在人類滿分都罕見(jiàn)的普特南數(shù)賽上，AI直接12題全對(duì)拿滿分。陶哲軒等大佬預(yù)言AI已經(jīng)取得了重要里程碑，再加上GPT-5.2 Pro在數(shù)學(xué)上強(qiáng)到「離譜」的表現(xiàn)，那種「奇點(diǎn)將近」的直覺(jué)，真的壓不住了。

全網(wǎng)震撼！

今天，24歲華人女學(xué)霸Carina Hong初創(chuàng)打造的AxiomProver，在2025 Putnam數(shù)學(xué)競(jìng)賽拿下了滿分成績(jī)。

12道題，AI全部答對(duì)！

與此同時(shí)，AxiomProver自主生成的Lean證明也正式公開(kāi)。

這一競(jìng)賽，堪稱北美本科生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的天花板級(jí)別，人類需在6小時(shí)攻克12道題。

Putnam競(jìng)賽總分120分，要接近滿分極其罕見(jiàn)，通常只有Putnam Fellows（前幾名）才能做到。

網(wǎng)友表示，「AxiomProver拿下Putnam競(jìng)賽比奪得IMO金牌更厲害，解決下一個(gè)千禧難題可能比預(yù)想的要來(lái)得更快」！

最近，陶哲軒公開(kāi)表示，ChatGPT等AI鞠躬基本可以自主解決「埃爾德什問(wèn)題」，瞬間登上HK熱榜。

OpenAI總裁Greg、科學(xué)家Sebastien Bubeck紛紛激動(dòng)轉(zhuǎn)發(fā)。

看來(lái)，千禧年難題，或許離破解之日不遠(yuǎn)了......

「本科最難數(shù)賽」奪下滿分，全網(wǎng)震撼

先來(lái)看看AxiomProver，如何在「本科版最難數(shù)學(xué)競(jìng)賽」中拔得頭籌。

https://axiommath.ai/territory/from-seeing-why-to-checking-everything

在AxiomMathAI的官方博客中，把所有的Lean證明都公開(kāi)了，還把題目分成了這么幾類：

人類直覺(jué)簡(jiǎn)單，但形式化起來(lái)卻極為繁瑣的問(wèn)題；

AI出人意料地攻克人類未曾預(yù)料到的問(wèn)題；

AxiomProver和人類采用不同數(shù)學(xué)思路解出來(lái)的問(wèn)題。

之所以這么分，在于AI與人類對(duì)「難度」感知并不一致。

團(tuán)隊(duì)指出，以后更理想的工作流大概是：

人主要負(fù)責(zé)提供靈感的想法，而機(jī)器負(fù)責(zé)快速自洽檢查與形式化落地，甚至推動(dòng)數(shù)學(xué)研究中的新抽象選擇。

人類覺(jué)得簡(jiǎn)單，AI直接「懷疑人生」

但在Putnam競(jìng)賽中，最「好下手」的往往是微積分題。

回想Mathlib庫(kù)（ Lean語(yǔ)言的數(shù)學(xué)庫(kù)，相當(dāng)于給AI用的「數(shù)學(xué)字典」）的早期，隨便一本分析教材第一章里的簡(jiǎn)單概念，都要花很長(zhǎng)時(shí)間才能定義清楚。

而在Putnam2025里，這類題通常出現(xiàn)在每個(gè)部分的第二題。

以A2題為例。

這道題如果給人看，我們只需要附上一張函數(shù)圖像，你的眼睛會(huì)瞬間捕捉到曲線的走勢(shì)，非常直觀。

但是這在系統(tǒng)那里，你必須把這些線條、趨勢(shì)、拐點(diǎn)，統(tǒng)統(tǒng)翻譯成嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

人類要是逐行去讀Lean代碼，那就更像是在「坐牢」。

B2也是同樣的故事。

對(duì)人類來(lái)說(shuō)一個(gè)很簡(jiǎn)單的「正性引理」，在Lean里要寫(xiě)60多行。

A2的引理h_nonpos_on_Icc和B2的引理psi_support_pos，成了各自證明里最難啃、最費(fèi)篇幅的「釘子戶」。

這就是形式化的代價(jià)。

組合構(gòu)造：友善的「野獸」

假如你正在下午茶時(shí)間的黑板邊聊天，朋友給你展示了一個(gè)精妙的組合構(gòu)造，你卡殼半天，他只說(shuō)了句：「先這樣，再那樣，把這個(gè)切開(kāi)……」

