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我的右手在鏡中的倒影是一只左手 —— 它看似與右手相似，實則截然不同。蛋白質(zhì)、攀緣藤蔓、貝殼等許多自然結(jié)構(gòu)都具有這種被稱為 “手性” 的特性：有些明確為左旋，有些為右旋，還有些兼具兩種旋向。手性的終極起源，是自然界最大的謎團之一。本講座將探討判斷物體手性的一般性問題，以及手性如何影響科學(xué)的各個分支。

作者：阿蘭?戈里利（Alain Goriely）格雷沙姆幾何學(xué)教授 2025-9-16

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-1-9

作者簡介

阿蘭?戈里利（Alain Goriely）是一位數(shù)學(xué)家，其研究興趣廣泛，涵蓋數(shù)學(xué)方法、力學(xué)、科學(xué)與工程學(xué)等多個領(lǐng)域。他在動力系統(tǒng)、數(shù)學(xué)生物學(xué)以及基礎(chǔ)力學(xué)與應(yīng)用力學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)廣受認(rèn)可，尤其以生物生長數(shù)學(xué)理論的構(gòu)建而聞名 —— 這一研究的巔峰之作是他具有開創(chuàng)性的專著《生物生長的力學(xué)數(shù)學(xué)》（

The Mathematics on Mechanics of Biological Growth

1994年，他在布魯塞爾大學(xué)獲得博士學(xué)位，隨后留校擔(dān)任講師。1996年，他加入亞利桑那大學(xué)，在著名的應(yīng)用數(shù)學(xué)項目中組建了研究團隊。2010年，他受邀加入牛津大學(xué)，成為首任數(shù)學(xué)建模首席教授（Statutory Professor of Mathematical Modelling），同時擔(dān)任圣凱瑟琳學(xué)院研究員。目前，他擔(dān)任牛津工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)中心主任。

此外，阿蘭還基于自身研究相關(guān)課題積極開展科學(xué)普及工作，研究內(nèi)容包括植物卷須扭曲、纏繞植物生長、臍帶打結(jié)、鞭子抽打發(fā)聲、貝殼形態(tài)、大腦建模等。他著有《應(yīng)用數(shù)學(xué)簡史》（

Very Short Introduction to Applied Mathematics

第1章：手的形態(tài)——對稱性、手性與旋向性

在今年的格雷沙姆系列講座中，我將探索“自然幾何”與“萬物形態(tài)”。我們的目標(biāo)是觀察周遭存在的各種形式——無論是自然界中的萬物，還是人類創(chuàng)造的物品，并揭示支配這些形式的幾何原理。我們將從一個最顯著且普遍的現(xiàn)象切入：鏡子中的事物看似相同，實則不同。一只手、一個貝殼或一段螺旋，在鏡中的倒影看似完美復(fù)刻，但仔細(xì)觀察便會發(fā)現(xiàn)，鏡像無法與原物完全重合。為何兩種形態(tài)能如此相似，卻又存在本質(zhì)差異？我們又該如何用精準(zhǔn)的語言，同時捕捉它們的相似性與差異性？

1.1 手性

圖 1.1：我的右手及其鏡像

請看我的右手及其鏡中倒影（圖1.1）。

無論我如何擺放，都無法將右手與它的鏡像完全重合。事實上，鏡中的右手倒影與我的左手幾乎難以區(qū)分，就像左手手套無法適配右手，右腳鞋子無法穿在左腳上一樣。這兩件物品存在本質(zhì)區(qū)別。伊曼努爾·康德曾這樣描述：“世上還有什么比手或耳朵的鏡像更相似、在所有細(xì)節(jié)上更一致的呢？然而，我卻無法將鏡中所見的手，替換成原來的那只手……”[6] 這一觀察揭示了純幾何描述的局限性：鏡像或許在幾何上完全全等、在描述上高度相似，但在現(xiàn)實空間中卻無法互換。康德借此探討了空間的相對與絕對概念。

在數(shù)學(xué)中，我們可以通過引入“手性”（chirality）的概念來刻畫左右之分。1893年，剛被冊封為開爾文勛爵的威廉·湯姆森，在牛津大學(xué)初級科學(xué)俱樂部發(fā)表的羅伯特·玻義耳講座中，首次給出了手性的精準(zhǔn)定義：“若一個幾何圖形或一組點，其在平面鏡中理想呈現(xiàn)的鏡像無法與自身重合，我便稱其為手性的（chiral），并說它具有手性（chirality）?！?若一個物體能與自身鏡像重合，則為非手性的（achiral）；反之，則為手性的。因此，手性并非物體的某種屬性，而是某種屬性的缺失。這里的“重合”指的是空間中的平移與旋轉(zhuǎn)組合，即所謂的“剛體變換”——這類變換明確排除了鏡像變換。這一組變換與我們對“在空間中移動物體而不使其變形”的理解一致（因此稱為“剛體”變換）：變換過程中，物體內(nèi)任意兩點的相對位置保持不變。

