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2025年奧斯特羅夫斯基獎（Ostrowski Prize）授予王虹，以表彰她在調(diào)和分析領(lǐng)域的開創(chuàng)性研究成果 —— 其成功破解了該領(lǐng)域的核心難題，即三維歐氏空間?3中的掛谷集猜想（Kakeya set conjecture）。

M. R?rdam, 王虹, Larry Guth, H. Harbrecht

圖源：哥本哈根大學(xué)

Ostrowski奧斯特羅夫斯基獎，由奧斯特羅夫斯基基金會頒發(fā)，每兩年（奇數(shù)年）一次，授予在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域或數(shù)值數(shù)學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域取得最佳成果的數(shù)學(xué)家或一組科學(xué)家，當(dāng)前獎金為10萬瑞士法郎。

作者：奧斯特羅夫斯基獎官網(wǎng)（ostrowski.ch）2025-11-18

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-12-14

頒獎詞

2025年Ostrowski奧斯特羅夫斯基獎授予王虹，以表彰她在調(diào)和分析領(lǐng)域的開創(chuàng)性研究成果 —— 其成功破解了該領(lǐng)域的核心難題，即三維歐氏空間?3中的掛谷集猜想（Kakeya set conjecture）。

掛谷集猜想是調(diào)和分析中限制理論的核心問題，長期以來一直是該領(lǐng)域發(fā)展的重要瓶頸 —— 眾多相關(guān)猜想的證明均依賴于掛谷集猜想的破解。在相當(dāng)長的一段時間內(nèi)，這一猜想的證明始終難以實現(xiàn)，導(dǎo)致一系列衍生猜想也陷入停滯。

掛谷問題最早由日本數(shù)學(xué)家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）于 1917 年提出：在平面上，一根針旋轉(zhuǎn)180度所需的最小區(qū)域面積是多少？這類區(qū)域被稱為“掛谷針集”（Kakeya needle sets）。經(jīng)過發(fā)展，掛谷集猜想的現(xiàn)代表述為：在歐氏空間中，若一個集合包含所有方向上的單位線段，則該集合的豪斯多夫維數(shù)（Hausdorff dimension）等于所在空間的維數(shù)。

此前，該猜想在一維和二維空間中已被證實，但在更高維度上僅取得部分研究進(jìn)展。2025年初，王虹與合作者約書亞?扎爾（Joshua Zahl）共同完成了三維空間中掛谷集猜想的證明。

王虹生于 1991 年，是一位專注于傅里葉分析與幾何測度論的中國數(shù)學(xué)家。她本科畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，隨后獲得法國巴黎綜合理工學(xué)院工程學(xué)位及巴黎南大學(xué)碩士學(xué)位。2014年，她進(jìn)入美國麻省理工學(xué)院攻讀數(shù)學(xué)博士學(xué)位，師從拉里?古斯（Larry Guth）教授。

2019年，王虹成為普林斯頓高等研究院（IAS）研究員；2021年，出任加州大學(xué)洛杉磯分校助理教授；2023年，被任命為紐約大學(xué)庫朗數(shù)學(xué)研究所副教授，目前擔(dān)任該所正教授，同時兼任法國伊夫林省伊韋特河畔比爾高等科學(xué)研究所聯(lián)合教授。

關(guān)于王虹及三維掛谷猜想，詳情參閱：

奧斯特羅夫斯基獎簡介

Alexander M. Ostrowski（1893 - 1986）

奧斯特羅夫斯基基金會（Ostrowski Foundation）由長期擔(dān)任巴塞爾大學(xué)教授的亞歷山大?M?奧斯特羅夫斯基（Alexander M. Ostrowski，請勿與俄羅斯劇作家Alexander Ostrovsky混淆）創(chuàng)立。他將全部遺產(chǎn)捐贈給基金會，并明確規(guī)定基金收益用于頒發(fā)數(shù)學(xué)領(lǐng)域杰出成就獎。該獎項每兩年（奇數(shù)年）頒發(fā)一次，當(dāng)前獎金為10萬瑞士法郎（約合88.6萬人民幣）。

歷屆奧斯特羅夫斯基獎獲得者一覽

2025

王虹

因其在調(diào)和分析領(lǐng)域的開創(chuàng)性研究成果 —— 其成功破解了該領(lǐng)域的核心難題，即三維歐氏空間?3中的掛谷集猜想（Kakeya set conjecture）。

參閱

2023

雅各布·齊默曼Jacob Tsimerman

因其在超越數(shù)論、解析數(shù)論與算術(shù)幾何交叉領(lǐng)域的卓越研究成果，包括近期在安德烈-奧爾特猜想（André-Oort conjecture）與格里菲斯猜想（Griffiths conjecture）上取得的突破性進(jìn)展。

志村簇（Shimura varieties）是一類極具研究價值的代數(shù)簇。該概念由志村五郎（Shimura）與德利涅（Deligne）提出，初衷是推廣模曲線，如今在自守形式理論、伽羅瓦表示研究及丟番圖幾何中占據(jù)核心地位。安德烈-奧爾特猜想描述了志村簇上特殊點（即CM復(fù)乘點）的分布規(guī)律，是丟番圖問題與模形式算術(shù)的交叉核心議題，同時也是志村簇版本的曼寧-芒福德猜想（Manin-Mumford conjecture）。一般情形下的安德烈-奧爾特猜想證明需克服諸多極具挑戰(zhàn)性的障礙，近期由齊默曼與合作者共同完成，成為該領(lǐng)域的巔峰成果。

雅各布?齊默曼生于1988年，是加拿大籍?dāng)?shù)學(xué)家。他曾于2003年和2004年兩度斬獲IMO國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌。齊默曼本科就讀于多倫多大學(xué)數(shù)學(xué)系，2011年在普林斯頓大學(xué)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，師從彼得?薩納克（Peter Sarnak）教授。隨后，他以哈佛學(xué)會初級研究員身份在哈佛大學(xué)從事博士后研究。2014年7月，他榮獲斯隆研究獎（Sloan Fellowship），并于同年出任多倫多大學(xué)助理教授，目前擔(dān)任該校正教授。

2021

蒂姆·奧斯汀Tim Austin

因其在多個跨度極廣的領(lǐng)域所取得的杰出研究成果，涵蓋概率論、遍歷論與動力系統(tǒng)、組合數(shù)學(xué)、算子代數(shù)、群上同調(diào)及度量幾何等。他不僅破解了多個長期懸而未決的難題，實現(xiàn)了多項突破性進(jìn)展，同時還為相關(guān)領(lǐng)域的理論構(gòu)建作出了深刻貢獻(xiàn)。

此次頒獎的核心依據(jù)是蒂姆?奧斯汀近期在遍歷論領(lǐng)域取得的開創(chuàng)性成就 —— 成功證明了弱平斯克猜想（weak Pinsker conjecture）。自1970年代該猜想由圖瓦諾（Thouvenot）提出以來，便被公認(rèn)為伯努利同構(gòu)理論中最重要的未解決問題。奧斯汀的研究成果對這一猜想給出了肯定回答，其結(jié)論為：任意保測變換均可分解為一個伯努利移位（Bernoulli shift）與一個低熵變換的直積。

這是熵理論中首個一般性結(jié)構(gòu)定理，堪稱極具里程碑意義的成果，被廣泛認(rèn)為是過去 40 年來該領(lǐng)域最重要的發(fā)展。盡管這是動力系統(tǒng)領(lǐng)域的卓越成就，但從分析學(xué)視角來看，其證明所采用的核心工具同樣令人矚目：為驗證該猜想，奧斯汀建立了一項非凡的測度集中結(jié)果 —— 一種將高維乘積空間上的測度分解為受控數(shù)量部分的新方法，且這些部分均呈現(xiàn)出測度集中特性。

