|作者：雷宇昇　倪冉?

(南洋理工大學(xué)化學(xué)化工與生物技術(shù)學(xué)院）

本文選自《物理》2025年第11期

摘要無序超均勻結(jié)構(gòu)是一類獨(dú)特的物質(zhì)狀態(tài)，整體表現(xiàn)為無序，但其在大尺度上的密度漲落卻像晶體或準(zhǔn)晶一樣受到顯著抑制，同時(shí)又不具備任何長程取向有序。近年來，這種獨(dú)特的結(jié)構(gòu)在多個(gè)自然體系中被廣泛發(fā)現(xiàn)。隨著研究的深入，科學(xué)家們逐漸認(rèn)識(shí)到，超均勻性不僅與非平衡統(tǒng)計(jì)物理中的諸多關(guān)鍵性質(zhì)密切相關(guān)，還可以通過合理設(shè)計(jì)在人造非平衡體系中實(shí)現(xiàn)。由于同時(shí)兼具無序性與大尺度有序性的特點(diǎn)，超均勻結(jié)構(gòu)在材料科學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域展現(xiàn)出廣泛的潛在應(yīng)用前景，推動(dòng)其成為一個(gè)新興的跨學(xué)科研究熱點(diǎn)。文章將回顧該領(lǐng)域近年來的重要進(jìn)展，重點(diǎn)介紹幾類典型非平衡體系中出現(xiàn)的動(dòng)態(tài)超均勻結(jié)構(gòu)，包括吸收態(tài)相變臨界點(diǎn)附近的臨界超均勻性、非平衡流體中的超均勻態(tài)，以及活性物質(zhì)和生物系統(tǒng)中形成的超均勻結(jié)構(gòu)等。

關(guān)鍵詞超均勻，非平衡流體，活性物質(zhì)

01

引 言

眾所周知，物質(zhì)可根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)被分為不同的物態(tài)，比如根據(jù)物質(zhì)中粒子排布的有序程度可將物質(zhì)分為有序態(tài)和無序態(tài)。其中，有序態(tài)包括晶體、準(zhǔn)晶等，其粒子排布具有一定的規(guī)則性，如具有某種空間上的對(duì)稱性破缺。而無序態(tài)的范圍則更為廣泛，包括常見的氣態(tài)、液態(tài)、等離子態(tài)等物態(tài)，其粒子排布不具有規(guī)則性，而是展現(xiàn)出較強(qiáng)的隨機(jī)性。如圖1(a)，(b)所示，相比于有序態(tài)在空間中的均勻整齊，無序態(tài)往往在空間中排布疏密不均[1]。

我們都知道，自然界中很少有真正的“非黑即白”，看起來水火不容的事物，在漫長的演化中即使有也常常會(huì)被自然巧妙地調(diào)和。這就引出一個(gè)有趣的問題：能不能存在這樣一種物態(tài)或結(jié)構(gòu)，既保持有序體系般在整體上的高度均勻，又允許存在無序體系那樣在局部上的隨機(jī)性？換句話說，無序體系能不能做到像有序體系一樣“排得很勻”？自然界給出的答案是：能。

一個(gè)直觀的例子是某些干旱地區(qū)的植物分布[2]。為了在貧瘠的環(huán)境中更高效地利用水分和養(yǎng)分，植物往往會(huì)“主動(dòng)拉開距離”：相鄰植株的間距大致相同，從而避免過度競爭；但由于種子自發(fā)傳播和著生位置本身帶有隨機(jī)性，每棵植物又不會(huì)像人工栽種那樣嚴(yán)格落在規(guī)則格點(diǎn)上。這樣一來，就形成了既均勻又不死板的空間格局，整體上看提高了植物的存活機(jī)會(huì)。類似的例子還有很多，比如為了更靈敏地感光而演化出的鳥類（如雞）視網(wǎng)膜上幾乎均勻、卻又不規(guī)則的感光細(xì)胞排布；又比如為了更高效輸運(yùn)而形成的植物葉片中的葉脈網(wǎng)絡(luò)。這些結(jié)構(gòu)有一個(gè)共同特點(diǎn)：大尺度上非常均勻，小尺度上仍然保留隨機(jī)性。這種夾在有序結(jié)構(gòu)和完全隨機(jī)結(jié)構(gòu)之間特殊多體組織方式，就是本文要討論的超均勻性——既不像晶體那樣一板一眼，又不像完全無序那樣雜亂無章。

圖1 (a)無序態(tài)(泊松點(diǎn)分布)、(b)有序態(tài)(周期性晶格結(jié)構(gòu))與(c)超均勻態(tài)。圖中

代表計(jì)算粒子數(shù)漲落采樣過程中選取的采樣窗口，其空間 尺度為

R

，采樣窗口位置為

X

2003年，Torquato和Stillinger提出了一個(gè)新概念——無序超均勻結(jié)構(gòu)(disordered hyperuniformity)[3，4]，如圖1(c)所示[1]。該物態(tài)是一種介于完全有序與完全無序之間的奇特?zé)o定形狀態(tài)，具有雙重特性：一方面如晶體般在大尺度上密度漲落是被強(qiáng)烈抑制的，另一方面又像液體或氣體那樣在統(tǒng)計(jì)上保持各向同性，且不產(chǎn)生布拉格散射峰。同時(shí)，從性能上看，比如光學(xué)性質(zhì)，無序超均勻結(jié)構(gòu)也和晶體或準(zhǔn)晶這種有序的超均勻結(jié)構(gòu)很類似，為設(shè)計(jì)無序光學(xué)材料提供了新思路。最近十多年，具有這種特性的結(jié)構(gòu)在自然界中被廣泛發(fā)現(xiàn)，例如雞視網(wǎng)膜中的光感受器排列[5]、植物的葉脈網(wǎng)絡(luò)[6]、最密隨機(jī)堆積結(jié)構(gòu)[7]，甚至在宇宙早期的物質(zhì)分布[8]中也存在類似特征。除了這些自然界中的例子，近些年來，研究人員在多種非平衡體系中也發(fā)現(xiàn)了一系列無序超均勻結(jié)構(gòu)[9]，包括但不限于：理想玻璃態(tài)[10]、受剪切的顆粒系統(tǒng)[11]、自驅(qū)動(dòng)粒子系統(tǒng)[12—18]、形狀不規(guī)則的非布朗粒子沉降體系[19]、非互易相互作用的機(jī)器人系統(tǒng)[20]等。隨著對(duì)該結(jié)構(gòu)性質(zhì)的深入理解，無序超均勻性不僅在物理學(xué)、數(shù)學(xué)與生物學(xué)等基礎(chǔ)研究中展現(xiàn)出重要意義，也在若干前沿技術(shù)領(lǐng)域中展現(xiàn)出潛在應(yīng)用價(jià)值。