“手性”（chiral）一詞源自希臘語“kheir”（χ?ιρ），意為“手”——手是手性的典型范例：人類雙手的不對稱性，成為了幾何、化學(xué)和物理學(xué)中“手性”概念的核心隱喻與命名來源。環(huán)顧四周，我們有時能輕易判斷一個物體是否具有手性。通常，非手性與鏡像對稱性相關(guān)（但并非絕對）。因此，任何能被一個平面分割為兩個鏡像部分的物體都是非手性的。例如，在自然界中，兩側(cè)對稱動物（Bilateria）是一個龐大的動物類群，其身體在發(fā)育過程中可通過一個對稱面分為左右兩半。人類、昆蟲、蠕蟲以及許多常見動物都屬于這一類群。

圖 1.2 自然界中的非手性結(jié)構(gòu)示例：兩側(cè)對稱動物

兩側(cè)對稱動物是一個演化支，這類動物的核心特征是在胚胎發(fā)育階段具有兩側(cè)對稱性。如圖所示，許多此類動物在成年后依然保持這種對稱性，另有一些則會在成年階段喪失對稱性。需要注意的是，這種鏡像對稱性并非絕對完美，所有動物體都會衍生出次級手性結(jié)構(gòu)。

大致來說，許多成年兩側(cè)對稱動物也是非手性的（圖1.2）：它們的身體結(jié)構(gòu)在矢狀面（sagittal plane）反射下具有對稱性，即左半部分是右半部分的鏡像。這也是我們能討論“典型兩側(cè)對稱動物身體結(jié)構(gòu)”，而無需糾結(jié)其“左旋”或“右旋”的原因。當(dāng)然，這種對稱性并非完美無缺：心臟與腸道會卷曲，大腦也并非完全對稱。在兩側(cè)對稱生物中，某些功能或結(jié)構(gòu)偏向身體一側(cè)的現(xiàn)象，在生物學(xué)中被稱為“側(cè)化”（lateralisation）。但在定義該類群的結(jié)構(gòu)層面上，兩側(cè)對稱動物被描述為非手性生物（至少在發(fā)育初期是如此），手性只是后續(xù)產(chǎn)生的修飾特征。

由于人類自身是兩側(cè)對稱動物，且通過近似非手性的身體結(jié)構(gòu)感知世界，我們自然會設(shè)計許多工具和制品，使其具有這種雙側(cè)對稱性。椅子、桌子、梯子，甚至?xí)捍致詠砜?，這些物品都是非手性的，因為它們的鏡像可以與自身完全重合。當(dāng)然，細(xì)節(jié)設(shè)計可能會引入手性——例如汽車的駕駛位、襯衫的紐扣、只有一側(cè)扶手的椅子，或是朝特定方向旋轉(zhuǎn)的螺旋樓梯。但人類制造的許多物品，其默認(rèn)設(shè)計往往遵循雙側(cè)非手性原則，這與制造者自身的身體結(jié)構(gòu)相呼應(yīng)。這也解釋了為何鏡中的世界初看之下并無太大差異，直到我們關(guān)注到細(xì)節(jié)。

盡管許多動物及其制造的物品大致是非手性的，但自然界中的許多結(jié)構(gòu)本質(zhì)上是手性的。軟體動物同樣屬于兩側(cè)對稱動物，但它們的手性在發(fā)育早期就已顯現(xiàn)，并形成明顯的“旋向性”（handedness）（圖1.3）。

圖 1.3 許多物體具有明確的左旋或右旋手性，這種手性源自人體自身的旋向特征

右旋的貝殼無法與左旋的鏡像貝殼重合。藤蔓的扭曲生長也是如此。在分子層面，手性更為根本：氨基酸、糖類和DNA螺旋都以特定的旋向形式存在，無法與其鏡像匹配。因此，盡管許多兩側(cè)對稱動物的宏觀身體結(jié)構(gòu)，以及椅子、桌子等物品的形態(tài)接近非手性，但生命的精細(xì)結(jié)構(gòu)和許多自然形態(tài)都受手性支配。正如同我們的左腳與右腳截然不同，鞋子和手套一樣，都是手性的。

判斷貝殼的左右旋并不復(fù)雜：將貝殼的螺旋頂端（頂點）朝上，開口（殼口）朝向自己。若此時殼口位于你的右側(cè)視野，則該貝殼為右旋（dextral）；若殼口位于左側(cè)，則為左旋（sinistral）。奇怪的是，大多數(shù)腹足綱動物都是右旋的，但某些類群中存在左旋個體，有時在通常為右旋的物種中也會出現(xiàn)罕見的左旋變異體。