蒂姆?奧斯汀是英國數(shù)學(xué)家，1983年出生于英國倫敦。2010年，他在加州大學(xué)洛杉磯分校獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。此后，他曾任職于布朗大學(xué)、微軟研究院及庫朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所，并于2017年出任加州大學(xué)洛杉磯分校教授。

2019

阿薩夫·諾爾Assaf Naor

因其在巴拿赫空間幾何、度量空間結(jié)構(gòu)與算法交叉領(lǐng)域的開創(chuàng)性研究成果。他的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)體現(xiàn)在三個維度：破解多個高難度難題、確立具有重要影響力的研究方向（為自身及同行的后續(xù)研究指明路徑）、發(fā)掘純數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)之間的深層關(guān)聯(lián)。

自1990年代中期以來，幾何方法在設(shè)計計算問題算法方面發(fā)揮了關(guān)鍵作用 —— 這些計算問題起初看似與幾何毫無關(guān)聯(lián)。阿薩夫?諾爾是該領(lǐng)域的全球領(lǐng)軍學(xué)者，構(gòu)建了長期且系統(tǒng)的研究體系。他發(fā)掘并應(yīng)用巴拿赫空間理論與定量度量幾何中的深刻成果，解決了多個長期懸而未決的算法問題；反之，他亦借助受算法應(yīng)用啟發(fā)的技術(shù)，攻克了分析學(xué)中的經(jīng)典難題。這些研究往往推動了新理論的誕生，例如非線性譜演算（non-linear spectral calculus）的發(fā)展以及對海森堡群（Heisenberg group）幾何性質(zhì)的深入理解。

他的研究重點之一是圖論中的“最稀疏割”（sparsest cut）計算問題：即將一個含 n 個頂點的圖分割為兩部分，在保證兩部分 “平衡” 的前提下，使連接兩部分的邊數(shù)最少。這是一個 NP 難問題（NP-hard problem），因此研究目標(biāo)是求解其近似最稀疏割。某一特定算法基于線性規(guī)劃松弛（linear programming relaxation）方法，其近似比（approximation factor）與將對應(yīng)類別的 n 點度量嵌入到L?空間所需的扭曲度（distortion）相等。

阿薩夫?諾爾證明：海森堡群中半徑為 n 的球，若以利普希茨嵌入（Lipschitz embed）方式嵌入到L?空間，其扭曲度無法優(yōu)于√(log n)。由此可推出，針對規(guī)模為 n 的輸入，最稀疏割問題的半定規(guī)劃（semidefinite program）近似比至少為√(log n)量級，與已知的上界相匹配。

阿薩夫?諾爾是以色列-美國-捷克三國籍?dāng)?shù)學(xué)家，1975年出生于以色列雷霍沃特。2002年，他在耶路撒冷希伯來大學(xué)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。此后，他曾任職于微軟研究院、華盛頓大學(xué)及庫朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所，并于2014年出任普林斯頓大學(xué)教授。

2017

阿克沙伊?文卡特什Akshay Venkatesh

因其在數(shù)論、自守形式與表示論、齊次動力系統(tǒng)及算術(shù)幾何領(lǐng)域的開創(chuàng)性研究成果。文卡特什以其非凡的原創(chuàng)性及跨領(lǐng)域融合能力著稱，他為解決長期懸而未決的難題引入了全新概念的工具，取得了極具突破性的成果。這不僅推動了相關(guān)領(lǐng)域的知識邊界拓展，更通過發(fā)掘并凸顯不同數(shù)學(xué)分支間此前未被探索的關(guān)聯(lián)，為后續(xù)研究播下了進(jìn)步的種子。

他的代表性成果包括與菲利普?米歇爾（Philippe Michel）合作開展的 L-函數(shù)次凸估計研究 —— 該研究對所有此前的 GL?形式次凸估計給出了統(tǒng)一處理方案，并通過利用次凸估計（subconvex estimates）與有效等分布（effective equidistribution）之間的關(guān)聯(lián)，確立了次凸性的多個新的重要情形。在此過程中，文卡特什還針對齊次動力系統(tǒng)中的稀疏等分布問題，證明了一系列具有重要意義的新結(jié)論。

他與艾因西德勒（Einsiedler）、馬古利斯（Margulis）及穆罕默迪（Mohammadi）合作的半單群周期軌道有效等分布研究，進(jìn)一步深化了“有效等分布結(jié)果及其與解析數(shù)論的關(guān)聯(lián)” 這一核心主題 —— 特別是其中的有效方法，使文卡特什及其合作者得以證明此前技術(shù)即便在定性層面也無法觸及的新的等分布成果。

此外，他與艾因西德勒、林登施特勞斯（Lindenstrauss）及米歇爾合作的 “杜克Duke關(guān)于復(fù)乘（CM）點等分布經(jīng)典成果的三次類似問題” 研究，以及與埃倫伯格（Ellenberg）合作的 “二次型表示的局部 - 整體原理” 這一經(jīng)典問題研究，均展現(xiàn)了數(shù)論與動力系統(tǒng)各類技術(shù)之間富有成效的互動：后者大幅降低了局部 - 整體結(jié)果成立所需的余維數(shù)。

近期，文卡特什與伯杰龍（Bergeron）、卡萊加里（Calegari）合作，探索了數(shù)學(xué)領(lǐng)域另一個意想不到的關(guān)聯(lián) —— 他們在研究算術(shù)簇上同調(diào)中撓類計數(shù)這一難題時，運用了來自微分幾何的分析工具，尤其是解析撓率（analytic torsion）。

阿克沙伊?文卡特什于 1981 年出生于印度新德里，2002 年在普林斯頓大學(xué)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。此后，他曾任職于西澳大利亞大學(xué)、麻省理工學(xué)院）及庫朗研究所，并于 2008 年出任斯坦福大學(xué)教授。

2015

彼得?舒爾茨Peter Scholze

在算術(shù)代數(shù)幾何領(lǐng)域取得的突破性研究成果。彼得?舒爾茨于2009年獲得學(xué)士學(xué)位，2010年獲得碩士學(xué)位，并于2012年1月在波恩大學(xué)取得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。自2012年10月起，他擔(dān)任波恩豪斯多夫數(shù)學(xué)中心教授，持有豪斯多夫（Hausdorff）講席。

舒爾茨獲此殊榮的核心原因是他創(chuàng)立了完美空間理論（perfectoid spaces），并成功運用該理論解決了多個棘手的開放性問題。這一理論能夠?qū)⒒旌咸卣鳝h(huán)上的代數(shù)簇相關(guān)問題，轉(zhuǎn)化為固定正特征環(huán)上的代數(shù)簇問題，為相關(guān)研究提供了全新的解決路徑。借助完美空間理論，舒爾茨證明了射影空間中非奇異完全交簇的德利涅權(quán)單值化猜想（Deligne’s weight monodromy conjecture）—— 這是過去三十年來德利涅猜想研究取得的首個重大進(jìn)展。

他還利用完美空間為剛性解析空間建立了p進(jìn)霍奇理論（p-adic Hodge theory）。此外，他與韋恩斯坦（Weinstein）合作證明，無窮層拉波波特 - 津克空間（Rapoport-Zink spaces）屬于完美空間；通過對這些空間的研究，他們成功重新證明并推廣了格羅斯 - 霍普金斯猜想（Gross-Hopkins conjecture）。

舒爾茨還運用完美空間理論，證明了全實域或復(fù)乘域上 GL?局部對稱空間的模p上同調(diào)所對應(yīng)的伽羅瓦表示（Galois representations）的存在性，由此解決了阿什（Ash）、格魯內(nèi)瓦爾德（Grunewald）等人提出的、四十年來懸而未決的猜想。

