。然而薛定諤本人對矩陣力學(xué)的繁雜代數(shù)與抽象含義還是十分排斥的?？梢哉f，薛定諤在1926年頭6個月創(chuàng)造力的噴發(fā)，憑一己之力完成了6篇系列文章[10—13，15，16]，獨立一人創(chuàng)立了波動力學(xué)，這是完全可以與愛因斯坦1905年的奇跡年相比的。而神秘的波函數(shù)ψ則由玻恩給出了物理詮釋[17]。

對于物理學(xué)家來說，當(dāng)時對矩陣和線性代數(shù)相當(dāng)陌生，抽象難懂；但求解微分方程本征值是當(dāng)時理論物理學(xué)家十分擅長的。因此薛定諤的理論出現(xiàn)后，很快被人們接受和喜愛。

05

波動力學(xué)和矩陣力學(xué)的等價性

矩陣力學(xué)和波動力學(xué)從誕生開始，就是兩個面目完全不同的雙胞胎。泡利首先利用開普勒問題中的對稱性，利用玻恩和約當(dāng)?shù)木仃嚵W(xué)方程推導(dǎo)出了氫原子光譜[14]。老實說，即使今天出現(xiàn)在教科書中的推導(dǎo)，也能明顯感到拼湊的感覺，遠(yuǎn)不如用矩陣方法推導(dǎo)諧振子解那么簡明和順暢。幾乎同時薛定諤用他的波動方程同樣也解出了氫原子能譜[10]，結(jié)果和泡利導(dǎo)出的一樣，但推導(dǎo)過程更加嚴(yán)格，明了，易于理解。然而，由于形式上兩個理論完全不同，物理含義也并不清楚，兩組人員之間起初并不相互認(rèn)同，甚至相互傷害。海森伯在給泡利的信中說，“我越思考薛定諤理論的物理部分，就越覺得它可怕……我覺得它是‘Mist’ (禮貌的翻譯是‘垃圾’)……薛定諤理論的偉大成就是矩陣元的計算”。而薛定諤在談?wù)摼仃嚵W(xué)時也說，“現(xiàn)在，該死的哥廷根人使用我美麗的波動力學(xué)來計算他們的‘scheiss’ (禮貌地翻譯為‘垃圾’)矩陣元素”。德語中的Mist和scheiss都不是什么文雅的詞匯。但相同的氫原子能譜的結(jié)果卻使大家認(rèn)識到這兩個理論之間的可能聯(lián)系，薛定諤首先意識到兩者的等價性，并發(fā)表了文章[15]。隨后狄拉克[18]和約當(dāng)[19]分別提出了變換理論(transformation theory)，利用線性代數(shù)中兩種基矢之間的幺正變換，可以直接證明兩個理論之間的等價性。兩種力學(xué)形式只不過是不同基矢下的不同表示而已。而作為可觀測的物理量，它的本征值在不同的表象下是一樣的，可以給出相同的物理測量結(jié)果。聯(lián)系表象之間的變換矩陣或函數(shù)，就像一本中英文字典，量子物理只有一個，但用中英文表達(dá)出來后，看上去就完全不一樣。至此，具有兩種不同形式的量子力學(xué)就基本建立起來了。

波動力學(xué)和矩陣力學(xué)發(fā)展過程中的獨立性以及兩個理論的等價性可以給出一個方程：

波動力學(xué)=矩陣力學(xué).

波動力學(xué)是薛定諤基于德布羅意的物質(zhì)波概念發(fā)展起來的，而矩陣力學(xué)是玻恩等三人加上狄拉克發(fā)展的。這兩個理論獨立且平行，這樣似乎可以得到另外一個方程：

薛定諤=玻恩+海森伯+約當(dāng)+狄拉克.

