《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 033

033.N+1空間中的素?cái)?shù)空穴與素?cái)?shù)無(wú)限性的一個(gè)新視角

摘要

本文在Ltg-空間理論的初始空間（稱N+1空間）中，引入“合數(shù)項(xiàng)數(shù)列”對(duì)項(xiàng)數(shù)坐標(biāo)的周期性覆蓋模型，提出“素?cái)?shù)空穴”概念。通過(guò)分析奇偶周期差異，得到素?cái)?shù)無(wú)限的簡(jiǎn)潔推導(dǎo)，并對(duì)孿生素?cái)?shù)對(duì)的無(wú)窮多性給出啟發(fā)式說(shuō)明。

1、空間結(jié)構(gòu)與基本定義

設(shè)N+1空間的項(xiàng)數(shù)（項(xiàng)位）坐標(biāo)為：

N = 0,1,2,3…

對(duì)應(yīng)正整數(shù)數(shù)值：

an =N+1

我們關(guān)心的是如何在項(xiàng)數(shù)N的分布上識(shí)別素?cái)?shù)。

2、 合數(shù)項(xiàng)數(shù)列與覆蓋規(guī)則

對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)p，定義一個(gè)合數(shù)項(xiàng)數(shù)列（在N空間）：

Cp = ｛N ｜N ≡ np (mod p) ｝，np ∈｛0,1,2…p-1｝

其中np的選擇原則是：讓p自身對(duì)應(yīng)的位置被覆蓋，即若an = p, 則N∈Cp。

由于an = N+1 = p＝＞ N = p - 1

故取np = p -1

于是Cp = ｛p-1,2p- 1,3p-1……｝

注意：N∈Cp時(shí)，對(duì)用的an = N+1 是p的倍數(shù)（當(dāng)N>p-1）或是p本身（N=p-1）.

因此Cp包含了p及其所有倍數(shù)在N空間中的位置。

3、 素?cái)?shù)空穴的產(chǎn)生

從最小的素?cái)?shù) p = 2開(kāi)始：

C2 = ｛1,2,5,7,……｝(即所有奇數(shù)項(xiàng)N)。

這些位置被標(biāo)記為“與2有關(guān)的合數(shù)項(xiàng)” 。

剩余未被標(biāo)記的位置是：

H2= ｛0,2,4,6,8……｝（所有偶數(shù)N）.

稱H2 為初始素?cái)?shù)空穴集合。

觀察H2 中的數(shù)值：

N = 0 →a0 =1 (非素?cái)?shù))

N = 2 →a2 =3 (素?cái)?shù))

N = 4 →a4 =5 (素?cái)?shù))

N = 6 →a6 =7 (素?cái)?shù))

在H2中出現(xiàn)新的素?cái)?shù)（如3,5,7……）.

4、新素?cái)?shù)引入新規(guī)則

在H2中取最小素?cái)?shù)對(duì)應(yīng)的N值（除去1），即 a2 =3 對(duì)應(yīng)N = 2 ,素?cái)?shù)是P=3

建立p = 3的合數(shù)項(xiàng)數(shù)列：

C3 = ｛2,5,8,11……｝( N ≡2(mod 3) )。

此規(guī)則會(huì)覆蓋H2中的一部分偶數(shù)N (例如N=2,8,14…與N =5,11,17…中屬于偶數(shù)的那些)。

關(guān)鍵觀察：

C3是周期3的等差數(shù)列。在偶數(shù)集合H2中，它只覆蓋模6余2的偶數(shù)項(xiàng)，2,8,14……。

因此C3只能覆蓋H2的1/3部分（漸進(jìn)密度）。

同理，下面的剩余空穴中出現(xiàn)的新素?cái)?shù)p=5,7,11……會(huì)建立5、7、11……的規(guī)則。

這里可以比較兩個(gè)“合數(shù)項(xiàng)數(shù)列”2K+n和PK+n，前一個(gè)合數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列的周期是2，而后面的是由素?cái)?shù)p形成的“合數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列”，周期都是奇數(shù)。

5、素?cái)?shù)無(wú)限的推導(dǎo)

設(shè)已使用的素?cái)?shù)集合為｛2.3.5……Pm｝，對(duì)應(yīng)的合數(shù)項(xiàng)數(shù)列為CP1……CPM 。

