拉馬努金的“奇跡公式”

π，即圓周率，擁有無(wú)限多個(gè)小數(shù)位，通常被四舍五入為3.14。

1914年，傳奇數(shù)學(xué)家拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）給出了17個(gè)極其驚人的無(wú)窮級(jí)數(shù)公式，它們以極快的速度收斂到1/π。這些公式效率極高，比當(dāng)時(shí)的其他方法能夠更快地計(jì)算圓周率。

π的倒數(shù)的無(wú)窮和表達(dá)式。

這些公式是如此基礎(chǔ)，不僅為此后所有用于計(jì)算圓周率π的的快速收斂級(jí)數(shù)奠定了基礎(chǔ)，還促成了多項(xiàng)突破性進(jìn)展。這些進(jìn)展至今仍在持續(xù)塑造數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是在解析數(shù)論和計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

一直以來(lái)，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家都想知道，拉馬努金的公式是否指向某些更為深層的東西？這些公式的起點(diǎn)是否本就與某種物理理論相契合？換言之，在自然界中，是否存在一個(gè)物理世界，會(huì)自行出現(xiàn)這些數(shù)學(xué)公式？

在一篇新發(fā)表于《物理評(píng)論快報(bào)》的研究中，兩名物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，拉馬努金的公式，可以自然出現(xiàn)在一類名為對(duì)數(shù)共形場(chǎng)論（LCFT）的物理理論中。

從尺度不變到黑洞視界

共形場(chǎng)論描述的是具有尺度不變對(duì)稱性的系統(tǒng)——本質(zhì)上，這類系統(tǒng)無(wú)論你把尺度放大或縮小到什么程度，看起來(lái)都保持不變，就像分形結(jié)構(gòu)一樣。

在物理情境中，這種性質(zhì)可以在水的臨界點(diǎn)看到——當(dāng)水在約374°C、221個(gè)大氣壓下達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)，水的液態(tài)和氣態(tài)將變得彼此不可區(qū)分。在這一點(diǎn)上，水表現(xiàn)出尺度不變對(duì)稱性，其物理性質(zhì)就可以用共形場(chǎng)論來(lái)描述。

對(duì)數(shù)共形場(chǎng)論則出現(xiàn)在一些更“奇特”的物理情情境中，例如分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)、逾滲（即事物如何在介質(zhì)中傳播）、聚合物，甚至是全息理論中。

而這項(xiàng)新研究就發(fā)現(xiàn)，拉馬努金公式起點(diǎn)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，同樣出現(xiàn)在這些對(duì)數(shù)共形場(chǎng)論背后的數(shù)學(xué)框架之中。

具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)將這些公式與對(duì)數(shù)共形場(chǎng)論聯(lián)系起來(lái)，研究人員能夠?qū)⑦@些無(wú)窮級(jí)數(shù)重新詮釋為共形場(chǎng)論中的基本數(shù)據(jù)。他們能夠高效地計(jì)算理論中的某些物理量，而這些量有望幫助人們更好地理解諸如湍流或逾滲等現(xiàn)象。這與拉馬努金從其公式的起點(diǎn)出發(fā)、高效地推導(dǎo)出圓周率的過(guò)程頗為相似。

而這種聯(lián)系甚至還延伸得更深遠(yuǎn)。在論文的附錄中，研究人員展示了同樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也出現(xiàn)在通過(guò)全息理論描述的黑洞模型中。在全息理論的框架中，高維空間中的引力理論可以映射為低維空間中的量子物理。他們發(fā)現(xiàn)，拉馬努金的公式對(duì)應(yīng)于攝動(dòng)是如何在黑洞視界與時(shí)空邊界之間傳播的。

而同樣的一組方程，也能夠描述聚合物如何被拉伸、流體如何進(jìn)入湍流狀態(tài)，以及逾滲材料中的團(tuán)簇是如何形成的。

一扇新門

研究人員感慨道，在幾乎所有真正優(yōu)美的數(shù)學(xué)背后，幾乎總能發(fā)現(xiàn)，有某個(gè)物理系統(tǒng)在真實(shí)地映射著這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。拉馬努金最初的動(dòng)機(jī)或許完全是數(shù)學(xué)上的，但在他并不知情的情況下，其實(shí)也觸及了黑洞、湍流、逾滲等各種物理現(xiàn)象。

這項(xiàng)研究表明，拉馬努金百年前提出的公式，在提升當(dāng)代高能物理計(jì)算的速度與可處理性方面，存在著此前未被發(fā)現(xiàn)的潛在應(yīng)用。它為新的可能性打開了一扇門，表明使用同樣的方法，或許能夠揭示其他無(wú)理數(shù)的快速收斂公式，并有望簡(jiǎn)化那些用于模擬湍流和臨界行為的理論計(jì)算過(guò)程。

不過(guò)，即便不考慮這些應(yīng)用，研究人員也表示他們，本身就已深深震撼于拉馬努金數(shù)學(xué)的美感。而一位在20世紀(jì)初的傳奇數(shù)學(xué)家，在幾乎沒(méi)有接觸過(guò)現(xiàn)代物理學(xué)的情況下，預(yù)見(jiàn)了那些如今已成為我們理解宇宙核心的結(jié)構(gòu)，這著實(shí)令人驚嘆！

#參考來(lái)源：

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/c38g-fd2v

https://www.eurekalert.org/news-releases/1108308

#圖片來(lái)源：

封面圖&首圖：tommyvideo / Pixabay