亨利·龐加萊

• 物理學(xué)家必須要首先成為幾何學(xué)家。
  
• ——大衛(wèi)·希爾伯特
  
• 
  
• 幾何圖形是繪畫必不可少的。
  
• ——阿波利奈爾

撰文｜蔡天新

01 第四維與現(xiàn)代藝術(shù)

19世紀(jì)前半葉是從古典進入到現(xiàn)代的關(guān)鍵時期，走在最前列的依然是生性敏感的詩人和數(shù)學(xué)家，愛倫·坡和波德萊爾的相繼出現(xiàn)，非歐幾何學(xué)和非交換代數(shù)的接連問世，標(biāo)志著以亞里士多德的《詩學(xué)》和歐幾里得的《原本》為準(zhǔn)則的延續(xù)了兩千多年的古典時代的終結(jié)。進入到那個世紀(jì)的后半葉以后，更加速了產(chǎn)生天才人物的步伐，在1880年前后不到兩年的時間里，科學(xué)巨匠愛因斯坦和藝術(shù)大師畢加索分別在德國南方和西班牙南方兩個偏遠(yuǎn)的小鎮(zhèn)烏爾姆和馬拉加出世，這兩個生命的誕生為技術(shù)主義泛濫的二十世紀(jì)增添了迷人的光彩。

畢加索的《夢》（1932）

毫無疑問，愛因斯坦和畢加索這兩位激勵了好幾代科學(xué)家和藝術(shù)家的天才人物，是我們這個時代遙不可及的偶像。阿瑟·I·米勒博士（《愛因斯坦·畢加索》作者）甚至斷言，現(xiàn)代科學(xué)就是愛因斯坦，現(xiàn)代藝術(shù)就是畢加索。在這部奇特的著作里，作者分析了上述兩位天才的案例，他們各自的生活經(jīng)驗、工作經(jīng)歷和創(chuàng)造性中的相似性，尤其是在上個世紀(jì)的頭一個十五年，也即他們二十歲到三十五歲（最具創(chuàng)造力的）那段時期，不僅為我們揭示了他們思考方式的共同點，也讓我們窺見了藝術(shù)創(chuàng)造和科學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)。

年輕時的愛因斯坦

當(dāng)人們?nèi)栽诩ち业剞q論非歐幾何學(xué)以及違反歐幾里德第五公設(shè)的哲學(xué)后果時，法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊是這樣教我們想象四維世界的，“外在物體的形象被描繪在視網(wǎng)膜上，這個視網(wǎng)膜是一個二維畫；這些形象是一副透視圖……”按照他的解釋，既然二維面的一個景象是從三維面而來的投影，那么三維面上的一個形象也可以看成是從四維而來的投影。龐加萊建議，可以將第四維描述成畫布上接連出現(xiàn)的不同透視圖。依照畢加索的視覺天賦，他認(rèn)為這不同的透視圖應(yīng)該在時間同時性里展示出來，于是就有了《阿維尼翁少女》——立體主義的開山之作（阿維尼翁是法國南方靠近馬賽的一座小鎮(zhèn)，離開凡·高的圣地阿爾只有十幾公里遠(yuǎn)）。

龐加萊被認(rèn)為是通曉全部數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的最后一個人，他涉足的研究領(lǐng)域驚人地廣泛，并不斷使之豐富。他還是數(shù)學(xué)的天才普及者，其平裝本的通俗讀本被人們爭相搶購，并被譯成多種文字，在不同的國度和階層傳播，就如同后來的理論物理學(xué)家、《時間簡史》的作者斯蒂芬·霍金那樣。在龐加萊著作《科學(xué)與假設(shè)》（1902）的眾多讀者里頭，有一位叫普蘭斯的巴黎保險精算師，在立體主義誕生前夕，他與比他年輕六歲的畢加索共有一位情婦，正是這位水性楊花的女人把普蘭斯介紹給了畢加索，于是畢加索和他的“洗衣舫”藝術(shù)家圈子才有機會聆聽非正式的幾何學(xué)講座。

