女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）的開創(chuàng)性暢銷書《對(duì)稱》（Symmetry，1952 年）中介紹了對(duì)稱性和對(duì)稱群的知識(shí)。外爾的意圖是通過(guò)藝術(shù)和建筑，從文化的角度說(shuō)明如何更好地理解幾何變換，然后是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們的目的是提供一組精選的波斯古跡圖片，作為補(bǔ)充，以說(shuō)明外爾的觀點(diǎn)。在大師的指導(dǎo)下，我們重點(diǎn)研究了不同種類的對(duì)稱，從最簡(jiǎn)單、最古老的對(duì)稱開始，到那些更復(fù)雜的對(duì)稱，而不考慮波斯境內(nèi)的年代或地理情況。

簡(jiǎn)介

赫爾曼·外爾（Hermann Weyl，1885-1955 年）從新澤西州普林斯頓高等研究院退休前，曾進(jìn)行過(guò)4次關(guān)于對(duì)稱性的演講。根據(jù)《科學(xué)美國(guó)人》（Scientific Americann）的報(bào)道，這四次演講被收錄在一本名為《對(duì)稱》（Symmetry）的書中，該書于 1952 年首次出版，“是對(duì)雕塑、繪畫、建筑、裝飾和設(shè)計(jì)中的對(duì)稱性的一次精湛而迷人的考察”。在當(dāng)時(shí)，這本書是專業(yè)數(shù)學(xué)家很少寫的書，現(xiàn)在依然如此： 外爾打算向不懂?dāng)?shù)學(xué)的人展示，從人類文明的曙光到相對(duì)論和量子力學(xué)等物理學(xué)的嶄新進(jìn)展，對(duì)稱性和群的數(shù)學(xué)概念是多么耳熟能詳。他在前言中解釋道：

“我的目的有兩個(gè)：一方面展示對(duì)稱原理在藝術(shù)、無(wú)機(jī)和有機(jī)自然界中的廣泛應(yīng)用，另一方面逐步闡明對(duì)稱思想的哲學(xué)數(shù)學(xué)意義。.... 作為這本書的讀者，我所考慮的范圍要比博學(xué)的專家更廣[Weyl 1952：序言（未編號(hào)）]。”

因此，他的書讓一些讀者大吃一驚：書中既沒有數(shù)學(xué)證明，也沒有參考書目。書中的定義非常精確，但在介紹這些定義時(shí)卻沒有絲毫停頓。雖然這本小書的編排非常嚴(yán)謹(jǐn)，從對(duì)稱性的普通含義到當(dāng)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的復(fù)雜成就都有涉及，但它卻讓人在時(shí)間和地點(diǎn)之間漫步，并有意想不到的跳躍和回溯。本書的主干部分展示了幾何和代數(shù)概念日益增長(zhǎng)的復(fù)雜性；必須牢記的是，對(duì)稱性的概念是人類發(fā)展史上最古老的概念之一，而群的概念則是最新的概念之一，它出現(xiàn)于19世紀(jì)上半葉，盡管直到本世紀(jì)下半葉才被應(yīng)用于幾何。

顯而易見，外爾主要是通過(guò)圖書館查找相關(guān)圖片，而且由于當(dāng)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)，書中只有黑白照片。然而，半個(gè)世紀(jì)后的今天，一部融合了新技術(shù)并在地域上擴(kuò)展了研究領(lǐng)域的作品已經(jīng)有了用武之地。即使有了更多的旅行便利，這仍然至少在兩個(gè)方向上具有挑戰(zhàn)性：

- 嘗試收集具有代表性的插圖，而不局限于歐洲或古代地中海文明；

- 選擇一個(gè)在外爾書中似乎被低估的地理區(qū)域--不是因?yàn)樽髡叩钠肺痘蛑R(shí)不足，而是可能因?yàn)槿狈D片--并設(shè)計(jì)一條與外爾書平行的路線。從這個(gè)角度來(lái)看，波斯是一個(gè)理想而又顯而易見的選擇。

波斯歷史悠久，疆域遼闊，可以說(shuō)是外爾對(duì)稱思想的活見證。它提供了各種各樣的例子來(lái)說(shuō)明他的觀點(diǎn)。粗略地說(shuō)，從大流士和阿契美尼德王朝（公元前 550-330 年）到阿巴斯和薩法維王朝（公元 1501-1736 年），中東和中亞國(guó)家構(gòu)成了一個(gè)帝國(guó)的不同部分，其范圍隨時(shí)間而變化，但始終包括從安納托利亞到印度河的廣大地區(qū)。我們將盡可能廣泛地選擇這一地區(qū)的例子，大致相當(dāng)于薩珊帝國(guó)（公元前 224-651 年）的范圍（圖 1），同時(shí)牢記過(guò)去文明的邊界往往與政治邊界和當(dāng)代邊界大相徑庭。在我們的選擇中，還包括一些證明波斯對(duì)中國(guó)東部和印度北部影響的遺跡。

