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練習(xí)

題目：設(shè)函數(shù) , 求 的定義域 , 并判斷 在 處是否可導(dǎo) , 如果可導(dǎo), 求 ; 如果不可導(dǎo) , 請(qǐng)說明理由.

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練習(xí)參考簡答

題目：設(shè)函數(shù) , 求 的定義域 , 并判斷 在 處是否可導(dǎo) , 如果可導(dǎo), 求 ; 如果不可導(dǎo) , 請(qǐng)說明理由.

[分析及解答]: 由于 ，故 的定義域?yàn)?. 又函數(shù)為初等函數(shù)，故在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，即 在 內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，從而 在 處可導(dǎo)。

那么，對(duì)于 的值的計(jì)算是否可以采取“先求后代”(即先求導(dǎo)函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)值)的方法來計(jì)算呢？對(duì) 求導(dǎo)，得

由上式可知， 在 處沒有定義，故不能采用“先求后代”的方法來求 . 那應(yīng)該如何計(jì)算呢？

其實(shí)，由函數(shù)的表達(dá)式不難看到咱們熟悉的絕對(duì)值函數(shù)的初等函數(shù)描述式，即 ，對(duì)它連續(xù)性可導(dǎo)性的討論是以 為分界點(diǎn)，分區(qū)間討論來討論. 故該函數(shù)在 處可導(dǎo)性的討論與導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算也應(yīng)該考慮定義法比較合適. 于是

從而可知， 在 可導(dǎo)，且 .

事實(shí)上，不能利用先代后求來求函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù)值的原因可以歸結(jié)為它不符合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的條件，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的定理如下：

定理 如果 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，而 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 .

而在該題中，當(dāng)令 時(shí)，中間函數(shù) 在 處不可導(dǎo)，故不能直接應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，只能考慮定義法來求其導(dǎo)數(shù)值.

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