畢加索的巴黎洗衣舫

《阿維尼翁少女》的命名人、詩人安德烈·薩爾蒙后來在《巴黎日報》的專欄文章里稱贊普蘭斯是“立體主義的數(shù)學(xué)家”，并在1907年夏天（《阿維尼翁少女》創(chuàng)作期）這個關(guān)鍵時刻做出了特殊的貢獻。他寫道，“在蒙馬爾特的那間舊畫室里進行的激烈的辯論和探討，立體主義就是在那里誕生的?！边@些相互啟發(fā)的討論的參與者里既有畫家，也有詩人。詩人們“只不過提供了一些有意味的語匯，這對理解新生事物十分必要。還有一個神秘的數(shù)學(xué)家，他給朋友們提供了經(jīng)過推理的準(zhǔn)確性?！辈还墚吋铀鞅救耸欠癯姓J(rèn)，幾何學(xué)成為他“充滿熱情地探索著的”新藝術(shù)語言。

其實，薩爾蒙的描述多少有些夸張。在畢加索的藝術(shù)家圈子里，最重要的要數(shù)詩人阿波利奈爾，他同時也是小說家、演出經(jīng)紀(jì)人、美食品嘗家、藏書家、色情文學(xué)的支持者，并被后人尊稱為立體主義繪畫的解釋人。在巴黎的一次秋季沙龍開幕式上，阿波利奈爾發(fā)表了關(guān)于第四維和現(xiàn)代藝術(shù)的演講。在他眼里，第四維并不是一個數(shù)學(xué)概念（他恐怕理解不了歐氏幾何和非歐幾何的區(qū)別），而是一個隱喻，它包含著新美學(xué)的種子。阿波利奈爾把立體主義與科學(xué)革命相提并論，認(rèn)為“立體主義用一個無限的宇宙取代了一個以人為中心的有限宇宙”；“幾何圖形是繪畫必不可少的，幾何學(xué)對于造型藝術(shù)就如同語法對寫作藝術(shù)一樣重要?！北仨氈赋?，普蘭斯也是那次沙龍的組委會成員，顯而易見，阿波利奈爾把他引進的幾何學(xué)加以發(fā)揮了。如同文藝復(fù)興時期的藝術(shù)家創(chuàng)立透視法和沒影點（vanishing point）這兩種幾何方法獲得了第三維，立體主義畫家也擁抱了第四維。

郵票上的阿波利奈爾

02 第四維與相對論

至于第四維與愛因斯坦相對論的關(guān)系，那是有目共睹的。龐加萊于1898年發(fā)表的一篇論文探討了如何“在一個以時間為第四維的四維空間里建立一種數(shù)學(xué)表述”，其重要性立刻被愛因斯坦在瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)的數(shù)學(xué)老師閔可夫斯基捕捉到了，并適時傳遞給了學(xué)生，盡管數(shù)學(xué)家本人對這個經(jīng)常逃學(xué)的留小胡子的青年毫無印象。1904年，即發(fā)現(xiàn)狹義相對論的前一年，愛因斯坦讀到《科學(xué)與假設(shè)》的德文譯本，立刻被書中席卷數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的氣勢所感動，從中了解了幾何學(xué)的基礎(chǔ)。可是，直到1912年（龐加萊于該年去世，此時閔可夫斯基已過世三年），愛因斯坦才恍然領(lǐng)悟到，狹義相對論只有在高度幾何化后才能完全廣義化。而在廣義相對論發(fā)表后的第二年，即1916年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)出了這樣的感嘆：“物理學(xué)家必須要首先成為幾何學(xué)家。”