02

超均勻性與超均勻結(jié)構(gòu)

2.1　超均勻性的基本概念

考慮一個(gè)位于

維歐幾里得空間中的點(diǎn)陣，如圖1所示，若定義

N

R

)為在線尺度

R

內(nèi)的任意采樣窗口

中的點(diǎn)數(shù)目，則該尺度下的點(diǎn)數(shù)波動(dòng)可表示為

其中<>為體系平均值的函數(shù)。如果考慮的點(diǎn)分布是完全隨機(jī)的，例如泊松點(diǎn)分布，點(diǎn)數(shù)漲落滿足
。而對(duì)于有序點(diǎn)分布，例如周期性晶格結(jié)構(gòu)，點(diǎn)數(shù)漲落滿足。超均勻的點(diǎn)陣模式可以被定義為：點(diǎn)數(shù)漲落隨著長度尺度R的變化滿足[3]：

其中，當(dāng)

=1時(shí)，稱點(diǎn)分布處于最大超均勻狀態(tài)，其在大尺度上的點(diǎn)數(shù)波動(dòng)的冪律標(biāo)度與完美晶體等有序結(jié)構(gòu)相同，即約等于

R

-1 。因此，雖然在小尺度上呈現(xiàn)出一定的隨機(jī)性，而在大尺度上卻如晶體般均勻的無序超均勻結(jié)構(gòu)常被研究者稱為“無序晶體”。

除了使用點(diǎn)數(shù)漲落來表征超均勻性，在多粒子體系中，還可以利用體系的結(jié)構(gòu)因子來表征體系在大尺度上的結(jié)構(gòu)特征，其定義為

其中
是體系的總關(guān)聯(lián)函數(shù)

h

r)≡

g

r)-1的傅里葉變換，這里

g

r) 是體系的徑向分布函數(shù)(或稱兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù))，k為傅里葉空間的波矢，

為體系的密度。對(duì)于完全隨機(jī)的泊松點(diǎn)陣分布而言，在整個(gè)波矢k空間上均滿足

S

k)=1，而對(duì)于完美晶體，則在布拉格峰之外的整個(gè)波矢k空間上滿足

S

k)=0。對(duì)于超均勻體系，在大尺度上，即|k|→0時(shí)，結(jié)構(gòu)因子滿足：

由于
，從而有

S

k|→0)=0，這反映了超均勻體系不具有長程漲落。此外，一般來說，超均勻體系的結(jié)構(gòu)因子通常滿足一定的冪律標(biāo)度：

且根據(jù)大尺度下的漸近分析，指數(shù)

與點(diǎn)數(shù)漲落

N

2 (

R

)相關(guān)，并可用于分類不同的超均勻體系：

此外，超均勻性概念還可被推廣至標(biāo)量場體系，如兩相介質(zhì)體系。考慮一個(gè)標(biāo)量場

r)，其自協(xié)方差函數(shù)：

其中r=r2-r1，

為該標(biāo)量場的均值。若對(duì)

r)進(jìn)行傅里葉變換，類似于一般的點(diǎn)陣分布或者多粒子系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)因子，我們可得到體系譜密度函數(shù)。從而，對(duì)于標(biāo)量場體系，超均勻性也可由在大尺度極限下的譜密度函數(shù)定義，即，其趨于零也代表超均勻標(biāo)量場不具有長程漲落。

2.2　超均勻結(jié)構(gòu)的例子

2.2.1　雞眼中的視覺細(xì)胞分布

眼睛作為一種光感受器，其視網(wǎng)膜上的視錐細(xì)胞在感受不同波長的光線方面起著至關(guān)重要的作用。通常，為了優(yōu)化光線感知，這些感光細(xì)胞在視網(wǎng)膜上的排布需要滿足兩個(gè)條件：高密度和 均勻。前者是因?yàn)橐暰W(wǎng)膜的面積有限，生物體通常希望排列盡可能多的感光細(xì)胞，而后者則是確保在不同方向上收集到的光信號(hào)是均勻的。人類具有三種感光細(xì)胞，分別感知紅、綠、藍(lán)三個(gè)波長區(qū)間的光，從而形成視覺。對(duì)于這樣三種大小和數(shù)目一樣的感光細(xì)胞，其最優(yōu)的排布方式是六方晶格，因其既是二維的最密堆積結(jié)構(gòu)同時(shí)又是超均勻的超晶格結(jié)構(gòu)。許多昆蟲的復(fù)眼及部分魚類、爬行動(dòng)物的視錐細(xì)胞分布即遵循此規(guī)律。然而，研究發(fā)現(xiàn)，雞作為視覺敏銳的生物，擁有五種不同類型但是大小、數(shù)目一樣的視錐細(xì)胞。由于幾何規(guī)則的限制，這些細(xì)胞并不能在視網(wǎng)膜上排列成完全規(guī)則的高密度超晶格結(jié)構(gòu)。

圖2　超均勻結(jié)構(gòu)的例子：雞眼 (a)雞眼視網(wǎng)膜中的視錐細(xì)胞；(b)紫色光視錐細(xì)胞空間分布以及(c)5種不同細(xì)胞總體分布。其中，右上小圖為對(duì)應(yīng)分布的結(jié)構(gòu)因子[5]

在2014年的一項(xiàng)研究中，研究人員通過測量雞視網(wǎng)膜中視錐細(xì)胞的分布結(jié)構(gòu)因子

S

k

)，發(fā)現(xiàn)其分布呈現(xiàn)出超均勻性的特征，即在大尺度下，滿足

S

k

→0)=0 [5] ，如圖2所示。更重要的是，研究顯示，不僅視錐細(xì)胞系統(tǒng)總體上呈現(xiàn)超均勻性，每種不同類型的視錐細(xì)胞也都展現(xiàn)了類似的超均勻分布。這一現(xiàn)象被稱為“多重超均勻性”(multihyperuniformity)，即在系統(tǒng)整體呈現(xiàn)超均勻性的同時(shí)，多個(gè)不同的子系統(tǒng)也同時(shí)具備超均勻性。這說明，在自然界的漫長演化過程中，無序超均勻結(jié)構(gòu)作為在無序狀態(tài)下的有序晶體結(jié)構(gòu)替代，可能是實(shí)現(xiàn)視覺功能優(yōu)化的一種策略。這種超均勻性可使得雞能夠以較優(yōu)的方式感知光線，從而在復(fù)雜的視覺環(huán)境中獲得更精確的感知能力。

