|作 者：曹則賢

(中國科學(xué)院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第11期

（ 接54卷第10期 ）

3 泡利的等價(jià)性證明

泡利的等價(jià)性證明，見于1926年4月12日泡利至約當(dāng)?shù)囊环庑爬颷B. L. van der Waerden, From Matrix Mechanics and Wave Mechanics to Unified Quantum Mechanics, in Jagdish Mehra (ed.),

The Physicist's Conception of Nature

, Reidel (1973) pp.276—293]。這封信1973年才被發(fā)現(xiàn)。信不長，略述如下。

親愛的約當(dāng)，

…薛定諤的這個(gè)工作可說是最有意義的(diese Arbeit mit zu dem Bedeutendsten z?hlt),請您懷著敬意仔細(xì)地讀它(Lesen Sie sie sorgf?ltig und mit Andacht)。自然要問的是，他的結(jié)果如何同哥廷恩力學(xué)(G?ttinger Mechanik)相聯(lián)系。這個(gè)聯(lián)系我現(xiàn)在覺得想清楚了。由薛定諤的預(yù)設(shè)所得的能量總是與哥廷恩力學(xué)的相同，且由描述本征振動(dòng)的薛定諤函數(shù)

可以簡單、一般的方式構(gòu)造滿足哥廷恩力學(xué)的矩陣。與此同時(shí)，在哥廷恩力學(xué)和愛因斯坦—德布羅意的輻射場之間建立起了相當(dāng)深刻的聯(lián)系。

先略述薛定諤的預(yù)設(shè)。根據(jù)愛因斯坦和德布羅意{原文如此，未知具體指愛因斯坦的哪一篇}一個(gè)能量為

E

動(dòng)量為

P

的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)(滿足等式

E

2 -

P

2

c

2=

m

2

c

4)，，可對應(yīng)一個(gè)頻率為

E

h

波長為

h

P

|的振動(dòng)過程，相速度為{筆者注意到這個(gè)波粒二象性的關(guān)鍵公式，雖然滿足洛倫茲不變，但物理圖像有問題，因?yàn)榱Ｗ舆\(yùn)動(dòng)靜止時(shí)這個(gè)所謂的波有一個(gè)很大但有限的頻率但波長卻是無窮大。后來這個(gè)能量被改為粒子的動(dòng)能部分了，但未說明理由，參見《泡利物理學(xué)講義》卷五}。這樣，德布羅意輻射場的波方程取形式：

考慮到能量—?jiǎng)恿筷P(guān)系，改寫為

一個(gè)處于力場中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，勢能為

E

pot ，能量—?jiǎng)恿筷P(guān)系為，代入得：

相速度{通過

E

pot }依賴于位置。

現(xiàn)在可將薛定諤的預(yù)設(shè)表述為：系統(tǒng)的能量為

E

的量子狀態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)沒有空間奇點(diǎn)的、為時(shí)間正弦函數(shù)的、頻率為

E

h

的德布羅意駐波根據(jù)(C3)式存在時(shí)，才是可能的。

將(C3)式中的

作替代，則

，得：

這是個(gè)關(guān)于可能的取值為

E

hν

的本征值問題。因?yàn)橛?jì)入了電子的靜止能量，這些頻率

是出奇的大( Diese

sind enorm gross, weil in

E

die Ruhenergie des Elektrons mit einbezogen ist){泡利顯然是注意到了這里的問題，但是他的方案沒解決根本問題。物質(zhì)波理論里有內(nèi)在矛盾}。頻率條件稱光波形式上為德布羅意輻射的差頻(Differentzt?ne)。作用量子

h

只出現(xiàn)在狀態(tài)能量與頻率的對應(yīng)關(guān)系中。

忽略相對論修正{把大頭忽略掉，也不問理論的內(nèi)在自洽性問題}，即代入
后作近似，由(C4)式得：

這是薛定諤論文里的方程，文章演示了如何從變分原理得到這個(gè)方程。周期系統(tǒng)的老量子論與基于預(yù)設(shè)(C5)的薛定諤量子力學(xué)之間的差別，從德布羅意輻射的觀點(diǎn)看來，如同幾何光學(xué)與波光學(xué)(Wellenoptik)之間的區(qū)別。當(dāng)?shù)虏剂_意輻射的波長很小時(shí)，對方程(C5)引入預(yù)設(shè)
，若

S

h

是一個(gè)大的值，則根據(jù)德拜由方程(C5)可得

S

的哈密頓—雅可比微分方程。在這種情形下，只當(dāng)

S

的周期模(Periodizit?tsmoduln)是2π的整數(shù)倍時(shí){原文如此。似乎應(yīng)是

h

的整數(shù)倍}， 才是單值的位置函數(shù)。這導(dǎo)致常見的條件，德布羅意本人從他的輻射場的幾何光學(xué)的觀點(diǎn)詮釋過。但是，實(shí)際上一般來說

S

h

的值不大，必須保留方程(C5)，并將波的相關(guān)數(shù)學(xué)用于該方程的積分。

現(xiàn)在說說薛定諤力學(xué)與哥廷恩力學(xué)的聯(lián)系。為了簡單起見，以一維問題為例，波方程(符號上的杠都去掉了)為
。若本征值為

E

1 ,

E

2, …,

E

n, …，對應(yīng)的完備本征函數(shù)集為

1,

2, …,

n, …，{原文如此。應(yīng)該是}。

關(guān)于

的任意函數(shù)可以用

n 展開。比如，展開函數(shù)

xψ

n，

進(jìn)一步地，

可見有

nm =

mn是實(shí)的，而(

p

x)nm=-(

p

x)mn是純虛的{原文如此}。如此定義的矩陣滿足哥廷恩力學(xué)的方程：

對于任意的函數(shù)

F

(x)，可分派一個(gè)矩陣 =

振子和轉(zhuǎn)子的情形我也根據(jù)薛定諤做了計(jì)算。此外，還有塞曼分量強(qiáng)度的H?nl—Kronig公式，從薛定諤計(jì)算得到的氫原子本征函數(shù)計(jì)算躍遷概率，連續(xù)譜問題，等等。連續(xù)譜很復(fù)雜，其數(shù)學(xué)表述我還不清楚。蘭佐施的工作與我的思考幾無交點(diǎn)。他考察的問題里的本征值是能量本征值的倒數(shù)，而這里的本征值就是能量本征值。此外，在他那里一個(gè)類似依賴于兩點(diǎn)的格林函數(shù)的函數(shù)扮演著重要角色，這樣的函數(shù)不會(huì)進(jìn)到這里的討論。我相信，蘭佐施的預(yù)設(shè)沒啥用{泡利此處看走眼了}。