圖1 薩珊波斯帝國(guó)（約公元 500 年）。

我們按照外爾書中的計(jì)劃，根據(jù)所涉及的對(duì)稱性而不是地理或年代因素對(duì)例子進(jìn)行分類。

從和諧到對(duì)稱

在書的開頭，外爾指出了對(duì)稱一詞的一個(gè)古老而常見的含義，即和諧與平衡的總體感覺。即使不是數(shù)學(xué)家或建筑師，也會(huì)將伊斯法罕的納格什·賈漢廣場(chǎng)或撒馬爾罕的雷吉斯坦廣場(chǎng)的對(duì)稱體驗(yàn)為和諧與平衡。但是，外爾立即轉(zhuǎn)向幾何變換的精確含義，并開始研究最簡(jiǎn)單的幾何變換，即跨直線或平面的反射。這是藝術(shù)家們?cè)谟^察到人體或動(dòng)物體在幾何變換中保持不變之后使用的第一種幾何變換，因此在最古老的神像表現(xiàn)中也能找到：由于不忠于現(xiàn)實(shí)，雕刻家們不得不雕刻兩個(gè)面對(duì)面的人物，每個(gè)人都是對(duì)方的反射像。外爾的書中有兩幅波斯藝術(shù)作品，其中一幅出自大流士在蘇薩的宮殿（公元前490年）。所選圖片沒有顯示上方的馬茲德翼太陽(yáng)，但正如我們的圖片所示，其自身的反射不變性也尊重這種一般對(duì)稱性（圖 2）。

圖2 蘇薩浮雕，釉面磚（德黑蘭博物館）

圖3 加濟(jì)安泰普的赫梯浮雕（安卡拉博物館）

眾所周知，波斯藝術(shù)受到阿契美尼德帝國(guó)各民族許多先前元素的滋養(yǎng)，后來(lái)又融入了這些元素。巴比倫帝國(guó)和赫梯世界也有類似的對(duì)稱浮雕（圖3）。阿拉伯征服之后，對(duì)稱仍然是宮殿和宗教場(chǎng)所平面和立面的主要特征。清真寺精心裝飾和擴(kuò)大的門廊（圖4）被稱為 “pishtaq”，是對(duì)反射最高境界的贊美。

圖4 星期五清真寺的Pishtaq，亞茲德（伊朗）

是否完美對(duì)稱？

有時(shí)，對(duì)稱乍一看似乎很完美，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)有一些不完美之處。這一定有更高的原因，而且在波斯比在其他地方更明顯，它總是一種社會(huì)或宗教秩序的標(biāo)志。首先來(lái)看亞茲德的一扇老門（圖5）：為了不違反對(duì)稱原則，這扇門有兩個(gè)門環(huán)！但仔細(xì)一看：雖然門環(huán)的位置保持了對(duì)稱，但它們的形狀卻不對(duì)稱。此外，它們發(fā)出的聲音也不一樣，這是為了讓人知道敲門的是男人還是女人，以便由相同性別的人開門！

圖5 傳統(tǒng)門，亞茲德（伊朗）

伊斯法罕納格什·賈漢廣場(chǎng)南側(cè)的沙赫清真寺（1611-1629 年）至少可以從兩個(gè)方面來(lái)考慮對(duì)稱性和對(duì)稱性的調(diào)整。首先，入口的pishtaq仔細(xì)地與矩形廣場(chǎng)的軸線對(duì)齊，但圓頂圣殿卻沒有類似的對(duì)齊方式（圖6a）。原因在于建筑必須面向麥加，這顯然是最優(yōu)先考慮的問題。建筑師以一種非常優(yōu)雅的方式解決了這個(gè)問題，他連續(xù)修建了兩個(gè)pishtaq，一個(gè)沿著面向 Naghsh-e Jahan 廣場(chǎng)的一側(cè)，另一個(gè)面向庭院，與麥加方向垂直。在兩座石塔之間，是宏偉的藍(lán)瓦庭院。這樣，廣場(chǎng)和清真寺內(nèi)部都保持了對(duì)稱。游客在第一座清真寺和庭院之間的有頂通道上重新調(diào)整朝向麥加的腳步，離開一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)入另一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)。Naghsh-e Jahan 廣場(chǎng)東側(cè)的謝赫·洛特福拉清真寺也采用了同樣的設(shè)計(jì)。

圖6a 伊斯法罕沙阿清真寺(伊朗)

圖6b 入口細(xì)節(jié)