2.2.2　葉片中的葉脈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

葉脈網(wǎng)絡(luò)是植物葉片中至關(guān)重要的生理結(jié)構(gòu)，承擔(dān)著水分和養(yǎng)分的運(yùn)輸任務(wù)，同時(shí)也為葉片提供了必要的力學(xué)支撐。如圖3(a)—(d)所示，葉片中的粗大主脈形成了次級(jí)脈的分支網(wǎng)絡(luò)，而這些次級(jí)脈則發(fā)展出封閉的環(huán)狀結(jié)構(gòu)。2024年，一項(xiàng)研究通過分析這些封閉環(huán)狀結(jié)構(gòu)形成的泡孔結(jié)構(gòu)，測量了由幾何中心構(gòu)成的點(diǎn)分布，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)因子在大尺度上展現(xiàn)出超均勻性，并發(fā)現(xiàn)一些不同種類葉片具有普適的超均勻標(biāo)度律

S

k

k

0.64 [6] ，如圖3(e)，(f)所示。研究人員進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，葉片中葉脈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之所以呈現(xiàn)超均勻性，是因?yàn)檫@樣的結(jié)構(gòu)特性使得葉脈系統(tǒng)在水分和養(yǎng)分的傳輸效率上遠(yuǎn)超其他無序網(wǎng)絡(luò)，并為植物在有限的空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)高效的物質(zhì)交換提供了一個(gè)優(yōu)化的解決方案。

圖3　超均勻結(jié)構(gòu)的例子：葉脈網(wǎng)絡(luò) (a，b)葉子與葉脈的圖片；(c，d)葉脈網(wǎng)絡(luò)形成的泡孔結(jié)構(gòu)，及其幾何中心構(gòu)成的點(diǎn)分布；(e，f)葉脈網(wǎng)絡(luò)形成的泡孔結(jié)構(gòu)點(diǎn)分布的結(jié)構(gòu)因子以及不同尺度上的粒子數(shù)漲落。其中，紫色虛線示意了結(jié)構(gòu)因子的超均勻標(biāo)度律

S

k

)～

k

0.64 (圖(e))，與其對(duì)應(yīng)的粒子數(shù)漲落標(biāo)度律

N2(

R

)～

R

1.35(圖(f))，黃色虛線示意了典型的非超均勻粒子數(shù)漲落標(biāo)度律

σN

2(

R

)～

R

2(圖(f))

2.3　無序超均勻結(jié)構(gòu)的應(yīng)用

近年來，隨著人們對(duì)無序超均勻結(jié)構(gòu)的理解不斷深入，這種新的物態(tài)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用潛力逐漸開始顯現(xiàn)。比如，研究人員發(fā)現(xiàn)，由于無序超均勻結(jié)構(gòu)與晶體結(jié)構(gòu)在長程上的相似性，它能像傳統(tǒng)光子晶體一樣產(chǎn)生光子帶隙，從而在光子芯片等領(lǐng)域中具有潛在應(yīng)用[21，22]。值得注意的是，與一般晶體不同，由于無序超均勻結(jié)構(gòu)不具有平移/旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性破缺，其具有的光子帶隙是各向同性的。與傳統(tǒng)光子晶體相比，在被用于波導(dǎo)時(shí)，由于超均勻態(tài)的光子帶隙是各向同性的，在拐角處的波損耗被極大減少，設(shè)計(jì)的自由度極大提升，從而使無序超均勻材料相比傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)材料更具優(yōu)勢[21]。

此外，除了在光學(xué)體系中的應(yīng)用，超均勻結(jié)構(gòu)在電子輸運(yùn)體系中也具有潛在應(yīng)用。通過研究超均勻的非晶態(tài)二維二氧化硅結(jié)構(gòu)，研究人員發(fā)現(xiàn)超均勻結(jié)構(gòu)使體系內(nèi)的電子波局域化，顯著降低了電子帶隙。與晶體相比，二維二氧化硅結(jié)構(gòu)的帶隙幾乎完全閉合，使其事實(shí)上具有金屬性，從而增強(qiáng)了體系中的電子輸運(yùn)行為[23]。超均勻態(tài)的結(jié)構(gòu)特殊性打破了體系越無序電子輸運(yùn)效率越低的傳統(tǒng)觀點(diǎn)，并在二維材料以及固體物理等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。

03

非平衡態(tài)體系的例子

3.1　隨機(jī)組織體系中的超均勻

3.1.1　超均勻臨界吸收態(tài)結(jié)構(gòu)

在2005年，Pine和其合作者們通過實(shí)驗(yàn)研究了受到周期性剪切作用下的球形聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)粒子懸浮液體系[24]。他們發(fā)現(xiàn)，在低雷諾數(shù)條件下，這種受到緩慢剪切的非布朗懸浮液中的粒子動(dòng)力學(xué)具有高度不可逆性和混沌特性，并展現(xiàn)出一種可逆—不可逆轉(zhuǎn)變。通過測量粒子的軌跡，研究人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剪切應(yīng)變幅度

超過一個(gè)與體系濃度相關(guān)的閾值

c 時(shí)，由于體系中粒子碰撞運(yùn)動(dòng)的混沌性，粒子在一個(gè)剪切周期的運(yùn)動(dòng)后無法回到初始位置，即不可逆態(tài)。若小于該閾值，則可以回到初始位置，即可逆態(tài)。

為了進(jìn)一步研究可逆—不可逆轉(zhuǎn)變的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，Corté等人提出了一種稱作隨機(jī)組織(random organization，RO)的模型[25]。如圖4所示，在該模型中，為模擬前述周期性剪切懸浮液實(shí)驗(yàn)中粒子的動(dòng)力學(xué)行為，研究者假設(shè)系統(tǒng)包含一定數(shù)量的粒子，并置于矩形模擬盒中，且該系統(tǒng)受到一應(yīng)變幅度為