玻恩對波函數(shù)做了詮釋，也是對波動力學(xué)做出了重要貢獻(xiàn)。當(dāng)然，如果說這5個人合在一起共同創(chuàng)立了量子力學(xué)，這樣并不為過吧。

06

幾率波詮釋，測量原理和馮?諾依曼的量子力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

量子力學(xué)是一個少有的科學(xué)理論，在其數(shù)學(xué)方程建立后，方程中數(shù)學(xué)符號的物理含義連這些創(chuàng)立者自己都并不完全清楚。玻恩首先提出了薛定諤波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋：

將波函數(shù)ψ的模的平方解釋為幾率密度[20]。這一點石破天驚，將不確定性帶進(jìn)了現(xiàn)代物理世界，同時也引起了極大爭論。愛因斯坦的“上帝是不會擲骰子”的論斷就是一個例子。因果律一直是當(dāng)時物理學(xué)家所信奉的，玻恩的統(tǒng)計詮釋直接沖擊了這一信條。現(xiàn)在不確定性、相干性、疊加性和糾纏性一起已經(jīng)成為了量子世界的四大基本屬性。海森伯起初并不贊同玻恩的解釋，甚至認(rèn)為玻恩的詮釋是他對矩陣力學(xué)的背叛。有趣的是，這個統(tǒng)計詮釋后來成為以玻爾和海森伯為首的哥本哈根學(xué)派的核心內(nèi)容。

要將抽象的數(shù)學(xué)符號和物理世界聯(lián)系起來，不能脫離物理的實驗觀測，這也是對物理數(shù)學(xué)方程的必然要求。狄拉克和馮?諾依曼分別提出了量子力學(xué)的測量理論(圖4)[21，22]，基本思想是任何一個量子狀態(tài)都可以用任何一個可測量物理量的完備本征態(tài)來表達(dá)，物理測量的結(jié)果是系統(tǒng)的量子狀態(tài)必須塌縮到其中的一個本征態(tài)上，它的本征值就是測量的結(jié)果，測量該本征態(tài)前的系數(shù)，決定了這個狀態(tài)出現(xiàn)的幾率(圖4)?；谶@個測量原理，薛定諤方程中的波函數(shù)和本征值，就和可測量結(jié)果直接聯(lián)系上了。有關(guān)量子態(tài)的塌縮是一個物理演化過程，是量子力學(xué)的一個最基本假設(shè)。這一點不同于經(jīng)典物理，經(jīng)典物理的測量是不會改變物體狀態(tài)的。在現(xiàn)代科技發(fā)展的今天，這個假設(shè)還是一個需要實驗檢驗的問題。

圖4 馮?諾依曼的測量概念。狄拉克也有類似思想

1932年，匈牙利出生的數(shù)學(xué)家馮·諾依曼發(fā)表了《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》[22]。他利用希爾伯特空間里的算子和矢量，提出了密度矩陣、測量理論和不存在隱性變量定律，為量子力學(xué)公理化和完備性提供了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。他書中的一些基本技術(shù)和公開問題一直到今天還在繼續(xù)探討，特別是量子力學(xué)的完備性等基礎(chǔ)問題。他試圖探討是否存在某些未知參數(shù)，會導(dǎo)致量子狀態(tài)的統(tǒng)計行為。他發(fā)現(xiàn)如果這樣的隱性變量存在的話，量子力學(xué)就會是錯的，由此，他進(jìn)一步給出了不存在隱性變量定律。后來大衛(wèi)?玻姆(David Bohm)延續(xù)德布羅意的思想，曾試圖挑戰(zhàn)這一定律，發(fā)展了隱形變量理論，激發(fā)約翰?貝爾(JohnBell)將愛因斯坦的局域性原理和Einstein—Podolsky—Rosen(EPR)詳謬，轉(zhuǎn)化為貝爾不等式，可以用實驗來檢測。不過到20世紀(jì)末，實驗表明，正統(tǒng)的量子力學(xué)還是經(jīng)受住了挑戰(zhàn)。20世紀(jì)50年代馮·諾依曼在普林斯頓時，泡利打趣對他說，“如果物理是證明的話，你應(yīng)該是個偉大的物理學(xué)家”。馮·諾依曼發(fā)表了他的專著后，沒有繼續(xù)量子力學(xué)，甚至物理方面的工作，但他在數(shù)學(xué)，計算機(jī)的基本原理，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中的博弈論幾個方面都取得了卓越成就。他的確也是一位偉大的物理學(xué)家。

07

狄拉克方程

到1927年，量子力學(xué)基本建立以后，其實還存在許多不盡人意的地方，其中之一就是薛定諤方程是非相對論的，所得到的氫原子能譜還不如索末菲利用舊量子論得到的相對論的氫原子能譜精確。1928年，狄拉克利用相對論中的愛因斯坦質(zhì)量—能量關(guān)系，提出了相對論的狄拉克方程[23]：