愛因斯坦的老師閔可夫斯基

雖然愛因斯坦的相對論誕生已經(jīng)一個世紀(jì)了，人們對它的理解仍十分膚淺，只知道根據(jù)這一理論，時間是相對的，空間是彎曲的，光并不是沿著直線傳播的；物質(zhì)和能量的分布決定著時空的彎曲，這種時空彎曲等同于萬有引力。這里我想引用一位物理學(xué)家舉的例子，“讓我們設(shè)想有兩只飛船。飛船X以每秒10萬公里的速度飛離地球。飛船上的觀測者和地球上的觀測者同時對這一速度進行測量，他們得到的結(jié)果是一致的。假設(shè)飛船Y以與飛船X相同的方向運行，地球上的觀測者測量它的速度是每秒18萬公里，愛因斯坦預(yù)言，如果兩只飛船上的觀測者來測量它們之間分離的速度時，會是每秒10萬公里而非8萬公里。”

這個結(jié)果表面上看起來十分荒謬，但可以用愛因斯坦發(fā)現(xiàn)的質(zhì)能轉(zhuǎn)換公式來推導(dǎo)，也即一個質(zhì)量為M的物質(zhì)的能量E等于該質(zhì)量M和光速c（每秒18.6萬英里）的平方的乘積，這個公式為愛因斯坦贏得了持久的聲譽，“政治是暫時的，而方程式是永恒的”，同時c平方這個龐大的數(shù)字也可以解釋投放在廣島和長崎的那兩顆原子彈的威力。不過，那兩次爆炸使得愛因斯坦痛心不已，正是他在1939年致函美國總統(tǒng)羅斯福，指出研制原子能的必要性，并強調(diào)美國搶在德國之前發(fā)展這一武器的重要性，這封信促進了直接導(dǎo)致第一顆原子彈的“曼哈頓計劃”的開展。

如果上述例子仍不足以解釋相對論，還有一種辦法可以幫助我們理解，那就是試圖理解更難的非歐幾何學(xué)。直到十八世紀(jì)末十九世紀(jì)初，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下，笛卡爾的解析幾何只是改變了幾何研究的方法，并使牛頓和萊布尼茲發(fā)明的微積分學(xué)表述得更加清晰，卻沒有從本質(zhì)上改變歐氏幾何本身的內(nèi)容。歐氏幾何賴以存在的前提中有這么一條不那么自明的假設(shè)，即“過直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行”，也就是所謂的“第五公設(shè)”。這個曖昧的假設(shè)引起了數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注，其中大多數(shù)人試圖證明它，也有的沿著不同的方向，即試圖給出相反的假設(shè)。

俄國人羅巴切夫斯基就是一個叛逆性的人物，1826年，他在偏遠(yuǎn)的喀山（那里離哈薩克斯坦比離莫斯科更近一些）大學(xué)發(fā)表了非歐幾何學(xué)的第一篇論文，正是在假定“過直線外一點可以引至少兩條直線與已知直線平行”的基礎(chǔ)上。可是，由于語言的隔膜和交通的不便，這項成果將近十年以后才傳遞到西歐，幾乎就被匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶搶了先，而高斯只是記錄在筆記本上。1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)展了羅氏理論而建立起更廣泛的非歐幾何學(xué)，他引進了流形曲率的概念，在三維常曲率空間里有三種情況，即曲率為正常數(shù)，零或負(fù)常數(shù)。后面兩種情形分別對應(yīng)于歐氏幾何和羅巴切夫斯基幾何，而第一種幾何是黎曼本人的創(chuàng)造，它意味著“過直線外一點不能引任何直線與已知直線平行”。

至此，有關(guān)非歐幾何學(xué)的含義就變得比較明晰了，多年以后，龐加萊等人又先后在歐氏空間中給出非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實意義。無論是歐氏幾何還是非歐幾何，都存在任意有限維的甚至無限維的空間，龐加萊為物理學(xué)家提供了那個以時間為第四維的四維空間，可以看作是非歐幾何學(xué)的一個特例。閔可夫斯基進一步指出，在這個四維度量空間的長度計算公式里，第四維時間t的平方前面需要加一個負(fù)號。這個公式是如此美妙，愛因斯坦的一位同事、物理學(xué)家馬克斯·玻恩這樣感嘆，“從那以后，所有的理論物理學(xué)家每天都在使用它。”總之，在廣義相對論里，空間和時間變成了一種四維結(jié)構(gòu)，只不過這個四維結(jié)構(gòu)的形狀被其中的大質(zhì)量物體扭曲了。這樣一來，宇宙就由一塊剛性的鐵板變成了一個彈性的墊子。