的周期性剪切作用。當(dāng)體系受到剪切作用時(shí)，體系中的一部分粒子會(huì)與其他粒子發(fā)生碰撞，這部分粒子被稱作活躍粒子。為模擬文獻(xiàn)[24] 體系中的不可逆混沌動(dòng)力學(xué)，所有活躍粒子會(huì)被給予在給定區(qū)間內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)大小和方向的位移。從而，當(dāng)應(yīng)變幅度較小時(shí)，因?yàn)轶w系中的粒子碰撞較少，經(jīng)過若干次剪切后，體系中活躍粒子的數(shù)量逐漸減少至零，系統(tǒng)進(jìn)入可逆狀態(tài)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡最終穩(wěn)定。而當(dāng)應(yīng)變幅度較大時(shí)，粒子較易發(fā)生碰撞，從而活躍粒子持續(xù)存在，系統(tǒng)維持在一個(gè)穩(wěn)定的混沌不可逆狀態(tài)。當(dāng)選擇穩(wěn)態(tài)的活躍粒子比例

f

a

∞ 作為序參量，這種可逆—不可逆轉(zhuǎn)變可以被描述為一種吸收態(tài)相變。即當(dāng)

f

a

∞ =0時(shí)，系統(tǒng)處于吸收態(tài)，即體系無法自發(fā)逃離該狀態(tài)；而當(dāng)

f

a

∞ >0時(shí)，系統(tǒng)處于活躍態(tài)。當(dāng)

c 時(shí)，隨著

的增加，

f

a

∞ 發(fā)生平滑的連續(xù)變 化，從吸收態(tài)逐漸過渡至活躍態(tài)，展現(xiàn)出連續(xù)相變的特征。

圖4　守恒定向滲流普適類中吸收態(tài)相變臨界點(diǎn)的超均勻結(jié)構(gòu) (a)二維RO模型在不同剪切應(yīng)變下的結(jié)構(gòu)密度漲落；(b)一維RO模型在不同密度下的結(jié)構(gòu)密度漲落；(c)二維CLG模型在不同密度下的結(jié)構(gòu)因子[26]。其中

為剪切應(yīng)變幅度，

為體系的密度

隨后，在隨機(jī)組織模型的臨界吸收相變點(diǎn)處，定義密度漲落為，

l

為密度漲落對(duì)應(yīng)的線尺度。研究發(fā)現(xiàn)，體系在大尺度上的密度漲落表現(xiàn)出異常的被抑制現(xiàn)象，說明該系統(tǒng)具有超均勻性 [26] 。如圖4(a)所示，隨著應(yīng)變幅度

從吸收態(tài)逐漸逼近臨界相變點(diǎn)

c ，體系密度漲落的超均勻標(biāo)度行為

2 (

l

l

-2.45 在

l

→∞大尺度處逐漸顯現(xiàn)。此外，在文獻(xiàn)[27]中，研究者證實(shí)隨機(jī)組織模型的吸收態(tài)相變屬于守恒定向滲流(CDP)普適類。該普適類可描述一系列具有相似臨界行為和相同臨界指數(shù)的模型。為了驗(yàn)證是否同一普適類中的其他模型在臨界點(diǎn)也表現(xiàn)出相同的超均勻結(jié)構(gòu)特征，文獻(xiàn)[26]進(jìn)一步研究了CDP普適類中的另外兩個(gè)模型，即Manna沙堆模型和守恒晶格氣體(CLG)模型。

在二維CLG模型中，研究者計(jì)算了粒子密度漲落

2 (

l

) 和結(jié)構(gòu)因子

S

k

)，并發(fā)現(xiàn)其密度漲落標(biāo)度行為與二維RO模型的結(jié)果一致，即

2 (

l

→∞)~

l

-2.45 ，并且也與結(jié)構(gòu)因子在小波數(shù)區(qū)域(即大尺度區(qū)域)呈現(xiàn)的標(biāo)度關(guān)系相符合，即

S

k

k

0.45 ，如圖4(c)所示。這說明該臨界超均勻結(jié)構(gòu)具有普適性。此外，研究者還對(duì)一維與三維CDP系統(tǒng)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)一維RO模型的密度漲落在臨界點(diǎn)處滿足超均勻標(biāo)度關(guān)系

2 (

l

→∞)~

l

-1.425 (圖4(b))，而在三維CLG模型中，其密度漲落的超均勻標(biāo)度關(guān)系為

2 (

l

→∞)~

l

-3.24 。這表明，CDP普適類在臨界點(diǎn)的超均勻標(biāo)度行為依賴于系統(tǒng)的維度。

圖5　剪切懸濁液體系中超均勻臨界態(tài)的結(jié)構(gòu)因子。圖中

為體系的粒子體積分?jǐn)?shù)，三角形標(biāo)識(shí)表明了結(jié)構(gòu)因子在大尺度波動(dòng)(

k

→0)上符合S(

k

k

0.25 的標(biāo)度關(guān)系 [14]

為了在實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證三維臨界吸收相變點(diǎn)處的超均勻性，Wilken等人研究了周期性剪切懸浮液在吸收態(tài)相變過程中的結(jié)構(gòu)變化，其實(shí)驗(yàn)裝置與文獻(xiàn)[24]中的設(shè)置類似。他們通過測量粒子在每個(gè)應(yīng)變周期內(nèi)的均方位移來確定不同粒子體積分?jǐn)?shù)

下的臨界應(yīng)變幅度

c ，并進(jìn)一步計(jì)算了臨界相變點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)因子

S

k

)，如圖5所示。在臨界點(diǎn)處，同前人三維體系模擬得到的結(jié)果類似，他們也觀察到結(jié)構(gòu)因子在小波數(shù)區(qū)域滿足超均勻標(biāo)度關(guān)系

S

k

k

0.25[14]。

3.1.2　超均勻活躍態(tài)

在上一小節(jié)中，我們介紹了守恒定向滲流普適類以及其中代表性的隨機(jī)組織模型在吸收態(tài)相變臨界點(diǎn)處的超均勻現(xiàn)象。在隨后的一篇文獻(xiàn)中，Hexner等人又對(duì)基于隨機(jī)組織模型的變體進(jìn)行了研究[28]。與原始模型相比，他們?cè)谙到y(tǒng)中引入了質(zhì)心守恒(CMC)條件，并發(fā)現(xiàn)這一修改能夠產(chǎn)生新的超均勻態(tài)。如圖6(a)所示，在該模型中，活躍粒子不再是完全隨機(jī)的位移，而是給予碰撞粒子對(duì)的中心連線方向的大小相同方向相反的位移。位移大小從均勻分布[0,