即E = H2 (偶數(shù)N集合)，初始密度為d (E) = 1/2 。

每個(gè)奇素?cái)?shù)p的規(guī)則 Cp 在E中是一個(gè)等差數(shù)列。其密度為1/p 。

這些規(guī)則在E中可能有重疊，但無(wú)論如何，有限個(gè)奇素?cái)?shù)規(guī)則在E中的總覆蓋密度：

因此，E中始終有比例至少為1/2-p > 0的項(xiàng)未被任何Cp覆蓋。

未被覆蓋的N ∈ E 對(duì)應(yīng)的數(shù)值 an = N+1 不被任何使用的素?cái)?shù)整除，且大于1，所以是新的素?cái)?shù)。

由于E是無(wú)限集，未覆蓋部分也是無(wú)限的，故新素?cái)?shù)無(wú)線出現(xiàn)→素?cái)?shù)無(wú)限多。

6、孿生素?cái)?shù)對(duì)的啟發(fā)

兩個(gè)偶數(shù)N和N+2都未被任何Cp覆蓋時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)值an與an+2 相差2，即構(gòu)成孿生素?cái)?shù)對(duì)。

對(duì)每個(gè)奇素?cái)?shù)p，規(guī)則Cp 在E中是周期p的等差數(shù)列。會(huì)“禁止”某些N與N+2同時(shí)為空穴。

禁止一對(duì)（N,N+2）的概率約為2/p （因等差數(shù)列可能同時(shí)覆蓋N與N+2或單獨(dú)覆蓋一個(gè)）。

有限個(gè)p的禁止概率總和小于1，由概率啟發(fā)式，應(yīng)存在無(wú)窮多對(duì)未被禁止的相鄰偶數(shù)N→孿生素?cái)?shù)對(duì)無(wú)限多。

同理可以推廣到間距為4、6、8、10……的孿生素?cái)?shù)對(duì)無(wú)窮多。

7、與經(jīng)典篩法的對(duì)比

經(jīng)典篩法在數(shù)值an上直接篩去p的倍數(shù)，而本文在項(xiàng)數(shù)N上用等差數(shù)列（橫p的單個(gè)剩余類）覆蓋，并利用：

1）第一條規(guī)則（p=2）已將奇數(shù)N全部覆蓋，只留偶數(shù)N作為候選奇數(shù)“素?cái)?shù)空穴”。

2）所有后續(xù)奇數(shù)數(shù)的周期（奇數(shù)）與偶數(shù)集合的周期（2）不同，導(dǎo)致不可能覆蓋全部偶數(shù)N。

這個(gè)“奇數(shù)周期不可完全覆蓋”是素?cái)?shù)無(wú)限的直觀原因，也是孿生素?cái)?shù)對(duì)可能無(wú)窮的機(jī)制。

8、總結(jié)

N+1空間中的“素?cái)?shù)空穴”模型，將素?cái)?shù)分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不同周期的等差數(shù)列在

偶數(shù)數(shù)列上的覆蓋問(wèn)題。

通過(guò)奇偶周期的互斥性，可直接得到素?cái)?shù)無(wú)限的結(jié)論，并自然引出孿生素?cái)?shù)無(wú)窮的猜想。

這為理解素?cái)?shù)分布提供了一個(gè)新的幾何化視角，并未后續(xù)研究Ltg-空間理論中的2N+A空間、3N+A空間、4N+A空間…6N+A空間… 奠定了基礎(chǔ)。

附圖一

附圖二

閱讀提示說(shuō)明：

1） 本文研究理論必須結(jié)合附圖一N+1空間的表格，注意項(xiàng)數(shù)N的重大價(jià)值；

2） 本文必須區(qū)分項(xiàng)數(shù)N與正整數(shù)值an的區(qū)別，不要混淆；

3） 本文雖然直觀證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多，但是對(duì)于孿生素?cái)?shù)提出了可能無(wú)窮多，但是沒(méi)有證明。算是前進(jìn)了一大步，只要找出關(guān)鍵點(diǎn)，孿生素?cái)?shù)就被證明了讀者可以進(jìn)一步思考。

4） 因?yàn)檫x定空間N+1后，每一個(gè)正整數(shù)包括素?cái)?shù)都有了自己相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)N，此時(shí)的等差數(shù)列可以轉(zhuǎn)換成函數(shù)關(guān)系。在“素?cái)?shù)空穴”相鄰的位置上可以選兩條直線方程，這兩個(gè)方程沒(méi)有強(qiáng)制性關(guān)聯(lián)，一個(gè)位置上出現(xiàn)素?cái)?shù)p，p+2后到了另一個(gè)直線方程上，這個(gè)位置是可以出現(xiàn)素?cái)?shù)的（僅僅是探討）。

本文與騰訊元寶合作完成，表示感謝！

李鐵鋼

2025年12月14日星期日 于保定市