03 是征服者，非殖民者

1854年，即黎曼拓展非歐幾何學(xué)的那一年，龐加萊出生在法國東北部名城南錫的一個顯赫家族，他的父親是一位著名的醫(yī)生，他的一位堂弟在第一次世界大戰(zhàn)期間曾出任法蘭西第三共和國總統(tǒng)，另一位堂弟曾任大眾教育和美術(shù)部長。龐加萊的超常智力不僅使他接受知識極為迅速，同時擁有一副流利的口才，并從小得到才華出眾的母親的教導(dǎo)，卻不幸在五歲時患上白喉癥，從此變得體弱多病，不能順利地用口語表達(dá)思想。但他依然喜歡各種游戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，且能準(zhǔn)確持久地記住讀過的內(nèi)容。小龐加萊擅長的科目包括文學(xué)、歷史、地理、自然史和博物學(xué)，他對數(shù)學(xué)的興趣來得比較晚，大約開始于15歲，不過很快顯露出非凡的才華。

19歲那年，龐加萊第二次贏得全法國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽一等獎，被保送到巴黎的綜合工科學(xué)院，從此離開了自己的故鄉(xiāng)。雖然龐加萊從未在南錫念過大學(xué)，但那里的最高學(xué)府——南錫第一大學(xué)（建于1572年）卻以他的名字命名。中國數(shù)學(xué)家華羅庚獲得的第一個學(xué)位便是這所大學(xué)授予的榮譽博士學(xué)位，那是在二十世紀(jì)七十年代末。2002年春天，筆者有幸在亨利·龐加萊大學(xué)訪問了三個月，不僅了解到龐加萊的父親曾是這所大學(xué)醫(yī)學(xué)院的教授，也對南錫這座綠草如茵的小城留下美好的記憶，十二世紀(jì)以來她就是洛林王朝的都城（2012年，南錫一大與其他三校合并易名為洛林大學(xué)）。龐加萊從綜合理工學(xué)院畢業(yè)后進入高等礦冶學(xué)院，幾年后獲得采礦工程師的資格，可是他卻醉心于數(shù)學(xué)，繼續(xù)攻讀科學(xué)博士學(xué)位，再后來，他成了巴黎大學(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué)的終生教授，并在母校綜合理工學(xué)院擁有類似的職位。

亨利·龐加萊大學(xué)

龐加萊從未在一個研究領(lǐng)域作過久的逗留，一位同僚戲稱他是“征服者，而不是殖民者”。即使在數(shù)學(xué)和相對論以外，他的貢獻也難以勝數(shù)：光學(xué)、電學(xué)、電報、彈性力學(xué)、熱力學(xué)、量子論、勢論、毛細(xì)現(xiàn)象、宇宙起源，等等。從某種意義上講，整個數(shù)學(xué)都是龐加萊的領(lǐng)域，但他對拓?fù)鋵W(xué)的貢獻無疑最為重要。1904年，誕生了著名的龐加萊猜想：任意三維的單連通閉流形必與球面同胚。將近一個世紀(jì)以后，這個猜想才被俄國數(shù)學(xué)家佩雷爾曼證明。之前，它已經(jīng)被懸賞一百萬美金。有意思的是，這個猜想在大于或等于五維和四維上的推廣，先后被兩位美國數(shù)學(xué)家攻克，因此獲得了兩枚菲爾茲獎?wù)拢?966、1986）?？墒?，佩雷爾曼卻謝絕了第三枚菲爾茲獎（2006）以及其他任何榮譽。

