只要功夫深，通法有奇效

2025年上海中考數(shù)學(xué)第25題

在金庸武俠小說《天龍八部》中，有這么一段描寫：“喬峰見旁人退開，驀地心念一動(dòng)，呼的一拳打出，一招‘沖陣斬將’，也正是‘太祖長拳’中的招數(shù)。這一招姿勢既瀟灑大方已極，勁力更是剛中有柔，柔中有剛，武林高手畢生所盼望達(dá)到的拳術(shù)完美之境，便在這一招中表露無遺。來到這英雄宴中的人物，就算本身武功不是甚高，見識也必廣博，‘太祖拳法’的精要所在，可說無人不知。喬峰一招打出，人人都情不自禁地喝了一聲彩！”

太祖長拳是宋太祖所創(chuàng)，本是軍中所用的基本武術(shù)，在宋朝自然很多人知道，但很多人知道，并不代表很多人能用好它。喬峰之所以能將最普通的一抬使得如此精彩，招式本身并不是關(guān)鍵，自身的功夫才是精髓。

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們會(huì)用到很多這種類似太祖長拳的基本方法，在教材的例題和習(xí)題中，到處是它的影子，我們稱之為通法，哪怕到了最燒腦的幾何壓軸題，通法依然是最有效的工具，下面以2025年上海中考數(shù)學(xué)第25題為例，這道題解法眾多，本文只選取其中一種來說明通法的重要性。

題目

如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)時(shí)

①連接EF，若AE=EF，求證：∠BAE=∠EFC；

②若CF=DF，連接BF交AE于點(diǎn)G，求S△BGE：S△AEF的值；

(2)若AB=3，BC=5，CF=1，且∠AEB=∠EFA=∠EFC，求AF的長.

解析：

01

(1)當(dāng)點(diǎn)E是中點(diǎn)時(shí)，屬于特殊位置.

①通常情況下，證明兩個(gè)角相等，我們希望這兩個(gè)角能產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，全等三角形或特殊三角形都可以，因此延長AE，交DC延長線于點(diǎn)G，如下圖：

易證△ABE≌△GCE，于是AE=GE，∠BAE=∠G，再根據(jù)題目中的AE=EF得EG=EF，于是∠G=∠EFC，所以∠BAE=∠EFC；

②現(xiàn)在E和F點(diǎn)均為中點(diǎn)，我們?nèi)匀谎赜们懊娴妮o助線，如下圖：

先證明△ABG∽△HFG，并且可得它們的相似比為2:3，于是AG:HG=2:3，設(shè)AG=2k，HG=3k，前面又證明過AE=HE，于是AG+EG=HG-EG，所以2EG=HG-AG，可知EG=1/4AG，即EG=1/5AE；

接下來看面積間的關(guān)系，S△BGE=1/5S△ABE，而S△ABE=S△HCE，由CF:CH=1:2，可知S△HCE=2/3S△EFH，恰恰S△AEF=S△EFH，于是它們間的關(guān)聯(lián)建立起來了，S△BGE=1/5S△ABE=1/5S△HCE=1/5×2/3S△EFH=2/15S△EFH=2/15S△AEF，即S△BGE:S△AEF=2:15

02

(2)條件讀完，發(fā)現(xiàn)EF是∠AFC的角平分線，且又夾在一組平行線間，所以當(dāng)我們延長FE之后，便可得到一個(gè)等腰三角形，如下圖：

容易得到圖中的△AFG為等腰三角形，不妨設(shè)AF=x，于是AG=x，BG=x-3；

我們同樣從題目條件可判斷三組相似三角形，分別是△AEF∽△ECF，△ABE∽△AEG，△EBG∽△ECF，其中第一對相似三角形包含了我們需要的AF，由△AEF∽△ECF得AE:EC=EF:CF和EF2=AF·CF，即EF2=x，EF=√x，再由△ABE∽△AEG得AE2=AB·AG，通過圖中的等腰△AFG得AG=AF=x，于是AE2=3x，則AE=√3x，將所得EF和AE代入到比例式AE:EC=EF:CF中，可求出EC=√3，于是BE=5-√3，再利用△EBG∽△ECF，得BG:CF=BE:CE，可求出x=2+5√3/3.

解題思考

本題解法眾多，所選取的解法從輔助線上來看，均可認(rèn)為是“中線倍長”法的變式，事實(shí)上這個(gè)方法追根溯源，在八年級上冊的全等三角形章節(jié)，而在八年級下冊平行四邊形章節(jié)中，它也屬于常見方法，學(xué)生在平時(shí)練習(xí)中，也大量使用過。中線倍長的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，特別是在本題中，還存在平行四邊形，角平分線等條件，因此延長之后可得到的全等、相似非常多，這些輔助線構(gòu)造出來的新條件，就可用于圖形間的等量轉(zhuǎn)換.

我們在課堂教學(xué)中，通常經(jīng)由例題和習(xí)題，傳授給學(xué)生基本的方法，這些方法可稱之為通法，但方法“通”與“不通”，取決于老師在課堂上是否分析透徹，從方法使用的必要性入手，即為什么要用這種方法，再從方法使用的多樣性出發(fā)，即在不同圖形情景中，尋找或創(chuàng)造使用方法的條件，最后是歸納方法使用的經(jīng)驗(yàn)，完成方法變通法的閉環(huán)。

在這個(gè)過程中，避免方法套路化，例如見中線就倍長，其實(shí)出現(xiàn)中點(diǎn)條件之后，也有可能是構(gòu)造中位線、斜邊上的中線甚至圓，在教學(xué)中盡可能留給學(xué)生足夠的思考空間，讓學(xué)生自已完成解題經(jīng)驗(yàn)的積累，只有這一步進(jìn)行到位，方法才會(huì)變通法。