導(dǎo)語

在完成了對“洞的結(jié)構(gòu)化刻畫”之后，拓?fù)鋵W(xué)進一步提出了一個更深的問題：局部的信息，究竟如何在整體尺度上積累、轉(zhuǎn)化并顯現(xiàn)其宏觀效應(yīng)？拓?fù)鋵W(xué)與同調(diào)群又如何與分析學(xué)和幾何學(xué)更緊密地結(jié)合起來，并更好地定量計算？這一追問，正是上同調(diào)理論的出發(fā)點?；仡櫸⒎e分的發(fā)展歷史，當(dāng)人們開始思考“一個空間中的量如何沿著路徑、曲面乃至高維區(qū)域整體地流動與守恒”時，便已經(jīng)踏入了上同調(diào)的思想世界。此外，如果時間允許，本講還將介紹曲率的一些基本概念和應(yīng)用。

注：本節(jié)標(biāo)題語出《黃帝內(nèi)經(jīng)素問·陰陽應(yīng)象大論篇第五》，原文為：“……審其陰陽，以別柔剛，陽病治陰，陰病治陽；定其血氣，各守其鄉(xiāng)……”

主題：同調(diào)與上同調(diào)、曲率與整體性）

課程簡介

目標(biāo)：理解上同調(diào)與龐加萊對偶的意義，掌握曲率與拓?fù)涞穆?lián)系。

上同調(diào)不僅是同調(diào)的對偶，更與幾何/拓?fù)鋵ο蟮?strong>整體結(jié)構(gòu)關(guān)系密切。它或直接定義，或以微分形式為語言，將局部可測的微分幾何量與整體不變量聯(lián)系起來，這使拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)能夠與積分、物理中的可積性/守恒律及場論等深刻理論自然銜接。本講將多角度介紹上同調(diào)的基本思想，并通過龐加萊對偶等定理等揭示同調(diào)與上同調(diào)之間深刻而優(yōu)美的對稱結(jié)構(gòu)——恰如“陰陽互補”的整體觀。

課程將從大學(xué)微積分中的幾個基本定理——微積分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式談起，引入外微分形式、De Rham上同調(diào)，再從對偶的角度定義上同調(diào)群。之后通過De Rham 定理與Stokes 定理，展示同調(diào)與上同調(diào)、連續(xù)分析如何與離散拓?fù)渚_對應(yīng)。最后將引入上同調(diào)中的乘積概念，從而將上同調(diào)群升級為上同調(diào)環(huán)。而“曲率”則是微分幾何中用外微分形式刻畫的一個重要概念，它首先標(biāo)定了幾何上的彎曲程度；。而通過高斯–博內(nèi)–陳省身定理，曲率則成為連接局部微分信息與全局拓?fù)洳蛔兞康年P(guān)鍵橋梁。我們將看到：空間的整體“柔性”拓?fù)湫再|(zhì)，竟由“剛性”的幾何給出的曲率積分所編碼。

最后，本講將講解微分形式、上同調(diào)、微分形式和曲率的一些應(yīng)用，從而將其放入更廣闊的科學(xué)圖景中理解。微分形式不僅可用于積分，還在各基礎(chǔ)數(shù)學(xué)分支和工程中有根本性地位；，而上同調(diào)則可分類用于拓?fù)鋵ο髷?shù)學(xué)中的分類問題，并且在數(shù)學(xué)和物理的諸多領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。而刻畫“彎曲”的曲率在各尺度中也廣泛存在：在宇觀層次，曲率刻畫時空的彎曲，構(gòu)成廣義相對論的核心要素；在微觀尺度上，粒子物理的規(guī)范場與相互作用由纖維叢的曲率來刻畫；而在宏觀世界的工程與力學(xué)系統(tǒng)中，曲率與上同調(diào)思想揭示約束、守恒與整體行為之間的內(nèi)在聯(lián)系。由此，拓?fù)?、幾何與物理在“整體性”“局部-整體關(guān)系”和“對偶性”等核心概念下深刻地統(tǒng)一起來。

