反套路幾何最值

2025年浙江省中考數(shù)學(xué)第24題

幾何最值問題從我們學(xué)習(xí)基本的幾何概念時(shí)就已經(jīng)存在了，例如在比較線段長短、角度大小時(shí)，新人教版七年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)了線段基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間，線段最短，下冊(cè)又新添了垂線段最短，以及由此推導(dǎo)出更多的關(guān)于幾何最值的結(jié)論，而在九年級(jí)我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)之后，又多了一樣函數(shù)工具來求幾何最值，在實(shí)際解題過程中，圍繞上述工具及其衍生出的各種最值模型，也是各地中考命題常用的素材，所以各種解題套路層出不窮，若僅僅只是機(jī)械訓(xùn)練，而不去深入理解這些最值問題，一旦遇到反套路命題，便只好望題興嘆。

題目

解析：

01

(1)菱形對(duì)角線互相垂直平分，可得AC⊥BD且點(diǎn)O為對(duì)角線中點(diǎn)，如下圖：

在Rt△AOB中，OA=4，AB=5，可求得OB=4，所以sin∠BAC=3/5；

02

(2)①當(dāng)EF⊥AC時(shí)，考慮到BD⊥AC，因此BD∥EF，如下圖：

由BD∥EF可得∠BEF=∠EBD，由軸對(duì)稱可得∠BED=∠BEF，于是∠EBD=∠BED，得到了等腰△EBD，所以BD=ED=6，最后AE=AD+ED=11；

②思路嘗試一：線段差的最值最容易聯(lián)想到的是三角形兩邊之差小于第三邊，而圖中恰好存在△PAB，可知PA-PB

截取PG=PB，連接BG，現(xiàn)在PA-PB=AG，而AG=OA-OG=4-OG，若要讓AG取最小值，則OG必須取最大值，其關(guān)聯(lián)的線段OG在Rt△BOG中，但我們僅已知OB=3，至此我們通過嘗試，得到一種可以將最小值轉(zhuǎn)化為最大值的方法，同時(shí)在Rt△BOG中，OG的長度可通過三角函數(shù)與∠OBG產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，這又是新的思路；

思路嘗試二：雖然未能完全走通，但這輪嘗試，為我們繼續(xù)探究最值問題提供了方向；

由PA-PB=OA+OP-PB=4+OP-PB，其中OP與PB位于Rt△BOP中，若設(shè)PB=x，則OP2=x2-9，意味著我們可以用含x的代數(shù)式分別表示OP和PB，從而將幾何問題代數(shù)化，PA-PB=4+√(x2-9)-x，至此遇到本題難點(diǎn)，若將其看作關(guān)于x的函數(shù)，它并不屬于初中階段的二次函數(shù)，所以通常情況下的函數(shù)最值模型并不適用，一般來講，走到此處的學(xué)生，面臨的是一條“死胡同”；

死路變活：

當(dāng)x減小時(shí)，分母值變小，從而分?jǐn)?shù)值增大，導(dǎo)致PA-PB值減小，于是我們得到了PA-PB與x間的關(guān)聯(lián)，當(dāng)x取最小值時(shí)，PA-PB也取最小值；

那么x(即PB)何時(shí)取最小值呢？

若將線段PB看作點(diǎn)B到直線AC上的點(diǎn)的某條連線，理應(yīng)得到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，取最小值x=3，事實(shí)果真如何？如下圖：

我們作點(diǎn)P關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)P'，并連接BP'，由軸對(duì)稱可知，點(diǎn)P'始終在射線AE上，不可能與點(diǎn)O重合，因此前面所說的“當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)”事實(shí)上不成立；

由于PB=P'B，點(diǎn)P'在定射線AE上，點(diǎn)B為定點(diǎn)，此時(shí)可利用垂線段最短，當(dāng)P'B⊥AE時(shí)，取最小值，如下圖：

此時(shí)P'B看作菱形的高，利用面積法，先求菱形面積為24，再求出P'B=24/5，即當(dāng)x=24/5時(shí)，PA-PB取最小值

最后，我們成功找到了PA-PB的最小值.

解題思考

繼續(xù)前面探究出來的另一條新思路，通過三角函數(shù)行不行？

對(duì)于Rt△BOG，∠OBG的大小并不是隨點(diǎn)E變化而單調(diào)變化，這從我們觀察點(diǎn)P'的射線AE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P'B長度的變化情況可知，即使換到另一個(gè)Rt△BOP，情況依然沒有發(fā)生改變，關(guān)聯(lián)的角隨點(diǎn)E遠(yuǎn)離點(diǎn)D，會(huì)出現(xiàn)變大、變小兩種不同的趨勢，當(dāng)然，利用高中的三角函數(shù)公式可進(jìn)一步化簡，顯然超出范圍了.

即使在我們探究成功的這條思路上，分子有理化仍然不在新課標(biāo)范圍內(nèi)，雖然勉強(qiáng)可以用初中知識(shí)求解，但對(duì)于學(xué)生來講，常規(guī)常法不容易想到，多數(shù)學(xué)生在面對(duì)含根號(hào)的代數(shù)式時(shí)，放棄了進(jìn)一步思考，對(duì)于能成功走到這一步的學(xué)生而言，已經(jīng)達(dá)到初中范圍內(nèi)思維的極限了.

這道題在反套路上，的確做到了完美回避，常見的最值模型基本上都會(huì)遇到障礙，限于本人解題思維能力，暫時(shí)未能從更多角度探索解法，尤其是從純幾何角度，或許本題存在這樣的引導(dǎo)，即用函數(shù)最值來解決.