注意，(I)，(II)中沒有出現(xiàn)未定的相因子，是因?yàn)?C3)式到(C4)式中的替代
，形式上

nm ，(

p

x)nm除了ei2π(

E

n

E

m

t

h

以外，還有一個(gè)相因子ei2π(

m

n

)，其中

m-

n屬于能量為

E

m,

E

n的德布羅意本征振蕩的相位。量子問題的哥廷恩表述和薛定諤表述都沒有提供對原子中電子運(yùn)動(dòng)的時(shí)空描述。不過，如今從兩個(gè)不同的側(cè)面看問題，也是個(gè)進(jìn)步(Aber es ist doch ein Fortschritt, die Probleme jetzt von zwei verschiedenen Seiten aus zu sehen)。從量子力學(xué)的觀點(diǎn)看來，似乎運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)與波體系的對立也讓位于某種一般性的觀念(Man sieht wohl auch, wie von Standpunkt der Quantenmechanik aus der Gegensatz zwischen bewegtem Punkt und Wellensystem zu Gunsten von etwas Allgemeinerem verblasst)。

4艾卡特的等價(jià)性證明

美國物理學(xué)家艾卡特(Carl Eckart，1902—1973)在1926年6月7日提交了一篇題為“算符運(yùn)算與量子動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程的解”的論文[Carl Eckart, Operator Calculus and the Solution of the Equations of Motion of Quantum Dynamic,

Physical Review

28, 711 — 726(1926)]。在文章 校對的時(shí)候，薛定諤論等價(jià)性的論文傳到了美國，故作者說文中的結(jié)果已經(jīng)由薛定諤獨(dú)立得到了。作者在后 注中說，他同意波力學(xué)比矩陣力學(xué)更加基礎(chǔ)的( wave mechanics is more fundamental than the matrix mechanics )觀點(diǎn)，而本文的結(jié)論為“波力學(xué)和矩陣力學(xué)是數(shù)學(xué)上等同的(mathematically identical)”。具體地，文章得出兩個(gè)重要結(jié)論：

(1)經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)方程可以寫成算符形式；

(2)經(jīng)典理論的算符運(yùn)算被推廣并應(yīng)用到解量子動(dòng)力學(xué)上。薛定諤的結(jié)果和玻恩—約當(dāng)?shù)慕Y(jié)果被包括進(jìn)同一個(gè)計(jì)算，發(fā)展了計(jì)算玻恩—約當(dāng)矩陣的方法。

此文發(fā)展和詳細(xì)解釋了算符運(yùn)算，為物理假設(shè)的數(shù)學(xué)步驟提供了合理性，特別是對經(jīng)典動(dòng)力學(xué)到量子動(dòng)力學(xué)的過渡描述得非常清楚。欲弄懂量子動(dòng)力學(xué)算符運(yùn)算的讀者，可以仔細(xì)研讀這篇文章。特別地，文中的一些表示，比如波函數(shù)在分母上，，在別處不易見到(圖1)。由于本文是英文的，也容易獲取，此處不詳細(xì)摘錄。

圖1　艾卡特1926年論文第720頁上的截圖

5狄拉克的等價(jià)性證明

狄拉克的“量子力學(xué)理論”[P. A. M. Dirac, On the theory of quantum mechanics,

Proceedings of the Royal Society of London

A112(762), 661—667(1926),收稿日期為1926年8月26日]一文也被認(rèn)為有關(guān)于兩種量子力學(xué)等價(jià)性的證明。

[內(nèi)容摘錄]

海森堡的新原子力學(xué)描述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的變量不遵從乘法的交換律，但滿足某種量子條件。只需知道動(dòng)力學(xué)變量需滿足的代數(shù)律，就可以構(gòu)造一個(gè)理論，可以表明只要?jiǎng)恿W(xué)系統(tǒng)存在一個(gè)一致化變量集(a set of uniformizing variables)，動(dòng)力學(xué)變量就可以表示為矩陣。但是對于包含超過一個(gè)電子的系統(tǒng)，沒有一致化變量集。

最近薛定諤發(fā)展了一個(gè)新理論。其思想是，原子系統(tǒng)由在坐標(biāo)空間中的波表示，薛定諤從變分原理得到了波函數(shù)

必須滿足的微分方程。這個(gè)微分方程同確定這個(gè)系統(tǒng)的哈密頓方程有密切聯(lián)系。如果

H

q

r ,

p

r )-

W

=0是系統(tǒng)的哈密頓方程，則波方程為

其中的算符
替代

H

中的

p

r ，作用到它所在項(xiàng)中在它右側(cè)的一切對象上。使得在

q

-空間上滿足方程(D1)的連續(xù)、單值、有界的

存在的

W

為系統(tǒng)的能級。當(dāng)方程(D1)的一般解已知，容易得到表示

q

r

p

r

的矩陣，其滿足海森堡的矩陣力學(xué)要求必須滿足的所有條件(satisfying all the conditions that they have to satisfy according to Heisenberg’s matrix mechanics)，與此前得到的能級一致。兩個(gè)理論的數(shù)學(xué)等價(jià)性得以建立(The mathematical equivalence of the theories is thus established)。

薛定諤的理論可以從一個(gè)略微更加一般性的觀點(diǎn)考慮，將時(shí)間

t

和它的共軛動(dòng)量

W

從一開始就與其他變量同樣對待{經(jīng)典力學(xué)的常規(guī)操作}。借助一個(gè)更一般的方法，只需要基本的符號代數(shù)( requiring only elementary symbolic algebra )，就能得到動(dòng)力學(xué)變量的矩陣表示。

將坐標(biāo)

q

t

看作普通的數(shù)學(xué)變量(這是允許的，因?yàn)樗鼈儗σ?，將動(dòng)量

p

W

作替換：

算符作用到它們出現(xiàn)的項(xiàng)中右側(cè)的所有對象上，故

p

q

w

t

的函數(shù)實(shí)際上只是

q

t

的函數(shù)。

對關(guān)系(D2)在支配動(dòng)力學(xué)變量的代數(shù)中需要作兩點(diǎn)改動(dòng)。(1)只有

p

w

的有理積分函數(shù)(rational integral function)才是有意義的；(2)可以對一個(gè)方程從左側(cè)乘上一個(gè)因子，但一般來說從右側(cè)不行。

但是有一些方程

a

b

aX

bX

對所有的

X

都成立，這樣的方程是恒等式(identity)。量子條件

q

r

p

s-

p

s

q

r=

ihδ

rs，

p

r

p

s-

p

s

p

r=0就是恒等式。若方程

a

b

是恒等式，則泊松括號[

a, X

b, X

]也成立。我們假設(shè)一般方程

xy

yx

=i

h

x, y

]{這是狄拉克對量子力學(xué)的一個(gè)重要貢獻(xiàn)}和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程都是恒等式。

