你的供應(yīng)商把你要的流程能力圖（process capability charts）發(fā)過(guò)來(lái)了。圖做得相當(dāng)漂亮，一看就是用什么高級(jí)軟件生成的——各種統(tǒng)計(jì)指標(biāo)一應(yīng)俱全，比如 Cpk、Ppk、σ水準(zhǔn)（sigma level）、超出規(guī)格的ppm 等等。圖好看得很，看起來(lái)你的供應(yīng)商簡(jiǎn)直棒極了。你注意到其中一張能力圖上，Ppk = 1.14，而 Cpk = 2.07。這倆為什么不一樣？算了，不重要。反正 Cpk 大于 1.33，正好是你當(dāng)初要求供應(yīng)商達(dá)到的。那好，換個(gè)事情干吧。

你剛剛，錯(cuò)過(guò)了一個(gè)關(guān)于供應(yīng)商品質(zhì)表現(xiàn)（performance）的非常關(guān)鍵信息。知道是什么嗎？

Cpk 和 Ppk 是衡量流程能力（process capability）的兩個(gè)常用指標(biāo)——也就是你的流程滿(mǎn)足顧客規(guī)格要求的程度?，F(xiàn)在的軟件（software）很方便，只要把數(shù)據(jù)一丟進(jìn)去，結(jié)果唰地就出來(lái)了。但很多時(shí)候，我們拿到這些結(jié)果，就直接往前走了，根本沒(méi)仔細(xì)想過(guò)它們真正代表什么。本期優(yōu) 思學(xué)院就來(lái)深入聊聊 Cpk 和 Ppk：它們是什么？它們?cè)跍y(cè)什么？這些數(shù)值到底意味著什么？你該更相信哪一個(gè)？有些答案，可能會(huì)出乎你的意料。

流程能力回顧（Process Capability Review）

流程能力分析（process capability analysis）要回答的問(wèn)題是：你的流程在多大程度上滿(mǎn)足規(guī)格——不管是顧客給的規(guī)格，還是你內(nèi)部自定的規(guī)格。要計(jì)算流程能力，你需要三樣?xùn)|西：

- 流程平均值的估計(jì)值
- 流程標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）的估計(jì)值
- 規(guī)格限（specification limits）

算 Cpk 和 Ppk 都是這三樣，我們這里假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布（normal distribution）。

流程能力指數(shù)（process capability indices）可以理解成一個(gè)比值：從流程平均值到某個(gè)規(guī)格限的距離，與流程“自然變差”的比。這里流程的自然變差通常取 3 倍流程標(biāo)準(zhǔn)差。圖1 給出了基于上規(guī)格限（USL）計(jì)算流程能力指數(shù)的一般示意，其中 s 是流程變差的度量。

流程能力指數(shù)：

流程能力指數(shù) = (USL – 平均值)/(3s)

要算流程能力，你必須能“合理地”估計(jì)流程平均值和流程標(biāo)準(zhǔn)差。注意，這不只是做個(gè)公式計(jì)算那么簡(jiǎn)單。這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量必須是“有效的”（valid），后面我們會(huì)展開(kāi)說(shuō)。

Cpk 和 Ppk 回顧（Cpk and Ppk Review）

Cpk 和 Ppk 都是“兩個(gè)能力指數(shù)中的較小值”。它們的公式如下：

Cpk = min{ (USL ? X?)/(3σ), (X? ? LSL)/(3σ) }
Ppk = min{ (USL ? X?)/(3s), (X? ? LSL)/(3s) }

這里 X? 是整體平均值（overall average）。

在 Cpk 的公式里，用 σ 來(lái)估計(jì)流程變差，這個(gè) σ 是用極差控制圖（R 控制圖）估算出來(lái)的流程標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation estimate）。
在 Ppk 的公式里，用 s 來(lái)估計(jì)流程變差，這個(gè) s 是用全部數(shù)據(jù)直接算出來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)差。

所以，Cpk 和 Ppk 的根本差別，就是“流程變差”的估計(jì)方式不一樣。那這兩種變差估計(jì)，差在哪里呢？

組內(nèi)變差 vs 整體變差

Cpk vs Ppk 的問(wèn)題，本質(zhì)上就是：組內(nèi)變差（within subgroup variation, σ）和整體變差（overall variation, s）之間的差異。