2013

張益唐

因其在素數(shù)間小間隙問題上取得的突破性研究成果。張益唐教授于1982年獲得北京大學(xué)學(xué)士學(xué)位，1985年獲該校碩士學(xué)位，隨后赴美國深造，并于1991年在普渡大學(xué)取得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。1999年，他加入新罕布什爾大學(xué)數(shù)學(xué)系，至今仍在該系任職。張教授的研究聚焦于素數(shù)分布領(lǐng)域的一個核心問題。

我們結(jié)合歷史背景進(jìn)行說明：設(shè)p?, p?, ...為遞增的素數(shù)序列，根據(jù)素數(shù)定理，連續(xù)素數(shù)pn??與pn之間的平均間隙大小約為log pn。那么，連續(xù)素數(shù)間的小間隙究竟有怎樣的性質(zhì)？

1940年，埃爾德什（Erd?s）率先證明，存在一個小于 1 的正數(shù)c，使得對于無窮多個正整數(shù)n，滿足：pn??-pn < c log pn (1)

此后，邦別里（Bombieri）與達(dá)文波特（Davenport）、赫胥黎（Huxley）、邁爾（Maier）等人對這一結(jié)果進(jìn)行了優(yōu)化。其中，邁爾于1988年證明，當(dāng)c=0.248...時， (1) 式依然成立。

隨后，戈德斯頓（Goldston）、平茨（Pintz）與伊爾迪里姆（Yildirim）在2009年和2010年發(fā)表的兩篇論文中，得到了一個更強(qiáng)的結(jié)論：存在正數(shù)C，使得對于無窮多個正整數(shù)n，有：pn?? - pn < C(log log pn)2 √(log pn)。

在戈德斯頓、平茨與伊爾迪里姆的研究基礎(chǔ)上，張益唐于2013年證明，對于無窮多個正整數(shù)n，滿足：pn??-pn<7·10?這一成果是素數(shù)研究領(lǐng)域的重大飛躍，使孿生素數(shù)猜想（twin prime conjecture）的證明迎來了新的曙光。

張益唐的證明融合了解析數(shù)論中的諸多精妙思想與方法，包括戈德斯頓 - 平茨 - 伊爾迪里姆篩法、邦別里 - 維諾格拉多夫定理（Bombieri-Vinogradov Theorem）、韋伊關(guān)于克洛斯特曼和的界（Weil’s bound for Kloosterman sums）、德利涅關(guān)于有限域上代數(shù)簇的黎曼猜想證明，以及邦別里（Bombieri）、弗里德蘭德（Friedlander）與伊萬涅茨（Iwaniec）在算術(shù)級數(shù)中素數(shù)分布方面的研究成果，堪稱具有里程碑意義的學(xué)術(shù)成就。

2011

三人：Ib Madsen、David Preiss、Kannan Soundararajan

伊布?馬德森 Ib Madsen

1970年獲得芝加哥大學(xué)博士學(xué)位。1971年至2008年，他任職于奧胡斯大學(xué)，在該校打造了一支實力雄厚的拓?fù)鋵W(xué)研究團(tuán)隊，影響力深遠(yuǎn)。2008年起，他擔(dān)任哥本哈根大學(xué)教授。他曾在芝加哥大學(xué)、斯坦福大學(xué)及普林斯頓大學(xué)擔(dān)任訪問學(xué)者，1978年受邀在赫爾辛基ICM國際數(shù)學(xué)家大會作報告，2006年在馬德里ICM國際數(shù)學(xué)家大會作全會報告。2002年北京ICM國際數(shù)學(xué)家大會期間，他擔(dān)任拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域報告人遴選委員會主席；1988年至2000年，出任《數(shù)學(xué)學(xué)報》

Acta Mathematica

馬德森在拓?fù)溲h(huán)同調(diào)理論（topological cyclic homology theory）的發(fā)展中起到了關(guān)鍵作用。該理論最初被開發(fā)為理解沃爾德豪森Waldhausens萬有空間A(X)的工具，也是目前研究高維流形微分同胚群同倫理論的唯一已知方法。此外，拓?fù)溲h(huán)同調(diào)理論當(dāng)前還是研究非光滑環(huán)與代數(shù)簇的代數(shù)K-理論的唯一已知路徑，同時是理解對稱環(huán)譜K-理論的核心工具。馬德森在黎曼曲面穩(wěn)定?？臻g領(lǐng)域也取得了突破性成果。

獲獎引文評價：“伊布?馬德森是數(shù)學(xué)界極具影響力的核心人物，通過其研究成果與學(xué)術(shù)引領(lǐng)，對幾何與拓?fù)漕I(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響?！?/p>

大衛(wèi)?普雷斯 David Preiss

畢業(yè)于捷克斯洛伐克布拉格查理大學(xué)，獲學(xué)士及高級學(xué)位。1990年，他出任倫敦大學(xué)學(xué)阿斯特Astor數(shù)學(xué)教授，2006年起任職于華威大學(xué)。他是英國皇家學(xué)會院士，2008年榮獲倫敦數(shù)學(xué)會波利亞獎（Pólya Prize）。

獲獎引文指出，普雷斯無疑是全球幾何測度論領(lǐng)域的領(lǐng)軍研究者，其最重大的成就是解決了密度問題 —— 該問題自貝西科維奇（Besicovitch）與費德勒（Federer）創(chuàng)立幾何測度論以來，一直推動著該領(lǐng)域的發(fā)展。

他早期在實分析與描述集合論領(lǐng)域的研究包括正面解決了克利（Klee）提出的一個問題；在泛函分析領(lǐng)域，他最著名的突破性成果是證明了“對偶空間可分的巴拿赫空間上的每個利普希茨（Lipschitz）函數(shù)，在一個稠密子集上都是弗雷歇（Fréchet）可微的”。

近年來，他的研究聚焦于拓展其在利普希茨函數(shù)弗雷歇可微性證明中提出的核心思想，并取得了新的突破 —— 證明了實希爾伯特空間上復(fù)值利普希茨函數(shù)的弗雷歇可微點的存在性。他與 G. 阿爾貝蒂（G. Alberti）、M. 喬爾尼耶（M. Csornyei）合作，發(fā)現(xiàn)了新的例外集類，這類集合的特征是可分解為在多條曲線上均可忽略的子集。

坎南?桑達(dá)拉拉詹 Kannan Soundararajan

1998年獲得普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位，曾執(zhí)教于密歇根大學(xué)，目前擔(dān)任斯坦福大學(xué)教授。他在數(shù)論與分析領(lǐng)域開展了開創(chuàng)性研究，2003年獲塞勒姆獎（Salem Prize），2005年獲SASTRA拉馬努金獎（SASTRA Ramanujan Prize），2011年獲印孚瑟斯（Infosys）數(shù)學(xué)科學(xué)獎，并受邀在2012年印度海德拉巴ICM國際數(shù)學(xué)家大會作報告。

參閱：

桑達(dá)拉拉詹的研究成果包括：魯?shù)履峥?- 薩納克量子唯一遍歷性猜想（quantum unique ergodicity conjecture of Rudnick and Sarnak）相關(guān)研究、臨界帶內(nèi)L-函數(shù)的性質(zhì)分析、與A. 格蘭維爾（A. Granville）合作研究的 “偽特征”（pretentious characters）；他還與格蘭維爾共同建立了乘性函數(shù)的不確定性原理，極大拓展了邁爾（Maier）關(guān)于素數(shù)分布不規(guī)則性的研究成果。

此外，他與孔亞金（Konyagin）合作，基于素數(shù)集合S的基數(shù)，改進(jìn)了S-單位方程a+b=c（其中a、b、c為互素整數(shù)，且其所有素因子均來自S）解的數(shù)量的已知最佳估計。在黎曼猜想成立的前提下，他還給出了莫比烏斯函數(shù)部分和的迄今最精確結(jié)果。