其次，人們常說(shuō)，為了表示對(duì)神的敬意，裝飾物幾乎沒有什么可察覺的變化：純粹的對(duì)稱意味著人類也能達(dá)到同樣的完美（圖6b）。外爾報(bào)告了一個(gè)關(guān)于古代神廟的類似傳說(shuō)。在圖6b中，箭頭指向一個(gè)沒有對(duì)稱的圖案；這是“阿里”（先知穆罕默德的女婿，在什葉派伊斯蘭教中備受推崇）的名字。

我們的第三個(gè)例子可以追溯到薩珊王朝的建立：公元226年，阿爾達(dá)希爾一世成為國(guó)王。幾年后雕刻的石頭浮雕講述了這個(gè)故事[Bier 1993],仿佛這是一個(gè)傳說(shuō)：阿爾達(dá)希爾國(guó)王從波斯天空之神阿胡拉·馬自達(dá)那里得到了一枚戒指(圖7)。

圖7 阿胡拉·馬自達(dá)(右)和阿爾達(dá)希爾一世(左)，納克什·魯斯塔姆(伊朗)

對(duì)稱性占主導(dǎo)地位，將國(guó)王描繪成與神平等的形象；但這一幾何規(guī)則卻被彎曲了兩次：

- 首先，與馬的前腿形成對(duì)比，就像在鏡子中看到的一樣（阿爾達(dá)希爾的馬的左腿抬起，正對(duì)著阿胡拉·馬茲達(dá)的馬的右腿抬起），戒指是從右手給到右手的，象征的力量具有更高的優(yōu)先權(quán)。外爾用了幾頁(yè)篇幅討論了他所謂的“左右數(shù)學(xué)哲學(xué)”[1952:20-25]；

- 其次，仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)更微妙的跡象：皇帝實(shí)際上比阿胡拉·馬茲達(dá)小一點(diǎn)，以示尊重。這在政治上非常巧妙！

讓我們回到一種理論上的完美對(duì)稱，即水作為一面鏡子所產(chǎn)生的完美對(duì)稱。沒有人比波斯建筑師更精通這一概念了！1632年在印度阿格拉建造的泰姬陵是世界上最完美的建筑，它的影響力毋庸置疑。

在半荒漠地區(qū)，由于缺水，這一大膽的計(jì)劃具有更高的價(jià)值。我們還可以注意到，它是下文所考慮的多邊形對(duì)稱性的友好入門，因?yàn)樵谒羞@些情況下，所產(chǎn)生的兩個(gè)正交線反射生成一個(gè)四元素組（所謂的克萊因四元素組 K = R2 x R2；有關(guān)組的精確定義和克萊因四元素組的 Cayley 表，見附錄），該組在其所有變換中都保留了正面視圖（圖 8、9、10）。在伊斯法罕，Chehel Sutun 宮（1647 年在阿巴斯二世統(tǒng)治下建成，見下圖 19a）的綽號(hào)“40柱宮”就源于這種對(duì)稱性，因?yàn)樗挥?0根柱子，而正面的倒影池中卻有鏡面反射！還有什么其他技巧能讓我們有機(jī)會(huì)在伊斯法罕的宮殿中看到這種對(duì)稱性呢？還有什么其他方法能讓我們有機(jī)會(huì)在建筑物的正面看到這組柱子呢？

圖8. 納迪爾·迪萬(wàn)·貝格清真寺，布哈拉（烏茲別克斯坦）

圖9 星期五清真寺，克爾曼（伊朗）

圖10 亞茲德附近的 Ateshkadeh 拜火教寺廟（伊朗）

平移和旋轉(zhuǎn)

平移是繼反射之后最簡(jiǎn)單的幾何變換，因此外爾接下來(lái)要研究平移。作為一個(gè)在平移及其迭代下不變的圖形的例子，他提到了蘇薩的大流士宮[Weyl 1952: 49, 圖 25]，但他也可以選擇波斯波利斯：阿帕達(dá)納樓梯提供了各種例子，從最基本的（圖11a，水平重復(fù)的單一形式）到最不尋常的，其中平移矢量的方向既不是水平也不是垂直的（圖 11b）！

圖11a、b：波斯波利斯的樓梯（伊朗）

當(dāng)然，圖11b中的圖案并不完全相同，因?yàn)橹Я鳛榇笸踹\(yùn)送著各種禮物。

在蘇薩的浮雕中，外爾展示了一個(gè)“基本”圖案（即通過(guò)一次平移迭代生成整幅圖畫的最小單位）的案例，該圖案由兩名士兵組成，他們的服裝有所區(qū)別。我們可以在《阿帕達(dá)納》中找到這種對(duì)稱圖案的一種新的實(shí)現(xiàn)方式，在該圖中，手持盾牌的波斯士兵與麥地亞戰(zhàn)士交替出現(xiàn)（圖12a）。如果考慮到服裝的長(zhǎng)度和帽子的形狀，我們還可以在圖11b中看到這種對(duì)稱模式。在埃蘭文明時(shí)期（公元前13世紀(jì)）的蘇薩發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更古老但更復(fù)雜的例子，其中的圖案單元由三個(gè)站立的人物組成（圖12b）。