先看整體標(biāo)準(zhǔn)差 s，它的公式是：

s = √[ Σ (Xi ? X?)2 / (N ? 1) ]

N 是全部數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)?？锤?hào)下面那個(gè)求和項(xiàng)，就是把每個(gè)單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和整體平均值的差值平方后加起來(lái)（見(jiàn)圖2）。

從公式的含義看，你可以把 s 理解為：每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)“平均離整體均值有多遠(yuǎn)”。由于計(jì)算時(shí)用到了所有數(shù)據(jù)，所以這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差 s 有時(shí)也叫整體變差（overall variation）——它把數(shù)據(jù)里存在的所有變差都算進(jìn)去了。

現(xiàn)在我們看 σ，也就是通常說(shuō)的組內(nèi)變差（within subgroup variation）。這個(gè) σ 是從極差控制圖（range control chart）估出來(lái)的流程標(biāo)準(zhǔn)差。

比如，你用的是 X?-R 控制圖，子組（subgroup）大小為5。每次抽 5 個(gè)樣本，這 5 個(gè)點(diǎn)的平均值就是 X?，畫(huà)在 X? 圖上；這 5 個(gè)點(diǎn)的極差 R = 最大值 ? 最小值，畫(huà)在 R 圖上（見(jiàn)圖3）。R 就是這個(gè)亞組內(nèi)部的變差度量。

然后用下面這個(gè)公式估計(jì) σ：

σ = R? / d?

其中 R? 是平均極差，d? 是與亞組大小有關(guān)的控制圖常數(shù)。
所以 σ 只反映“組內(nèi)”變差。它是否包含了全部變差，要看流程狀態(tài)，后面會(huì)看到。

那個(gè)“小問(wèn)題”：統(tǒng)計(jì)控制！（That Little Issue of Statistical Control!）

我們之前所有關(guān)于流程能力的文章，都一再?gòu)?qiáng)調(diào)一個(gè)前提：流程必須處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)（in statistical control）。現(xiàn)實(shí)中，這個(gè)前提經(jīng)常被完全忽略。

較早之前，優(yōu)思學(xué)院六西格瑪課程中提出的“流程能力檢查清單”，用來(lái)幫你把流程能力的真實(shí)情況說(shuō)清楚。清單有五項(xiàng)：

1）先用控制圖（control chart）把數(shù)據(jù)畫(huà)出來(lái)，判斷流程是否處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)（是否一致、可預(yù)測(cè)）；
2）對(duì)處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)的流程，畫(huà)直方圖（histogram），并在圖上加上規(guī)格限；
3）對(duì)處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)的流程，計(jì)算流程數(shù)據(jù)的自然變差；
4）對(duì)處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)的流程，計(jì)算 Cp 和 Cpk；
5）把以上四項(xiàng)結(jié)果組合起來(lái)一起展示，用來(lái)說(shuō)明流程能力。

你注意到了嗎？“對(duì)于處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)的流程”這句話(huà)出現(xiàn)了多少次？意思很簡(jiǎn)單：只要流程不在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，Cpk（以及 Ppk）這些數(shù)值就沒(méi)有意義。

關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)了：如果你的流程處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，那么 Cpk 和 Ppk 的數(shù)值會(huì)非常接近。實(shí)際上，你可以用下面的經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷：

如果 Cpk ≈ Ppk，則流程在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)；
如果 Cpk 和 Ppk 差別很大，則流程不在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)。

所以，當(dāng)你看到供應(yīng)商給你的圖里，Cpk 和 Ppk 差得很大，其實(shí)你已經(jīng)被“提醒”了一件事：供應(yīng)商的流程不在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)——你拿到的未來(lái)產(chǎn)品會(huì)是什么樣子，并不靠譜。

同樣，如果流程不在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，Cpk 和 Ppk 就基本沒(méi)什么意義了。因?yàn)榱鞒滩灰恢隆⒉环€(wěn)定，你不能指望未來(lái)再得到類(lèi)似的值。下面我們會(huì)通過(guò)一個(gè)例子進(jìn)一步說(shuō)明：兩個(gè)流程用的是同一批數(shù)據(jù)，只是順序不同。

