全等相似總相宜

2025年北京中考數(shù)學(xué)第27題

我們?cè)诎四昙?jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)全等三角形之后，在七年級(jí)基礎(chǔ)上，對(duì)于幾何圖形中的線段、角之間的關(guān)系又有了新的轉(zhuǎn)換工具，而在九年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)了相似三角形之后，初中階段的基本幾何變換模型“手拉手”便相對(duì)完備了，當(dāng)然，對(duì)于模型的建立，需要以學(xué)生視角，即引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)模型并會(huì)運(yùn)用模型，而不是機(jī)械記憶模型套路。

一道幾何綜合題，首要難關(guān)便是“如何想到”，讀題之后，題目條件能否在腦海中形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)尤為重要，我們并不期待學(xué)生拿到題目之后第一時(shí)間去套用模型，近年來(lái)許多省市的中考題，已經(jīng)針對(duì)這種見(jiàn)題套模型進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，因此，仔細(xì)審題，用數(shù)學(xué)思維去理解題目中的幾何元素間的關(guān)系，是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。

題目

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，點(diǎn)D在射線BC上，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-2α得到線段AE(點(diǎn)E不在直線AB上)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交直線BC于點(diǎn)F.

(1)如圖1，α=45°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，求證：BF=AC；

(2)如圖2，點(diǎn)D，F(xiàn)都在BC的延長(zhǎng)線上，用等式表示DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)由題目條件可知△ABC是等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)角∠CAE=90°，于是AE∥BC，再加上AB∥EF，得平行四邊形ABFE，于是BF=AE，而AE=AC，所以BF=AC；

02

(2)方法一：

由旋轉(zhuǎn)條件出發(fā)，既然線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-2α可以得到線段AE，不妨將線段AB也旋轉(zhuǎn)，如下圖：

在BC延長(zhǎng)線上截取CG=CB，連接AG，這樣可得到等腰△ABG，其中頂角∠BAG=180°-2α，我們達(dá)到了將線段AB旋轉(zhuǎn)至AG的目的，再連接BE，很容易證明△ABE≌△AGD，于是BE=DG，∠AEB=∠D，∠BAE=∠GAD，再由AB∥EF，得∠AEF=∠BAE，對(duì)于∠BEF，有∠BEF=∠AEF+∠AEB

=∠BAE+∠D=∠GAD+∠D=∠AGB=∠ABC=∠BFE，我們又得到了一個(gè)新的等腰△BEF，于是BE=BF；

接下來(lái)我們來(lái)探究DF與BC的關(guān)系，由DF出發(fā)，DF=BD-BF，其中BD=DG+BG=DG+2BC，而B(niǎo)F=BE=DG，所以DF=2BC.

方法二：

仍然由旋轉(zhuǎn)條件出發(fā)，連接DE后得到等腰△ADE，同樣構(gòu)造等腰△ABG，如下圖：

類(lèi)似方法一，我們?nèi)匀豢傻谩螧AG=180°-2α，因此這兩個(gè)等腰三角形相似，即△ADE∽△AGB；

由∠AGD=180°-α，∠DFE=180°-α，而∠ADE=α可知∠ADG=α-∠EDF，同時(shí)∠BFE=α可知∠DEF=α-∠EDF，所以∠ADE=∠DEF，可證△ADG∽△DEF；

這兩對(duì)相似三角形分別可得到比例式AD:DE=AG:DF和AD:AG=DE:GB，將后一個(gè)比例式變換得AD:DE=AG:GB，再對(duì)比兩個(gè)比例式，不難得到DF=GB，所以DF=2BC.

解題思考

本題解法并不唯二，還有更多很好的思路，不再重復(fù)，有興趣的老師們可自行嘗試，僅就這兩種解法分別說(shuō)明思路如何得到.

這道題總體上來(lái)講并不難，題目中的線索有一條很重要，那就是旋轉(zhuǎn)角180°-2α，我們?cè)谘芯康妊切蝺?nèi)角關(guān)系的時(shí)候，就有過(guò)一個(gè)結(jié)論：頂角=180°-2×底角，這意味著∠ABC=α極有可能使它成為一個(gè)等腰三角形的底角，這便是方法一和二的由來(lái)，構(gòu)造等腰△ABG，在此之后，兩條路擺在面前了，基于等腰△ABG，我們可以從旋轉(zhuǎn)角出發(fā)構(gòu)造“手拉手”模型，連接BE走全等之路，或連接DE走相似之路，題目設(shè)置得很巧，這兩條路都走得通.

但是找準(zhǔn)思路之后并不代表一路順風(fēng)，方法一中的等腰△BEF和方法二中的△ADG∽△DEF，便是學(xué)生可能遇到的障礙，這需要綜合考量題目中給出的條件和已有結(jié)論，此時(shí)AB∥EF的作用就凸顯出來(lái)了，平行線的作用，我們?cè)谄吣昙?jí)的時(shí)候就說(shuō)過(guò)，它是角的搬運(yùn)工，只要目標(biāo)明確，搬運(yùn)起來(lái)并不費(fèi)事.

為什么方法一中我們需要等腰△BEF？因?yàn)槲覀円綄さ腄F與BC間的數(shù)量關(guān)系并沒(méi)有隨著全等三角形完成關(guān)聯(lián)，同樣在方法二中相似三角形不出現(xiàn)，依然沒(méi)有建立起線段DF與BC間的數(shù)量關(guān)系，而在幾何題中，構(gòu)造全等或相似三角形，正是建立線段間數(shù)量關(guān)系的通法.我們?cè)诎四昙?jí)教學(xué)生各種全等三角形的性質(zhì)和判定，九年級(jí)教學(xué)生相似三角形的性質(zhì)和判定之后，有沒(méi)有幫助學(xué)生在腦子里形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這道題可以很有效的區(qū)分出來(lái)，實(shí)際答題中，確實(shí)也存在學(xué)生套用模型得到了全等或相似，但在后續(xù)探索中沒(méi)能成功建立起關(guān)系，原因無(wú)它，當(dāng)年學(xué)習(xí)偷的懶，總會(huì)還.