導語

“突變理論”最初由法國數(shù)學家雷內(nèi)·托姆提出，用以研究非線性系統(tǒng)在連續(xù)變化中為何會出現(xiàn)突然的斷裂或躍遷。盡管其英文原名“Catastrophe Theory”常被譯作“災(zāi)變理論”，帶有爭議性的語義色彩，但在復雜性科學中，它更強調(diào)系統(tǒng)性質(zhì)的“突變”與“形態(tài)發(fā)生”。這一理論揭示了自然與社會中普遍存在的臨界行為，從冰川崩塌到金融市場崩盤，從細胞分化到神經(jīng)頓悟，都可視為不同形式的突變。本文介紹突變理論的數(shù)學基礎(chǔ)與應(yīng)用領(lǐng)域，展示其在理解復雜系統(tǒng)動力學與預測臨界轉(zhuǎn)變中的獨特價值。

關(guān)鍵詞：突變理論、分岔與奇點、復雜系統(tǒng)、非線性動力學、臨界點、相變

陳關(guān)榮丨作者

趙思怡丨編輯

從中文語義上來說，“突變”表示突然變化，比如“涌現(xiàn)”，是個沒有爭議的描述性詞語。但是，“突變理論”這個專有名詞是從英文術(shù)語“Catastrophe Theory”翻譯過來的，從英文語義上來說是“災(zāi)變理論”，有“災(zāi)害性”的含義，并不為一些學者接受。基于對其數(shù)學理論的不同理解、詮釋和評價，這一理論自從上世紀八十年代提出來之后，在學術(shù)界引起過一場異常激烈的討論和爭辯。

本文把主題術(shù)語翻譯并理解為突變而不是災(zāi)變，旨在介紹和解釋它的復雜性科學內(nèi)涵，并不打算介入那場至今依然存在的學術(shù)爭論之中。

一、突變現(xiàn)象

在復雜性科學研究中，混沌理論關(guān)注并刻畫一個動力系統(tǒng)的狀態(tài)在演化過程中的起點和終點，即對初始條件的極端敏感性和長時間系統(tǒng)狀態(tài)的不可預測性，而突變理論則關(guān)注并刻畫一個動力系統(tǒng)的狀態(tài)在演化過程之中的性質(zhì)突變和奇異性，如系統(tǒng)穩(wěn)定性的突然變化和新動力行為的突然出現(xiàn)或消失。

復雜的自然界和人類社會活動中經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的“突變”現(xiàn)象，例如平靜的水在零度時突然結(jié)冰，寂靜的冰川突然轟隆崩塌，正常運作的股票市場突然崩盤，燈火通明的大廈因故障斷電突然漆黑一團，一個安靜的人受到某種刺激突然情緒失控。這些在物理學中被稱為“相變”的現(xiàn)象有一個共同點，就是本來一個漸變的、連續(xù)的狀態(tài)演化過程，在瞬間產(chǎn)生一個跳變的、不連續(xù)的結(jié)果。對于這類突變現(xiàn)象，經(jīng)典微積分中描述變化率的求導數(shù)運算不能直接應(yīng)用，因為它只能用于描述連續(xù)平滑的狀態(tài)或運動變化。

突變理論是太陽系起源的假說之一。該理論認為太陽系的形成源于突發(fā)性天文災(zāi)難事件，通常稱為災(zāi)變。十八世紀法國博物學家、作家喬治-路易·德·布豐（Georges-Louis Leclerc de Buffon，1707年-1788年）在1745年提出恒星相互碰撞假說，認為一顆大彗星掠碰太陽使它自轉(zhuǎn)起來并帶動了一批行星和衛(wèi)星。1900年，美國地質(zhì)學家湯姆斯·張伯倫（Thomas C. Chamberlin, 1843年-1928年）提出太陽系形成的突發(fā)“星子說”。后來，他同美國天文學家福里斯特·莫爾頓（Forest Ray Moulton，1872年-1952年）合作，提出另一種假說：一顆恒星靠近太陽時，在太陽的正反兩面掀起巨大的沙石浪潮，其引力剝離太陽表面的物質(zhì)并讓它們聚合成一批新的行星和衛(wèi)星。