圖12a 波斯波利斯(伊朗)，阿帕達(dá)納，阿切曼尼期

圖12b 蘇薩（伊朗），阿帕達(dá)納，埃蘭王朝時(shí)期（巴黎盧浮宮博物館）

早在幾個(gè)世紀(jì)之前，居住在后來(lái)成為赫梯帝國(guó)一部分的地區(qū)的人們就創(chuàng)作了具有類似對(duì)稱圖案的浮雕。安納托利亞中部赫梯人的浮雕、其后裔在現(xiàn)在的土耳其東部地區(qū)的浮雕以及美索不達(dá)米亞亞述人的浮雕都是阿契美尼德帝國(guó)波斯藝術(shù)的源頭，阿契美尼德帝國(guó)吸收了其前身的藝術(shù)傳統(tǒng)。沿著時(shí)間軸再往前走，我們會(huì)在比夏普爾的薩珊浮雕中發(fā)現(xiàn)精美的平移馬（圖 13）。

圖13 薩珊王朝浮雕，比夏普爾（伊朗）

然而，完美平移圖案的藝術(shù)可以追溯到更久遠(yuǎn)的美索不達(dá)米亞文明：平移是滾動(dòng)圓筒形印章的自然結(jié)果，其功能是在粘土文件上留下真實(shí)的簽名。美地亞和波斯的圓筒形印章也同樣使用對(duì)稱性。從幾何學(xué)的角度來(lái)看，一次完整的旋轉(zhuǎn)可以印出圖案，而每一次連續(xù)的旋轉(zhuǎn)則可以印出平移。圖 14展示了一個(gè)帶有怪獸獅子的例子。

圖14 伊拉克烏魯克的圓柱形印章（公元前4000至3000年）（巴黎盧浮宮博物館）

這個(gè)例子展示了線條反射和平移的結(jié)合，因?yàn)榛緢D案本身具有垂直線條對(duì)稱性：由于這種對(duì)稱性無(wú)法通過(guò)旋轉(zhuǎn)印章來(lái)處理，因此設(shè)計(jì)了兩只動(dòng)物面對(duì)面、頸部相扣的雕刻。

多邊形對(duì)稱

事實(shí)上，外爾的研究方向恰恰相反。他從每個(gè)長(zhǎng)度為 a 的平移圖案開始，想象將其應(yīng)用于圓周長(zhǎng)為 a 的倍數(shù)（例如 na）的圓柱體的結(jié)果，從而引入有限群 Rn 和 Dn。前者是一個(gè)由 n 個(gè)元素組成的循環(huán)群，即 Id、r、r2、...rn-1（rr 是一個(gè)旋轉(zhuǎn)，使得 r n=Idd ）；后者是二面體群，即使 n 邊多邊形不變的所有對(duì)稱群：它有 2n 個(gè)元素，即 Rn 中的 n 個(gè)旋轉(zhuǎn)和 n 個(gè)軸通過(guò)旋轉(zhuǎn)定點(diǎn)的線反射。外爾認(rèn)為，達(dá)芬奇在研究教堂的對(duì)稱性時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這些是平面中唯一的有限對(duì)稱群這一事實(shí)[1952: 66]。外爾補(bǔ)充說(shuō)：“在建筑中，4 的對(duì)稱性占主導(dǎo)地位”[1952: 65]。

轉(zhuǎn)念一想，這可能會(huì)讓人感到驚訝：以長(zhǎng)方形為基礎(chǔ)的古跡比以正方形為基礎(chǔ)的古跡要多得多。當(dāng)然，這必須理解為 “在正多邊形中”。方形古跡幾乎存在于所有文明中，即使是那些毫不相干的文明也不例外，但中亞有兩處方形古跡瑰寶：伊朗蘇薩附近 Chogha Zambil 的金字形城堡（圖 15）和烏茲別克斯坦布哈拉伊斯梅爾一世及其繼承者的薩曼尼王朝陵墓（圖 16）。Chogha Zambil 約建于公元前1250年，由埃蘭人建造；布哈拉的陵墓建于公元 905 年；這兩座陵墓都采用了D4對(duì)稱群。