獲獎引文評價：“桑達(dá)拉拉詹在過去五年間產(chǎn)出了一系列基礎(chǔ)性成果，延續(xù)了其早期的杰出研究水準(zhǔn)?！?/p>

2009

索林?波帕 Sorin Popa

因其在算子代數(shù)領(lǐng)域取得的杰出數(shù)學(xué)成就。

波帕于1983年獲得布加勒斯特大學(xué)博士學(xué)位，1988年起擔(dān)任加州大學(xué)洛杉磯分校教授，1996年至1998年期間同時擔(dān)任日內(nèi)瓦大學(xué)教授。他曾受邀在1990年京都ICM國際數(shù)學(xué)家大會作報告，2006年在馬德里ICM國際數(shù)學(xué)家大會作全會報告；1995年至1996年獲古根海姆學(xué)者獎（Guggenheim Fellow），2010年榮獲 E.H. 穆爾研究論文獎（E. H. Moore Research Article Prize）。參閱：

他現(xiàn)任《太平洋數(shù)學(xué)期刊》

Pacific Journal of Mathematics

Journal of the American Mathematical Society

Journal of Operator Theory

索林?波帕的研究領(lǐng)域涵蓋算子代數(shù)（馮?諾依曼代數(shù)與 C*-代數(shù)）及軌道等價遍歷論（orbit equivalence ergodic theory，又稱可測群論 measurable group theory）。在長達(dá)30年的數(shù)學(xué)生涯中，他解決了這些領(lǐng)域內(nèi)多個棘手的基礎(chǔ)性問題。

1980年代初，他回答了 R.V. 卡迪遜（R.V. Kadison）在1967年著名的 “問題清單” 中提出的 20 個問題中的 3 個，其中尤為重要的是給出了 Ⅱ?型子因子（Ⅱ? subfactors）中涉及極大交換子代數(shù)（maximal abelian subalgebras）的平凡相對交換條件的刻畫。

1984年，波帕對長期懸而未決的因子態(tài)（factor state）斯通 - 魏爾斯特拉斯猜想（Stone-Weierstrass conjecture）給出了肯定答案；1985 年，他解決了 B.E. 約翰遜 - S.K. 帕羅特問題（B.E. Johnson - S.K. Parrott problem），證明了 Ⅱ?型因子到緊算子理想的所有導(dǎo)子均可由緊算子實現(xiàn)。1985年至2000年期間，波帕在瓊斯有限指標(biāo)子因子理論（Jones theory of subfactors with finite index）中取得了多項深刻的基礎(chǔ)性成果。

例如，在一系列通用性逐步提升的論文中，他證明了主圖滿足特定順從性條件的超限子因子（hyperfinite subfactors）可通過其標(biāo)準(zhǔn)不變量完全分類。結(jié)合 A. 奧克內(nèi)努（A. Ocneanu）、泉正己（Masaki Izumi）、河?xùn)|泰之（Yasuyuki Kawahigashi）與 P. 洛伊（P. Loi）的研究成果，這一結(jié)論促成了瓊斯指標(biāo)小于等于 4 的Ⅱ型和Ⅲ型子因子的完整分類。

1994年，他基于馮?諾依曼代數(shù)的融合自由積（amalgamated free products）相關(guān)的重要重構(gòu)定理，給出了子因子標(biāo)準(zhǔn)不變量的抽象刻畫；同時，他引入了子因子的“量子對偶”（quantum double）構(gòu)造，并利用該構(gòu)造證明了主圖順從的超限子因子具有一種令人意外的遺傳性 —— 這一性質(zhì)與孔涅（Connes）著名的Ⅱ?型因子中超限性的遺傳性相類似。

2001年至2004年，波帕創(chuàng)立了形變剛性理論（deformation-rigidity theory）—— 這是一系列用于研究Ⅱ?型因子剛性現(xiàn)象，以及群在概率空間上保測作用所產(chǎn)生的軌道等價關(guān)系的強(qiáng)大工具。他運用這些技術(shù)，結(jié)合 D. 加博里奧（D. Gaboriau）關(guān)于群作用 “成本”（cost）的研究成果，證明了SL(2,Z)在二維環(huán)面（2-torus）上的自然作用所生成的Ⅱ?型因子，與自身的n階矩陣代數(shù)（對任意整數(shù) n，更一般地，對任意正實數(shù)n，此處 n 指默里-馮?諾依曼連續(xù)維數(shù)）均不同構(gòu) —— 這一結(jié)果解決了卡迪遜問題清單中的另一個難題。

此外，他利用形變剛性理論證明了群作用版本的孔涅剛性猜想的一個強(qiáng)形式：若兩個具有卡扎丹（Kazhdan）性質(zhì)（T）的群的伯努利作用所生成的 Ⅱ?型因子同構(gòu)，則該同構(gòu)必源于作用的共軛；特別地，此類因子同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)的群同構(gòu)。更進(jìn)一步，波帕證明了具有卡扎丹性質(zhì)（T）的群 G 的伯努利作用是軌道等價超剛性的（orbit equivalence superrigid），即若該作用與某群 H 的任意自由保測作用具有相同軌道，則G與H同構(gòu)且這兩個作用共軛。

在后續(xù)的重要研究中，他于2006年證明類似結(jié)果對非順從積群（non-amenable product groups）同樣成立。這些突破性成果產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，催生了馮?諾依曼代數(shù)與遍歷論領(lǐng)域更多令人矚目的研究結(jié)果，同時促進(jìn)了該領(lǐng)域與幾何群論的富有成效的交叉互動，并在邏輯領(lǐng)域（可數(shù)博雷爾等價關(guān)系）獲得了有趣的應(yīng)用。

獲獎引文評價：“波帕開辟的新研究方向‘徹底革新了馮?諾依曼代數(shù)理論中與遍歷論密切相關(guān)的分支，他近期的杰出貢獻(xiàn)無疑值得一項重要獎項的認(rèn)可’。”

2007

奧代德?施拉姆 Oded Schramm

微軟研究院的奧代德?施拉姆（Oded Schramm）教授，因其在隨機(jī)洛恩納演化（Stochastic Loewner Evolution，SLE）的創(chuàng)立與應(yīng)用方面所作出的杰出貢獻(xiàn)。

施拉姆的研究領(lǐng)域包括共形映射（conformal mappings）與概率論。2000年，他發(fā)明了隨機(jī)洛恩納演化（英文縮寫為SLE，現(xiàn)有時也稱為施拉姆 - 洛恩納演化），用于描述一些遞增集值過程，例如環(huán)消隨機(jī)游走（loop erased random walks）和滲流簇邊界（boundaries of percolation clusters）。

施拉姆通過復(fù)平面上的曲線來刻畫這類過程，這些曲線滿足帶有特定邊界條件和驅(qū)動過程的洛恩納微分方程（Loewner’s differential equation）。施拉姆有著獨到的見解：若他所提出的過程具有共形不變標(biāo)度極限（conformally invariant scaling limits），則該極限過程必須由某種布朗運動（Brownian motion）驅(qū)動，且布朗運動會依賴一個參數(shù) κ—— 不同過程對應(yīng)的 κ 值各不相同。

勞勒（Lawler）與維爾納（Werner）通過局部性（locality property）或限制性（restriction property）特征，刻畫了具有特定 κ 值的 SLE 過程。斯米爾諾夫（Smirnov）借助施拉姆、勞勒及維爾納的研究成果，確定了某類滲流簇“外邊界”的極限分布與某一 SLE 過程等價。這四位學(xué)者運用他們的方法，解決了此前諸多看似難以攻克的難題。