地球也曾經(jīng)發(fā)生許多短暫的巨大災(zāi)難，其中有些是全球性的，像《圣經(jīng)》中描述的大洪水。19世紀初，法國動物學家、地質(zhì)學家喬治·居維葉（Georges Cuvier，1769年-1832年）建立了滅絕物種的概念，認為地球上的絕大多數(shù)物種滅絕是突然、迅速和災(zāi)難性的。他是比較解剖學和古生物學奠基人，他的學說為生物突變進化論提供了一種有代表性的科學觀點和理論根據(jù)。20世紀70年代，災(zāi)變理論一度復興，成為科學研究和討論的熱點。那時，災(zāi)變理論被試圖用來解釋和描述地球上曾經(jīng)發(fā)生的一些生物集群如恐龍滅絕甚至月球的形成等一系列重大地質(zhì)和天文事件。當然，科學家們說話有理有據(jù)：1980年，由美國實驗物理學家、諾貝爾獎得主路易斯·阿爾瓦雷茲（Luis Alvarez）和他的地質(zhì)學家兒子沃爾特（Walter Alvarez）領(lǐng)導的團隊，在約6600萬年前的白堊紀-古近紀地層界限的黏土層中發(fā)現(xiàn)了全球性的銥元素異常。銥在地殼中極其稀有，但在小行星和彗星中卻含量豐富。據(jù)此，他們提出了“小行星撞擊說”：一顆直徑約10公里的小行星撞擊地球，引發(fā)了全球性的巨大海嘯和森林火災(zāi)，并將大量塵埃拋入大氣層，遮蔽陽光長達數(shù)年之久，導致植被光合作用停止、全球變冷、食物鏈崩潰，最終造成了包括恐龍在內(nèi)的全球四分之三以上的物種大滅絕。1990年代，在墨西哥的尤卡坦半島（Yucatán Peninsula）上，人們發(fā)現(xiàn)了一個由小行星撞擊生成的奇克蘇魯布隕石坑（Chicxulub Crater），其年齡與上述滅絕事件完全吻合，從而為災(zāi)變理論提供了決定性的證據(jù)。地球災(zāi)變論還認為，在太陽系形成初期，一個大約火星大小的天體忒伊亞（Theia）以傾斜的角度撞擊了原始地球。那次災(zāi)難性的碰撞將地球的一部分地幔物質(zhì)拋入太空，而這些碎片在地球軌道上逐漸互相吸積融合，最終形成了月球。

突變理論研究的重要性是不言而喻的。了解突變發(fā)生的原因和機理，可以幫助對自然災(zāi)害和社會事件的發(fā)生做出預報、預警和預防，也可以幫助加強設(shè)施結(jié)構(gòu)和社會組織的韌性。

二、突變數(shù)學理論

研究突變理論，科學家們依賴并借助于物理學和數(shù)學。

“突變理論”或者稱為“災(zāi)變理論”這個名詞是英國幾何拓撲學家克里斯托弗·齊曼爵士（Sir Erik Christopher Zeeman，1925年-2016年）在推廣法國拓撲學家雷內(nèi)·托姆（Rene Thom，1923年-2002年）建立的相關(guān)數(shù)學理論時建議的。他于1976年在《科學美國人》雜志上以“災(zāi)變理論”（“Catastrophe Theory”）為題寫了一篇內(nèi)容豐富詳盡的科普作品。其中，他用一條狗的情緒突變的條件和過程作為例子來通俗地解釋災(zāi)變理論，還介紹了自己設(shè)計的一個“災(zāi)變機器”，即一個簡單的機械結(jié)構(gòu)會在平靜運動過程中突然發(fā)生劇烈振動。托姆是著名拓撲學家，1958年因微分拓樸學開創(chuàng)性工作獲菲爾茲獎。1972年，托姆發(fā)表了一本極具影響的著作《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學》（Structural Stability and Morphogenesis）。這是一本不帶嚴格數(shù)學公式和詳細證明的科普書，概述了他關(guān)于突變理論的主要思想和分析方法，充滿哲理思辨。

突變理論是關(guān)于非線性系統(tǒng)動力學的分岔理論（bifurcation theory）和奇點理論（singularity theory）的數(shù)學分支，研究復雜非線性系統(tǒng)在微小參數(shù)變化下如何突然產(chǎn)生運動學和動力學行為中的劇烈變化。托姆的核心觀點是：系統(tǒng)的突變并不是無跡可尋的，它在本質(zhì)上遵循某些數(shù)學規(guī)律，而突變理論的研究，就是去弄清楚復雜系統(tǒng)在其關(guān)鍵參數(shù)不斷變化時如何突然發(fā)生巨大行為變化的規(guī)律。

下面簡單介紹突變的數(shù)學理論。為此，從動力系統(tǒng)的分岔理論談起。

圖1三種基本分岔

先來看看最簡單也是最基本的分岔動力學。

（1）跨臨界分岔（transcritical bifurcation）

考慮一維二次方程，其中μ是參數(shù)。這個系統(tǒng)有兩個平衡點：x*=0和x*=μ。隨著參數(shù)μ在零點附近變化，平衡點的穩(wěn)定性會突然發(fā)生變化，如圖1(a)所示：從穩(wěn)定（實線）變成不穩(wěn)定（虛線），或者反過來，從不穩(wěn)定變成穩(wěn)定。