或：

方程中的符號，αn和β以及γμ都是矩陣，而非一般常數(shù)，波函數(shù)ψ也從薛定諤方程中單分量被推廣到多分量的。狄拉克方程滿足量子力學(xué)和相對論中的所有基本原理，是量子論和相對論的完美結(jié)合。有人曾說狄拉克其實只是對愛因斯坦的質(zhì)能關(guān)系E2=p2c2+m2c4做了一個因式分解，
，但狄拉克矩陣的引入，和矩陣算子與物理觀測量之間的聯(lián)系，在當(dāng)時是非常規(guī)操作，需要極深的物理洞察力和數(shù)學(xué)功底。這個方程成功解釋了電子自旋的來源，并可以給出氫原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。這個方程提出后仍然遭到眾多的質(zhì)疑，其中之一就是它的負(fù)能量解。狄拉克起初將它解釋為帶有正電荷的質(zhì)子的解，后來才用它解釋了帶正電荷的正電子。狄拉克對自己的方程非常自信，這么優(yōu)美的數(shù)學(xué)方程怎么可能會是錯的呢？如果錯的話，也只是我們還沒能理解它所代表的物理含義。只要方程正確了，正確的解釋最終總會到來的。后來發(fā)展也的確證明了這一信念。正是這個備受質(zhì)疑的負(fù)能量解，開創(chuàng)了正負(fù)粒子和反物質(zhì)等基本粒子的研究方向。所以說，狄拉克是一位能品出物理數(shù)學(xué)公式之優(yōu)美的人。當(dāng)然，這也導(dǎo)致了他對后來的量子電動力學(xué)中過于復(fù)雜的計算有所保留，而自己沒能力再發(fā)現(xiàn)一個簡單的方程，遺憾終身。

狄拉克方程的重要性，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了包括他本人在內(nèi)的當(dāng)時所有物理學(xué)家的預(yù)期，除了電子，它可以描述所有自旋1/2的有質(zhì)量粒子，比如粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型中的夸克(它是物質(zhì)最基本的一種組成成分)。狄拉克方程是現(xiàn)代物理學(xué)最重要的方程之一。狄拉克方程這一成就，讓狄拉克可以比肩牛頓、麥克斯韋和愛因斯坦，成為歷史上最偉大物理學(xué)家之一。狄拉克方程影響深遠(yuǎn)，在不同物理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，一直延續(xù)至今。除了在高能物理和基本粒子的應(yīng)用，它在現(xiàn)代凝聚態(tài)物理中也有廣泛應(yīng)用，例如源于狄拉克方程的相對論量子力學(xué)效應(yīng)——自旋軌道耦合，為用電場操控電子自旋狀態(tài)提供了一種途徑，現(xiàn)已是自旋電子學(xué)的基礎(chǔ)，為設(shè)計下一代半導(dǎo)體電子器件開辟了方向[24]。我在2012年發(fā)表了學(xué)術(shù)專著《拓?fù)浣^緣體》，副標(biāo)題就是“狄拉克方程在凝聚態(tài)物理中”。利用狄拉克方程，可以系統(tǒng)地描述拓?fù)浣^緣體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體的物理性質(zhì)[25]。2022年我提出的具有半整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的宇稱反常半金屬，其實也是無質(zhì)量狄拉克粒子的一個內(nèi)稟屬性[26]。

狄拉克方程后來刻寫在倫敦威斯敏斯特教堂牛頓科學(xué)角的紀(jì)念狄拉克的地牌上(圖5)。學(xué)物理的和研究物理的同行到了倫敦，都愛去瞻仰一下，表示自己的崇敬。