斯米爾諾夫與維爾納建立了冪律關(guān)系（power laws），并證實了物理學(xué)家預(yù)測的三角形格點上二維滲流（two-dimensional percolation on the triangular lattice）的多個臨界指數(shù)（critical exponents）數(shù)值；勞勒、施拉姆與維爾納還找到了多個布朗運動相交概率的臨界指數(shù)，并利用 SLE 描述了二維環(huán)消隨機(jī)游走的標(biāo)度極限；施拉姆及其合作者借助 SLE 進(jìn)一步證實了曼德勃羅（Mandelbrot）的一個猜想，確定了二維布朗運動前沿的豪斯多夫維數(shù)（Hausdorff dimension）。

事實證明，SLE 在計算臨界指數(shù)的具體數(shù)值方面極具價值。盡管這些結(jié)論僅適用于二維三角形格點上的臨界滲流，但這一成果仍堪稱統(tǒng)計物理學(xué)中重大問題的突破性進(jìn)展 —— 此前該領(lǐng)域一直缺乏明確的研究方向。SLE 的出現(xiàn)催生了從純概率學(xué)到統(tǒng)計物理學(xué)領(lǐng)域的一系列令人振奮的發(fā)展。溫德林?維爾納（Wendelin Werner）正因?qū)@些突破性成果的貢獻(xiàn)而榮獲菲爾茲獎。不受年齡限制的奧斯特羅夫斯基獎評審團(tuán)希望通過表彰這一卓越研究領(lǐng)域的開創(chuàng)者奧代德?施拉姆，向其致以崇高敬意。

奧代德?施拉姆于1961年出生于以色列。他在耶路撒冷完成本科教育，隨后進(jìn)入普林斯頓大學(xué)攻讀研究生學(xué)位，師從 W.P. 瑟斯頓（W.P. Thurston）教授。1990年至1992年，他任職于加州大學(xué)圣地亞哥分校；1992年至1999年，任職于魏茨曼研究所；1999年，加入華盛頓州雷德蒙德市的微軟研究院。

他曾榮獲安娜與拉約什?埃爾德什數(shù)學(xué)獎（Anna and Lajos Erd?s Prize in Mathematics）、塞勒姆獎（Salem Prize）、克萊研究獎（Clay Research Award）、亨利?龐加萊獎（Henri Poincaré Prize）及洛伊夫獎（Loeve Prize）。

參閱：

2005

本?格林（Ben Green）、陶哲軒（Terence Tao）

Sergei Konyagin（謝爾蓋·孔亞金，左一）, Ben Green（本·格林，左二）, James Maynard（詹姆斯·梅納德，中）, Kevin Ford（凱文·福特，右二）, 陶哲軒（右一）

圖源：MSRI, Berkeley, California. March 2017

劍橋大學(xué)的本?約瑟夫?格林教授與加州大學(xué)洛杉磯分校的陶哲軒教授榮獲2005年奧斯特羅夫斯基獎。每位獲獎?wù)邔@得5萬瑞士法郎獎金，并有權(quán)提名一名有潛力的青年候選人，該候選人可獲得3萬瑞士法郎的博士后研究獎學(xué)金。

格林與陶哲軒因在解析數(shù)論與組合數(shù)論領(lǐng)域的非凡成就而獲此殊榮。他們通過合作取得了一系列令人矚目的研究成果，最終證明了一個由來已久的猜想 —— 存在任意長度的素數(shù)算術(shù)級數(shù)。他們的研究方法為素數(shù)理論及數(shù)學(xué)其他部分開辟了全新視角。

“對于給定的正整數(shù) k，是否存在無窮多個長度為 k 的素數(shù)算術(shù)級數(shù)” 這一問題已存在一個多世紀(jì)。構(gòu)造此類四元組并不困難，例如 7、37、67、97，但我們既無法確定其有無窮多個，也無法確定是否存在長度為 40（僅為舉例）的此類級數(shù)。在格林與陶哲軒的研究之前，無人能突破 “存在無窮多個長度為 3 的素數(shù)算術(shù)級數(shù)” 這一結(jié)論。

2005年，格林在一篇論文中為該結(jié)論提供了新的證明，相比以往的證明方法，其更具組合數(shù)學(xué)特性。格林與陶哲軒的合作堪稱成果豐碩：他們基于格林早期的研究，提出了一種極具創(chuàng)新性的方案，證明了存在無窮多個長度為 4 的素數(shù)算術(shù)級數(shù)；不久后，他們便徹底證明了上述完整猜想。

正如塞邁雷迪（Szemeredi）在證明 “正密度正整數(shù)集合中存在任意長度算術(shù)級數(shù)” 這一著名結(jié)論時的情況一樣，從長度 3 到長度 4 的突破是最為艱難的一步。隨后，格林與陶哲軒取得了一項更具應(yīng)用價值的成果：給出了不超過某一數(shù)值的長度為 4 的素數(shù)算術(shù)級數(shù)個數(shù)的漸近估計。他們的目標(biāo)是證明 “k元組猜想”—— 這是素數(shù)理論中的圣杯之一。

他們的新方法源于多項早期研究成果：弗賴曼（Freiman）1962年關(guān)于和集（sumset）的研究、羅斯（Roth）1953 年關(guān)于長度為 3 的算術(shù)級數(shù)的研究、塞邁雷迪（Szemeredi）關(guān)于長度為 k 的算術(shù)級數(shù)的研究、高爾斯（Gowers）在1990年代末從全新視角開展的調(diào)和分析研究，以及布爾甘（Bourgain）與孔亞金（Konyagin）近期的相關(guān)工作。格林與陶哲軒的研究催生了一門新學(xué)科 ——“加性組合數(shù)學(xué)”，該學(xué)科處于多個經(jīng)典領(lǐng)域的交叉地帶，包括調(diào)和分析、解析組合數(shù)學(xué)、遍歷論、拉姆齊理論、解析數(shù)論、隨機(jī)圖論、離散幾何等。

格林在此之前已在組合數(shù)論領(lǐng)域取得多項杰出成果。例如，2004年他解決了保羅?埃爾德什（Paul Erd?s）最喜愛的猜想之一 —— 關(guān)于無和（sumfree）子集個數(shù)的卡梅倫（Cameron） - 埃爾德什（Erd?s）猜想；2002年他證明了和集中包含長算術(shù)級數(shù)。兩人合作時，陶哲軒已躋身世界頂尖數(shù)學(xué)家之列，他在分析學(xué)與組合數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域作出了重大貢獻(xiàn)：與克努森（Knutson）合作開展的矩陣乘法猜想相關(guān)研究令人矚目；為調(diào)和分析中的限制問題與掛谷問題提供了重要成果；在有限域中建立了和積公式等。2006年，年僅31歲的他榮獲菲爾茲獎！

參閱：

2003

保羅?D?西摩（Paul D. Seymour）

保羅?西摩，1950年出生于英國，1975年獲得牛津大學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)任普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授。他曾榮獲1983年喬治?波利亞獎（George Pólya Prize）、1979年與1994年富爾克森獎（Fulkerson Prize）——1994年與尼爾?羅伯遜（Neil Robertson）、羅賓?托馬斯（Robin Thomas）聯(lián)合獲獎，并于1994年在ICM國際數(shù)學(xué)家大會上作全會報告。

保羅?西摩憑借一系列極具影響力的研究成果為數(shù)學(xué)領(lǐng)域增添了豐富價值，其工作不僅為所有離散數(shù)學(xué)家所熟知，也被大多數(shù)理論計算機(jī)科學(xué)家廣泛關(guān)注。