然后你恍然大悟：怎么就變得這么簡(jiǎn)單了？

這種感覺(jué)很震撼，問(wèn)題仿佛一瞬間就溶解了。

但一旦你試圖把這種直覺(jué)「釘死」成一個(gè)完全形式化的證明，尤其是在證明助手里，事情就會(huì)出奇地棘手。

拿A5題來(lái)說(shuō)。

Axiom團(tuán)隊(duì)和AxiomProver都想到了同一個(gè)很自然的思路：

對(duì)一個(gè)排列里最大（或最?。┑脑刈鰵w納，把剩下的切成兩段，然后據(jù)此推理。

用人類語(yǔ)言來(lái)講，這種論證可能兩三段就寫(xiě)完了，但在Lean的世界里并非這樣簡(jiǎn)單。

每一個(gè)小角落的特殊情況、每一處記賬式的繁瑣細(xì)節(jié)，都必須被明確寫(xiě)出來(lái)，沒(méi)有任何模糊空間。

當(dāng)然，也不能使用人類最愛(ài)的「省略號(hào)」。

于是結(jié)果就令人咋舌：這份Lean形式化代碼長(zhǎng)達(dá)2054行，生成耗時(shí)518分鐘！

這并非要吐槽Lean，而是從「人類顯而易見(jiàn)的證明」走到「這是機(jī)器校驗(yàn)過(guò)的證明」，你所必須繳納的稅。

AI神來(lái)之筆，人類沒(méi)想到的

AI有望破解組合數(shù)學(xué)，幾何引擎并非必需

一直以來(lái)，大家都覺(jué)得組合題是AI的軟肋。

事實(shí)上，這類題目「臭名昭著」到很多工程團(tuán)隊(duì)直接選擇放棄。

看看近幾年的IMO，最難的硬骨頭幾乎都是組合題。IMO 2025唯一沒(méi)做出來(lái)的題，以及IMO 2024的兩道題，全是組合。

所以，當(dāng)Axiom團(tuán)隊(duì)看到Putnam的A3是一道組合博弈論，B1是一道歐式幾何時(shí)，心里的預(yù)期其實(shí)是極低的。

畢竟，AxiomProver目前連一個(gè)完整的幾何引擎都沒(méi)有。

然而，奇跡發(fā)生了。

系統(tǒng)自主解出了A3和B1。那一刻，Axiom辦公室里直接有人尖叫了起來(lái)。他們根本沒(méi)想到它現(xiàn)在就夠解開(kāi)這兩道題！

Axiom團(tuán)隊(duì)賽后分析，這并不意味著幾何或博弈論變?nèi)菀琢?，而是說(shuō)明他們之前的悲觀判斷有點(diǎn)過(guò)于草率了。

這些例子說(shuō)明，這道「門檻」比他們之前判斷的更微妙、更有層次。

A3的解決的確有點(diǎn)運(yùn)氣成分。

在這道題中，「后手玩家」有一個(gè)非常干凈的必勝策略，一旦看破，只需要機(jī)械執(zhí)行，不需要去探索復(fù)雜的博弈樹(shù)。這種「少狀態(tài)、無(wú)分支」的邏輯，恰好是Lean最擅長(zhǎng)的。

B1題可能更有趣。

問(wèn)題B1的概要

題面涉及「外心」這個(gè)純幾何概念。系統(tǒng)給出的解法風(fēng)格非常幾何，但當(dāng)Axiom團(tuán)隊(duì)的數(shù)學(xué)家讀的時(shí)候，如果沒(méi)有圖，根本跟不上。

這就有點(diǎn)諷刺了，因?yàn)闄C(jī)器從頭到尾也沒(méi)畫(huà)過(guò)圖。最后，人類不得不自己畫(huà)了個(gè)草圖，才弄明白機(jī)器到底干了什么。

機(jī)器似乎很滿足于純符號(hào)推理，它沒(méi)畫(huà)過(guò)一張圖就建立了一個(gè)「兩條圓恰好相交于兩個(gè)點(diǎn)」的事實(shí)。

而人類則強(qiáng)烈依賴圖像。

為了更具體地讓人感受這些機(jī)器證明如何和人類的幾何直覺(jué)對(duì)齊，這里截取了一段Lean代碼，用來(lái)建立這樣一個(gè)事實(shí)：