圖5 作者在倫敦威斯敏斯特教堂狄拉克紀(jì)念牌前(2024年6月26日)。上面刻有狄拉克方程iγ·?ψ=mψ

08

狄拉克—費(fèi)曼路徑積分：量子力學(xué)的第三種形式

路徑積分是量子力學(xué)的另一種形式。在時空起始量子態(tài)之間傳播子可以寫為所有路徑的變分[27，28]：

其中(xi, ti)和(xf, tf)為起始的時空量子狀態(tài)，L為經(jīng)典的拉格朗日量。這個方程是狄拉克在1933年發(fā)表于前蘇聯(lián)一個新辦的《蘇維埃物理學(xué)雜志》上的一篇“小文章”[26]，他那時受前蘇聯(lián)物理學(xué)家卡皮查的影響，思想頗為左傾，以此表示對新興蘇維埃物理學(xué)的支持。物理上，可以說狄拉克是個保守的革命者，他認(rèn)為新的量子力學(xué)應(yīng)該可以從舊的經(jīng)典力學(xué)延伸過來。這個工作是他的一個嘗試。拉氏量是經(jīng)典力學(xué)的核心概念，由最小作用量原理，可以確定粒子的運(yùn)動軌跡，推導(dǎo)出牛頓的運(yùn)動方程。狄拉克認(rèn)為時空中的起始狀態(tài)間的傳播子，也是由經(jīng)典的拉氏量來決定，把普朗克常數(shù)?作為作用量的單位，可以清晰地定義經(jīng)典到量子力學(xué)的界面。由于對于經(jīng)典粒子來說，?是個極小的量，任何對經(jīng)典軌道的偏離，會引起巨大的相位漲落，引起整體相消，它的運(yùn)動軌跡只能由經(jīng)典的拉氏方程決定；而對微觀粒子來說，?提供了一個量子漲落的尺度，則由薛定諤方程來決定。同樣，沒人知道狄拉克當(dāng)時是怎樣想到這個關(guān)系式的，神來之筆。這是他在1933年量子力學(xué)形式理論塵埃落定后，又開辟的一個新方向。

直到16年后，1948年美國物理學(xué)家理查德?費(fèi)曼在《現(xiàn)代物理評論》上發(fā)表了名為“非相對論量子力學(xué)的時空方法”的文章[28]，進(jìn)一步完善了這個理論。費(fèi)曼從這個公式中推導(dǎo)出了薛定諤方程，表明它和量子力學(xué)的等價性，同時也賦予路徑積分更深刻的物理含義。這個理論在后來的粒子物理和量子場論中得到了廣泛應(yīng)用，常被稱為費(fèi)曼路徑積分，成為理論物理學(xué)家的一個基本的研究手段。這篇文章2025年入選了美國物理學(xué)會的物理期刊的《量子基礎(chǔ)選集》(Quantum Foundations Collection)。不過，它的原創(chuàng)性還應(yīng)該是狄拉克的，在狄拉克的量子力學(xué)教科書中也提到了這個關(guān)系。費(fèi)曼的文章中的第一個引文，就是狄拉克的文章[27]和量子力學(xué)教科書[21]，他應(yīng)該是讀過狄拉克的文章的。費(fèi)曼一直很自負(fù)的，當(dāng)他和狄拉克見面后，沉默寡言的狄拉克問了一句，“我有一個方程，你有嗎？”，讓費(fèi)曼立刻覺得自己和狄拉克的差距，他最拿手的路徑積分也是源于狄拉克的“小文章”。后來，費(fèi)曼因量子電動力學(xué)和粒子物理的貢獻(xiàn)獲得1965年諾貝爾物理學(xué)獎。

09

1927年索爾維會議：勝利的大會

1927年10月的索爾維會議，主題是“電子和光子”，主要討論量子論的發(fā)展現(xiàn)狀。這是物理學(xué)史上的一個重要會議，它標(biāo)志著量子力學(xué)正式得到學(xué)界的認(rèn)可，是個團(tuán)結(jié)和勝利的大會(圖6)。會議只安排了五個口頭報告：

(1)威廉?布拉格(W. L. Bragg)：Ｘ射線反射強(qiáng)度(The intensity of X-ray reflection)；

(2)康普頓(A. H. Compton)：實驗和電磁理論的不一致性(Disagreements between experiment and electromagnetic theory)；

(3)路易?德布羅意(L. de Broglie)：量子的新動力學(xué)(The new dynamics of quanta)；

(4)玻恩和海森伯：量子力學(xué)(Quantum mechanics)；(這個報告包括對變換理論的討論，狄拉克的電磁場量子化，約當(dāng)?shù)亩瘟孔踊碚摗?