圖15 Chogha Zambil，蘇薩附近（伊朗）

圖16 伊斯梅爾·薩馬尼陵墓，布哈拉（烏茲別克斯坦）

如果我們只研究裝飾而不是建筑物的總體形狀，還可以發(fā)現(xiàn)其他Dn的出現(xiàn)。例如，在建于公元 1312年的伊朗索爾塔尼耶著名的奧爾杰圖陵墓的天花板上就有 D6 組圖案（圖 17）。

圖17 奧爾杰圖陵墓，索爾塔尼耶（伊朗）

我們還可以在六芒星的中心觀察到一個(gè)D12不變圖形：藝術(shù)家暗中利用了D12是D6群的一個(gè)子群這一事實(shí)！陵墓本身是以D8不變八邊形為基礎(chǔ)的，這可能是繼正方形之后建筑師最常使用的正多邊形；吉爾吉斯共和國(guó)天山的布拉納塔（圖18）底座就是一個(gè)美麗的D8例子。這座塔建于9世紀(jì)末，是被地震毀壞了一半的尖塔的一部分，它顯示了波斯建筑的影響向東方傳播得有多遠(yuǎn)。

圖18 布拉納塔（吉爾吉斯共和國(guó)）

正如外爾所說(shuō)，奇數(shù)n的出現(xiàn)要少得多，這似乎有點(diǎn)奇怪，因?yàn)槲暹呅蔚臉?gòu)造方法在希臘傳統(tǒng)和中世紀(jì)波斯都是眾所周知的。五角形和十角形作為裝飾圖案出現(xiàn)在民用和宗教遺跡的天花板和墻壁上的頻率相對(duì)較高。圖19a展示的是伊斯法罕謝赫爾·蘇屯宮殿天花板上的一個(gè)例子（1647 年在阿巴斯二世統(tǒng)治下完工）。

這種帶有五角星和十角星的圖案確實(shí)是經(jīng)典之作；從西邊的土耳其到東邊的中國(guó)新疆都有記載。印度也有這種圖案，如這幅jalii（北非和中東地區(qū)稱為 mashrabiyah 的一種木雕或石雕格子鏤空窗）（圖 19b）所示。這是 D10 不變圖案（大十角星）和 D5 星的混合體，巧妙地用四邊形完成（用五角星密鋪平面是不可能的）。

圖19 a左)伊斯法罕切赫爾蘇通宮(伊朗)；b右)城市宮殿，賈布爾(印度)

伊朗亞茲德星期五清真寺的伊旺（伊斯蘭教紀(jì)念碑中的一種拱頂大廳）上有幾顆七芒星（圖 20）。墻壁本身飾有 D10 圖案，但訣竅在于將 D77 圖案插入屋頂內(nèi)部，因?yàn)榇颂幙臻g縮小，無(wú)法再插入十邊形圖案。幾乎沒有人--也許只有數(shù)學(xué)家？- 會(huì)注意到這一 “微小 ”的變化；相反，他們看到的是一個(gè)完美的密鋪圖案。我們可能會(huì)問，為什么七芒星或七角星如此罕見，因?yàn)槿藗兛隙ㄖ澜频臉?gòu)造。下面兩個(gè)早期的例子（圖 21 和 22）展示了對(duì)這些圖形的完美掌握：盧浮宮的作品（圖 21）一面展示了七角形的構(gòu)造，另一面展示了六角形的構(gòu)造，并附有楔形文字注釋。

圖20 星期五清真寺，亞茲德（伊朗），上方有幾顆七角星，下方有十角星，如圖所示

圖21（左） 蘇薩泥板（巴黎盧浮宮）上的七角形結(jié)構(gòu)。

圖22（右） 尼姆魯?shù)虑嚆~碗，新亞述時(shí)期，公元前9-8世紀(jì)（紐約大都會(huì)藝術(shù)博物館）

無(wú)反射旋轉(zhuǎn)

追逐Rn意味著在稀缺性上更進(jìn)一步。然而，自人類誕生以來(lái)，Rn但非Dn不變的圖案就一直吸引著人們：“賦予這些圖案神奇力量的根源似乎在于它們驚人的不完全對(duì)稱--沒有反射的旋轉(zhuǎn)"[Weyl 1952: 67]。

當(dāng)你進(jìn)入亞茲德時(shí)，你經(jīng)常會(huì)聽到當(dāng)?shù)厝说目湟涸谌魏蔚胤蕉紱]有像亞茲德這樣的清真寺。從我們的幾何角度來(lái)看，這當(dāng)然是真的：我們?cè)谛瞧谖迩逭嫠碌拿坠忌习l(fā)現(xiàn)了一個(gè)R6不變圖案（圖 23a），在阿米爾·查赫馬格清真寺令人印象深刻的 pishtaq上也發(fā)現(xiàn)了類似的圖案（圖 23b）。