龐加萊猜想的證明者佩雷爾曼

龐加萊的哲學(xué)著作除了《科學(xué)與假設(shè)》以外，具有重大影響的還有《科學(xué)的價值》《科學(xué)方法論》。他是唯心主義的約定論哲學(xué)的代表人物，認(rèn)為公理可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據(jù)，避開一切矛盾。同時，他反對無窮集合的概念，反對把自然數(shù)歸結(jié)為集合論，認(rèn)為數(shù)學(xué)最基本的直觀是自然數(shù)，這使他成為直覺主義的先驅(qū)者之一。正是由于這些成就的取得才使龐加萊既當(dāng)選為法蘭西科學(xué)院的院士（后成為院長），又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院的院士，他同時處身于科學(xué)和人文兩座金字塔的塔尖。龐加萊相信藝術(shù)家和科學(xué)家之間創(chuàng)造力的共性，相信“只有通過科學(xué)與藝術(shù)，文明才體現(xiàn)出價值”。

龐加萊給世人的印象是，留著胡子，戴著金絲眼鏡，神態(tài)莊重。從氣質(zhì)上講，我認(rèn)為他與稍后的同胞畫家馬蒂斯、作曲家德彪西比較接近，他對哲學(xué)、文化領(lǐng)域的關(guān)注和貢獻則延續(xù)了帕斯卡爾、笛卡爾這些前輩同行的傳統(tǒng)。龐加萊被認(rèn)為是一位法語散文大師，其哲學(xué)著作在各界人士中擁有廣泛的讀者。同樣以文字見長的諾貝爾文學(xué)獎得主、長期引領(lǐng)英倫學(xué)術(shù)界和思想界的哲學(xué)家伯特蘭·羅素也曾經(jīng)談到，龐加萊是二十世紀(jì)初法蘭西最偉大的人物。當(dāng)他在巴黎初次拜訪這位數(shù)學(xué)奇才時，“舌頭一下子失去了功能，直到費了一些時間（大約兩、三分鐘），仔細(xì)端詳和承受可謂他思想的外部形式的面貌和神采時，我才發(fā)現(xiàn)自己能夠說話了?！?/p>

英國哲學(xué)家羅素

可是，每個人都有他的時代局限性，雖然龐加萊對相對論做出了不可磨滅的貢獻（相對性 relativity這個詞是由他發(fā)明的），但直到去世他都沒有完全接受狹義相對論，這也是讓愛因斯坦永遠(yuǎn)感到遺憾的一件事。事實上，龐加萊和荷蘭物理學(xué)家洛倫茲都曾無限接近，分別是從哲學(xué)和數(shù)學(xué)的角度。用后輩物理學(xué)家楊振寧的話說，愛因斯坦對于時空有著更為自由的眼光。正如英國數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家懷特海所言，“非常接近真理和真正懂得它的意義是兩回事。每一個重要的理論都在它發(fā)現(xiàn)之前被人說過?！?/p>

1911年萬圣節(jié)，也是龐加萊生命中的最后一個冬天，他和愛因斯坦在布魯塞爾舉行的一次光學(xué)會議上首次得以相見。雖然龐加萊沒有明說，但愛因斯坦敏感地意識到了。他非常失望地告訴友人，“龐加萊（對相對論）基本上持否定態(tài)度?！北M管意見不一致，但會議一結(jié)束，龐加萊就應(yīng)愛因斯坦的請求給后者的母?！鹗柯?lián)邦工業(yè)大學(xué)寫了一封推薦信，“愛因斯坦先生是我所見過的最具創(chuàng)新精神的思想家之一……”次年夏天，龐加萊穿衣時腦血栓梗塞逝世于巴黎，年僅58歲，愛因斯坦則返回蘇黎世做上了教授。

龐加萊家族墓碑，巴黎蒙巴納斯

2004年2月，杭州

2015年2月，修改

（本文選自作者隨筆集《數(shù)學(xué)傳奇》，商務(wù)印書館，2016年，英文版今年秋天由Springer出版，另有俄文版、繁體字版，德文版將于2026年面世。）