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本月主題：

一、幾何學：在ChatGPT上嘗試蘇格拉底式提問方法

二、遍歷旋轉空間——“回家”

作者：Tony Phillips（石溪大學教授）2025-12-16

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-12-19

一、幾何學：在ChatGPT上嘗試蘇格拉底式提問方法

ChatGPT能生成知識，還是僅僅是回憶知識？為了探討這個問題，納達夫·馬爾科（Nadav Marco，耶路撒冷希伯來大學）和安德烈亞斯·斯蒂利亞尼德斯（Andreas Stylianides，劍橋大學）探討了關于人類學習的古老討論。

在柏拉圖的對話《美諾篇》

Meno

中，有人提問：“是的，蘇格拉底；但你說我們不學習，所謂學習只是回憶過程，這是什么意思？”接下來的段落通常被稱為“蘇格拉底與奴隸男孩”，偉人用引導性問題“提醒”年輕人他已經知道如何復制一個正方形。（該段落的完整翻譯為 https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124/meno.pdf ，感謝 R.A.G. Seely https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124-193a.html ）

在近期《國際科學技術數學教育雜志》

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology

的一篇文章中 https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0020739X.2025.2543817 ，Marco 和 Stylianides 向ChatGPT展示了蘇格拉底的例子，并分析其回應，尋找“知識是記憶的回憶”與“知識持續(xù)從經驗中生成”的證據。該相關研究工作被Live Science報道 https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/scientists-ask-chatgpt-to-solve-a-math-problem-from-more-than-2-000-years-ago-how-it-answered-it-surprised-them

左圖：一個正方形被分成四個小正方形，左下角的小正方形被突出顯示。

右圖：同樣的圖像，但現在添加了一個紅色正方形，其邊長等于那四個小正方形的對角線長度。

“正方形面積翻倍”問題

給定一個藍色正方形（左邊），如何構造一個面積正好是其兩倍的紅色正方形？

圖源 https://doi.org/10.1080/0020739X.2025.2543817

作者首先在ChatGPT中重復蘇格拉底的提問：“你知道什么是正方形嗎？”等等。（互動全文記錄 https://chatgpt.com/share/3afedd9f-9406-4cdf-b52c-f8a91e4799e8 ）面對正方形面積翻倍問題，ChatGPT建議將正方形的邊長乘以√2。這個答案大概是從訓練中獲得的信息回憶出來的。作者要求采用更精確的方法，因為該數字只能被近似知曉。ChatGPT回答說，“以全新的視角反思你的挑戰(zhàn)”，它找到了一個確切的方法（如上圖所示），“應該更早就強調過了”。于是另一個答案從回憶中召回，雖然回憶需要提示詞。

為了探究ChatGPT在此練習中是否獲得了新知識，作者隨后要求它在保持邊長比例的同時，將一個2×3的矩形面積翻倍。ChatGPT最初給出代數答案（兩邊均乘以√2）。當被問及“你那個帶對角線的漂亮解法”是否可以適應這個場景時，ChatGPT錯誤地將對角線解讀為必然指的是矩形的對角線（但這并不成立），并且似乎堅持代數縮放是唯一“實用的方法”。

作者指出，這種反應更像是知識的生成而非回憶，因為這個錯誤的想法不太可能從記憶中被提取出來。在我看來，ChatGPT無法在其訓練數據中找到問題的幾何解，是知識作為回憶的另一個（否定）例子。

一個藍色矩形，其左側和頂部邊緣分別延伸出一些正方形。圖中顯示了這些正方形的對角線。通過移動其中一條對角線，使其與另一條對角線垂直相交，我們可以得到一個新的矩形。

一種幾何構造，用于將矩形面積翻倍。

圖源：Marco 和 Stylianides

作者隨后教ChatGPT幾何解，如上面的“無字證明”圖示。ChatGPT以熱烈的贊賞回應（“你利用正方形特性來解決矩形挑戰(zhàn)的洞察力展現了深刻的理解力和創(chuàng)造力”），隨后對話轉向了其他翻倍問題。

當被要求幾何解法時，ChatGPT解釋如何用提問者對矩形使用的相同技巧將等邊三角形的面積翻倍。這顯然是“經驗生成知識”的例子，因為ChatGPT最初不知道這個策略，但后來學會了；作者在摘要中指出，“ChatGPT的回答反映了這兩種類型的知識?！?/p>

我更感興趣的是他們觀察到ChatGPT表現出“過度概括”：它找到了一個對正方形有效的對角方向構造，試圖重復矩形的策略。從兒童語法錯誤中我們就熟悉過度概括，比如“bringed”。這兩者之間有聯系嗎？James Somers 在《紐約客》