（2）鞍點分岔（saddle-node bifurcation）

考慮一維二次方程，其中μ是參數(shù)。這個系統(tǒng)有一個平衡點（x*,μ）=（0,0）和一條平衡曲線(x*)2=μ。隨著參數(shù)μ在零點附近變化，平衡線的穩(wěn)定性會突然發(fā)生變化，如圖1(b)所示：一個分支是穩(wěn)定的（實線）而另一個分支是不穩(wěn)定的（虛線）。

（3）叉型分岔（pitchfork bifurcation）

考慮一維三次方程，其中μ是參數(shù)。這個系統(tǒng)有兩條平衡曲線： x*=0，μ任意，和(x*)2=μ。隨著參數(shù)μ在零點附近變化，第一條平衡線的穩(wěn)定性會突然發(fā)生變化，如圖1(c)所示：從穩(wěn)定（實線）變成不穩(wěn)定（虛線），或者反過來，從不穩(wěn)定變成穩(wěn)定。

（4）霍普夫分岔（Hopf bifurcation）

考慮一個二維系統(tǒng)：其中μ是參數(shù)，f和g是可微函數(shù)。假定這個系統(tǒng)有平衡點(x*,y*)=(0,0)。如果隨著參數(shù)μ在某個特定數(shù)值附近作微小變化時，系統(tǒng)在平衡點上的雅可比矩陣有一對共軛復特征根并且其實部會作相應(yīng)移動、垂直地橫跨過復平面的虛軸，那么在特征根跨越的瞬間，系統(tǒng)會突然從無到有地產(chǎn)生一個環(huán)繞平衡點的周期軌道（稱為極限環(huán)）。

上面介紹的是幾個經(jīng)典的、描述系統(tǒng)典型動力學特性（主要是穩(wěn)定性）突然變化的基本數(shù)學理論。但是，這些突然變化都是連續(xù)性的，并不出現(xiàn)斷裂和跳躍。

托姆把分岔理論和奇點理論結(jié)合起來，考慮更為復雜、更為隱蔽也更為深刻的不連續(xù)突變現(xiàn)象。

作為例子，我們考慮一個具有勢能函數(shù)H=x4+ax2+b的動力系統(tǒng)，其中a和b是參數(shù)。當a<0時，勢能H有兩個極值，一個穩(wěn)定，一個不穩(wěn)定。如果參數(shù)a緩慢地增大，系統(tǒng)狀態(tài)軌線可以趨向于穩(wěn)定的最小極值點。但在a=0時，穩(wěn)定極值點和不穩(wěn)定極值點相遇并同時湮滅，這是一個不連續(xù)的分岔點。當0\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">a>0時，系統(tǒng)的穩(wěn)定解消失，這也是一個不連續(xù)的分岔。因此，如果一個物理系統(tǒng)經(jīng)歷這樣一次雙重分岔，那么當 a 到達 0 時，a<0的解的穩(wěn)定性會突然消失，系統(tǒng)會突然產(chǎn)生一種全新的、截然不同的動力學現(xiàn)象。這是一種不連續(xù)的突變，和上面介紹的經(jīng)典的分岔現(xiàn)象有著本質(zhì)上的區(qū)別。這個例子可以通過圖2來理解。在參數(shù)投影平面，除了分岔尖點（cusp）軌跡之外，對應(yīng)于每個點(a,b），變量x只有一個極值。但在尖點軌跡上的點(a,b），變量x有兩個不同的極值，如圖2的上圖所示。

圖2尖點型分岔

通過控制參數(shù)，托姆以及齊曼等人把系統(tǒng)分為四種類型，并在此基礎(chǔ)上建立了一條重要的“突變分類定理”。該定理指出：一個系統(tǒng)中所有穩(wěn)定性的不連續(xù)變化現(xiàn)象，都可以歸類為七種“基本突變類型”之一：折疊型（fold）突變、尖點型（cusp）突變、燕尾型（swallowtail）突變、蝴蝶型（butterfly）突變、橢圓型（elliptic）突變、雙曲線型（hyperbolic）突變和拋物線型（parabolic）突變。該定理為那些由于控制參數(shù)的連續(xù)變化而表現(xiàn)出突然、斷裂和跳躍行為變化的動力系統(tǒng)提供了一種數(shù)學模型分類。