一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)由關(guān)于變量的哈密頓方程來確定：

或者更一般地，方程可寫為

運(yùn)動(dòng)方程為
，其中

是關(guān)于動(dòng)力學(xué)變量的任意函數(shù)，而

s

是個(gè)依賴于(D4)式之形式的變量；若(D4)式寫成(D3)式的形式，這個(gè)

s

就是

t

。在薛定諤的新理論那里，考慮方程：

如果

只是

q, t

的函數(shù)，方程(D5)就是個(gè)關(guān)于

的普通微分方程。從這個(gè)微分方程的解，那些構(gòu)成力學(xué)問題的解的矩陣就可以輕松獲得。

線性方程(D5)的通解為

其中

n

是一組獨(dú)立的解，可稱為本征函數(shù)。有時(shí)候，本征函數(shù)可以是關(guān)于某個(gè)參數(shù)

的連續(xù)集，則(D6)要由積分替代，有時(shí)候是既有分立的部分也有連續(xù)的部分{狄拉克在處理這個(gè)問題時(shí)過于倉促。求和變成積分時(shí)會(huì)帶來波函數(shù)量綱的變化，考慮到波函數(shù)物理意義的詮釋，對這個(gè)問題是不能含糊的。參見}。

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的任何積分常數(shù)都可以表示為其某一行或者某一列對應(yīng)一個(gè)

n

的矩陣。若

a

是某個(gè)積分常數(shù)，即

Fa

aF

。這樣，可得

Fa

n

aF

n

=0，也就是說，

a

n

也是方程(D5)的一個(gè)解，因此有{注意這個(gè)乘法的寫法}，其中

a

mn是常數(shù)。量

a

mn就是表示

a

的矩陣的矩陣元。顯然有矩陣乘法規(guī)則：

以某個(gè)

p

q

w

t

的函數(shù)

t

t

0 的值

t

0 )為例,表示

t

0 )的矩陣，其矩陣元都是

t

0 的函數(shù)。將

t

0 寫成

t

，可見任意的動(dòng)力學(xué)變量

t

)的函數(shù)，都可以表示為一個(gè)矩陣元只是

t

的函數(shù)的矩陣。

我們得到的矩陣不是唯一的，任何獨(dú)立本征函數(shù)集

n

都可以用來構(gòu)造矩陣。為了得到海森堡的原裝矩陣力學(xué)(Heisenberg’s original quantum mechanics)的矩陣，應(yīng)該挑選特殊的

n 。借助線性變換，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的任何給定積分常數(shù)的表示矩陣都可以弄成對角的。若哈密頓函數(shù)

F

不顯含時(shí)間

t

，則

W

是系統(tǒng)的一個(gè)常數(shù)，即能量，我們可以選擇使得表示

W

的矩陣是對角的，即：

是不顯含時(shí)間

t

的動(dòng)力學(xué)變量的函數(shù)，

必為

的形式，因?yàn)?/p>

與此同時(shí)，

不顯含

t

將(D9)—(D10)式右側(cè)取等，
，可解得(D8)式。

如此選擇

n

，則矩陣滿足海森堡矩陣力學(xué)的所有條件，除了表示實(shí)的量的矩陣應(yīng)是厄米的這一條。沒有簡單的一般性證明，因?yàn)樽C明不得不用到

n

是有界的這個(gè)事實(shí)。作為特例，容易證明表示

W

的矩陣是厄米的，因?yàn)楦鶕?jù)(D7)式

n

必有形式，其中

u

n不依賴于

t

W

n必是實(shí)的，否則

n

就不是有界的。一般來說，僅當(dāng)乘上

n

的那個(gè)任意數(shù)值因子是特別選擇的時(shí)候，表示實(shí)的量的矩陣才是厄米的。

我們可以認(rèn)為本征函數(shù)

n 聯(lián)系著系統(tǒng)之某些積分常數(shù)的確定數(shù)值，

aψ

n=

a

n

n，

bψ

n=

b

n

n，…意味著

n表示系統(tǒng)的一個(gè)量

a

b

，…分別有數(shù)值

a

n，

b

n，…的一個(gè)狀態(tài)。以這種方式，我們可 以得到表示原子系統(tǒng)擁有確定的能量、角動(dòng)量以及別的積分常數(shù)值的穩(wěn)態(tài)的本征函數(shù)(In this way we can have eigenfunctions representing stationary states of an atomic system with definite values for the energy, angular momentum, and other constants of integration)。

筆者忍不住加一句：狄拉克的文章總是那么清晰。如果讀狄拉克的文章還學(xué)不會(huì)量子力學(xué)，可能就沒有別的著作能幫得上忙了。

6福勒的等價(jià)性論述

福勒(Ralph Howard Fowler，1889—1944)在物理教科書里可能不算特別有名，但他的幾位學(xué)生如錢德拉塞卡(Subrahmanyan Chandrasekhar，1910—1995)，狄拉克，哈垂(Douglas Rayner Hartree，1897—1958)，萊納德-瓊斯(John Lennard-Jones，1894—1954)，莫特(Nevill Francis Mott，1905—1996)可都是如雷貫耳的名字。對于我們中國學(xué)生來說，福勒著名學(xué)生的名單還包括王竹溪先生(1911—1983)。狄拉克是第一位量子力學(xué)博士，但他是憑借自己對創(chuàng)立量子力學(xué)的貢獻(xiàn)而成為第一個(gè)量子力學(xué)博士的，與導(dǎo)師福勒之間只有很薄弱的學(xué)術(shù)聯(lián)系。但是，福勒的深厚的物理學(xué)功底不可能對量子力學(xué)視而不見。1927年的福勒的“矩陣力學(xué)與波力學(xué)”[R. H. Fowler, Matrix and Wave mechanics,

Nature

119, 239—241(1927)]一文對于理解量子力學(xué)也極具參考價(jià)值。

[內(nèi)容摘錄]

我在上篇文章[R. H. Fowler, Spinning electron,

Nature

119, 90—92 (1927)] 中指出，近期原子物理的進(jìn)展是由于有：(1)一個(gè)更好的電子模型；(2)一個(gè)比經(jīng)典力學(xué)更適合描述原子現(xiàn)象的形式力學(xué)(formal mechanics)。兩條獨(dú)立的思路導(dǎo)出了同一個(gè)力學(xué)體系，但由于走的是完全岔開的路徑故它們分別被名為矩陣力學(xué)和波力學(xué)。兩個(gè)體系的等價(jià)性也許是當(dāng)前發(fā)展之最令人驚奇而又令人滿意的特征。