例如，西摩給出了全單位模矩陣（totally unimodular matrices）的精確刻畫，這一成果是擬陣（matroid）理論中最深邃的結(jié)論之一。他與羅伯遜、托馬斯合作，完整刻畫了 “無法在三維空間中嵌入且不出現(xiàn)兩個環(huán)鏈結(jié)” 的圖；此外，他們還解決了1913年波利亞提出的積和式問題（Pólya’s permanent problem），以及 1943年哈德威格猜想（Hadwiger’s conjecture）中 “四色定理之后的下一個開放情形”。

羅伯遜、桑德斯（Sanders）、西摩與托馬斯共同為阿佩爾（Appel）和哈肯（Haken）的四色定理提供了全新且更簡潔的證明。再者，他與羅伯遜在一系列論文中證明：對于任意無窮多個有限圖構(gòu)成的集合，必定存在一個圖可通過刪除或收縮另一個圖的邊而得到。他們的研究為所有 “在邊刪除或邊收縮操作下保持封閉” 的圖性質(zhì)，提供了多項式時間有界算法。

近期，西摩與其學(xué)生楚德諾夫斯基（Chudnovsky）攜手，結(jié)合西摩與核心合作者羅伯遜、托馬斯的既有研究，成功證明了伯奇（Berge）提出的強(qiáng)完美圖猜想（strong perfect graph conjecture）。該猜想自1961年提出以來，一直是圖論領(lǐng)域最重要的未解決問題之一。

圖 G 的色數(shù)（chromatic number）是指給 G 的頂點著色所需的最少顏色數(shù)，要求相鄰頂點顏色不同；圖 G 的團(tuán)數(shù)（clique number）是指圖中兩兩相鄰的頂點的最大個數(shù)。若一個圖的所有導(dǎo)出子圖的色數(shù)與團(tuán)數(shù)均相等，則該圖被稱為完美圖（perfect graphs）。圖的 “洞”（hole）是指長度至少為 4 的無弦環(huán)路，“反洞”（antihole）則是此類環(huán)路（cycle，也稱圈）的補(bǔ)圖。

伯奇猜想指出：一個圖是完美圖，當(dāng)且僅當(dāng)它不包含奇洞（odd hole）或奇反洞（odd antihole）。楚德諾夫斯基、羅伯遜、西摩與托馬斯對這一猜想的證明，是組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項深刻貢獻(xiàn)。

2001

三人：Henryk Iwaniec、Peter Sarnak、Richard Taylor

亨里克?伊萬涅茨（Henryk Iwaniec）

圖源：hklaureateforum.org

伊萬涅茨的研究以深度、對問題難點的深刻洞察及精湛絕倫的技巧為鮮明特征。他在解析數(shù)論領(lǐng)域作出了深遠(yuǎn)貢獻(xiàn)，研究重點集中于 GL(2) 上的模形式及篩法。尤其值得關(guān)注的成果包括：與 W. 杜克（W. Duke）、J. 弗里德蘭德（J. Friedlander）合作開展的 “打破凸性” 研究 —— 聚焦于模形式相關(guān) L-函數(shù)增長估計問題；與 J. 弗里德蘭德合作得出的漸近公式 —— 用于計算不超過 X 的、可表示為一個平方數(shù)與一個四次方數(shù)之和的素數(shù)個數(shù)（這是首次有人證明在指定的極稀疏數(shù)列中存在無窮多個素數(shù)）；以及解決了林尼克（Linnik）問題 —— 即隨著半徑增大，二維球面上整點的等分布問題。

彼得?薩納克（Peter Sarnak）

圖源：IAS

薩納克的研究以涉獵范圍極廣、極具原創(chuàng)性為特點。他在數(shù)論領(lǐng)域及受數(shù)論啟發(fā)的分析學(xué)問題上的貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。尤為重要的成果包括：與 N. 卡茨（N. Katz）合作開展的函數(shù)域上一般 L-函數(shù)零點間距的普適性研究；與合作者共同完成的研究 —— 確定全實域中哪些整數(shù)可由給定的正定三元二次型表示（該問題此前被認(rèn)為難以攻克）；以及在量子混沌領(lǐng)域的研究 —— 其成果表明算術(shù)同余模曲線的拉普拉斯特征值行為與物理學(xué)家的預(yù)期存在差異。

參閱：

理查德?L?泰勒（Richard L. Taylor）

圖源：The New York Times

過去十年間，泰勒是數(shù)論領(lǐng)域多項極具突破性進(jìn)展的核心貢獻(xiàn)者之一。數(shù)論中一個極具吸引力且成果豐碩的研究主題，是將自守形式應(yīng)用于與 l-進(jìn)（l-adic）伽羅瓦表示相關(guān)的算術(shù)問題。泰勒憑借非凡的創(chuàng)造力，以及在代數(shù)幾何與自守表示論兩方面令人贊嘆的技術(shù)掌控力，在該領(lǐng)域取得了深刻而重大的發(fā)現(xiàn)。他最廣為人知的貢獻(xiàn)是為 A. 懷爾斯（A. Wiles）的研究提供了關(guān)鍵支持 —— 在足夠多的情形下證明了谷山 - 志村 - 韋伊猜想，進(jìn)而促成費馬大定理的證明。

近期，泰勒與戴蒙德（Diamond）、康拉德（Conrad）、布勒伊（Breuil）合作，在一系列論文中完整證明了該猜想：每一條有理橢圓曲線都可被一條模曲線覆蓋。谷山 - 志村 - 韋伊猜想是朗蘭茲綱領(lǐng)的一個重要實例，建立了自守表示與伽羅瓦表示之間的關(guān)聯(lián)。

泰勒的另一項重大成就，是與邁克爾?哈里斯（Michael Harris）合作證明了 GL(n) 的局部朗蘭茲猜想 —— 該猜想在有理數(shù)的完備化域上建立了類似的對應(yīng)關(guān)系。此外，他還參與了一系列相關(guān)研究，部分與 N. 謝潑德 - 巴倫（N. Shepherd-Barron）、K. 巴扎德（K. Buzzard）合作，圍繞泰勒提出的研究方案展開，旨在證明關(guān)于有理數(shù)伽羅瓦群的某些二維表示的 L-函數(shù)全純性的阿廷（Artin）猜想。

1999

Alexander Beilinson、Helmut Hofer

亞歷山大?貝林森（Alexander Beilinson）

貝林森因在表示論、算術(shù)幾何及現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的卓越成就而獲此殊榮。他與 J. 伯恩斯坦（J. Bernstein）合作證明了約化李群的詹岑猜想（Jantzen conjectures），這一證明離不開此前 D-模（D-modules）與反常層（perverse sheaves）理論的發(fā)展，而他在這兩項理論的構(gòu)建中也發(fā)揮了關(guān)鍵作用。

他在 K-理論中的猜想與計算持續(xù)產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響，例如在與 P. 德利涅（P. Deligne）合作的研究中，他以動機(jī)理論的視角處理了 D. 扎吉爾（D. Zagier）的多重對數(shù)猜想。此外，貝林森與 V. 德林費爾德（V. Drinfeld）共同重構(gòu)了頂點算子代數(shù)（vertex operator algebras）理論，這一成果不僅助力了二維共形場論與弦論的理解，還推動了幾何朗蘭茲綱領(lǐng)（geometric Langlands program）的發(fā)展。

赫爾穆特?霍弗（Helmut Hofer）

霍弗憑借在切觸幾何與辛幾何領(lǐng)域的多項貢獻(xiàn)獲獎。他為一類廣泛且重要的 3-流形證明了溫斯坦猜想（Weinstein conjecture），這一成果不僅是該領(lǐng)域的突破性進(jìn)展，還催生了一項廣泛的研究計劃 —— 他與 Y. 埃利亞什貝格（Y. Eliashberg）、K. 維索茨基（K. Wysocki）、E. 澤恩德爾（E. Zehnder）等人共同推進(jìn)了該計劃。其中的里程碑式成果包括：以動力系統(tǒng)的視角刻畫 3-球與 3-球面的特征，以及關(guān)于辛（symplectic）4-空間中嚴(yán)格凸超曲面上閉特征的定理。