自然地，我們希望將旋向性（左旋或右旋）的定義擴展到數(shù)學(xué)對象上。最簡單的標(biāo)準(zhǔn)例子是螺旋線——一種明確的手性結(jié)構(gòu)。在科學(xué)定義中，圖1.4右側(cè)的螺旋線稱為右旋螺旋，左側(cè)的稱為左旋螺旋。這遵循“右手定則”：伸出右手，讓手指順著螺旋線遠(yuǎn)離你的方向卷曲，若伸直的拇指與螺旋線的推進方向一致，則該螺旋為右旋；若需用左手才能使手指卷曲方向與螺旋線匹配，則為左旋。正如費曼曾經(jīng)所說：“我們知道‘右手定則’只是一種約定：一種便捷的規(guī)定?！?但這種約定的本質(zhì)是什么？它又源自何處？

圖 1.4 左旋與右旋螺旋示意圖（遵循右手定則）

1.2 一種約定

科學(xué)家們試圖為“左”和“右”給出正式定義的努力，凸顯了這一概念的復(fù)雜性。事實上，左右之分并非單純的好奇心問題：它曾困擾著19世紀(jì)的一些偉大思想家。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在完善電磁學(xué)理論的最后階段，就陷入了這一困惑。1871年5月8日，他在給朋友彼得·格思里·泰特的信中傾訴了自己的沮喪：“我太絕望了！我就像尼尼微人一樣迷茫！哪只是我的右手？我是不是錯亂了？就像一個鏡中的人，在虛幻中行走？”[2] 他在信的結(jié)尾提出了一個更實際的想法：“我必須聯(lián)系數(shù)學(xué)會，讓大家就這一方法達(dá)成共識”[12]。他指的是倫敦數(shù)學(xué)會。

果然，三天后，他在學(xué)會的一次會議上提出了這個問題。當(dāng)時出席會議的有威廉·湯姆森（尚未成為開爾文勛爵）和數(shù)學(xué)家阿瑟·凱萊等學(xué)界巨擘。這場討論被認(rèn)為至關(guān)重要，其內(nèi)容于1871年5月25日刊登在《自然》雜志（第82期）上。麥克斯韋在文中明確指出了問題的核心：“在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這種缺乏統(tǒng)一性的情況幾乎不會造成不便，但在天文學(xué)、電磁學(xué)以及所有物理科學(xué)中，明確并堅持采用某一種體系至關(guān)重要?！?麥克斯韋意識到，若要定義三維空間中的向量旋度等運算，必須首先確定空間是基于左手坐標(biāo)系還是右手坐標(biāo)系。但科學(xué)界應(yīng)選擇哪一種呢？經(jīng)過權(quán)衡，學(xué)會達(dá)成了一項約定：“采用右旋體系，以開瓶器或藤蔓卷須為象征。”

兩年后，這一問題在麥克斯韋的《電磁通論》[7, p.24]中再次出現(xiàn)，他引用了晶體學(xué)家威廉·哈洛威斯·米勒的一項建議：

“W. H. 米勒教授曾向我提議，由于藤蔓的卷須是右旋螺旋，啤酒花的卷須是左旋螺旋，空間中的兩種關(guān)系體系可分別稱為‘藤蔓體系’和‘啤酒花體系’。我們所采用的藤蔓體系，是林奈所倡導(dǎo)的體系，也是除日本外所有文明國家的螺絲制造者所采用的體系?！?br/>

讓我們逐一解析麥克斯韋的這些表述。

首先，麥克斯韋關(guān)于日本螺絲的說法令人費解。我們尚未找到證據(jù)表明，19世紀(jì)的日本使用左旋螺絲。但有趣的是，人類學(xué)家記錄到因紐特人曾使用左旋螺絲[11]。

麥克斯韋的定義嘗試在多個方面都存在疑問。米勒是晶體學(xué)領(lǐng)域的巨擘，但絕非植物學(xué)家，他的生物學(xué)表述并不準(zhǔn)確。在英國，“vine”指的是葡萄藤（Vitis vinifera），但葡萄藤的卷須并非固定的右旋或左旋——它們的旋向會沿著長度方向發(fā)生變化（見圖1.5）。

圖 1.5 卷須是部分攀緣植物特化形成的變態(tài)葉，用于攀附支撐物。卷須的形態(tài)通常是左旋與右旋螺旋絲體的混合體。

達(dá)爾文早已描述過這種現(xiàn)象，我在早期研究中將其命名為“卷須扭曲”（tendril perversion）[9]。麥克斯韋腦海中所想的似乎并非卷須本身，而是藤蔓莖干纏繞支撐物的方式。但葡萄藤并非纏繞植物，它依靠卷須攀爬——卷須是特化的葉片，而非莖干。相比之下，啤酒花確實是纏繞植物，但它并不產(chǎn)生卷須。

麥克斯韋的第二個問題在于他對林奈觀點的引用。在《植物哲學(xué)》（Philosophia Botanica）第一版（1751年）[13]中，林奈確實對旋向性進行了分類：啤酒花（Humulus）是左旋的（sinistrorsum），而旋花（Convolvulus）是右旋的（dextrorsum）（見圖1.6）。