原子真正基本的特征(really fundamental features)是玻爾的兩個(gè)公設(shè)，即存在穩(wěn)態(tài)和頻率關(guān)系

E

1 -

E

2 =

hν

12 ，這其中第一個(gè)是最基本的，它帶來了力學(xué)規(guī)律的特別變革。為了描述原子與輻射間的相互作用我們必須認(rèn)可(幾乎與具體的理論無關(guān))：(1)一個(gè)穩(wěn)態(tài)的集合；(2)一個(gè)穩(wěn)態(tài)間的關(guān)聯(lián)(躍遷概率)的集合。碰撞問題也可納入同樣的方案。遵循經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的粒子體系里沒有分立的穩(wěn)態(tài)(discrete stationary states)。玻爾用第三公設(shè)

J

i

n

i

h

暫時(shí)應(yīng)付，取得了極大成功。不過，玻爾的穩(wěn)態(tài)公設(shè)無法解決躍遷概率的問題，只能偶爾地借助對應(yīng)原理。躍遷概率本質(zhì)上是兩個(gè)態(tài)之間的關(guān)聯(lián)，可是經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的所有特征都是單一狀態(tài)的函數(shù)(Transition probabilities are essentially connexions between two states, whereas all the characteristics of a classical motion are functions of the one state alone)。在任何(多周期)狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，可以用一個(gè)傅里葉級數(shù)完全描述，其系數(shù)及其基頻是定義狀態(tài)之參數(shù)的函數(shù)。原子卻不能這樣描述，描述原子的系數(shù)必總是兩個(gè)狀態(tài)的函數(shù)。也就是說，(傅里葉級數(shù)中的)周期性項(xiàng)(periodic terms)排成的矩陣或曰二維陣列才是描述原子所要求的。矩陣的項(xiàng)依賴于兩個(gè)整數(shù)

m

n

，其聯(lián)系著原子的兩個(gè)狀態(tài)。

矩陣的乘法可能是非對易的。這些乘積之差準(zhǔn)確地提供了量子理論廁身其間必要的代數(shù)學(xué)空隙(The difference between these products provides exactly the necessary gap in the algebra into which the quantum theory can insert itself)。

那么，可否構(gòu)想出一個(gè)矩陣的動(dòng)力學(xué)，其為經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的自然推廣且以經(jīng)典動(dòng)力學(xué)為其極限，還能給出計(jì)算任何相關(guān)矩陣之矩陣元的規(guī)則，類似計(jì)算傅里葉級數(shù)項(xiàng)的經(jīng)典規(guī)則？這相當(dāng)于要求，一切都要從哈密頓方程——利用經(jīng)典規(guī)則的推廣——直接地、毫不含糊地計(jì)算得到。老量子論的量子條件退出舞臺(tái)，普朗克常數(shù)通過對易關(guān)系
進(jìn)入方程。

前述關(guān)于矩陣力學(xué)之需求的描述表明其構(gòu)造有直接的物理對應(yīng)，矩陣的每一項(xiàng)都表示確實(shí)可觀測的事物(its constructs have direct physical counterparts. Every term in a matrix represents something ideally observable)。原子發(fā)射、吸收或散射的光之頻率與強(qiáng)度是可觀測的，但老量子論中的力學(xué)軌道不是?？捎^測性是海森堡理論的關(guān)鍵思想。應(yīng)該停止試圖詮釋經(jīng)典計(jì)算的結(jié)果，而應(yīng)該重新表述運(yùn)動(dòng)方程，使其每一個(gè)符號都有物理意義(we should stop trying to interpret the results of classical calculations and instead should reformulate the equations of the motion, and reformulate in such a way that every symbol has a physical meaning…)。物理意義不再局限于對最終結(jié)果的詮釋(Physical meaning is no longer to be confined to interpretations of the final result)。海森堡的思想迅速導(dǎo)致了矩陣力學(xué)的構(gòu)造{玻恩和約當(dāng)構(gòu)造的}。

薛定諤的波力學(xué)完全是另一個(gè)路數(shù)。德布羅意將粒子的自由運(yùn)動(dòng)同一簇特殊種類的平面波相類比。薛定諤更加仔細(xì)地分析了力學(xué)同光學(xué)之間的類比，此乃哈密頓力學(xué)的基礎(chǔ)。哈密頓那里類比的是粒子的路徑與光的射線，但光的傳播理論分為光的射線理論(ray theory of light)和物理光學(xué)的波理論(wave theory of physical optics)。薛定諤構(gòu)造了光學(xué)波理論的類比——波力學(xué)。

在粒子的波理論中，還保留粒子圖像中的勢能

V

和質(zhì)量

m

{所以您看哪有什么截然分開的粒子圖像與波圖像}。粒子的運(yùn)動(dòng)可由通常的波方程導(dǎo)出，其中

是頻率，

u

是波的相速度。波函數(shù)

及其算符是定義在構(gòu)型空間上的。哈密頓類比(Hamiltonian analogy)要求如下關(guān)系{不明白后一個(gè)關(guān)系哪來的，量綱也不對}，作用量

h

這個(gè)普適常數(shù)如此進(jìn)入類比，至于其是否是普朗克常數(shù)以后再說。這樣，方程變?yōu)?br/>

波函數(shù)

必須滿足連續(xù)性條件和邊界條件，若其表示原子的穩(wěn)態(tài)自然應(yīng)該還是單值的、有界的、在整個(gè)構(gòu)型空間上二階可微的，以及在無窮遠(yuǎn)處為0。

至此尚未提及分立狀態(tài)。任何讓恰當(dāng)?shù)?/p>

存在的

E

值都是允許的。薛定諤理論最漂亮的地方是，一般來說，恰當(dāng)?shù)?blockquote id="425UULK4">只對一組分立的

E

n ，當(dāng)然或許還連同一個(gè)連續(xù)范圍的

E

值才存在。分立的

E

n是各個(gè)穩(wěn)態(tài)的能量，相應(yīng)的

n是穩(wěn)態(tài)的波函數(shù)，后者確定原子的行為。

最簡單的例子是一維諧振子，方程為

{原文缺少第二個(gè)

m

}，其中

是振子的經(jīng)典頻率。能量最小值為，對應(yīng)的波函數(shù)為，能量的通式表達(dá)為，對應(yīng)的波函數(shù)

n 有

n

個(gè)有限節(jié)點(diǎn)，因此原子振動(dòng)的波長隨著

n

的增加而變短{這話不對，對于任意的

n

，波函數(shù)都沒有確定的波長}。對于初始的一些

E

n很難談?wù)撥壍篮忘c(diǎn)電子。

很難想象比矩陣力學(xué)和波力學(xué)在觀念上(in conception)更不同的兩個(gè)結(jié)構(gòu)了，它們相同地方只在于都是經(jīng)典力學(xué)的推廣，保留經(jīng)典力學(xué)作為極限。薛定諤提出一個(gè)物理類比，或許可以表明它們的聯(lián)系。設(shè)想有一個(gè)密度可變的伸展的弦，波力學(xué)確定了其可能的振動(dòng)的節(jié)點(diǎn)，而矩陣力學(xué)是直接決定這些節(jié)點(diǎn)。兩個(gè)方案看似都是在穩(wěn)態(tài)的能量上做了已知事實(shí)要求的改變，但兩者的聯(lián)系是深刻的，且?guī)缀跏峭耆葍r(jià)的。波力學(xué)所作的改變是等價(jià)于從常規(guī)的哈密頓方程