1997

Yuri Nesterenko、Gilles Pisier

尤里?V?涅斯捷連科（Yuri V. Nesterenko）

涅斯捷連科因證明了a=π與b=e^π的代數(shù)無關(guān)性而獲此殊榮。這意味著不存在任何非零多項式P(x,y)（其系數(shù)為有理數(shù)乃至代數(shù)數(shù)）滿足P(a,b)=0。事實上，這一結(jié)果是 “a、b與歐拉γ函數(shù)在 1/4 處的取值c三者代數(shù)無關(guān)” 這一結(jié)論的直接推論。

令人意外的是，該證明運用了模函數(shù)相關(guān)理論，其依據(jù)包括：巴雷 - 西列克斯（Barré-Sirieix）、迪亞茲（Diaz）、格拉曼（Gramain）與菲利貝爾（Philibert）關(guān)于模函數(shù)值超越性的研究成果、菲利蓬（P. Philippon）提出的代數(shù)無關(guān)性判別準(zhǔn)則，以及涅斯捷連科本人提出的模函數(shù) “零點估計” 新方法。

在過去二十年中，涅斯捷連科推導(dǎo)了多種零點估計方法，他本人及其他學(xué)者運用這些方法取得了諸多成果，包括代數(shù)無關(guān)性相關(guān)的其他結(jié)論、對數(shù)線性形式的精確估計，以及希爾伯特零點定理中的嚴(yán)格界。

吉勒?I?皮謝爾（Gilles I. Pisier）

皮謝爾在分析學(xué)多個分支領(lǐng)域取得了多項基礎(chǔ)性成果。近年來，他將研究重心聚焦于算子空間領(lǐng)域，并將該領(lǐng)域發(fā)展為一門具有深度的研究方向。在這一領(lǐng)域的研究框架下，皮謝爾在過去三年內(nèi)解決了兩個長期懸而未決的開放性問題：在C^*代數(shù)理論中，他與容格（Junge）合作解決了 “希爾伯特空間上所有有界算子構(gòu)成的代數(shù)B(H)的兩個拷貝的張量積上C^*范數(shù)的唯一性” 問題，兩人構(gòu)造出了兩個不等價的此類張量范數(shù)；在算子理論中，他對 “滿足馮?諾依曼不等式（帶常數(shù)）的算子是否相似于壓縮算子” 這一問題給出了否定答案。這兩項成果均基于精妙的構(gòu)造方法，對實例的驗證過程極具巧思，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，并已催生了一系列重要的后續(xù)研究。

1995

安德魯·懷爾斯Andrew Wiles

因其“在模形式與橢圓曲線領(lǐng)域的杰出研究成果，這些成果最終解決了費馬大定理 —— 即當(dāng)n>2時，方程x? + y? = z?不存在整數(shù)解”。參閱：

1993

Marina Ratner、Miklos Laczkovich

米克洛什·拉茨科維奇（Miklos Laczkovich）

米克洛什·拉茨科維奇的數(shù)學(xué)研究有一個鮮明特點：專注于攻克長期懸而未決的知名難題。在研究過程中，他總能發(fā)現(xiàn)這些問題與其他看似毫無關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的意外聯(lián)系，隨后通過不懈努力與精妙洞見，同時解決轉(zhuǎn)化后的問題與原始問題。

例如，他解決了肯珀曼（Kemperman）提出的實函數(shù)泛函不等式問題——該問題已困擾學(xué)界十余年。他通過將其轉(zhuǎn)化為丟番圖逼近問題，成功找到解決方案。另一個典型案例是，他解決了達(dá)羅齊（Daroczy）與雷德赫弗（Redheffer）提出的關(guān)于特定遞推關(guān)系解在無窮遠(yuǎn)處階的問題，其關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)了“平均型”積分方程的振蕩解。

他最廣為人知的成就是解決了1925年提出的塔斯基“化圓為方”問題。拉茨科維奇再次運用數(shù)論中序列一致分布的深刻思想，證明了圓與正方形是可等分解的，且僅通過平移變換即可實現(xiàn)這一結(jié)果。這一令人震驚的成果甚至超出了塔斯基猜想的范疇（關(guān)于該證明的簡短描述與評價，可參閱理查德·J·加德納（Richard J. Gardner）與斯坦·瓦根（Stan Wagon）發(fā)表于1989年12月《美國數(shù)學(xué)會通訊》第1338-1343頁的論文）。

米克洛什·拉茨科維奇于1971年獲得羅蘭大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位，1974年獲該校博士學(xué)位；1980年獲匈牙利科學(xué)院候補(bǔ)學(xué)位，1992年獲該院科學(xué)博士學(xué)位，并于1983年當(dāng)選為匈牙利科學(xué)院通訊院士。他現(xiàn)任羅蘭大學(xué)數(shù)學(xué)教授，曾在多所高校擔(dān)任訪問學(xué)者，包括那不勒斯大學(xué)（1978年）、滑鐵盧大學(xué)（1983年）、密歇根州立大學(xué)（1983年）、加州大學(xué)圣巴巴拉分校（1984年）、圣奧拉夫?qū)W院（1986年）、匈牙利科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所（1988-1989年）及倫敦大學(xué)學(xué)院（1992年）。他曾在全球多個學(xué)術(shù)會議上發(fā)表演講，并受邀在1992年巴黎首屆歐洲數(shù)學(xué)大會上作報告。

瑪麗娜·拉特納（Marina Ratner）

瑪麗娜·拉特納創(chuàng)立了一套深刻且近乎完整的理論，聚焦于李群子群在該群齊次空間上的作用動力學(xué)，同時發(fā)現(xiàn)了其與遍歷論及數(shù)論的關(guān)聯(lián)。她通過引入并推廣“測度論拉古納特（Raghunatha）猜想”，證明了“拓?fù)淅偶{特猜想”。

在此過程中，她還證明：對于連通李群G，在特征值滿足特定條件的情況下，其所有閉子群均具有嚴(yán)格測度剛性。她這一構(gòu)思巧妙且技術(shù)難度極高的證明，核心工具是伯克霍夫（Birkhoff）遍歷定理。此外，她的研究還推導(dǎo)出了奧本海默（Oppenheim）猜想的S-算術(shù)版本——原始猜想由馬古利斯（Margulis）運用p-進(jìn)技術(shù)證明。

瑪麗娜·拉特納于1961年獲得莫斯科國立大學(xué)文學(xué)碩士學(xué)位（M.A.），隨后數(shù)年任職于柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）的應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)團(tuán)隊，同時在其創(chuàng)辦的天才高中生特殊學(xué)校任教。彼時，對她數(shù)學(xué)研究影響最深的學(xué)者是A.N.柯爾莫哥洛夫與亞·G.西奈（Ya. G. Sinai）。1965年，她重返莫斯科國立大學(xué)，于1969年在西奈教授指導(dǎo)下獲得博士學(xué)位。1969-1970年，她擔(dān)任莫斯科高等技術(shù)工程學(xué)校助教；1971-1974年，任耶路撒冷希伯來大學(xué)講師；1974-1975年，任該校預(yù)科學(xué)校高級教師；1975年，她前往加州大學(xué)伯克利分校擔(dān)任代理助理教授，1982年晉升為教授。