圖23 a上）星期五清真寺，米哈拉布細(xì)節(jié)，亞茲德（伊朗）；b下）阿米爾·查赫馬格清真寺，亞茲德（伊朗）

在同一個(gè)紀(jì)念碑中，我們可以找到最常見的 Rn 不變圖案，n = 4（圖 24）。另一個(gè)漂亮的圖案出現(xiàn)在伊斯法罕的沙赫清真寺兩個(gè)pishtaq之間的走廊上（圖 25）。

圖24（左）伊朗亞茲德的Amir Chakhmagh清真寺 圖 25（右） 伊朗伊斯法罕沙阿清真寺

當(dāng)然，對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，最吸引人的圖案是伊斯法罕星期五清真寺西側(cè)的花壇（圖26a）：除了其固有的美之外，它還提供了阿布·瓦法（Abu Al-Wafa，940-998 年）對(duì)勾股定理的著名演示（圖 26b）。他的名著《對(duì)工匠有用的幾何構(gòu)造》（Kitab Fi Ma Yahtaju Al-Sani Min Al-a Mal Al-Handasiyyaa）廣受歡迎，建筑師或工匠無(wú)需專業(yè)數(shù)學(xué)家的幫助即可使用，而這本書正是為此目的而寫的。

圖26a 伊朗伊斯法罕星期五清真寺

圖26b 伊朗伊斯法罕星期五清真寺，西伊萬(wàn)的詳細(xì)圖案

裝飾對(duì)稱

雙向平移與上述有限群的結(jié)合產(chǎn)生了壁紙群；這些群與通過(guò)重復(fù)單個(gè)圖案在平面上鋪設(shè)瓷磚的不同方式有關(guān)。如果瓷磚是正多邊形，它們只能是等邊三角形、正方形或六邊形；后者最美麗的例子可以在撒馬爾罕的烏魯格·貝格學(xué)校（madrasaa 是一所伊斯蘭教學(xué)院，不僅教授神學(xué)，還教授文學(xué)、詩(shī)歌和科學(xué)）中找到，該學(xué)校建于公元 1420 年。鏤空的磚砌欄桿（圖 27）確實(shí)是一位革命王子的創(chuàng)意，因?yàn)樗〈送ǔ５母叽髨?jiān)固的墻壁，使人無(wú)法看到里面或外面的情況：它的建筑功能是使學(xué)者們與喧鬧的市場(chǎng)保持某種程度的隔離，同時(shí)在精英階層和人民之間保持某種象征性的社會(huì)聯(lián)系。

圖27 從撒馬爾罕（烏茲別克斯坦）Ulugh Beg 伊斯蘭學(xué)校（建于公元 1420 年）的開放式磚砌結(jié)構(gòu)中看到的 Shir Dor 伊斯蘭學(xué)校（建于公元 1636 年）。

不要以為這是這座宗教學(xué)校中唯一具有幾何趣味的物品：在室內(nèi)墻壁上工作的藝術(shù)家們對(duì)裝飾性幾何有著深刻的理解，他們創(chuàng)造出了不同規(guī)則形狀的排列方式，這些形狀都不能單獨(dú)用來(lái)鋪貼平面，但如果將它們組合在一起，形成一個(gè)可以向兩個(gè)方向轉(zhuǎn)換的圖案，就能起到鋪貼平面的作用：這一點(diǎn)在圖 19 和 19b 中已經(jīng)有所體現(xiàn)。在圖 19a 和 19b 中已經(jīng)可以看到這一點(diǎn)。我們?cè)谝粋�(gè)伊旺的內(nèi)壁上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很好的例子，其基本圖案是由五邊形、六邊形和正三角形組合而成的，正三角形里面還有七邊形（圖 28b）！

圖28. a，上圖）烏魯格·貝格及其天文小組的雕像，撒馬爾罕（烏茲別克斯坦）烏魯格·貝格學(xué)校；b，右圖）拼塊細(xì)節(jié)，伊萬(wàn)內(nèi)墻