]中隨機(jī)選取，其中

為粒子直 徑，從而保證系統(tǒng)的質(zhì)心守恒。在這個(gè)工作中，為簡便起見，研究者選擇了零應(yīng)變(

=0)的二維體系進(jìn)行模擬研究，這樣一來，體系在吸收態(tài)相變中所處的狀態(tài)可由粒子密度所控制。他們研究了不同粒子密度

下的結(jié)構(gòu)因子

S

k

)，結(jié)果如圖6(b)所示?？梢杂^察到，在吸收態(tài)相變臨界點(diǎn)，該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)因子仍然滿足與原始RO模型相同的標(biāo)度關(guān)系

S

k

k

0.45 。此外，他們發(fā)現(xiàn)滿足質(zhì)心守恒的RO模型在活躍態(tài)時(shí)呈現(xiàn)出一個(gè)新的、與維度無關(guān)的結(jié)構(gòu)因子標(biāo)度關(guān)系

S

k

k

2 ，這表明質(zhì)心守恒條件在活躍態(tài)中抑制了長程密度漲落，并誘導(dǎo)出強(qiáng)烈的長程超均勻性。

圖6 具有質(zhì)心守恒的RO模型中的臨界點(diǎn)和活躍態(tài)超均勻結(jié)構(gòu) (a)RO模型的示意圖；(b)RO模型在不同密度下的結(jié)構(gòu)因子[28]

此外，他們還在守恒定向滲流普適類中的另一模型，即Manna模型，中加入質(zhì)心守恒，以驗(yàn)證該機(jī)制的普適性。研究發(fā)現(xiàn)，在相應(yīng)的臨界狀態(tài)和活躍態(tài)下，該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)因子也表現(xiàn)出與質(zhì)心守恒的RO模型相同的超均勻標(biāo)度行為。

3.2　活性物質(zhì)體系中的超均勻態(tài)

3.2.1　超均勻隨機(jī)組織流體

在3.1中，我們介紹了基于隨機(jī)組織模型的一類超均勻體系，包括守恒定向滲流普適類臨界點(diǎn)的超均勻結(jié)構(gòu)以及滿足質(zhì)心守恒的活躍態(tài)的超均勻結(jié)構(gòu)。值得注意的是，因?yàn)檎鎸?shí)粒子具有慣性，所以這類系統(tǒng)無法在任何實(shí)際的粒子系統(tǒng)中直接實(shí)現(xiàn)。為解決這個(gè)問題，如圖7(a)所示，文獻(xiàn)[29—31]中提出了一個(gè)基于硬球流體的非平衡態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。在該模型中，粒子的質(zhì)量為

m

，直徑為

0 ，系統(tǒng)的密度由無量綱量描述，其中

為體系的維度。與常規(guī)的硬球流體不同，該系統(tǒng)中的粒子在發(fā)生碰撞時(shí)，不僅遵循彈性碰撞規(guī)則，還會(huì)額外獲得一份活性動(dòng)能Δ

E

，并由碰撞的兩個(gè)粒子平均分配，即激發(fā)碰撞作用。此外，在兩次碰撞間隔期間，粒子受到與其速度

v

成正比的阻力-

0

v

損耗其動(dòng)能，其中

0 是線性阻尼系數(shù)。由此可見，該系統(tǒng)符合常見的驅(qū)動(dòng)耗散系統(tǒng)的特征，并且相行為由兩個(gè)特征長度尺度控制：(1)低密度下的粒子平均自由程，表示粒子兩次連續(xù)碰撞之間的特征距離；(2)耗散長度，表示單個(gè)孤立粒子獲得活性能量后在阻尼作用下停止行進(jìn)的特征距離。

與RO模型類似，該體系也展現(xiàn)出吸收態(tài)相變。當(dāng)

l

l

m 時(shí)，系統(tǒng)最終陷入吸收態(tài)，體系中的粒子會(huì)歸于靜止；而當(dāng)

l

l

m時(shí) ，系統(tǒng)會(huì)自組織形成一個(gè)穩(wěn)態(tài)活性流體，并具有正的動(dòng)力學(xué)溫度

T

k >0。該系統(tǒng)的相圖如圖7(b)所示，其中虛線表示該平均場理論對(duì)相邊界的預(yù)測(

l

l

m)。

圖7　硬球流體非平衡態(tài)動(dòng)力學(xué)模型中的吸收態(tài)相變以及超均勻活性流體 (a)硬球流體的相互作用示意圖；(b)吸收態(tài)相變相圖；(c，d)平衡態(tài)流體與超均勻態(tài)流體的區(qū)別；(e)在不同密度下的結(jié)構(gòu)因子[29]

通過測量吸收態(tài)相變臨界指數(shù)，研究者發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)也可歸類為守恒定向滲流普適類，并且發(fā)現(xiàn)該體系二維臨界點(diǎn)結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子滿足標(biāo)度關(guān)系

S

k

k

0.45 ，這與前面所述的一致。此外，在二維和三維系統(tǒng)的活性流體中，結(jié)構(gòu)因子表現(xiàn) 出更強(qiáng)的

S

k

k

2的超均勻標(biāo)度行為。為更深入理解活性流體中的超均勻性，研究者提出了一種基于廣義Navier—Stokes (NS)方程的流體動(dòng)力學(xué)理論。

與一般NS方程不同，由于驅(qū)動(dòng)—耗散體系的特性，體系的動(dòng)量和能量并不守恒。這是因?yàn)樵摿黧w受到阻尼摩擦作用，
為流體的阻尼系數(shù)。而激發(fā)碰撞反映在噪聲項(xiàng)里。對(duì)NS方程進(jìn)行流體力學(xué)線性化，并在空間上作傅立葉變換，研究者發(fā)現(xiàn)體系的密度漲落，其中是體系的平均密度，在傅立葉k空間中滿足一個(gè)等效的隨機(jī)簡諧振子的運(yùn)動(dòng)方程。如圖7(c)所示，當(dāng)阻尼系數(shù)=0時(shí)，體系的行為類似于低密度平衡態(tài)流體，滿足