拉特納曾獲阿爾弗雷德·P.斯隆研究獎（1977-1979年）、加州大學(xué)伯克利分校米勒研究教授職位（1985-1986年）及約翰·西蒙·古根海姆學(xué)者獎（1987-1988年）；1992年當(dāng)選為美國藝術(shù)與科學(xué)院院士，1993年當(dāng)選為美國國家科學(xué)院（NAS）院士，同年獲美國國家科學(xué)院J.卡蒂獎（J. Carty Award）。1994年8月，她在蘇黎世ICM國際數(shù)學(xué)家大會上作全會報告。

1991

讓-布爾甘Jean Bourgain

因其在數(shù)學(xué)分析多個領(lǐng)域的卓越貢獻(xiàn)，包括調(diào)和分析、遍歷論、復(fù)分析、泛函分析及經(jīng)典凸性理論。

在所有這些領(lǐng)域中，讓·布爾甘解決了數(shù)十個核心且長期懸而未決的開放性問題，同時開發(fā)了極具影響力的研究工具與研究方向。他的研究揭示了這些不同學(xué)科之間眾多全新且令人意外的關(guān)聯(lián)。得益于布爾甘的創(chuàng)見，這些分析學(xué)領(lǐng)域的多個重要分支徹底變革，達(dá)到了遠(yuǎn)超以往的高度。

在布爾甘的具體成果中，以下四項尤為突出：

1. 遍歷論領(lǐng)域的突破性成果——子序列相關(guān)研究

設(shè)T為概率空間Ω上的保測變換，則對任意f ∈ L_p(Ω)（1

A? f(x)=N?1 ∑_{n=1}^{N} f(T^{n2} x), x ∈ Ω

當(dāng)N → ∞時幾乎處處收斂。這一成果解決了埃爾德什（Erd?s）、弗斯滕伯格（Fürstenberg）等人提出的問題，其證明融合了調(diào)和分析、解析數(shù)論及遍歷論的工具。

該證明可推廣至更一般的情形：將A?定義中的序列n2替換為諸如“整系數(shù)一般多項式p(n)”或“第n個素數(shù)”等序列；同時，成果還可拓展到“T替換為有限個交換變換構(gòu)成的族”的場景。布爾甘關(guān)于這一成果的核心論文為：《算術(shù)集的逐點遍歷定理》

Pointwise ergodic theorems for arithmetic sets

Pub. Math. I.H.E.S.

2. 調(diào)和分析中的Λ(p)集問題

設(shè)G為交換阿貝爾群（例如圓周群），Γ為G的特征標(biāo)群，且2 < p < ∞。若存在常數(shù)C，使得對任意標(biāo)量族{α?}_{γ ∈ A}，均滿足：

|| ∑_{γ∈A} α? γ(x)|| _p ≤ C√(∑_{γ∈A}|α?|2)

則稱Γ的子集A為Λ(p)集。此前，學(xué)界已知通過組合方法可構(gòu)造出“較大的”p為偶數(shù)時的Λ(p)集，但一個著名的開放性問題（至少可追溯到Rudin魯丁1960年的論文）是：是否存在非Λ(4)集的Λ(3)集？

布爾甘運用深奧的分析學(xué)論證與深刻的概率論方法解決了這一問題。他證明：對任意無窮群G、任意p>2及任意?>0，存在G的對偶群的子集，該子集是Λ(p)集但非Λ(p+?)集。他的證明適用于一般規(guī)范正交級數(shù)場景，進(jìn)而解決了俄羅斯學(xué)派關(guān)于正交級數(shù)的多個知名開放性問題。相關(guān)核心論文為：《有界正交系與Λ_p集問題》

Bounded orthogonal systems and the Λ_p-set problem

Acta Math.

3. 二維調(diào)和分析中與可微性理論相關(guān)的極大函數(shù)問題

設(shè)f為平面上的連續(xù)函數(shù)，定義“極大函數(shù)”F(x)為：以x為中心、所有可能半徑的圓上f的平均值的最大值。能否通過f的“大小”來估計F(x)的“大小”？在n>2的維度中，由于存在L?估計，答案已知為肯定；但在?2中，簡單的L?估計不成立，問題懸而未決。

布爾甘通過精妙的幾何論證，證明了p<2時的L_p估計，成功解決了這一問題（該論證自然也適用于比圓更復(fù)雜的場景）。這一成果尤其對分形集理論中一個知名問題給出了否定答案：是否存在?2中的一族圓，其并集的測度為0，而圓心集的測度為正？相關(guān)核心論文為：《平面上凸曲線的平均值與極大算子》

Averages in the plane over convex curves and maximal operators

J. d'Analyse

4. 高維振蕩積分與博赫納（Bochner）-里斯（Riesz）乘子問題

在調(diào)和分析的多數(shù)綜述或問題集中，振蕩積分相關(guān)問題（尤其是由赫爾曼德（H?rmander）、費弗曼（Fefferman）、斯坦因（Stein）等人提出的高維博赫納-里斯乘子問題）占據(jù)重要地位（例如可參閱斯坦因的論文《調(diào)和分析中的若干問題》，發(fā)表于《美國數(shù)學(xué)會專題討論會論文集》第35卷，1979年）。此前，關(guān)于??（n>2）的已知正面結(jié)果僅包括L?估計及通過插值法推導(dǎo)的相關(guān)結(jié)論。

布爾甘近期取得重大突破，在一篇題為《多變量振蕩積分的L?估計》

L?-estimates for oscillatoy integrals in several variables

Geom. and Funct. Anal.

1989

路易·德·布朗熱 Louis de Branges

因其開發(fā)的強(qiáng)大希爾伯特空間方法——憑借這一方法，他令人驚喜地證明了關(guān)于共形映射冪級數(shù)的比伯巴赫（Bieberbach）猜想。

德·布朗熱于1932年出生于巴黎，后在美國長大，1957年從康奈爾大學(xué)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。

他極具自主研究精神，不久后便著手構(gòu)建一套通用理論，旨在為數(shù)學(xué)分析中多個重大未解決問題提供統(tǒng)一解法——這些問題長期以來令頂尖數(shù)學(xué)家們束手無策。

他的首個研究目標(biāo)是重要的不變子空間問題：希爾伯特空間上的每個有界線性算子是否都存在非平凡不變子空間？

他還致力于研究其中最著名的問題——黎曼zeta函數(shù)相關(guān)問題。該函數(shù)由無窮級數(shù)定義：

ζ(x+iy)=∑_{n=1}^{∞} 1 / n^{x+iy}

根據(jù)黎曼在1860年左右提出的未被證明的猜想，該函數(shù)在臨界帶(0< x <1)內(nèi)的所有零點都應(yīng)位于中線(x=1/2)上。

第三個主要研究目標(biāo)是比伯巴赫猜想。設(shè)w=f(z)表示從單位圓盤|z|=|x+iy|<1到w=u+iv平面的一一共形（或保角）映射。該函數(shù)可規(guī)范化為如下冪級數(shù)形式：

f(z)=z+a? z2+...+a_{n}z?+...

1916年，比伯巴赫在證明了(|a?| ≤2)后推測，對于所有正整數(shù)n，系數(shù)a_n可能滿足不等式|a_n| ≤n。

德·布朗熱運用其涉及解析函數(shù)的希爾伯特空間理論，為我們理解上述問題及其他相關(guān)問題作出了重大貢獻(xiàn)。尤其值得一提的是，讓習(xí)慣了學(xué)術(shù)研究緩慢推進(jìn)的數(shù)學(xué)界倍感驚喜的是，他于1984年徹底證明了比伯巴赫猜想，并得出了關(guān)于共形映射的若干更具一般性的結(jié)果。

數(shù)學(xué)界目前正期待德·布朗熱關(guān)于其研究方法的新書《平方可和冪級數(shù)》

Square summable power series

參考資料

https://www.ostrowski.ch/index_e.php?ifile=preis

https://www.ostrowski.ch/pdf/preis2025.pdf

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