課程大綱

• 梯度、散度、旋度；

• 從微積分到微分形式：微積分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式、麥克斯韋方程；

• 微分形式的空間（外代數(shù)），外乘積，外微分算子d，微分形式的積分（選講）

• De Rham上同調(diào)與Stokes定理；

• 上同調(diào)群的定義與De Rham 定理；

• 上同調(diào)的（范疇論）性質(zhì)與對偶性，龐加萊對偶定理

• 上同調(diào)中的乘法；

• 外微分的應(yīng)用：積分、幾何、工程、生物；

• 和上同調(diào)理論的應(yīng)用：數(shù)學(xué)中的拓?fù)浞诸悊栴}（流形與纖維叢）、其他領(lǐng)域中的應(yīng)用（數(shù)論與代數(shù)幾何、表示論、動力系統(tǒng)）、物理中的應(yīng)用（場論、弦論、凝聚態(tài)中的拓?fù)湫颍?、其他潛在?yīng)用（生物、化學(xué)、拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析）；

• 曲率的概念，高斯絕妙定理（選講）與高斯–博內(nèi)–陳省身定理；

• 曲率的應(yīng)用（選講）：宇觀：時空曲率（廣義相對論）、微觀：纖維叢曲率（規(guī)范場理論）、宏觀：力學(xué)系統(tǒng)

關(guān)鍵詞

上同調(diào)、麥克斯韋方程、微積分基本定理、格林公式、高斯-奧斯特羅格拉德斯基公式、斯托克斯公式、de Rham上同調(diào)、龐加萊引理、Stokes定理、de Rham定理、上同調(diào)環(huán)、上積、龐加萊對偶、辛幾何、哈密頓力學(xué)、有限元、示性類、拓?fù)湫?、霍奇猜想、計算機圖形學(xué)、拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析、曲率、高斯絕妙定理、高斯–博內(nèi)–陳定理、廣義相對論、規(guī)范場、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

課程信息

課程主題：審其陰陽，以別柔剛——同調(diào)與上同調(diào)、曲率與整體性

課程時間：1月11日（周日）晚19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個工作日內(nèi)上線）

課程主講人

金威，北京大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士，博士后。主要研究方向為拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理。現(xiàn)從事人工智能的基礎(chǔ)理論和算法研發(fā)，并致力于數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)方面的教育/科研和科普活動。《基本粒子：數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)》一書中文版譯者，《返樸》公眾號作者。研究興趣：屬性論和屬性數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理、系統(tǒng)科學(xué)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、中醫(yī)等。

課程適用對象

1. 理工科領(lǐng)域研究者及高年級學(xué)生：適合具備基礎(chǔ)數(shù)學(xué)背景（微積分、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程）的理工科高年級本科生、研究生及科研人員。尤其適合關(guān)注復(fù)雜系統(tǒng)、非線性動力學(xué)、統(tǒng)計物理、信息科學(xué)等方向，或希望將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于物理、工程、生命與智能/認(rèn)知系統(tǒng)的學(xué)習(xí)者。

2. 喜愛探索和創(chuàng)新學(xué)習(xí)者：面向?qū)Τ橄笏季S、系統(tǒng)建模與跨學(xué)科分析有興趣的學(xué)生與研究者。鼓勵具備問題意識、善于邏輯推理與思維開放的學(xué)習(xí)者，通過拓?fù)鋵W(xué)培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化與整體化的科學(xué)思維。

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播，部分課程設(shè)置線下課。

2. 課程周期：2025年11月23日-2026年1月，線上課程每周日19：00-21：00進行。

3. 課程定價：前兩節(jié)課程免費，全部課程原價599

付費流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開發(fā)票

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程群內(nèi)討論交流

拓?fù)鋵W(xué)課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓?fù)洹苯嵌壤斫猓?/p>

拓?fù)鋵W(xué)不僅是數(shù)學(xué)的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié)，從量子場論到思維科學(xué)與腦科學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)思想正在各學(xué)科中普遍而深刻地重塑著我們的認(rèn)知方式。

集智學(xué)園聯(lián)合北京大學(xué)博士金威老師開設(shè)，課程于11月23日開啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請見：