圖 1.6 攀緣植物有左旋與右旋之分，但它們是否適合作為旋向性的定義參照？

事實上，旋花的莖干會以右旋螺旋的方式纏繞在桿子上，就像普通的開瓶器一樣。然而，在第三版中，林奈插入了一條勘誤，指出第103頁的“左”應(yīng)改為“右”，但并未修正第39頁的對應(yīng)內(nèi)容。這種不一致造成了長期的困惑。19世紀(jì)的植物學(xué)家分裂為兩派：格雷、艾希勒、杜沙爾特和達(dá)爾文支持第一版的描述，而德堪多、莫爾、比肖夫和薩克斯則認(rèn)同修正后的觀點。

直到20世紀(jì)，關(guān)于“左”和“右”的恰當(dāng)物理定義仍是一個未解之謎。對物理學(xué)而言，決定性的突破出現(xiàn)在β衰變的發(fā)現(xiàn)——中子在這一過程中會轉(zhuǎn)變?yōu)橘|(zhì)子、電子和中微子。數(shù)十年來，人們一直認(rèn)為自然規(guī)律對左旋和右旋無差別對待，這一原則被稱為“宇稱守恒”。

但在1956年，吳健雄和她的合作者對鈷-60原子核進行了一項如今聞名于世的實驗，結(jié)果表明，在β衰變中，電子的發(fā)射方向相對于核自旋存在偏好性。這一發(fā)現(xiàn)證明，在粒子物理的最深層次，自然界本身就是不對稱的[15, 14]。1957年，這一突破最終為物理學(xué)提供了“左”和“右”的物理定義——它不再僅僅是一種約定，而是弱相互作用本身所固有的屬性。

然而，這也成為了諾貝爾獎歷史上最著名的遺漏之一：提出該想法的李政道和楊振寧獲得了獎項，而完成這項艱難且具有決定性意義實驗的吳健雄卻未被授予獎項。

在本講座中，我們將遵循麥克斯韋的約定。若有疑問，只需回家拿起一個普通的螺絲或開瓶器，追蹤其螺紋的軌跡。除非你碰巧遇到了罕見的左旋工具，否則你所追蹤的曲線將是右旋螺旋，正如圖1.4所示。

1.3 無處不在的手性

手性并非僅在物理學(xué)中扮演關(guān)鍵角色。生物學(xué)中充滿了左旋和右旋結(jié)構(gòu)，生命本身就依賴于這種不對稱性。構(gòu)成生命體的分子幾乎都是手性的，而自然界以驚人的一致性選擇了其中一種旋向。蛋白質(zhì)的基本組成單位——氨基酸，幾乎只以左旋形式存在；而DNA和RNA中的糖類則是右旋的。這種嚴(yán)格的分子旋向性至關(guān)重要：若替換為相反的旋向，蛋白質(zhì)將無法正確折疊，遺傳信息也無法被讀取。這種不對稱性會在不同尺度上傳遞，這也是為什么從蝸牛殼的螺旋扭曲、膠原蛋白纖維的螺旋排列，到我們心臟的位置，更大的生物結(jié)構(gòu)也都具有手性。從這個意義上說，地球上的生命本質(zhì)上是“單手性”的。

手性在化學(xué)中的重要性，最早是由路易·巴斯德在19世紀(jì)中葉揭示的。在研究酒石酸鹽晶體時，他發(fā)現(xiàn)某些晶體存在鏡像形式。通過用鑷子仔細(xì)分離這些晶體，巴斯德發(fā)現(xiàn)，其中一種晶體的溶液會使偏振光向左旋轉(zhuǎn)，而另一種則會使其向右旋轉(zhuǎn)。當(dāng)兩種形式以等比例混合時，它們的旋光效應(yīng)會相互抵消，形成所謂的“外消旋混合物”（racemic mixture）。這標(biāo)志著立體化學(xué)的誕生，也揭示了大多數(shù)對映異構(gòu)體（enantiomers，分子的左旋或右旋形式）的行為存在差異。

令人驚嘆的是，巴斯德早在開爾文勛爵提出“手性”一詞數(shù)十年前，就已精準(zhǔn)把握了手性的本質(zhì)。他的描述在核心思想上與現(xiàn)代定義幾乎一致：

“若從形狀及其相同部分的重復(fù)排列角度觀察任何物質(zhì)對象，我們很快會發(fā)現(xiàn)它們可分為兩大類，特征如下：一類物體在鏡中的倒影可與自身重合；另一類物體的倒影則永遠(yuǎn)無法與自身完全重合，以復(fù)刻其所有細(xì)節(jié)。直梯、葉片排列分明的莖干、立方體、人體……都屬于第一類。螺旋梯、藤蔓、手、不規(guī)則四面體……都屬于第二類。后者缺乏對稱面?！盵10]