盡管在純粹的宗教紀(jì)念碑中使用了非常復(fù)雜的傾斜結(jié)構(gòu)，但很難讓人相信這些作品與親王對(duì)天文學(xué)和數(shù)學(xué)的深刻理解毫無(wú)關(guān)系。很難相信這些作品與王子對(duì)天文學(xué)和數(shù)學(xué)的深刻理解毫無(wú)關(guān)系： 烏魯克·貝格（Ulugh Beg，1393-1449 年）是帖木兒·冷（Timur-Leng）的孫子，他致力于科學(xué)事業(yè)，1409-1447 年擔(dān)任撒馬爾罕總督期間，他設(shè)法獲得了建造天文臺(tái)的資金，安排了宗教學(xué)校的建設(shè)，并召集了一支由70名天文學(xué)家組成的研究團(tuán)隊(duì)在天文臺(tái)工作！在這些杰出的學(xué)者中，有天文學(xué)家卡迪·扎達(dá)·魯米（Qadi-Zada-al-Rumi，1364-1436 年）和數(shù)學(xué)家阿爾·卡希（Al-Kashi，1380-1450 年），后者可被視為著名的逐次逼近法之父。他設(shè)計(jì)了這種方法來(lái)計(jì)算正弦 (1°)，精確到十分之一位，比開普勒（1618 年）早了約 200 年。六百年后的今天，這種方法仍然是計(jì)算天文學(xué)中或多或少?gòu)?fù)雜方程的根的標(biāo)準(zhǔn)方法。

密鋪法可能有一個(gè)基于正方形的底層網(wǎng)格，但這并不意味著固定一個(gè)點(diǎn)的變換子群必須是正方形的對(duì)稱群，即D4。如，在圖29 a、b中，布拉那塔的盲拱(見圖18)僅顯示了旋轉(zhuǎn)和平移不變性，沒有任何反射:如果我們將圖29b中的紅點(diǎn)視為基本正方形的角，則使其保持不變的對(duì)稱是R4群。

圖29 a） 布拉納塔的盲拱門（吉爾吉斯共和國(guó)）；b） 磚飾細(xì)節(jié)

雖然布拉納塔不在波斯境內(nèi)，但它的磚砌結(jié)構(gòu)是公元1000年左右中亞伊斯蘭教的典型特征。例如，與布哈拉薩曼王朝陵墓的磚砌圖案相比，其受波斯影響的程度顯而易見。這些對(duì)稱圖案與外爾的圖 66 [1952: 114] 中的“mauresque”圖案相差無(wú)幾，具有相同的不變?nèi)�，在壁紙群理論中被�?jīng)典地命名為p4。

在莫臥兒王朝的古跡中，可以看到許多此類圖案的組合，例如阿格拉附近的阿克巴陵墓（建于公元 1613 年），其總體規(guī)劃和裝飾都很容易辨認(rèn)出波斯風(fēng)格的影響（圖 30）。在這里，藝術(shù)家將對(duì)幾何圖形的喜好與對(duì)自然和花卉的喜好融為一體。正如外爾（Weyl）[1952: 58]所指出的，花卉經(jīng)常具有5或6次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性！仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，D5、D6 和 R6 在局部都有出現(xiàn)。請(qǐng)看花瓣的輕微旋轉(zhuǎn)！注意平移時(shí)的垂直不變性。

圖30 錫克安德拉（印度阿格拉附近）的阿克巴陵墓

另一個(gè)例子是舉世聞名的阿格拉泰姬陵，它反映了帖木兒王朝陵墓的影響；據(jù)說(shuō)其首席建筑師烏斯塔德·艾哈邁德·拉哈里是波斯人。

最后一個(gè)例子是諾·貢巴德（No-Gonbad）附近的商隊(duì)客棧（圖 31），在這里我們可以看到轉(zhuǎn)譯和對(duì)稱，以及角樓周圍纏繞的圖案。請(qǐng)注意，塔樓頂部的“箭頭”是根據(jù)穿過(guò)大門的（虛擬）垂直面的平面反射而指向的。

圖31. 伊朗亞茲德至伊斯法罕公路上的 No-Gonbad

規(guī)模變化

在談到三維空間和相似群時(shí)，赫爾曼·外爾不再提及建筑，而是大自然的作品、花朵和貝殼。不過(guò)，建筑中也有這樣的例子：建于公元1778年的中國(guó)新疆吐魯番艾明尖塔就是一個(gè)很好的磚砌例子（圖 32）。它的圓錐形通過(guò)一組連續(xù)的相似點(diǎn)來(lái)確保其不變性（這些相似點(diǎn)的共同中心是一個(gè)虛擬點(diǎn)，即圓錐的頂點(diǎn)；塔樓只是圓錐頂點(diǎn)的截?cái)嗖糠郑u砌突起物在其上形成圓錐螺旋形。與塔的垂直軸似乎有一個(gè)恒定的角度，建筑師注意保持這個(gè)角度。這是螺旋線的基本特性，每個(gè)系列都通過(guò)離散的子群保持不變--一個(gè)在右轉(zhuǎn)時(shí)增長(zhǎng)，另一個(gè)在左轉(zhuǎn)時(shí)增長(zhǎng)。