兩個(gè)流程——同一批數(shù)據(jù)，同一個(gè) Ppk

我們來(lái)看兩個(gè)流程（Process 1 和 Process 2），它們的數(shù)據(jù)來(lái)源完全一樣（數(shù)據(jù)取自上一期文章），只是排序不同。假設(shè)你每小時(shí)取 4 個(gè)樣本，組成一個(gè)亞組。你想判斷這個(gè)流程能否滿(mǎn)足規(guī)格要求：LSL = 65，USL = 145。流程1的 30 個(gè)亞組數(shù)據(jù)見(jiàn)表2（略）。

流程2的數(shù)據(jù)和流程1是同一批，只是順序完全打亂了一下，見(jiàn)表3（略）。

由于本質(zhì)上是同一批數(shù)據(jù)，所以表2和表3的數(shù)據(jù)有同樣的平均值和同樣的標(biāo)準(zhǔn)差：

平均值 = 98.98
標(biāo)準(zhǔn)差 s = 9.89

現(xiàn)在你用表2的數(shù)據(jù)畫(huà)一個(gè)直方圖，用表3的數(shù)據(jù)再畫(huà)一個(gè)直方圖，然后加上規(guī)格限 LSL = 65，USL = 145。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩張直方圖一模一樣——這很正常，因?yàn)閿?shù)據(jù)是完全相同的一套。圖4就是這個(gè)直方圖。

從圖上看，這個(gè)流程表現(xiàn)很不錯(cuò)——整體分布完全在規(guī)格范圍里。你當(dāng)然很滿(mǎn)意。接下來(lái)，你計(jì)算流程1和流程2的 Ppk。由于均值和標(biāo)準(zhǔn)差完全一樣，兩個(gè)流程的 Ppk 也必然一樣。計(jì)算如下：

所以，流程1和流程2的 Ppk 都是 1.14。

兩個(gè)流程——同一批數(shù)據(jù)，不同的 Cpk

等等，那 Cpk 呢？?jī)蓚€(gè)流程的 Cpk 一樣不一樣？答案：不一樣。

記住，Cpk 是基于組內(nèi)變差（within subgroup variation）算出來(lái)的。雖然兩套數(shù)據(jù)本質(zhì)上相同，但亞組的“分組順序”不一樣，就會(huì)導(dǎo)致“組內(nèi)變差”不同。

算 Cpk 時(shí)，你需要通過(guò) R 控制圖估算標(biāo)準(zhǔn)差 σ，并通過(guò) X? 控制圖估算整體平均值。注意，這是 Ppk 和 Cpk 之間一個(gè)非常重要的區(qū)別：Ppk 只是對(duì)所有數(shù)據(jù)直接做計(jì)算；Cpk 是通過(guò)控制圖來(lái)估算平均值和流程變差——這是一種“用于預(yù)判未來(lái)”的方法。

先看流程1。流程1的 R 圖如圖5所示。

R 圖處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，說(shuō)明組內(nèi)變差是穩(wěn)定、一致、可預(yù)測(cè)的。于是你可以通過(guò)下面公式估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差：

σ = R? / d? = 22.50 / 2.357 = 9.54（約）

因?yàn)?R 圖在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，所以基于組內(nèi)變差得到的 σ 是“有效的”：產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的流程是一致、可預(yù)測(cè)的，只要流程不變，未來(lái)也會(huì)保持這種水平。

接下來(lái)算 Cpk 還需要一個(gè)流程平均值，這個(gè)來(lái)自 X? 控制圖。流程1的 X? 圖如圖6所示。

X? 圖也處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，說(shuō)明你對(duì)流程平均值的估計(jì)是可靠的“有效”估計(jì)。于是你可以用這個(gè)平均值和 σ 來(lái)算 Cpk：

Cpu = (USL ? X?)/(3σ) = (145 ? 98.98)/(3×9.54) = 1.61
Cpl = (X? ? LSL)/(3σ) = (98.98 ? 65)/(3×9.54) = 1.19
Cpk = min{Cpu, Cpl} = 1.19

現(xiàn)在比較一下流程1的 Ppk 和 Cpk：

流程1：Ppk
s = 9.89
Ppu = 1.55
Ppl = 1.14
Ppk = 1.14

流程1：Cpk
σ = 9.54
Cpu = 1.61
Cpl = 1.19
Cpk = 1.19

你會(huì)發(fā)現(xiàn)兩套結(jié)果非常接近。只要流程在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，情況總是這樣——因?yàn)椋?/p>