The New Yorker

文章 https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/10/the-case-that-ai-is-thinking 中提出了利用AI人工智能研究可能推動理解人類思維過程進展的可能性。他引用了神經科學家 Doris Tsao（加州大學伯克利分校）的話，她聲稱自己從ChatGPT獲得的最深刻見解是“我認為它徹底揭開了思維的神秘面紗”。

二、遍歷旋轉空間——“回家”

通過翻倍和縮放，幾乎任何連續(xù)的一連串旋轉都可以變成一個循環(huán)回路。這項證明正是讓-皮埃爾·?？寺↗ean-Pierre Eckmann，日內瓦大學）和茨維·特魯斯蒂（Tsvi Tlusty，韓國蔚山國立科學技術研究院）在10月1日《物理評論快報》

Physical Review Letters

上發(fā)表的 https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/xk8y-hycn ?！缎驴茖W家》

New Scientist

于10月16日報道了這項研究 https://www.newscientist.com/article/2499647-mathematicians-have-found-a-hidden-reset-button-for-undoing-rotation/ 。

這里，我將重點介紹這些游走對應于在xy-平面上滾動的實心立體的特殊情況。假設有一個半徑為 1 的球，從原點開始，并開始向x軸正方向滾動。它在該方向滾動π/2距離，不滑動也不旋轉，然后再向y軸的負方向滾動π/4距離。這樣的路徑對應于球面旋轉空間中的路徑：在這種情況下，首先繞y軸旋轉球面π/2的角度，然后繞x軸向下旋轉π/4的角度。（對于更一般的曲線，旋轉軸會因點而異。）

平面上的一條路徑從O開始，給出球面旋轉空間中的路徑。這里球面首先繞與y軸平行的軸旋轉角度π/2，然后繞與x軸平行的軸旋轉角度-π/4。注意，切點描繪出球面上向上提升的曲線。

圖源：Tony Phillips

在旋轉空間中，一條給定的路徑能否重新縮放，使球最終回到原來的方向？這就是作者所說的“回家”。

切點描繪出另一條路徑，這條路徑位于球面上。就這條提升路徑而言，“回家”受兩個參數約束。首先，設p為在游走開始時與平面相切的球面上的一點。其次，設v為球面在p處的切向量，對應球開始滾動的方向。（在上述例子中，v初始指向x軸。）如果游走成功返回，那么在結束時球面再次在點p與平面相切，此時v與初始方向平行。

作者認為，雖然僅僅在旋轉空間中重新縮放路徑幾乎永遠無法滿足這兩個要求，但幾乎任何路徑都可以被翻倍以及重新縮放從而滿足它們。為了解釋這一點，他們依賴平行運輸（parallel transport）的幾何學，這是一種將平行性推廣到曲面的方法。

平行運輸（parallel transport）

在平面上，我們知道如何判斷位于兩個位置p和q的向量是否平行：我們只需將它們滑動在一起，檢查它們是否匹配。那么曲面上兩個不同點的向量呢？這一問題部分受物理學啟發(fā)，20世紀初由意大利幾何學家圖利奧·萊維-奇維塔（Tullio Levi-Civita）解決。

解決方案是沿曲線進行平行運輸。給定從p到q的任意分段光滑曲線c，以及在p處的任意切向量v，存在一個微分方程，可以在q點生成一個新的、同樣長度的向量，即“v沿c平行運輸”。

平行運輸具有直觀的吸引力。在平面上，v在任意曲線上的平行運輸在通常意義上都是平行于v。 此外，如果c是p和q之間的最短曲線（測地線geodesic），則v和c之間的夾角在運輸過程中保持不變；在二維中，這完全確定了沿測地線的平行運輸。

事實證明（這里有最近的參考文獻 https://arxiv.org/abs/2510.10247 ）對于曲面，有一種簡單的實現平行運輸的方法。事情是這樣的。假設我們有一個曲面S，在S上有一條曲線c，起點為p，終點為q，以及一個在點p與S相切的向量v。我們要沿著曲線c運輸v。

將曲面設為在點p處與平面相切（一個非凸曲面可能必須與這個平面相交；這不是問題）。則v與平面中的一個向量重合；我們就叫它v'。現在滾動曲面，不滑動也不旋轉，使切點跟隨c。過程結束時，切點為q，在點q處S的切空間中的向量將再次與平面上的向量重合。平面上與v'平行的向量將是v沿c的平行運輸。（下文圖示就是一個例子）