S

k

)?1，這可以理解為該等效振子處于共振態(tài)，在一定熱浴溫度下(即驅(qū)動(dòng)噪聲強(qiáng)度固定時(shí))，根據(jù)能量均分定理，諧振子的振幅是恒定的。而當(dāng)系統(tǒng)處于較大阻尼狀態(tài) >0時(shí)，體系在一定長度尺度之上，即

k

l

d -1 ，會(huì)表現(xiàn)出超均勻標(biāo)度行為

S

k

k

2， 如圖7(e)所示。這一行為可解釋為該等效諧振子處于過阻尼狀態(tài)，其等效阻尼系數(shù)無限大，從而導(dǎo)致等效諧振子的振幅被抑制為零，如圖7(d)所示。此外，值得注意的是，在該過阻尼狀態(tài)下，該方程形式可以被用來描述質(zhì)心守恒的RO模型的活躍態(tài)超均勻體系 [28] 。這說明這種超均勻活性流體與RO模型的超均勻活躍態(tài)具有相似的物理機(jī)制。

隨后，為了在活性物質(zhì)體系中進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)超均勻活性流體，文獻(xiàn)[29]基于自驅(qū)動(dòng)陀螺模型提出了一種更加現(xiàn)實(shí)的超均勻流體態(tài)。在該模型中，自驅(qū)動(dòng)陀螺由兩個(gè)剛性連接的粒子組成，在外力矩的驅(qū)動(dòng)下，陀螺會(huì)自發(fā)高速旋轉(zhuǎn)。當(dāng)兩個(gè)陀螺碰撞時(shí)，陀螺的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)槠揭苿?dòng)能，從而實(shí)現(xiàn)了激發(fā)碰撞作用，使體系的平動(dòng)動(dòng)能增加；而當(dāng)陀螺在空間中作自由平動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其又會(huì)受到環(huán)境的摩擦阻力，從而耗散平動(dòng)動(dòng)能。在無熱條件下，當(dāng)體系密度和外場足夠大時(shí)，研究者發(fā)現(xiàn)這種陀螺流體會(huì)呈現(xiàn)出與之前模型一樣的超均勻標(biāo)度，即

S

k

k

2 ， 如圖(8)所示。這樣一來，前述超均勻流體便可在這種自驅(qū)動(dòng)陀螺體系中被實(shí)現(xiàn)。

圖8　自驅(qū)動(dòng)陀螺模型中的超均勻流體態(tài) (a)自驅(qū)動(dòng)陀螺模型示意圖；(b)自驅(qū)動(dòng)陀螺流體在不同驅(qū)動(dòng)力下的結(jié)構(gòu)因子，圖中

為驅(qū)動(dòng)陀螺旋轉(zhuǎn)的外力矩，

為陀螺之間WCA排斥相互作用的強(qiáng)度 [29]

3.2.2　超均勻手性活性粒子體系

在上小節(jié)中，我們介紹了一種超均勻流體及其在自驅(qū)動(dòng)陀螺體系中的實(shí)現(xiàn)。類似地，在文獻(xiàn)[18]中，研究者們通過布朗動(dòng)力學(xué)模擬研究了一種自驅(qū)動(dòng)手性粒子系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中，所有粒子受到垂直于粒子運(yùn)動(dòng)平面的相同驅(qū)動(dòng)力矩

，并且粒子之間通過Weeks—Chandler—Andersen (WCA)勢能相互作用。在熱浴溫度T，粒子的運(yùn)動(dòng)由過阻尼的朗之萬方程控制。由于所有粒子受到相同驅(qū)動(dòng)力作用，在無熱極限

T

=0下，體系中的所有粒子作具有相同手性的圓周運(yùn)動(dòng)，且其旋轉(zhuǎn)半徑

R

與驅(qū)動(dòng)力成反比。

并且，隨著粒子的面積分?jǐn)?shù)或圓周運(yùn)動(dòng)半徑的增加，通過測量粒子的均方位移(MSD)，研究者發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷從無碰撞的吸收態(tài)(即擴(kuò)散系數(shù)

D

=0)到有粒子碰撞的碰撞活躍態(tài)(擴(kuò)散系數(shù)

D

>0)的相變。在低粒子面積分?jǐn)?shù)(

=0.2)下，粒子會(huì)在活躍態(tài)中做布朗擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，其均方位移隨時(shí)間滿足MSD～

t

。并在大尺度上，研究觀察到了強(qiáng)超均勻性，如圖9(a)，(b)所示，其粒子密度漲落滿足<

δρ

2 (

L

→∞)>～

L

-3 ，并且結(jié)構(gòu)因子標(biāo)度關(guān)系為

S

k

→0)～

k

2 。

圖9　自驅(qū)動(dòng)手性粒子體系中的超均勻 (a，b)在

=0.2時(shí)，低密度體系在不同旋轉(zhuǎn)半徑下的密度漲落與結(jié)構(gòu)因子；(c，d)在

=0.4時(shí)，高密度體系在不同旋轉(zhuǎn)半徑下的密度漲落與結(jié)構(gòu)因子 [18]

而在更高的粒子面積分?jǐn)?shù)(

=0.4)的活躍態(tài)中，如圖9(c)，(d)與典型體系結(jié)構(gòu)圖10所示，體系會(huì)在小于

R

的尺度上發(fā)生微觀相分離，結(jié)構(gòu)因子呈現(xiàn)臨界標(biāo)度行為

S

k

)～

k

-2 ，但在大于

R

的長度尺度上仍然保持著超均勻性，其結(jié)構(gòu)因子標(biāo)度仍為

S

k

→0)～

k

2 。在這種情況下，體系在不同尺度上同時(shí)存在兩種看似矛盾的現(xiàn)象——即小尺度上的巨密度漲落與大尺度上的超均勻性。有趣的是，類似的現(xiàn)象也在宇宙早期階段的結(jié)構(gòu)中被發(fā)現(xiàn)，即由于引力導(dǎo)致的的局部巨密度漲落與早期宇宙整體的超均勻性也是共存的 [7] 。

圖10　粒子面積分?jǐn)?shù)

=0.4時(shí)，自驅(qū)動(dòng)手性粒子體系在不同旋轉(zhuǎn)半徑

R

下的典型結(jié)構(gòu)圖像。圖中不同顏色代表粒子自驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的方向，如圖右上角顏色盤所示 [18]