在某個(gè)特定構(gòu)型下，兩條圓恰好相交于兩個(gè)點(diǎn)（這個(gè)構(gòu)型里，每個(gè)圓都經(jīng)過(guò)另一個(gè)圓的圓心，而且兩個(gè)圓心不同）。

而對(duì)人類讀者來(lái)說(shuō)，配圖能立刻把情況講清楚。

作為對(duì)照，Axiom小組也想出了一個(gè)類似的幾何論證。

Axiom團(tuán)隊(duì)對(duì)于B1的解法

這次AxiomProver意外搞定人們?cè)緵](méi)指望它能做出來(lái)的組合題，而且也證明了沒(méi)有幾何引擎也不一定不行。

蠻力的勝利：數(shù)學(xué)家?guī)缀醵荚栽诹诉@個(gè)問(wèn)題上

Axiom團(tuán)隊(duì)坦言，這次AxiomProver系統(tǒng)最終解出A6，令他們非常震驚。

因?yàn)檫@道題幾乎把他們內(nèi)部的所有人都打敗了。

他們的一位數(shù)學(xué)家認(rèn)出它屬于p進(jìn)算術(shù)動(dòng)力系統(tǒng)的范疇，他知道處理p進(jìn)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)必須非常小心，甚至他的大方向都是對(duì)的。

但「方向?qū)α恕购汀赴杨}徹底做完」是兩碼事。在A6這場(chǎng)硬仗上，機(jī)器贏了。

AxiomProver居然5小時(shí)就做完了它，而且這是12題里Token用量第二高的一題。

而且，它在處理相關(guān)冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)上用了一種特別笨拙、但確實(shí)有效的方法——人類絕對(duì)不會(huì)這么寫(xiě)，但它就是能跑通。

有時(shí)候，我們不得不承認(rèn)，蠻力本身也有一種不講道理、碾壓一切的優(yōu)雅。

同一道題，兩條完全不同的路

A4可能是這一批里最有故事的一題，因?yàn)樗昝勒故玖恕溉祟惖拇鷶?shù)直覺(jué)」與「AI的幾何視角」的碰撞。

人類數(shù)學(xué)家看到這道題，本能地去找代數(shù)方法，靠符號(hào)推演。

然而在競(jìng)賽中，AxiomProver展示了另一種思路：它會(huì)把人類覺(jué)得「應(yīng)該代數(shù)」的東西轉(zhuǎn)成幾何，把人類想用圖講清楚的內(nèi)容，變成機(jī)械化的組合核算。

在下面兩道很有代表性題：A4和B4，人類和AxiomProver解法各有特色。

A4：人類想推公式，AI先把它變成幾何

A4的設(shè)定看起來(lái)就很「代數(shù)」。

人類選手在這套題上分歧也很典型：

有人很快給出k=3的構(gòu)造，于是開(kāi)始懷疑答案會(huì)隨著n以某種方式增長(zhǎng)；另一個(gè)人從小n往上堆，排除了k=2，直覺(jué)上覺(jué)得答案應(yīng)該就是3。

兩人一起拼出了若干針對(duì)不同n的臨時(shí)構(gòu)造，能支持「答案是3」這個(gè)猜測(cè)，但離「統(tǒng)一的通用構(gòu)造」還有距離。

與此同時(shí)，他們隱約覺(jué)得背后可能藏著表示論的影子：這也很符合人類的經(jīng)驗(yàn)——當(dāng)一個(gè)條件像「關(guān)系編碼」時(shí)，很容易聯(lián)想到群作用、表示、代數(shù)結(jié)構(gòu)。

AxiomProver的建議簡(jiǎn)潔到有點(diǎn)「反常識(shí)」：讓每個(gè)A_i 都是投影到某個(gè)單位向量v_i上的秩一投影（rank-one projection）。

驗(yàn)證層面，形式化里最「重」的節(jié)點(diǎn)，往往集中在一件在人類眼里極其自然的事：

認(rèn)真檢查一圈n個(gè)向量的構(gòu)造確實(shí)滿足要求。

人們往往認(rèn)為，「顯然相鄰垂直，其他不垂直，環(huán)狀閉合也沒(méi)問(wèn)題」。

Lean大量篇幅被花在「把直覺(jué)變成可檢驗(yàn)的陳述」上，這恰好反映了形式化的性格：它不反對(duì)直覺(jué)，它拒絕用直覺(jué)替代證明文本。