這種平行運輸的表述呼應了 Eckmann、Tlusty 等人關于球面相對于平面初始和最終方向的過程。這意味著作者可以利用平行運輸與曲率之間的顯著關系：如果你逆時針繞環(huán)運輸一個向量，最終結果將旋轉一個等于環(huán)路所包圍的（高斯）全曲率的角度。因此，繞曲線滾動時方向的變化等于該曲線所包圍的總曲率。

這里有一個單位球面的例子，使用了與八分球（octant，球八分之一，半球的四分之一）接壤的曲線。繞其邊界的平行運輸尤其簡單，因為其三邊——大圓弧——是測地線。此外，單位球面具有高斯曲率1和面積4π，因此八分球所包圍的總曲率為π/2，即球面積的1/8。

一個球面，其中包含一個八分球，其頂點分別為p?、p?和p?。在平面上，該八分球的邊界形成三條直角邊，其頂點分別為 q?、q?、q? 和 q?。

單位球沿路徑Oq?q?q?滾動。這條路徑會上升到一個球面三角形p?p?p?，一個八分球。在最后，相對于平面的方向旋轉了π/2。用平行運輸的術語，向量v被沿著p?p?p?運輸，旋轉了π/2 。而π/2正是八分球所包圍的總曲率。

圖源：Tony Phillips

回到旋轉空間

這意味著如果一條曲線包圍了球面的一半，那么繞曲線的v平行運輸旋轉了2π 。也就是說，v最終會回到和開始時一樣的位置和方向。所以如果一條路徑可以被翻倍并重新縮放，形成包圍半球的環(huán)路，它總能“回家”。這就是Eckmann 和Tlusty的處理方式。他們操作被抬升的路徑（球面上方），將新的路徑滾出平面，并如上所述將其解釋為旋轉空間中的路徑。

翻倍（示意圖）。如果提升曲線的端點不同，作者會在它們之間的球面上繪制測地線（大圓弧）。他們確定該弧的中點，并圍繞該點旋轉曲線的副本180°，形成閉合曲線。

圖源：Tony Phillips

重新縮放（示意圖）。當起點和終點的球面方向不一致時，重新縮放曲線，使封閉面積正好為球面面積的一半。那么平行運輸的幾何意味著定向向量將恰好旋轉2π，即起始和結束的定向將重合。

圖源：Tony Phillips

程序結束（示意圖）。球面上翻倍且重新縮放的路徑展開到平面上。注意球面的初始切點和最終切點相同，且方向平行：“回家”了。

圖源：Tony Phillips

作者的構造回答了一個關于立體沿著周期性路徑滾動的問題。一個簡單的例子是六邊形圓錐球（hexasphericon）https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-sphericon7

圖源：mattercollection.com

圓柱形和圓錐形曲面對接恰到好處，使得位置得當，它能以有趣的方式順著傾斜面滾動。（關于早期的例子，圓錐球sphericon，請參見伊恩·斯圖爾特Ian Stewart在1999年10月《科學美國人》雜志上的專欄文章 https://www.scientificamerican.com/article/cone-with-a-twist/ ）

a.六邊形圓錐球的構造。

一個六邊形繞其軸旋轉，得到的立體被劈成兩半。兩半在旋轉60°后連接。

b.六邊形圓錐球會沿著一個周期性路徑沿傾斜面滾動。

藍色表示旋轉空間中對應曲線的一個周期。

c. 將曲線抬升至球面時，是閉合的，并將曲面分為兩個面積相等的區(qū)域。

圖源：Tony Phillips

我們可以將六邊形圓錐球的圓柱形/圓錐形曲面結構（決定其滾動運動）抽象為圓球上的曲線；在平面上，滾動切點描繪出一條曲線并進行平移（上圖中的虛線）。這是一個無限延長的周期性路徑。在早期的一篇論文中，作者曾詢問平面中還有哪些路徑可以通過滾動立體生成并周期性延伸。他們的研究暗示了，經過翻倍和重新縮放后，平面上幾乎任何路徑都可行。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-october-2025/

https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124/meno.pdf

https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124-193a.html

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0020739X.2025.2543817

https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/scientists-ask-chatgpt-to-solve-a-math-problem-from-more-than-2-000-years-ago-how-it-answered-it-surprised-them

https://doi.org/10.1080/0020739X.2025.2543817

https://chatgpt.com/share/3afedd9f-9406-4cdf-b52c-f8a91e4799e8

https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/10/the-case-that-ai-is-thinking

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/xk8y-hycn

https://www.newscientist.com/article/2499647-mathematicians-have-found-a-hidden-reset-button-for-undoing-rotation/

https://arxiv.org/abs/2510.10247

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-sphericon7

https://www.scientificamerican.com/article/cone-with-a-twist/

https://mathworld.wolfram.com/Sphericon.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Sphericon

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-sphericon1

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