H

q, p

E

=0為波函數(shù)

導(dǎo)出方程：

而不是為主函數(shù)

S

導(dǎo)出哈密頓—雅可比方程。這樣，變量

p

變成了微分算符。矩陣力學(xué)里的對易規(guī)則用算符計(jì)算來表示則為，顯然是滿足的。薛定諤已經(jīng)演示了如何從一個(gè)波函數(shù)完備集

n 得到一 個(gè)確定的在矩陣力學(xué)中解決同樣問題的矩陣集。反過來是否成立還不確定，目前看來存在在波力學(xué)中未予表示的矩陣解是有可能的。事情出在剛性對稱螺旋的例子，矩陣力學(xué)解對整數(shù)和半整數(shù)的量子數(shù)都是有可能的，而波力學(xué)中只有整量子數(shù)是允許的{此問題的矩陣力學(xué)版，David M. Dennison, The Rotation of Molecules,

Phys. Rev.

, 28, 318 (1926)；波力學(xué)版，F(xiàn)ritz Reiche, Die Quantelung des symmetrischen Kreisels nach Schr?dingers Undulationsmechanik (根據(jù)薛定諤波力學(xué)對對稱陀螺的量子化),

Zeitschrift für Physik

39, 444—446 (1926)； P. Debye, C. Manneback, The symmetrical top in wave mechanics,

Nature

119，83(1926)一文也應(yīng)該被注意}}。

談?wù)撃姆N新的力學(xué)形式是更基本的，可能沒有意義。大多數(shù)的工作者(the majority of workers)會(huì)發(fā)現(xiàn)因?yàn)椴W(xué)的代數(shù)更熟悉、更便利，因此是解決特定問題更加有效的工具。目前，兩種理論在完全解決的案例中都精確地給出了對量子數(shù)的那些事實(shí)已強(qiáng)迫我們做出了改變。但是，波力學(xué)走得更遠(yuǎn)。它已經(jīng)能讓我們成功對付老量子論都不能正確地定性描述的問題，比如中性氦的高階譜項(xiàng)，氫分子正離子的譜項(xiàng)。海森堡計(jì)算的正氦和仲氦(ortho-and par-helium)的高階譜項(xiàng)取得了突出進(jìn)展。此外，玻恩與奧本海默已著手建立碰撞和非周期軌道的量子論。{玻恩和海森堡作為矩陣力學(xué)的奠基人，此處他們都是用的波力學(xué)。}

無論新力學(xué)多么抽象，無論我們對其基本原理的理解多么不全面，它對理論物理的價(jià)值都不容低估。我們終于有了一種適用于任何原子的普適的動(dòng)力學(xué)方法，能夠通過直接計(jì)算得到任何所需的結(jié)果。我們目前還不能指望所有這些結(jié)果都是正確的，但我們相信只需要進(jìn)行一些細(xì)微的修改與推廣。

7馮·諾伊曼的等價(jià)性證明

對兩種處于初創(chuàng)狀態(tài)的量子力學(xué)的研究，一要為量子力學(xué)奠立堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，二要努力發(fā)展出統(tǒng)一全面的量子力學(xué)，這才是正事。這項(xiàng)事業(yè)對研究者的數(shù)學(xué)要求非常高，幸好世上有馮·諾伊曼(John von Neumann,1903—1957)?；I(yè)畢業(yè)的馮·諾伊曼不僅有數(shù)學(xué)博士學(xué)位，最重要的是擁有創(chuàng)造數(shù)學(xué)的天分。馮·諾伊曼為量子力學(xué)奠立了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，完成了量子力學(xué)的公理化。這樣的工作，是希爾伯特和外爾或也可以做，約當(dāng)、狄拉克和泡利或也可勉強(qiáng)擔(dān)當(dāng)，玻恩可以插手，而薛定諤和海森堡只有表示贊賞或者不屑的份兒。談?wù)搩煞N量子力學(xué)的等價(jià)性問題，一般會(huì)提到馮·諾伊曼從1927年到1932年期間的幾篇論文以及他的經(jīng)典著作《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。

馮·諾伊曼1927年的“量子力學(xué)的數(shù)學(xué)筑基”的一文[John von Neumann, Mathematishce Begründung der Quantenmechanik,

K?nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Nachrichten

1—57(1927).收稿日期為1927年5月20日]是馮·諾伊曼談?wù)摰葍r(jià)性問題的第一篇，但更應(yīng)該看作是量子力學(xué)已見雛形后為其奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的努力，最后的結(jié)果是量子力學(xué)的逐步公理化。

[內(nèi)容摘錄]

海森堡、狄拉克、玻恩、薛定諤和約當(dāng)?shù)牧孔恿W(xué)表示有很多全新的概念構(gòu)造和問題陳述，對此我們想說：

α.研究表明，原子系統(tǒng)的行為同某個(gè)本征值問題相聯(lián)系，描述系統(tǒng)的特征量的值是本征值。

β.長期以來找尋的連續(xù)的(經(jīng)典力學(xué)的)與分立的(量子化的)表述之間的融合在原子世界以令人滿意的方式達(dá)成了：本征值譜既有連續(xù)部分也有分立部分。

γ.量子力學(xué)傾向于表明，自然規(guī)律(或者至少是已知的量子規(guī)律)不能唯一、因果地確定原子的行為，基本規(guī)律只能給出概率分布，其只在一些特例中才退化至滿足因果律的明確結(jié)果(zukausaler Sch?rfe entarten)。

δ.本征值問題以不同的表現(xiàn)形式出現(xiàn)：作為無窮矩陣(變換到對角形式)的以及作為微分方程的本征值問題。兩種表述是等價(jià)的，因?yàn)楫?dāng)從波函數(shù)過渡到它的關(guān)于一個(gè)完備正交集的展開系數(shù)時(shí)，矩陣(可看作線性變換)就自微分算符(應(yīng)用到波函數(shù)上)產(chǎn)生了。矩陣表達(dá)這個(gè)展開系數(shù)的相應(yīng)的變換。