圖32 中國(guó)新疆吐魯番艾明尖塔的兩幅視圖

從幾何到抽象群

當(dāng)然，我們不會(huì)在古波斯的道路上找到與外爾書中最后一章提到的主題之一--群論在相對(duì)論或量子力學(xué)中的應(yīng)用--的任何聯(lián)系。我們也找不到發(fā)生在2.0世紀(jì)的群論本身的非凡發(fā)展。在外爾于1955年逝世后的30多年里，有限群分類的斗爭(zhēng)才告一段落。然而，外爾的最后一個(gè)課題伽羅瓦理論與外爾有著精神上的聯(lián)系，因?yàn)樗婕按鷶?shù)方程的可解性：別忘了，為了說(shuō)明波斯的這些對(duì)稱群，我們?cè)诖鷶?shù)學(xué)的故鄉(xiāng)--來(lái)自花剌子模的代數(shù)學(xué)之父阿赫瓦里茲米（al-Khwarizmi，公元780-850年）的故鄉(xiāng)，以及來(lái)自呼羅珊的尼沙布爾的奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyam，公元 1048-1131 年）的故鄉(xiāng)--旅行過(guò)。歐瑪爾·海亞姆是第一個(gè)嘗試解三次方程（即三度方程）的人。

但是，盡管看起來(lái)很不尋常，我們卻在波斯遇到了對(duì)稱性科學(xué)的重大最新進(jìn)展。外爾的最后一章題為 "晶體，對(duì)稱的一般概念"。在他的著作出版30年后，1982年，人們發(fā)現(xiàn)了準(zhǔn)晶體。2011 年，也就是30年后，丹·謝赫特曼（Dan Shechtman）因這一發(fā)現(xiàn)獲得了諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。準(zhǔn)晶體的生長(zhǎng)可以用彭羅斯密鋪（Penrose tilings，1976 年）來(lái)建模，即沒有任何平移不變性的結(jié)構(gòu)化平面圖。這些拼塊使用有限數(shù)量的拼塊形狀，包括五邊形和十邊形。只要想想一個(gè)頂點(diǎn)上的角度之和，就可以很容易地證明，沒有一種規(guī)則的拼塊只能使用這種拼塊�，F(xiàn)在，最令人吃驚的事實(shí)來(lái)了：幾位研究人員（首先是馬科維奇[1992]和博納[2003]，后來(lái)是彼得·盧和彼得·斯坦哈特[2007]）在中世紀(jì)伊斯蘭建筑遺跡中發(fā)現(xiàn)了這種拼塊的圖像（稍作調(diào)整），最早可追溯到馬拉加的貢巴德·卡布德（Gonbad-e Kabud）（12 世紀(jì)）；最常被引用的是后來(lái)的伊朗伊斯法罕 Darb-i-Imam 神殿（圖 33）（1453 年）！

圖33 伊朗伊斯法罕的 Darb-i-Imam 神殿。

結(jié)論

外爾的目標(biāo)是向讀者展示，文明史與科學(xué)和對(duì)稱性研究的最新進(jìn)展之間存在著某種隱秘而深刻的聯(lián)系。在我們這個(gè)高度專業(yè)化研究和知識(shí)分門別類的時(shí)代，科學(xué)領(lǐng)域的學(xué)者與歷史、藝術(shù)和建筑領(lǐng)域的學(xué)者之間的互動(dòng)在統(tǒng)計(jì)上仍然是個(gè)例外；毫無(wú)疑問，不僅普通大眾不知道它們，就連選定的讀者也很難想象它們。外爾是極少數(shù)試圖在數(shù)學(xué)家和普通人之間架起橋梁的人之一，這一使命必須繼續(xù)下去。去波斯旅行是與外爾著作的精神保持聯(lián)系的一種輕松愉快的方式，因此，讓我們希望那些研究群論的人會(huì)想去發(fā)現(xiàn)波斯的建筑，而波斯的游客會(huì)渴望對(duì)群論有一個(gè)基本的了解！

附錄： 關(guān)于群

群的誕生簡(jiǎn)史

最早提出群的是拉格朗日（1770 年）、柯西（1815 年）和伽羅瓦（1830 年）。他們都關(guān)注五階及五階以上代數(shù)方程。他們開始研究多項(xiàng)式根的排列組合，而伽羅瓦是第一個(gè)把解這類方程的明確公式的存在與排列組合群的研究聯(lián)系起來(lái)的人。值得注意的是，盡管伽羅瓦的解法很精彩，但卻很乏味，他并沒有給出 “群”（group）一詞的精確定義，直到凱雷（1854 年）才給出了這一定義。

理解群論的另一個(gè)來(lái)源是對(duì)幾何變換的研究，主要由克萊因（1870 年）負(fù)責(zé)。

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[Wallpaper Groups]: http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group#cite_ref-0

[Wallpaper Groups]: http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/index.html

最后照例放些跟張大少有關(guān)的圖書鏈接。

青 山 不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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