一個日常中顯著的對映異構(gòu)體差異例子是香芹酮（carvone）——一種存在于精油中的分子。香芹酮的一種對映異構(gòu)體具有留蘭香的氣味，而其鏡像異構(gòu)體則具有葛縷子籽的氣味。從化學(xué)角度看，它們幾乎難以區(qū)分：相同的原子以相同的鍵序連接。我們的眼睛往往無法分辨左右旋的差異，但我們的鼻子卻可以。因為嗅覺依賴于手性受體，它們會將兩種對映異構(gòu)體感知為完全不同的氣味。

手性的影響也可能更為嚴(yán)重，沙利度胺（thalidomide）的故事就是一個慘痛的例證。20世紀(jì)50年代末，沙利度胺作為一種治療妊娠嘔吐的藥物上市，其產(chǎn)品是兩種對映異構(gòu)體的混合物。其中一種具有預(yù)期的治療效果，而另一種則導(dǎo)致了全球數(shù)千名兒童出現(xiàn)嚴(yán)重的出生缺陷甚至死亡。更糟糕的是，這兩種異構(gòu)體在體內(nèi)會相互轉(zhuǎn)化，使得分離變得無效。沙利度胺事件成為了藥物研發(fā)中忽視手性可能導(dǎo)致嚴(yán)重后果的悲劇性教科書案例，它也讓化學(xué)和醫(yī)學(xué)界認(rèn)識到，分子的旋向性并非次要細(xì)節(jié)，而是關(guān)乎生死的關(guān)鍵問題。這一事件也說明了對藥物進行嚴(yán)格科學(xué)監(jiān)管的重要性。如今，當(dāng)我們遺憾地看到，為了政治權(quán)宜而削弱或犧牲這一原則時，其代價將以生命為計量單位。

1.4 手性與維度

手性與維度之間的關(guān)系十分微妙。在一維空間中，情況非常簡單。以一個連通區(qū)域為例，比如一條直線上的區(qū)間（圖1.7）。這類物體始終是非手性的，因為平移變換可以將區(qū)間的鏡像映射到自身。然而，若考慮非連通集合（如兩個不重疊的區(qū)間），則可能出現(xiàn)手性。想象兩個區(qū)間在直線上不對稱排列：它們的鏡像若不交換兩個區(qū)間的順序（這是不允許的），就無法映射回原始構(gòu)型。因此，一維非連通集合可能是手性的，而連通集合則不可能。

圖 1.7 一維空間內(nèi)的一維連通集合必然為非手性結(jié)構(gòu)，而部分非連通集合則可能具有手性。但在二維空間中，一維集合均為非手性結(jié)構(gòu)。

但存在一個微妙之處：在一維空間中具有手性的集合，在更高維度中會變成非手性的。再以直線上兩個不對稱排列的區(qū)間為例，它們在一維空間中無法與自身鏡像重合，但如果將這個集合置于平面中，其表面的手性就會消失。在二維空間中對該圖形進行反射后，我們可以在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)它，使其鏡像與原始圖形重合。換句話說，任何一維集合嵌入二維空間后都是非手性的。

圖 1.8 二維平面中的螺旋線均具有手性，因其非順時針即逆時針。但同一螺旋結(jié)構(gòu)在三維空間中則為非手性結(jié)構(gòu)。

在二維空間中，情況變得更為復(fù)雜。圓、正方形等簡單形狀是非手性的，因為通過一條直線的反射可以使它們與自身重合（圖1.8）。但許多平面圖形（如螺旋線）是手性的，因為若不改變旋轉(zhuǎn)方向，反射無法使它們與自身鏡像重合。然而，同樣地，任何二維物體在三維空間中都是非手性的——我們可以在第三維中翻轉(zhuǎn)它，使其恢復(fù)原始形態(tài)。

這種手性對維度的依賴性，早在19世紀(jì)就被奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯注意到了。他證明了一個普遍結(jié)論：任何n維空間中的圖形，若允許在n+1維空間中移動，則該圖形是非手性的。原因是額外的維度提供了足夠的自由度，可以將物體“翻轉(zhuǎn)”為其鏡像。因此，在直線上具有手性的一維集合，在平面中是非手性的；在平面中具有手性的二維圖形，在三維空間中是非手性的，依此類推。因此，手性始終是相對于物體所處的嵌入空間而言的。這一思想的哲學(xué)意義并未被后世思想家忽視。近一個世紀(jì)后，維特根斯坦以其特有的犀利方式表述道：“若能在四維空間中翻轉(zhuǎn)，右手手套便可戴在左手上?！?手性不僅取決于物體本身，還取決于其所處的空間。

敏銳的讀者會知道，在現(xiàn)代物理學(xué)中，弦理論或大統(tǒng)一理論等常常涉及超過三個空間維度的模型。在這些情境下，手性問題再次變得至關(guān)重要。例如，標(biāo)準(zhǔn)模型中的粒子（如電子和中微子）在我們的三維世界中表現(xiàn)出手性行為：它們在弱相互作用中區(qū)分左旋和右旋。若我們想象這些粒子嵌入更高維度，莫比烏斯的結(jié)論警告我們，它們的手性可能會消失。然而，許多高維理論也要求手性的存在。