ε.兩種處理方式都各有困難(Beide Behandlungsweisen haben ihre Schwierigkeiten)。在矩陣表示那里面臨一個(gè)無解的問題：需將能量矩陣變換成對角形式，但這只當(dāng)沒有連續(xù)譜出現(xiàn)時(shí)才是可能的。這意思是它只能是單面的，只能有分立的(量子的)能譜(氫原子有連續(xù)譜，就無法正確處理)?？梢杂眠B續(xù)矩陣，但數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)夭僮髌饋?本質(zhì)上同時(shí)用矩陣和積分方程核操作)會(huì)很困難，為此得構(gòu)造如無窮大矩陣的矩陣元或無窮接近的鄰近對角元等概念。

ξ.在微分方程表示那里，首先沒有矩陣方法里的概率預(yù)設(shè)。這一點(diǎn)被玻恩以及后來的泡利和約當(dāng)給彌補(bǔ)了{(lán)玻恩提出波函數(shù)的概率詮釋是他早熟悉矩陣的概率預(yù)設(shè)}，整套程序約當(dāng)為一個(gè)閉合系統(tǒng)構(gòu)建過，任憑采用那些困難的數(shù)學(xué)思考{指Pascual Jordan, über eine neue Begründung der Quantenmechanik (關(guān)于量子力學(xué)的新筑基)，

Zeitschrift für Physik

40, 809—838(1927)一文}無法避免代入不合宜的本征函數(shù)，比如狄拉克首先使用的函數(shù)

)，其具有如下(荒唐)性質(zhì){同馮·諾伊曼、外爾相比，狄拉克的工程數(shù)學(xué)至少就深度與嚴(yán)謹(jǐn)性而言，要差很多}：

約當(dāng)遭遇的困難是，不僅要計(jì)算變換算符(其積分核是概率幅，deren Integral-Kerne die Wahrscheinlichkeits-Amplitude sind)，而且還得計(jì)算于其上變換的變量范圍，即本征值譜。

θ.所有這些方法的共同缺陷是，它們在計(jì)算中引入了原則上不可觀測的、物理上無意義的元素：波函數(shù)要計(jì)算，因?yàn)闅w一化而保留直至一個(gè)絕對值為1的常數(shù)(相

e

i

)的不確定性，在

k

-重退化時(shí)相互間還保留直至一個(gè)

k

-維正交變換的不確定性。盡管結(jié)果得到的概率是不變的，但這么做卻是不令人滿意的，不明白為什么非要到不可觀測的和不是不變的存在那里去繞個(gè)彎兒(es ist aber unbefriedigend und unklar, weshalb der Umweg durch das nicht-beobachtbare und nicht-invariante notwendig ist)。

在接下來的正文里，馮·諾伊曼不是著眼于比較兩種量子力學(xué)是否等價(jià)，而是專心發(fā)展量子力學(xué)所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——他其后的幾個(gè)工作的重心皆在于此，最后的結(jié)晶是他的經(jīng)典著作《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(也請參見本系列的馮·諾伊曼篇)，此處不作深入介紹。

馮·諾伊曼的“量子力學(xué)的概率論構(gòu)造”的一文[John von Neumann, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik,

K?nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Nachrichten

245—272(1927).收稿日期為1927年11月11日]也是談?wù)摰葍r(jià)性問題時(shí)必會(huì)被提及的。在導(dǎo)言部分，確有關(guān)于兩種量子力學(xué)的關(guān)系的討論。

[內(nèi)容摘錄]

量子力學(xué)的新進(jìn)展帶來了兩種原則上不同的表示方式，分別被稱為波理論和變換或者統(tǒng)計(jì)理論(Wellentheorie und Transformations- oder Statistische Theorie)，后者是由玻恩、泡利和倫敦所開啟的，由狄拉克和約當(dāng)收尾的{請注意，馮·諾伊曼這里把矩陣力學(xué)稱為變換理論或者統(tǒng)計(jì)理論，并注意到了Fritz London的貢獻(xiàn)。筆者猜指的是über die Jacobischen Transformationen der Quantenmechanik (論量子力學(xué)的雅可比變換)，

Zeitschrift für Physik

37,915—925(1926)一文。Fritz London對波動(dòng)力學(xué)也有貢獻(xiàn)。不過，馮·諾伊曼不用矩陣力學(xué)的說法，也不提海森堡，可能是他認(rèn)為將1926年后的變換理論稱為矩陣力學(xué)不合適。筆者此時(shí)有個(gè)冒昧的觀點(diǎn)，所謂的矩陣力學(xué)只有不足兩年的短暫壽命！}。

給定一個(gè)物理系統(tǒng)的某個(gè)物理量，它該取什么值？這些值的先驗(yàn)概率是什么？若某個(gè)其他的量的值事先給定了，那這些概率又如何改變？

此問題在經(jīng)典力學(xué)那里也不陌生，不過在那里統(tǒng)計(jì)可以是“明確的”，即每一個(gè)物理量都以概率1取某些值，所有其他的值的概率為0。對此只需要測量足夠多的量，對一個(gè)自由度為

f

的系統(tǒng)，只有2

f

個(gè)獨(dú)立的量(比如位置加共軛動(dòng)量)。在量子力學(xué)中卻不是這樣，有些量就不可以同時(shí)測量，比如一個(gè)量及其共軛動(dòng)量的測量就總是不相容的(stets unvertr?glich)。

統(tǒng)計(jì)量子力學(xué)中(in der statistischen Quantenmechanik)至今常見的方法本質(zhì)上是演繹的：波函數(shù)的某個(gè)展開系數(shù)的絕對值平方，或者還有波函數(shù)本身，相當(dāng)教條地被當(dāng)作概率，其與經(jīng)驗(yàn)是否吻合留與以后驗(yàn)證。自經(jīng)驗(yàn)事實(shí)或者概率論的基礎(chǔ)假設(shè)出發(fā)對量子力學(xué)的系統(tǒng)推導(dǎo)，即歸納式的建立基礎(chǔ)(inductive Begündung)，卻是沒有的。此外，其基本規(guī)律(概率計(jì)算的加法與乘法)的有效性也沒有充分闡明。

在接下來的正文里，馮·諾伊曼闡述了量子力學(xué)概率的基本假設(shè)以及測量與狀態(tài)的問題，相關(guān)內(nèi)容后來都收錄于《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書中(也請參見本系列的馮·諾伊曼篇)，此處不作深入介紹。