當(dāng)流程處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)時(shí)，組內(nèi)變差是整體變差的一個(gè)好估計(jì)，也就是說(shuō) σ ≈ s；
在這種情況下，Cpk 基本等同于 Ppk，它們?cè)谥v同一件事。

現(xiàn)在看流程2。流程2的 R 圖如圖7所示。

R 圖同樣處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)——也就是說(shuō)組內(nèi)變差穩(wěn)定、可預(yù)測(cè)。于是可以估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差：

σ = R? / d? = 12.87 / 2.357 = 5.46（約）

接下來(lái)算 Cpk，仍然需要整體平均值 X?，這個(gè)要從 X? 控制圖來(lái)。流程2的 X? 圖如圖8所示。

但這一次，X? 圖不在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)：有點(diǎn)超出控制限，有長(zhǎng)串點(diǎn)都在平均線(xiàn)一側(cè)，等等。總之，流程“亞組間”的變差不穩(wěn)定、不可預(yù)測(cè)。

這意味著，你對(duì)流程平均值并沒(méi)有一個(gè)“靠譜”的估計(jì)。均值在來(lái)回飄，你根本說(shuō)不準(zhǔn)下一組的平均值會(huì)到哪里。流程不一致、不穩(wěn)定，所以從未來(lái)角度看，你其實(shí)“沒(méi)法”算一個(gè)有意義的 Cpk。

但在實(shí)際工作中，很多人對(duì)這一點(diǎn)直接視而不見(jiàn)，還是照樣硬算 Cpk。反正算出來(lái)的平均值也是 98.98。于是按公式算：

Cpu = (USL ? X?)/(3σ) = (145 ? 98.98)/(3×5.46) = 2.81
Cpl = (X? ? LSL)/(3σ) = (98.98 ? 65)/(3×5.46) = 2.07
Cpk = min{Cpu, Cpl} = 2.07

這就得到流程2的 Cpk = 2.07?，F(xiàn)在把流程1和流程2的結(jié)果并排比較一下：

流程1 & 流程2：Ppk（相同數(shù)據(jù)）
s = 9.89
Ppu = 1.55
Ppl = 1.14
Ppk = 1.14

流程1：Cpk
σ = 9.54
Cpu = 1.61
Cpl = 1.19
Cpk = 1.19

流程2：Cpk
σ = 5.46
Cpu = 2.81
Cpl = 2.07
Cpk = 2.07

可以看到，流程2 的 Cpu、Cpl 與 Ppu、Ppl 差別非常大。歸根到底，就是統(tǒng)計(jì)控制的問(wèn)題：當(dāng) σ 和 s 差距很大時(shí)，Cpu 與 Ppu、Cpl 與 Ppl 之間差距也會(huì)很大——這強(qiáng)烈暗示流程不在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)。

總結(jié)：到底誰(shuí)更“靠譜”：Cpk 還是 Ppk？

現(xiàn)實(shí)中，Cpk 更適合用來(lái)評(píng)估流程“潛在能達(dá)到的水平”（potential capability）。它代表在“理想狀態(tài)下”你的流程能做到多好——所謂理想狀態(tài)，就是組內(nèi)變差和組間變差基本一樣，也就是流程處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)。

當(dāng)流程處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)時(shí)，Cpk 和 Ppk 基本相等，因此這時(shí)候其實(shí)不太需要 Ppk，多看 Cpk 就夠了。

而如果流程不在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，那你真正該干的事，是先讓流程“穩(wěn)定下來(lái)”，而不是糾結(jié) Cpk 或 Ppk 的數(shù)值高低。此時(shí)這兩個(gè)數(shù)值大體上都沒(méi)什么實(shí)際意義——唯一有用的信息就是：如果 Cpk 和 Ppk 差很多，那八成說(shuō)明流程不穩(wěn)定、不受控。

不過(guò)說(shuō)實(shí)話(huà)，你本來(lái)就應(yīng)該知道這些，因?yàn)槟阍谟脙?yōu)思 學(xué)院的流程能力檢查清單。任何關(guān)于流程能力的分析，都應(yīng)該從控制圖開(kāi)始——先看看數(shù)據(jù)是不是在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)。只有在這個(gè)前提下，談 Cp、Cpk、Ppk 才有意義。