為了解釋活躍態(tài)下的超均勻結(jié)構(gòu)因子標(biāo)度

S

k

→0)～

k

2 , 研究者通過將粒子的旋轉(zhuǎn)中心看做等效粒子，在大于旋轉(zhuǎn)半徑

R

的尺度上，得到了關(guān)于等效粒子的密度場方程，其基本形式與帶熱噪聲項(xiàng)的菲克擴(kuò)散方程相似。值得注意的是，與一般平衡體系不同，該體系中的粒子運(yùn)動(dòng)在無熱極限下滿足質(zhì)心守恒。因此，與平衡態(tài)體系中常見的熱噪聲不同，密度場方程中的等效噪聲亦為質(zhì)心守恒噪聲，其在大尺度上抑制長波密度漲落，并在體系中引入長程關(guān)聯(lián)，使體系呈現(xiàn)超均勻性。

在之后的一篇文章[32]中，Zhang 和 Snezhko在實(shí)驗(yàn)體系中實(shí)現(xiàn)了手性活性粒子的超均勻結(jié)構(gòu)。他們?cè)贏OT/十六烷溶液中制備了若干個(gè)梨形聚苯乙烯粒子，并將其夾在兩片玻璃片之間。如圖11(a)所示，當(dāng)體系置于一垂直于玻璃片的電場

E

時(shí)，粒子會(huì)由于Quincke旋轉(zhuǎn)原理進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)，其中一半的粒子會(huì)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，另一半逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，呈現(xiàn)不同的手性。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在不同電場強(qiáng)度下，體系會(huì)表現(xiàn)出不同的流體狀態(tài)。如圖11(b)所示，隨著外加電場的減小，粒子運(yùn)動(dòng)逐漸呈現(xiàn)渦旋流模式，伴隨超均勻結(jié)構(gòu)逐漸顯現(xiàn)，其粒子密度波動(dòng)的標(biāo)度律從<

δρ

2 >～

L

-2 轉(zhuǎn)變?yōu)?lt;

δρ

2 >～

L

-3 ， 而相應(yīng)的結(jié)構(gòu)因子的標(biāo)度律也從

S

k

)～

k

0 變?yōu)?blockquote id="443MP1D4">S

k

)～

k

1 。這一實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象定性驗(yàn)證了前述理論與數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)的手性活性粒子的超均勻結(jié)構(gòu) [18] 。值得注意的是，該實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的超均勻標(biāo)度律的指數(shù)與前述模擬結(jié)果有所不同，這可能是由于實(shí)驗(yàn)中有理論模擬中未考慮到的因素所致，例如流體動(dòng)力學(xué)效應(yīng)導(dǎo)致的復(fù)雜噪聲。

圖11　實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)的手性活性粒子的超均勻結(jié)構(gòu) (a)實(shí)驗(yàn)體系中的手性活性粒子示意圖；(b)不同電場強(qiáng)度

E

下體系的密度漲落，其中左下角子圖為不同電場強(qiáng)度下的粒子軌跡曲率，存在三種粒子流狀態(tài)：渦旋流、旋轉(zhuǎn)集群流和自轉(zhuǎn)粒子流 [32]

3.2.3　超均勻蟲黃藻體系

在文獻(xiàn)[33]中，如圖12(a)所示，Huang等人研究了蟲黃藻的自組織行為。蟲黃藻可利用其鞭毛的擺動(dòng)在氣液界面上沿著圓周軌跡運(yùn)動(dòng)；細(xì)胞的游泳行為在液體環(huán)境中產(chǎn)生流場，引發(fā)蟲黃藻之間的長程排斥作用。研究者們發(fā)現(xiàn)這種長程排斥作用可有效抑制大尺度的密度漲落，使體系呈現(xiàn)無序超均勻態(tài)。通過分析細(xì)胞分布及快照?qǐng)D像，在不同的細(xì)胞數(shù)密度下，他們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)因子在小波數(shù)極限下均滿足超均勻標(biāo)度律

S

k

→0)～

k

0.6 ，如圖12(b)所示。

圖12　蟲黃藻體系中的超均勻結(jié)構(gòu) (a)蟲黃藻作圓周游動(dòng)示意圖；(b)不同密度的實(shí)驗(yàn)(散點(diǎn))與模擬(實(shí)線)得到的蟲黃藻結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子(左上角小圖為實(shí)驗(yàn)得到的超均勻體系的典型結(jié)構(gòu)，右下角小圖為系統(tǒng)演化至穩(wěn)態(tài)后粒子的空間分布)[33]

此外，研究人員還通過計(jì)算機(jī)模擬對(duì)該體系進(jìn)行了研究。實(shí)驗(yàn)中，蟲黃藻的運(yùn)動(dòng)主要受到兩種機(jī)制的影響：(1)由圓周游動(dòng)產(chǎn)生的流體力學(xué)相互作用；(2)個(gè)體蟲黃藻的隨機(jī)跳躍運(yùn)動(dòng)。從而在他們的數(shù)值模型中，藻類之間的流體相互作用通過正則化Stokeslet方法得到細(xì)胞游動(dòng)所產(chǎn)生的流體流場，進(jìn)而得到其間相互作用力；而隨機(jī)跳躍運(yùn)動(dòng)則通過擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并結(jié)合具有長尾特性的Pareto分布進(jìn)行建模。如圖12(b)右下小圖所示，在系統(tǒng)演化至穩(wěn)態(tài)后，研究人員測量了粒子的空間分布，并計(jì)算了其結(jié)構(gòu)因子。結(jié)果表明，模擬所得的結(jié)構(gòu)因子與實(shí)驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)高度一致，這進(jìn)一步說明了實(shí)驗(yàn)中觀察到的超均勻結(jié)構(gòu)來源于藻類細(xì)胞圓周游動(dòng)所引發(fā)的長程流體動(dòng)力學(xué)相互作用。

04

總結(jié)與展望

無序超均勻性的概念提出已有二十余年，但在近年來其重要性才廣泛被認(rèn)識(shí)到。在平衡態(tài)系統(tǒng)中，若要實(shí)現(xiàn)無序超均勻結(jié)構(gòu)，人們通常需要精細(xì)設(shè)計(jì)的長程相互作用勢能，而這在實(shí)驗(yàn)上極具挑戰(zhàn)性。然而，在非平衡體系中實(shí)現(xiàn)無序超均勻結(jié)構(gòu)則無需引入長程相互作用。作為過去十年中超均勻性研究的一個(gè)新興方向，非平衡動(dòng)態(tài)超均勻態(tài)受到了廣泛關(guān)注，本文簡要回顧了其近年來的研究進(jìn)展。