作為例子，眾所周知的沙堆崩塌便是一種折疊型突變：把沙粒一顆一顆地加到一堆小沙丘上。開始時，沙堆是穩(wěn)定的。但堆得越高，崩塌的風險就越大。當?shù)竭_了某個臨界狀態(tài)之后，再加上一顆沙粒，整個沙堆便會突然塌陷。加上最后一顆沙粒的時刻和位置也稱為（時空）“引爆點”（tipping point）。這個引爆點的概念是突變可能性的核心和關(guān)鍵。

三、突變論的應(yīng)用

突變理論大有用武之地，首先是數(shù)學。突變理論企圖解決的一個重要數(shù)學問題，是在哪里截斷系統(tǒng)勢能函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式是安全的？所謂安全，是指截斷后的有限項的級數(shù)能夠在級數(shù)展開處的鄰域內(nèi)保存原級數(shù)的主要拓樸性質(zhì)，即使原級數(shù)是發(fā)散的。這一問題的解答在大規(guī)模動力系統(tǒng)降維建模中非常關(guān)鍵。

最早正面評價突變理論的物理學家包括英國理論物理學家邁克爾·貝里（Michael Berry，1941-）和物理及冰川學家約翰·奈（John Nye，1923-2019）。他們介紹了突變現(xiàn)象在光學理論及實驗方面的研究工作，首創(chuàng)了“災(zāi)變光學”這一稱謂。

俄羅斯裔比利時籍的美國化學家伊利亞·普里戈津（Ilya R. Prigogine，1917-2003）是1977年諾貝爾化學獎獲得者。他的耗散結(jié)構(gòu)理論為突變理論提供了支持：當一個系統(tǒng)遠離平衡態(tài)時，通過“負熵流”機制，可讓新的形態(tài)發(fā)生成為可能。例如，實驗室中的“活性液滴”現(xiàn)象演繹了大量分子從個體無序到宏觀有序的涌現(xiàn)。

此外，突變理論在氣候?qū)W和生態(tài)學中找到很好的應(yīng)用。例如，它被用來預測亞馬遜雨林退化、珊瑚礁白化、北極冰蓋消融、大西洋徑向翻轉(zhuǎn)環(huán)流（AMOC）崩潰，等等。

在系統(tǒng)生物學、醫(yī)學和神經(jīng)科學領(lǐng)域里，突變理論被用于研究新陳代謝如何發(fā)生和轉(zhuǎn)化、一個干細胞如何突然分化成特定類型的細胞如神經(jīng)元或肌肉細胞、正常細胞如何突然轉(zhuǎn)化為癌細胞以及如何確定癌細胞的惡性轉(zhuǎn)移路徑、復雜疾病如心梗和腦梗突發(fā)如何發(fā)生，還有心理學中的精神崩潰和頓悟以及人在認知及決策過程中為何會突然做出一個重大決定，等等。

在網(wǎng)絡(luò)科學中，突變理論被用于研究級聯(lián)失效，如金融網(wǎng)絡(luò)癱瘓、電網(wǎng)崩潰、互聯(lián)網(wǎng)斷網(wǎng)事故，等等。甚至在數(shù)據(jù)科學與機器學習領(lǐng)域中，拓樸數(shù)據(jù)分析里的計算幾何學以及深度學習中損失函數(shù)的“尖點”幾何結(jié)構(gòu)等等，也都紛紛開始和突變理論聯(lián)手。

四、結(jié)語

本文介紹的內(nèi)容屬于“初等”突變理論，側(cè)重于對不連續(xù)現(xiàn)象進行識別和分類，而現(xiàn)代科學研究更關(guān)注預警信號的探測以及高維系統(tǒng)和非平衡系統(tǒng)的各種動力學相變。更廣義、更復雜的突變理論仍在發(fā)展進程中。盡管前面提及的突變理論的應(yīng)用前景頗為令人鼓舞，目前真正的應(yīng)用尚處于開發(fā)階段，至今沒有幾個特別成功的實證例子。因此，前面提到的關(guān)于對突變理論的歷史爭論確實不是無風起浪。本文寫了許多正面的內(nèi)容和評價，但反面意見也相當強烈。作為對中間立場意見的介紹，我愿意引用老朋友馬丁·戈盧比茨基（Martin Golubitsky，1945-）1978年在SIAM Review雜志上發(fā)表的一篇綜述里的一句評論：

“關(guān)于突變理論的評論五花八門，從‘第一個解釋參數(shù)連續(xù)變化如何導致不連續(xù)現(xiàn)象的理論’或‘研究生物學和社會科學中定性問題所必需的數(shù)學類型’，到‘一些不錯的觀察結(jié)果被完全沒有根據(jù)的推測所覆蓋’。不過，如通常那樣，真相介乎于這兩者之間?！?/p>

本文轉(zhuǎn)載自《集智俱樂部》微信公眾號

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