1.5 手性的度量

在處理三維物體時，僅僅判斷“是否具有手性”往往不夠，我們還希望了解物體的“手性程度”。這實際上涉及兩個問題。首先，我們能否找到一個數(shù)值指標(biāo)，為結(jié)構(gòu)賦予手性程度？該指標(biāo)對于非手性物體應(yīng)為零，對于手性物體應(yīng)為正值，且隨著物體與非手性狀態(tài)的偏離程度增加而增大。第二個問題是，我們?nèi)绾螀^(qū)分左旋和右旋結(jié)構(gòu)？若根據(jù)麥克斯韋的約定，確定了一個螺旋是右旋的，我們能否判斷一個土豆（通常具有手性）是左旋還是右旋？

圖 1.9 三葉紐結(jié)或土豆，是手性物體的經(jīng)典范例。但它們究竟是左旋還是右旋？我們又該如何將適用于手、鞋子或螺旋線的旋向性定義，推廣至空間中任意曲線的旋向性判定？

因此，一個良好的手性度量指標(biāo)應(yīng)滿足：非手性物體的指標(biāo)值恰好為零；隨著物體不對稱性的增加，指標(biāo)的絕對值平滑增大；理想情況下，指標(biāo)的符號能指示物體是左旋還是右旋。

我們將以三維空間中的光滑曲線（直線、圓、螺旋線和光滑紐結(jié)都屬于這一范疇）為例進行討論。

量化手性的第一步是檢測物體是否為非手性。原則上，我們可以使用一種不區(qū)分左右的度量方法。假設(shè)我們有一個體積為vol(S)的三維物體S。我們將其在鏡中反射，得到S~，然后觀察S與鏡像的任意剛體運動?(S~)之間的體積重疊程度[4]。若物體體積為零（如曲線或曲面），則用長度或面積替代體積。通過對所有可能的旋轉(zhuǎn)和平移取最小值，我們得到：

當(dāng)S為非手性物體時，該數(shù)值恰好為零；否則，其取值范圍在0到1之間，可被解釋為物體的“手性程度”。

但這種度量方法存在一個缺陷：它嚴(yán)重依賴于底層度量的選擇。例如，我們可以定義一種距離，使得平面中的任何手性三角形都能與非手性三角形無限接近[1]。此外，對所有剛體運動進行最小化計算在計算上難度較大，且結(jié)果無法區(qū)分旋向性——因為根據(jù)定義，χvol(S) = χvol(S~) [4]。因此，χvol提供了一種量化物體與完美鏡像對稱性偏離程度的方法。然而，這一定義雖然正確，但計算不便，通常需要數(shù)值積分，因此并不理想。

第二步，為物體賦予手性符號，難度更大。舉個例子，在空間曲線r(s)的弗倫內(nèi)-塞雷（Frenet–Serret）描述中，撓率τ(s)衡量了曲線在任意給定點偏離平面的程度。螺旋線具有恒定的撓率（右旋螺旋的撓率為正，左旋螺旋的撓率為負(fù)）。但在一般情況下，撓率會隨點的不同而變化，因此單一的局部撓率值無法捕捉形狀的整體旋向性。

一種可能的手性度量方法是積分撓率：

它是撓率符號在整個弧長L上的平均值。在每個點上，比值τ(s) /|τ(s)|僅提取符號——右旋撓率為+1，左旋撓率為-1。因此，該積分記錄了曲線偏向右旋或左旋撓率的程度。若曲線中左旋和右旋撓率的區(qū)域完美平衡，則平均值為零，χ=0，這與非手性或扭曲結(jié)構(gòu)（如葡萄藤卷須，其旋向沿長度方向變化）一致。若曲線是完美的右旋螺旋，則τ(s)保持恒定正值，積分結(jié)果為χ=+1；同理，完美的左旋螺旋的積分結(jié)果為χ=-1。

然而，這一方法存在一個潛在問題，即“手性連通性問題”。假設(shè)我們有兩個形狀S?和S?，它們都是手性的，但旋向相反（見圖1.10）。

圖 1.10 這是一族曲線，由以弧長為窗口對某條曲線進行采樣得到。其中一側(cè)的曲線近乎完美的右旋螺旋（手性值為 +1），另一側(cè)的曲線則近乎完美的左旋螺旋（手性值為 -1）。由于手性值 χ 被假定為連續(xù)變量，因此必然存在一條手性值 χ=0 的曲線 —— 盡管該曲線本身仍具有手性（這一點可通過令兩段螺旋的半徑互不相等來保證）

我們可以找到一條連接兩者的路徑，使得路徑上的每條曲線都是手性的。由于手性被假設(shè)為連續(xù)的，且沿路徑取值為正和負(fù)，因此路徑上必然存在一個手性指標(biāo)為零的點。因此，對于任何手性度量指標(biāo)，我們都能找到一個手性物體，其指標(biāo)值為零——這是一種“假陰性”！