總的來說，這些非平衡體系為在現(xiàn)實(shí)體系中實(shí)現(xiàn)超均勻結(jié)構(gòu)提供了全新可能，也為開發(fā)功能性超均勻材料鋪平了道路。未來的研究可進(jìn)一步探索與本文中所述體系具有相似特征的其他系統(tǒng)中是否也能發(fā)現(xiàn)超均勻結(jié)構(gòu)。例如，既然CDP類吸收態(tài)相變體系中已觀測到臨界超均勻態(tài)，那么在其他類型的非平衡相變的體系中是否也能找到類似現(xiàn)象，如可逆—不可逆轉(zhuǎn)變、退釘相變等，都值得進(jìn)一步探討。

我們回顧的多數(shù)體系皆為經(jīng)典系統(tǒng)，但無序動(dòng)態(tài)超均勻態(tài)也可在量子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。例如，在超導(dǎo)材料中的渦旋系統(tǒng)[34—36]以及邊界驅(qū)動(dòng)的開放量子鏈系統(tǒng)[37，38]中，均發(fā)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)超均勻結(jié)構(gòu)。因此，從多學(xué)科的視角出發(fā)，對(duì)超均勻性展開研究，正成為一個(gè)極具前景的方向。無論是在統(tǒng)計(jì)物理、材料科學(xué)，還是在生物學(xué)、光學(xué)乃至量子信息等領(lǐng)域，超均勻結(jié)構(gòu)都展現(xiàn)出獨(dú)特的物理性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用潛力。更一般地來說，探討超均勻性在自然界中的作用同樣值得關(guān)注。近年來，人們?cè)谠絹碓蕉嗟淖匀惑w系中看到了超均勻性的跡象，如生物組織、生態(tài)空間格局，甚至宇宙大尺度結(jié)構(gòu)的分布，這都在提示我們：這種介于有序與無序之間的組織方式，可能是一種被自然反復(fù)選用的高效方案。進(jìn)一步理解這些結(jié)構(gòu)為何會(huì)自發(fā)出現(xiàn)，以及它們能如何反向啟發(fā)工程設(shè)計(jì)、材料構(gòu)筑、信息感知等多學(xué)科問題，進(jìn)而指導(dǎo)與改善人們生產(chǎn)生活實(shí)踐，就顯得尤為重要。也正因超均勻性具有高度普適性，它常在出人意料的場景中顯現(xiàn)并發(fā)揮作用，而跨學(xué)科研究將深化對(duì)其生成機(jī)制的理解，并拓展該領(lǐng)域的研究邊界與應(yīng)用空間。

參考文獻(xiàn)

[1] Maher C E，Torquato S. Phys. Rev. Res.，2024，6：033262

[2] Hu W S， Cui L J， Delgado-Baquerizo M et al. Proc. Natl. Acad. Sci. USA，2025，122： e2504496122

[3] Torquato S，Stillinger F H. Phys. Rev. E，2003，68：041113

[4] Torquato S. Physics Reports，2018，745：1

[5] Jiao Y，Lau T，Hatzikirou H et al. Phys. Rev. E，2014，89：022721

[6] Liu Y，Chen D，Tian J et al. Phys. Rev. Lett.，2024，133：028401

[7] Donev A，Stillinger F H，Torquato S. Phys. Rev. Lett.，2005，95：090604

[8] Gabrielli A，Joyce M，Labini F S. Phys. Rev. D，2002，65：083523

[9] Lei Y，Ni R. Journal of Physics：Condensed Matter，2024，37：023004

[10] Zhang G，Stillinger F H，Torquato S. Sci. Rep.，2016，6：36963

[11] Weijs J H，Jeanneret R，Dreyfus R et al. Phys. Rev. Lett.，2015，115：108301

[12] Weijs J H，Bartolo D. Phys. Rev. Lett.，2017，119：048002

[13] Tjhung E，Berthier L. Phys. Rev. Lett.，2015，114：148301

[14] Wilken S，Guerra R E，Pine D J et al. Phys. Rev. Lett.，2020，125：148001

[15] Mitra S，Parmar A D S，Leishangthem P et al. J. Stat. Mech.，2021，033203

[16] Oppenheimer N，Stein D B，Zion M Y B et al. Nat. Commun.，2022，13：804

[17] Huang M，Hu W，Yang S et al. Proc. Natl. Acad. Sci. USA，2021，118：e2100493118

[18] Lei Q L，Ciamarra M P， Ni R. Sci. Adv.，2019，5：eaau7423

[19] Goldfriend T，Diamant H，Witten T A. Phys. Rev. Lett.，2017，118：158005

[20] Chen J，Lei X，Xiang Y et al. Phys. Rev. Lett.，2024，132：118301

[21] Florescu M，Torquato S，Steinhardt P J. Proc. Natl. Acad. Sci. USA，2009，106：20658

[22] Man W，F(xiàn)lorescu M，Williamson E P et al. Proc. Natl. Acad. Sci.USA，2013，110：15886

[23] Zheng Y，Liu L，Nan H et al. Sci. Adv.，2020，6(16)：eaba0826

[24] Pine D J，Gollub J P，Brady J F et al. Nature，2025，438：997

[25] Corté L，Chaikin P M，Gollub J P et al. Nat. Phys.，2008，4：420

[26] Hexner D，Levine D. Phys. Rev. Lett.，2015，114：110602

[27] Menon G I，Ramaswamy S. Phys. Rev. E，2009，79：061108

[28] Hexner D，Levine D. Phys. Rev. Lett.，2017，118：020601

[29] Lei Q L，Ni R. Proc. Natl. Acad. Sci. USA，2019，116：22983

[30] Lei Q L，Hu H，Ni R. Phys. Rev. E，2021，103：052607

[31] Lei Y，Ni R. Proc. Natl. Acad. Sci，2023，120：e2312866120

[32] Zhang B，Snezhko A. Phys. Rev. Lett.，2022，128：218002

[33] Huang M，Hu W，Yang S et al. Proc. Natl. Acad. Sci. USA，2021，118：e2100493118

[34] Le Thien Q，McDermott D，Reichhardt C J O et al. Phys. Rev. B，2017，96：094516

[35] Rumi G，Aragón Sánchez J，Elías F et al. Phys. Rev. Res.，2019，1：033057

[36] Llorens J B，Guillamón I，Serrano I G et al. Phys. Rev. Res.，2020，2：033133

[37] Sánchez J A，Maldonado R C，Amigó M L et al. Phys. Rev. B，2023，107：094508

[38] Carollo F，Garrahan J P，Lesanovsky I et al. Phys. Rev. E，2017，96：052118

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《物理》50年精選文章