馮·諾伊曼關(guān)于“薛定諤算符的唯一性”一文[John von Neumann, Die Eindeutigkeit der Schr?dingerschen Operatoren,

Mathematische Annalen

104, 570—578(1931).收稿日期為1930年8月31日]觸及了量子力學(xué)表示的底層數(shù)學(xué)問題(圖2)。到了這個(gè)時(shí)候，量子力學(xué)就是量子力學(xué)，波理論和矩陣代數(shù)都是其有機(jī)組成部分。這篇文章提供了理解波理論和矩陣力學(xué)之等價(jià)性所需的深刻數(shù)學(xué)，此處予以詳細(xì)介紹。

圖2　馮·諾依曼1931年論文，“薛定諤算符的唯一性，柏林的馮·諾依曼供稿”

[內(nèi)容摘錄]

所謂的對易關(guān)系PQ-QP=-i?1，Q是坐標(biāo)算符，P是動(dòng)量算符，在新量子論中具有基本的意義。P

Q是兩個(gè)希爾伯特空間上的厄米泛函算符，可以憑借對易關(guān)系直到一個(gè)希爾伯特空間的轉(zhuǎn)動(dòng)，即一個(gè)酉(unit?r)變換

U

，被唯一地確定。還要補(bǔ)充一點(diǎn)，前提是P

Q構(gòu)成一個(gè)不可約系統(tǒng)( ein irreducibles System bilden )。若希爾伯特空間作為泛函空間來理解，為簡單起見當(dāng)作所有復(fù)函數(shù)的空間理解，為有限值，根據(jù)薛定諤的理論有一個(gè)特別簡單的對易關(guān)系的解集：

現(xiàn)在的問題是，這實(shí)際上是唯一(不可約的)解嗎？

請注意，如薛定諤的解所示，P

Q看似是無界的、也不是處處定義了的算符，當(dāng)然PQQP也不是處處定義了的，但算符-i?1卻總是的。欲使等式成立，左側(cè)的定義域必須說清楚。

根據(jù)對易關(guān)系，應(yīng)有：

利用
形式的函數(shù)計(jì)算一下，上式意味著：

左側(cè)是常見的相似變換。進(jìn)一步地，這意味著：

由此利用函數(shù)
可得：

此方程為外爾1927年引入[Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie,

Zeitschriften für Physik

46, 1—46(1927)]，欲用來當(dāng)作對易關(guān)系的替代。這樣做的好處是，可以用算符P

Q作為單參數(shù)，定義酉函數(shù)簇，以及乘法規(guī)則：

前面的外爾方程變?yōu)?/p>

此外爾方程的兩側(cè)都是酉的、有界的、處處定義了的，意義完全清楚。對應(yīng)的薛定諤情形為

接下來要證明，外爾方程的唯一的、不可約的解就是薛定諤的情形。證明所需的預(yù)設(shè)參見斯通(Marshall Harvey Stone，1903—1989)的論文。所有的解都會(huì)給出，包括可約的情形。這里的可約與不可約都是指希爾伯特空間的性質(zhì)。{在這篇文章中，馮·諾伊曼引用了：

(1) Marshall H. Stone, Linear Transformations in Hilbert Space III： Operational Methods and Group Theory,

PNAS

16 (2), 172—175 (1930).

(2) Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie (量子力學(xué)與群論),

Zeitschrift für Physik

46, 1—46 (1927).

后來馮·諾伊曼對斯通的定理有專文討論[John von Neumann, über Einen Satz Von Herrn M. H. Stone ( 論 斯 通 先 生 的 一 個(gè) 定 理),

Annals of Mathematics

, Second Series, 33(3), 567—573(1932)]；斯通自己也有新的相關(guān)文章[Marshall H. Stone, On one-parameter unitary groups in Hilbert Space,

Annals of Mathematics

, 33(3), 643—648(1932)]。后來介紹兩種量子力學(xué)等價(jià)性證明的時(shí)候，一般會(huì)說證明基于Stone—von Neumann定理，見下。如果無意了解這些學(xué)問發(fā)展的具體過程而只是想學(xué)會(huì)量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這當(dāng)然包括對矩陣力學(xué)與波力學(xué)等價(jià)性的理解，熟讀如下與本文有關(guān)的三本專著即可：

(1) Hermann Weyl,

Gruppentheorie und Quantenmechanik

( 群論與量子力學(xué) ), Hirzel (1928).

(2) Marshall H. Stone,

Linear Transformations in Hilbert Space and Their Applications to Analysis

, American Mathematical Society (1932).

(3)John von Neumann,

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

( 量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) ), Springer (1932) } 。

考察用復(fù)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的希爾伯特空間，其上復(fù)函數(shù)內(nèi)積是有界的，內(nèi)積定義為
或者。考慮其上處處有定義的、有界的線性算符

A

，其伴隨算符(轉(zhuǎn)置共軛算符)由關(guān)系(

Af

g

f

A

g

), (

f

Ag

A

f

g

)定義。進(jìn)一步地，我們關(guān)切依賴于參數(shù)

的算符

A

)。如果所有函數(shù)(

A

f

g

)是勒貝格意義下關(guān)于

有測度的(me?bar)，則稱

A

)對參數(shù)

的依賴是可測量的(me?bar)。

A

)是可測量的，則

aA

A

A

B

)以及

A

B

)都是可測量的。

在接下來的討論中，令?=1。設(shè)若所有的

U

V

)算符是酉的，依有測度的方式依賴于參數(shù)

，則如下關(guān)系成立：

引入酉算符簇

可見有關(guān)系

S

S

, -

)。若a

)是

-平面上的絕對可積的函數(shù)，則積分

是絕對收斂的。研究算符(簇)A，定義如下

，其中函數(shù)a(

α, β

)稱為

A

的核。因?yàn)?blockquote id="425UULNA">S

S

, -

A

* 對應(yīng)的核為函數(shù)的核分別為算符積AB的核為

{這算是一種卷積}。

最后，若算符

A

=0，則它的核

a

)直到一個(gè)勒貝格測度的空集為0(bis auf eine Lebesguesche Nullmenge)。

A

=0，自然有

S

u

, -

v

AS

u

v

)=0，但

S

u

, -

v

AS

u

v

)=0 對應(yīng)的核為e i(

αv

βu

a

α, β

)，故有關(guān)系：

為了薛定諤算符的唯一性證明，考察算符

A

，即考察核

a

α, β

的情形。這是一個(gè)不為0的厄米算符，而

AS

u, v

A

A

只差一個(gè)常數(shù)因子。

S

u, v

A

的核為，計(jì)算可得到

AS

u, v

A

的核為，于是有關(guān)系：

這里可以看到有

AA

=2π

A

，即

u

=0,

v

=0的情形。

現(xiàn)在研究如何解方程

Af

=2π

f

，這就是此處研究的交換關(guān)系的形式。因?yàn)?blockquote id="425UULOO">A是線性、有界的，解在希爾伯特空間上構(gòu)成一個(gè)閉合線性流形