圖 1.11 物體在風(fēng)或流 u 作用下，所受扭矩會驅(qū)動其產(chǎn)生旋轉(zhuǎn) ω 。當(dāng)扭矩與旋轉(zhuǎn)方向一致時，旋轉(zhuǎn)向量 ω 的幅值即為特征值，其正負(fù)符號可用于判定物體的手性。

刻畫手性的一種更精細(xì)方法是“手性矩陣”（chirality matrix）。其靈感來源于物理學(xué)：當(dāng)一個不對稱物體置于均勻外場中（如液晶中的分子或粘性流體中的細(xì)絲），外場不僅會推動物體移動，還會使其發(fā)生扭轉(zhuǎn)。這種扭轉(zhuǎn)可以通過場向量與誘導(dǎo)旋轉(zhuǎn)向量之間的線性關(guān)系來描述，而將一個向量映射到另一個向量的對象就是矩陣。由于旋轉(zhuǎn)方向在鏡像反射下會反轉(zhuǎn)，因此該矩陣是一個“偽矩陣”（pseudo-matrix）——它在鏡像變換下會改變符號，就像力學(xué)中的角動量一樣。

通過沿曲線或細(xì)絲的長度積分局部力和扭矩，可精確定義其手性矩陣。該矩陣的數(shù)學(xué)性質(zhì)十分顯著：它是對稱且跡為零的，其特征值可用于判斷旋向性。若三個特征值均不為零，則曲線是手性的，特征值的符號模式指示其左旋或右旋；若一個特征值為零，則情況模糊，反映了更深層次的手性連通性問題。因此，手性矩陣提供了一種強大但微妙的方法，將形狀的幾何特征與物體在受力時的扭轉(zhuǎn)物理特性聯(lián)系起來。

手性矩陣為判斷旋向性提供了一種簡潔的代數(shù)方法。由于它是對稱偽矩陣，因此總能對角化，得到三個滿足γ?+γ?+γ?=0的實特征值(γ?,γ?,γ?)。在鏡像反射下，矩陣會改變符號，即 () = - 。若物體是非手性的，則其手性矩陣在反射下必須保持不變，唯一可能的情況是特征值滿足(γ, -γ , 0)——即一個特征值為零，另外兩個特征值大小相等、符號相反。對于真正的手性物體，三個特征值通常均不為零。此時，符號模式?jīng)Q定旋向性：若兩個特征值為正、一個為負(fù)，則物體為右旋；若兩個特征值為負(fù)、一個為正，則物體為左旋。這一約定與我們熟悉的螺旋線定義一致。通過這種方式，的特征值為手性提供了純粹的數(shù)學(xué)“指紋”，通過線性代數(shù)將幾何形狀與旋向性聯(lián)系起來。

1.6 手性的控制

大象的鼻子是自然界中旋向性的一個令人印象深刻的例子。鼻子可以上下活動、卷曲抓取物體，但要實現(xiàn)這些動作，它必須進行卷曲。當(dāng)你向大象呈現(xiàn)一根垂直的圓木時，它必須決定從左側(cè)或右側(cè)抓取。令人驚訝的是，大象在抓取物體時表現(xiàn)出明顯的偏好。仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，每只大象都會始終以順時針或逆時針方向卷曲鼻子，就像人類偏好使用某一只手一樣。這種行為不對稱被稱為“鼻性”（trunkedness），與人類熟悉的“手性”概念相似（但與手性不同，種群中鼻性的左旋和右旋比例約為50:50）。

這一現(xiàn)象的迷人之處在于，此處的手性并非由外部因素強加（如螺絲的螺紋），而是必須主動控制的。大象的大腦會發(fā)送信號，使鼻子偏向某一螺旋方向，久而久之，這種偏好變得穩(wěn)定。這一挑戰(zhàn)與工程學(xué)中設(shè)計軟機器人手臂或觸手狀操作器所面臨的問題相似：如何讓一個原則上可向任意方向彎曲的結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)全局的旋向運動。

圖 1.12 象鼻是一種結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜的肌肉液壓結(jié)構(gòu)，包含縱向、徑向及螺旋（斜向）肌群。該結(jié)構(gòu)可被簡化為僅含三個執(zhí)行器的最簡模型。

大象的鼻子是一種肌肉液壓結(jié)構(gòu)（muscular hydrostat），沒有骨骼，但內(nèi)部有超過90,000個獨立的肌束，組織成17個主要肌群。這些肌群包括縱向肌、徑向肌和螺旋狀（斜向）肌。對于復(fù)雜運動而言，最重要的是斜向或螺旋狀肌肉——它們以螺旋形式環(huán)繞在鼻子周圍。當(dāng)這些肌肉收縮時，不僅會使鼻子彎曲，還會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，這對于卷曲、抓取和旋轉(zhuǎn)物體至關(guān)重要。這種斜向結(jié)構(gòu)與沿長度方向分布的縱向纖維相結(jié)合，賦予了鼻子非凡的靈活性、力量和精細(xì)控制能力。