B4：人類用一張圖講完，AI直出1061行代碼

在B4中，思路是構(gòu)造一個(gè)從特殊對(duì)角線（第一條非零對(duì)角線）到取值為1的條目的單射。

人類選手盯著圖看一會(huì)兒，函數(shù)怎么定義就很清楚了；也能看出來(lái)它為什么成立，圖自己就把話說(shuō)完了。

題在于Lean不會(huì)「看圖」。

AxiomProver直接產(chǎn)出了1061行Lean代碼，把行列的組合性質(zhì)一條條磨到結(jié)論出來(lái)。

它能在缺乏圖像溝通的情況下，用耐心把組合性質(zhì)逐格展開(kāi)，把證明變成可驗(yàn)證的流水線。

奇點(diǎn)臨近，GPT-5.2攻克難題

不僅如此，就連菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒認(rèn)為，AI已經(jīng)取得了重要里程碑。

這兩天，波蘭數(shù)學(xué)家Bartosz Naskr?cki在X上發(fā)的帖把這把火點(diǎn)得更旺了。

他直言，GPT-5.2 Pro在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)強(qiáng)得離譜：面對(duì)非瑣碎問(wèn)題，很難找到真正能讓AI卡死的點(diǎn)。

即使是高難題，一到兩小時(shí)的來(lái)回交互，模型就能把答案推出來(lái)。

最要命的是，他還用半開(kāi)玩笑的方式表達(dá)震撼：

要么OpenAI 背后有一支「全天候的小精靈與頂尖數(shù)學(xué)家團(tuán)隊(duì)」在實(shí)時(shí)代打，要么模型已經(jīng)具備非常扎實(shí)的能力。

甚至，讓人產(chǎn)生「奇點(diǎn)將近」的直覺(jué)。

這次Putnam 2025競(jìng)賽的成績(jī)，對(duì)于AxiomProver團(tuán)隊(duì)來(lái)說(shuō)是一次重要的勝利。

他們?cè)诓┛妥詈罂偨Y(jié)道，「看著系統(tǒng)實(shí)時(shí)硬啃競(jìng)賽數(shù)學(xué)，確實(shí)有種說(shuō)不出的爽感：即使它經(jīng)常用一些我們根本想不到的方式。」

這也引出了一個(gè)深層問(wèn)題：到底是什么讓一道數(shù)學(xué)題對(duì)機(jī)器來(lái)說(shuō)「難」？

顯然，人類覺(jué)得難的，和機(jī)器覺(jué)得難的并不是一回事。

人類怕繁瑣的枚舉，怕沒(méi)有靈感（巧妙構(gòu)造）就卡死的死胡同。但對(duì)機(jī)器而言，什么才是真正的障礙？目前還是一個(gè)黑盒。

但正因?yàn)殡p方擅長(zhǎng)和卡殼的點(diǎn)不一樣，「人機(jī)協(xié)作」才顯得如此合理。

而Axiom正在構(gòu)建這樣一個(gè)世界：人類直覺(jué)由機(jī)器驗(yàn)證來(lái)「落地」，而機(jī)器驗(yàn)證反過(guò)來(lái)激發(fā)人類直覺(jué)。

這就好比做咖啡：機(jī)器負(fù)責(zé)磨豆子，人類負(fù)責(zé)品咖啡。

在Axiom看來(lái)，我們不需要去硬攻數(shù)學(xué)研究每一個(gè)問(wèn)題。

正如Grothendieck所說(shuō)的「漲潮的?！埂覀兲Ц咚唬钡絾?wèn)題被那些堅(jiān)硬的陸地慢慢包圍，最終自然溶解。

雖然目前人類還未完全到達(dá)那一步，但奇點(diǎn)已經(jīng)臨近。

AxiomProver在Putnam 2025競(jìng)賽中取得滿分，以及GPT-5.2 Pro在數(shù)學(xué)上的驚艷表現(xiàn)，都在提醒我們：

這個(gè)未來(lái)更近了。

參考資料：

https://x.com/apples_jimmy/status/2009742681166229687

https://x.com/axiommathai/status/2009682955804045370

https://x.com/nasqret/status/2008672809094905970

https://jmlr.org/papers/v24/22-125.html

文章來(lái)源：新智元。