初識(shí)萊洛三角形

武昌區(qū)六年級(jí)數(shù)學(xué)期末附加題

2025-2026年武昌區(qū)六年級(jí)數(shù)學(xué)期末卷，難度較高，尤其是其附加題第33題，出現(xiàn)了萊洛三角形，這對于小學(xué)六年級(jí)的孩子是比較新鮮的事物，萊洛三角形在生活中其實(shí)很常見，只不過我們平時(shí)并不太注意而已，例如廣告圖案、建筑、汽車發(fā)動(dòng)機(jī)零件等。

教材中其實(shí)也留有它出現(xiàn)的空間，北師大版六年級(jí)上冊數(shù)學(xué)第3頁，討論車輪為什么是圓形時(shí)，可以提出這種形狀的車輪，網(wǎng)上也有相應(yīng)的視頻可作為教材素材，讓學(xué)生明白圓形雖然最常見，但其它形狀的車輪也可能存在，至少不要留下車輪一定是圓形的慣勢，如下圖：

題目：

解析：

01

(1)按要求作圖，會(huì)正常使用圓規(guī)工具即可；

02

(2)從作圖過程來看，學(xué)生需要知道萊洛三角形的每條邊(圓弧長)的圓心和半徑，還需要知道等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，這樣三段圓弧可拼成一個(gè)半圓，因此它的周長是3.14×3=9.42厘米；

03

(3)請注意題目中的信息，在小學(xué)六年級(jí)，我們并不要求學(xué)生掌握萊洛三角形更多信息，只需要知道它的一個(gè)特殊“在任何方向上都有相同的寬度”，理解這句話的要點(diǎn)，就在于“任何方向”，不妨取一個(gè)特殊的方向，在圖3中，AB⊥DE時(shí)，AB的長即可認(rèn)為是萊洛三角形的寬度；第二層理解，既然任何方向?qū)挾认嗤@意味著萊洛三角形在滾動(dòng)過程中，始終在一組平行線之間，這就是對“相同寬度”的深層理解，如下圖：

用小學(xué)生理解的語言，有寬度為3厘米的刷子，圍著三角形DEF刷一圈，結(jié)果如下：

所以，掃過的面積，就是三個(gè)長方形加三個(gè)扇形，每個(gè)長方形面積是3×6.28=18.84平方厘米，三個(gè)扇形恰好拼成一個(gè)圓形，面積是3.14×32=28.26平方厘米，最后相加18.84×3+28.26=84.78平方厘米.

解題思考

為什么萊洛三角形從任何方向看寬度都相同？

這需要一點(diǎn)初中的知識(shí)，如下圖：

點(diǎn)D為弧AB上任一點(diǎn)，我們過點(diǎn)D作弧AB的切線，再過點(diǎn)C作這條切線的平行線，當(dāng)點(diǎn)D在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)C的平行線也隨之旋轉(zhuǎn)，這兩條平行線間的距離就是CD長，即等邊△ABC的邊長；

當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到弧BC上時(shí)，我們過點(diǎn)A作它的平行線，如下圖：

同理，當(dāng)點(diǎn)D在弧AC上時(shí)，如下圖：

這樣，無論從哪個(gè)方向看，我們看到的萊洛三角形的寬度，就是等邊△ABC的邊長；

這意味著，若有一組平行線，兩平行線間距離等于等邊△ABC邊長，則萊洛三角形ABC可以在其中滾動(dòng)，利用這個(gè)原理，我們可以在生活中看到類似的平板車，如下圖：

拓展一點(diǎn)：鉆頭如何鉆出方形的孔？

教學(xué)啟示：

在小學(xué)六年級(jí)，學(xué)生可以了解上述知識(shí)，知道“是什么”，但要真正理解，還需要到初中，學(xué)習(xí)了圓相關(guān)知識(shí)之后，會(huì)知道“為什么”，這也給我們的教學(xué)提出了更高要求，作為教師，是否了解上述萊洛三角形的知識(shí)，是否理解諸多為什么，可以不對學(xué)生講，但自已要懂。