(5)薛定諤：波動力學(xué)(Wave mechanics)。

圖6 1927年索爾維會議參加者的合影，布拉格缺席。青年狄拉克居于中心位置

會議是邀請制，而量子力學(xué)的一個主要貢獻(xiàn)者約當(dāng)并不在邀請之列。約當(dāng)?shù)恼瘟隹赡芤彩亲屗麑?chuàng)立量子力學(xué)的貢獻(xiàn)沒有得到應(yīng)有認(rèn)可的原因之一，甚至可能也連帶影響他的導(dǎo)師玻恩。從報告的安排來看，兩個實驗報告分別是英國物理學(xué)家布拉格的X光反射和美國物理學(xué)家康普頓的電子衍射實驗，都與粒子的波動性有關(guān)。理論方面的報告是，德布羅意的量子論，玻恩領(lǐng)頭的矩陣力學(xué)和薛定諤的波動力學(xué)。這也基本上和前面介紹的幾個基本方程所涵蓋的內(nèi)容相一致。量子力學(xué)的名稱是玻恩1924年首先提出的，他占了先機(jī)，薛定諤只好繼續(xù)用波動力學(xué)的題目，好在兩者是等價的。至此，量子力學(xué)基本成型，流派也非常清晰。新生的量子力學(xué)也遭到一些質(zhì)疑，最主要的質(zhì)疑集中在波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋和量子力學(xué)的完備性方面，但它的正確性應(yīng)該是毫無疑問的。這個會議最后給人留下印象更多的是一直被渲染至今的愛因斯坦和玻爾之間的激烈討論，而量子力學(xué)幾個主要創(chuàng)立者似乎都隱身了，大有喧賓奪主之疑。老實說，我更相信這幾位主要創(chuàng)立者們對他們自己創(chuàng)立的新理論有更深刻的理解和認(rèn)識。就在這次會議之后不久，年輕的狄拉克發(fā)表了他的相對論量子力學(xué)，開辟了量子力學(xué)、量子場論和基本粒子研究的新方向，引領(lǐng)了量子物理的發(fā)展。

然而6年后的1933年，諾貝爾獎委員會宣布將1932年物理學(xué)獎授予海森伯，1933年物理學(xué)獎授予薛定諤和狄拉克。這個結(jié)果完全改變了人們對量子力學(xué)創(chuàng)立這段歷史的認(rèn)識，將海森伯推到矩陣力學(xué)的唯一創(chuàng)立者的地位，創(chuàng)造了一個不懂矩陣的人可以創(chuàng)立矩陣力學(xué)的神話，一直影響至今。它完全無視了玻恩和約當(dāng)在矩陣力學(xué)創(chuàng)建中的關(guān)鍵作用。而在這一年，德國納粹上臺后，玻恩作為猶太人被迫“自愿”離職，離開了哥廷根大學(xué)和德國，有趣的是居然還收到了元首希特勒的簽名感謝函，他先后流亡到英國和印度，最后接受了英國愛丁堡大學(xué)的教職，重新安定下來。在那里，他為中國培養(yǎng)了兩位“兩彈元勛”——彭桓武和程開甲，其實他也是美國原子彈之父奧本海默的博士導(dǎo)師，氫彈之父愛德華?泰勒的導(dǎo)師，是真正的全世界“原子彈之父”之父。中國半導(dǎo)體物理泰斗黃昆，則將玻恩的講義整理出了一本固體物理經(jīng)典教材。而作為他學(xué)生和助手的約當(dāng)，當(dāng)年積極參加了納粹，但是他還有良知，并沒有參加所謂“德國物理學(xué)”運(yùn)動，也沒有抵制由愛因斯坦和玻恩等猶太物理學(xué)家發(fā)展的量子物理學(xué)，在二戰(zhàn)后繼續(xù)從政，成為了聯(lián)邦德國的保守黨議員。

第二次世界大戰(zhàn)后，經(jīng)歷過戰(zhàn)爭痛苦的玻爾在總結(jié)量子力學(xué)發(fā)展這段歷史時，似乎意識到這個結(jié)果對玻恩不公平，于1950年和1952年連續(xù)兩次提名玻恩。此外，玻恩的前同事詹姆斯·弗蘭克(1925年的諾貝爾獎得主)和學(xué)生恩里科·費(fèi)米(1938年的諾貝爾獎得主)也多次提名他。終于于1954年玻恩在72歲高齡時被授予了諾貝爾獎，公開肯定了他對量子力學(xué)的杰出貢獻(xiàn)，特別是幾率波統(tǒng)計詮釋。這個詮釋當(dāng)時是玻爾為首的量子力學(xué)哥本哈根學(xué)派的核心內(nèi)容，而玻恩本人并不屬于這個學(xué)派，如果不給玻恩應(yīng)有的認(rèn)可，這確實是有點說不過去。將不確定性引進(jìn)量子力學(xué)和物理世界，無論從對易關(guān)系還是幾率波詮釋，玻恩都是第一人。至于約當(dāng)?shù)呢暙I(xiàn)被完全無視了，沒有機(jī)會和玻恩共享殊榮。