為了用一個簡化模型刻畫這一設(shè)計的本質(zhì)，我與斯坦福大學(xué)的合作者決定將設(shè)計簡化為僅三個執(zhí)行器：一個縱向肌束和兩個旋向相反的螺旋狀肌束[5]?？v向元件提供簡單的彎曲，而一對螺旋狀執(zhí)行器則引入扭轉(zhuǎn)。通過這三個組件的協(xié)同工作，該模型再現(xiàn)了大象鼻子的大部分運動模式，盡管它比生物原型簡單得多。

在這樣的系統(tǒng)中，扭轉(zhuǎn)的控制來自螺旋狀肌束的激活平衡。以相反方向同等激活它們，會抵消扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，產(chǎn)生純粹的彎曲；僅激活一個螺旋狀肌束會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)；非對稱組合則會產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)的混合狀態(tài)。通過這種方式，扭轉(zhuǎn)成為一種可控的變形模式，可以根據(jù)肌肉（或執(zhí)行器）激活的相對強度進行調(diào)節(jié)。大象通過數(shù)千個協(xié)調(diào)的肌束實現(xiàn)這一點；而我們僅用一對螺旋狀執(zhí)行器就能理解其原理。

1.7 結(jié)語

用我們的左手或右手，我們僅觸及了手性的皮毛。仍有許多根本性問題有待解決：為何人類種群中90%是右利手？為何90%的貝殼物種是右旋的？生物分子的手性是如何被選擇的，以至于只存在一種形式的DNA和氨基酸，而非它們的鏡像？身體的非手性是如何被控制的，使得我們的雙手幾乎是完美的鏡像？手性如何從最小的分子尺度傳遞到器官尺度？為何我們?nèi)绱巳菀谆煜笥?？?dāng)你放空浴缸時，水真的會逆時針旋轉(zhuǎn)嗎？我邀請你在森林中漫步、在海灘上徜徉或在浴缸中放松時，思考這些問題！

1.8 延伸閱讀

關(guān)于對稱性與宇稱不守恒的經(jīng)典科普探索，包括對1956年吳健雄實驗的標(biāo)志性討論，可參見馬丁·加德納（Martin Gardner）的《左右手宇宙》（The Ambidextrous Universe，1964）[3]。

克里斯·麥克馬納斯（Chris McManus）的《右手，左手》（Right Hand, Left Hand，2002）[8] 精彩且全面地探討了大腦、身體、原子和文化中的不對稱性，融合了神經(jīng)科學(xué)、生物學(xué)和手性的廣泛主題。

原文參考文獻(xiàn)

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[3] 馬丁·加德納（Martin Gardner）. 《左右手宇宙：左、右與宇稱的崩塌》（

The Ambidextrous Universe: Left, Right, and the Fall of Parity

The New Ambidextrous Universe: Symmetry and Asymmetry from Mirror Reflections to Superstrings

[4] G. 吉拉特（G. Gilat）、Y. 戈登（Y. Gordon）. 手性物體的幾何性質(zhì). 《數(shù)學(xué)化學(xué)雜志》（

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[5] 巴托什·卡奇馬爾斯基（Bartosz Kaczmarski）、索菲·萊安扎（Sophie Leanza）、蕾妮·趙（Renee Zhao）、德里克·E·莫爾頓（Derek E. Moulton）、埃倫·庫爾（Ellen Kuhl）、阿蘭·戈列利（Alain Goriely）. 大象鼻子作為活性細(xì)絲的最小設(shè)計. 《物理評論快報》（

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[9] Tyler McMillen and Alain Goriely. Tendril perversion in intrinsically curved rods. J. Nonlinear Sci., 12(3):241–281, 2002.

[10] Louis Pasteur. Recherches sur la dissymétrie moléculaires des produits organiques naturels. In Le?ons de chimie professées en 1860, volume 5 of Le?ons de chimie professées à la Société chimique de Paris. L. Hachette et Cie, Paris, 1861.

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[13] Carl Von Linné. Philosophia Botanica. Godofr. Kiesewetter, Stokholm, 1751.

[14] Chien-Shiung Wu. Parity violation. In History of Original Ideas and Basic Discoveries in Particle Physics, pages 381–400. Springer, 1996.

[15] Chien-Shiung Wu, Ernest Ambler, Raymond W Hayward, Dale D Hoppes, and Ralph Percy Hudson. Experimental test of parity conservation in beta decay. Physical review, 105(4):1413, 1957.

? 阿蘭·戈里利教授 2025/2026年

參考資料

https://www.gresham.ac.uk/watch-now/shape-hands

https://www.gresham.ac.uk/sites/default/files/transcript/R_2025_09_11_0735_Goriely_T_FINAL.pdf

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