M

。記同

M

正交的閉合線性流形為

R

R

里的元素

f

通過同流形

M

中的元素()的正交性所表示，即總有(

f

Ag

)=0，或者總有(

Af

g

)=0，或者

Af

=0。

對于同屬流形

M

f, g

，有：

1 ,

2 , …為一正交歸一函數(shù)集，在流形

M

中是完備的，

S

α, β

n (

n

固定，

α, β

改變)所張的閉合線性(子)流形

B

n是不變的。

B

1,

B

2, …張成整個(gè)希爾伯特空間。

S

α,β

n 簡記為

f

α,β ，有：

線性簇(Linearaggregate)

f

α,β

在(子)流形

B

n上處處是稠的。如果我們能證明任何兩個(gè)這樣的(子)流形，其上的酉算符

S

α, β

)和點(diǎn)

f

α,β

有上述性質(zhì)，是同構(gòu)的，我們就達(dá)到目的了。

回到此前的變換

U

V

)問題，有如下論述：一個(gè)酉算符系統(tǒng)

U

V

)，連同張成整個(gè)希爾伯特空間的點(diǎn)

f

α,β

系統(tǒng)，經(jīng)如下性質(zhì)可唯一地(直到一個(gè)未定的酉變換)確定：

在多自由度的量子力學(xué)問題中，有如下交換關(guān)系集(圖3)：

引入算符
則有外爾關(guān)系：

圖3 馮·諾伊曼1931年論文578頁上的截圖

從一般的表示論的觀點(diǎn)來看，此處處理問題的方式同弗羅貝尼烏斯(Ferdin and Georg Frobenius，1849—1917)用“特征單位元素“處理有限群，外爾借助群數(shù)(Gruppenzahlen)研究封閉連續(xù)群有聯(lián)系。算符
可詮釋為

S

)群的群數(shù)，而

AS

u,v

A

c

u,v

A

c

u, v

是一個(gè)數(shù))與原初特征單位元素的定義性質(zhì)等價(jià)。

馮·諾伊曼的這個(gè)證明，總結(jié)起來一句話，就是關(guān)于量子力學(xué)基本對易式一定要和希爾伯特空間以及其上的酉變換一起全面地理解。筆者斗膽說一句，跟約當(dāng)和馮·諾依曼關(guān)于QP-PQ=i?1的大量工作相比，海森堡1927年基于QP-PQ=i?1提出的所謂“不確定性原理”的工作就是一個(gè)小玩笑。這個(gè)小玩笑被廣為傳頌和誤解誤用就是它是小玩笑的證據(jù)，它和薛定諤1935年“論量子力學(xué)的現(xiàn)狀”這篇嚴(yán)肅論文被演繹出一只又死又活的貓如出一轍。熱衷于怪力亂神而不愿或者無力對待嚴(yán)肅學(xué)問，這就是科學(xué)研究、科學(xué)教育與科學(xué)傳播中的冰冷事實(shí)。

兩種量子力學(xué)的等價(jià)性證明，后來的文獻(xiàn)會(huì)說是馮·諾伊曼基于Stone—von Neumann定理證明了薛定諤的表述與海森堡的表述是酉等價(jià)的(unitarily equivalent)。所謂的斯通的工作，見于系列文章Marshall H. Stone, Linear Transformations in Hilbert Space I： Geometrical Aspects,

PNAS

15(3), 198—200 (1929)； II： Analytical Aspects,

PNAS

15(5), 423—425 (1929)； III： Operational Methods and Group Theory,

PNAS

16 (2), 172—175(1930)，以及前述的1932年的一篇論文和長篇專著(622頁)。愿意夯實(shí)量子力學(xué)基礎(chǔ)的讀者不妨讀讀這些專著。

馮·諾伊曼還就斯通的定律自己寫了一篇論文“論斯通先生的一個(gè)定理”，對理解等價(jià)性證明有用。茲略述如下。若一個(gè)希爾伯特空間 上的酉算符簇

U

t

具有群的性質(zhì)，

U

t

U

s

U

t+s，其中

s, t

為實(shí)數(shù)，則存在單位算符

E

)的一個(gè)分割{請比照閱讀John von Neumann, Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren (厄米特泛函算符的一般性本征值理論)，

Math. Ann.

102, 1(1929)}，使得符號上成立。對于任意兩個(gè)希爾伯特空間上的函數(shù)

f

g

, (

U

t

f

g

)= 。這里的前提是

U

t是

t

的連續(xù)函數(shù)。這就是Stone—von Neumann定理。

Stone—von Neumann定理可用來證明位置與動(dòng)量算符之間的正則對易關(guān)系的唯一性。外爾1927年注意到，正則對易關(guān)系[x

p]=i?1在有限維空間上不成立[Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie,

Zeitschrift für Physik

46, 1—46(1927)]。Stone—vonNeumann定理斷言，正則對易關(guān)系的任何兩個(gè)不可約表示是酉等價(jià)的(unit?r equivalent)。大意是，引入為酉群元素的e i

Qt

，e i

Ps

，則e i

Qt

e i

Ps

=e -i

st

e i

Ps

e i

Qt

。反過來，若給定兩個(gè)單參數(shù)的酉群，

U

t

),

V

s

)，滿足關(guān)系

U

t

V

s

e

-i

st

V

s

U

t

)，則在參數(shù)

s, t

為0處微分所得到的群生成元滿足正則對易關(guān)系。

馮·諾伊曼的《量子力學(xué)數(shù)學(xué)原理》是闡述公理化的量子力學(xué)的經(jīng)典，用了第一章的3，4兩節(jié)來談?wù)搩煞N量子力學(xué)的等價(jià)性。馮·諾伊曼在書中的表述可看作是對這個(gè)問題的總結(jié)性發(fā)言，簡明易懂。

[內(nèi)容摘錄]

§3 變換理論

矩陣?yán)碚摰幕締栴}是確定矩陣

Q

1 …

Q

k，

P

1…

P

k，其一方面要滿足交換關(guān)系，另一方面須使得哈密頓函數(shù)

H

Q

1…

Q

k，

P

1…

P

k)是對角的。玻恩和約當(dāng)在他們的第一篇文章中就將其分為兩步。

首先是找到一組矩陣
滿足交換關(guān)系，...