10

幾點思考與小結(jié)

在量子力學(xué)建立過程中，一個顯著特色是正確的物理數(shù)學(xué)方程持續(xù)推動發(fā)現(xiàn)新的物理和建立新的量子理論。黑體輻射的實驗數(shù)據(jù)對普朗克公式提供強(qiáng)力支持，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)了普朗克物理常數(shù)，開啟了量子物理的革命。在長達(dá)25年的探尋過程中，普朗克公式對光子概念形成、玻爾氫原子模型和量子統(tǒng)計的建立，起了決定性的作用。薛定諤方程和狄拉克方程同樣是先有方程，后有正確的解，然后才有正確的物理。薛定諤方程氫原子的解，為方程的正確性和合理性提供了保障。幾率波的統(tǒng)計詮釋使波函數(shù)和物理測量之間建立了聯(lián)系，為量子力學(xué)的最后建立提供了堅實的基礎(chǔ)。狄拉克方程的負(fù)能量解，起初同樣被認(rèn)為是非物理的，但最后為正電子的確認(rèn)提供了理論基礎(chǔ)，并且開創(chuàng)了粒子物理的研究方向。狹義相對論中，也是先有洛倫茲變換，然后才有光速不變原理和狹義相對論的時空觀。這個應(yīng)該是革命性理論產(chǎn)生的一種科學(xué)范式。

玻爾原子模型和半經(jīng)典量子理論在量子力學(xué)的建立過程中起了非常重要的作用，特別是玻爾將原子能級和光譜這兩個看似完全無關(guān)的物理量聯(lián)系在一起，這是革命性的。理論公式和實驗觀測結(jié)果的精度達(dá)到了空前的一致。軌道角動量量子化和玻爾—索末菲量子化條件為能量量子化提供了一個直接的圖像，在建立量子力學(xué)基本對易關(guān)系過程中起了重要作用，但這些理論都只是過渡性質(zhì)的。量子力學(xué)建立后，舊的量子理論也就完成了自己的使命，漸漸地退出歷史舞臺，被新的量子論取代。

量子力學(xué)的發(fā)展過程中充滿了哲學(xué)思辨，特別是當(dāng)問題并不清晰時。原子論的發(fā)展有近千年的歷史，到20世紀(jì)初基本達(dá)到了一個共識，物質(zhì)由原子組成，而原子由原子核和電子組成。普朗克公式和普朗克常數(shù)的出現(xiàn)，讓哲學(xué)的思辨，轉(zhuǎn)化成定量的研究，對普朗克公式的理解，直接導(dǎo)致了光的粒子特性的發(fā)現(xiàn)。這是正確的數(shù)學(xué)公式展現(xiàn)出的強(qiáng)大力量。德布羅意的關(guān)系式，動量與波矢的關(guān)系，又將光的波動性質(zhì)聯(lián)系起來。德布羅意將這個關(guān)系推廣到一般的粒子，是量子力學(xué)發(fā)展的一個里程碑，直到導(dǎo)致薛定諤方程的建立。當(dāng)方程建立后，科學(xué)哲學(xué)的思辨最終有了可靠的依托，最終都可以轉(zhuǎn)換成能被物理實驗檢測的思想，如果不能的話，就不是科學(xué)了。

量子力學(xué)經(jīng)過了一百年的發(fā)展，大浪淘沙，這里介紹的幾個方程都是我們教科書中大家熟悉的面孔，經(jīng)受了時間的考驗，可以概括為量子力學(xué)的主要支柱，用以理解至今所發(fā)現(xiàn)的量子物理現(xiàn)象。

每個方程都是一座豐碑，都和一個偉大的名字聯(lián)系在一起。

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來源：中國物理學(xué)會期刊網(wǎng)

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