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本文探究伊斯蘭藝術(shù)中具有六重旋轉(zhuǎn)特征的圖案之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，并提出了一種基于將90度角六等分的尺規(guī)作圖方法來生成圖案。該方法能夠在正方形和邊長為√3的單位網(wǎng)格內(nèi)系統(tǒng)地構(gòu)建各種幾何設(shè)計，為當代應用提供了一套實用的設(shè)計方法。本研究展示了這一方法如何揭示歷史圖案之間的關(guān)聯(lián)，并加深對伊斯蘭藝術(shù)中共同設(shè)計原則的理解。本研究的一項關(guān)鍵貢獻是引入了SES-APPS系統(tǒng)（即"加法圖案與多邊形結(jié)構(gòu)"系統(tǒng)），它將模塊化設(shè)計元素與多邊形框架相結(jié)合。本研究還提出了將這些圖案應用于k-均勻系統(tǒng)以及復雜多面體形式（如立方八面體）的方法，為伊斯蘭幾何裝飾藝術(shù)的理論探索和實際設(shè)計提供了新的可能性。

引言

伊斯蘭幾何圖案是結(jié)合了數(shù)學精確性與藝術(shù)創(chuàng)造力的深厚知識傳統(tǒng)的產(chǎn)物。在伊斯蘭藝術(shù)中，基于使用尺規(guī)的傳統(tǒng)設(shè)計方法一直是歷史設(shè)計過程中不可或缺的一部分。然而，系統(tǒng)全面地研究這些技術(shù)的結(jié)構(gòu)和方法框架的工作，仍然是一個有待進一步探索的領(lǐng)域。

本文聚焦于一種特定的設(shè)計策略：將90度角六等分。通過在正方形和邊長為√3的單位網(wǎng)格內(nèi)應用這一原理，研究展示了角度劃分如何能夠生成一系列具有六重旋轉(zhuǎn)特征的圖案。研究首先分析了位于馬爾丁的茜蒂·拉達維耶經(jīng)學院米哈拉布中發(fā)現(xiàn)的具有p4g對稱性的基礎(chǔ)圖案。例如，圖2中右下角的圖案便是通過將六角星以"點對凹"的配置方式置于正方形的頂點上而構(gòu)建的，從而保留了部分四重對稱性。接著，本文將分析范圍擴展至瓜廖爾穆罕默德·加烏斯陵墓的雕花屏窗以及祖贊經(jīng)學院的圖案。這種方法闡釋了尺規(guī)作圖法如何揭示出那些在不同時代和地域、看似無關(guān)的圖案背后所共通的幾何邏輯。識別這些內(nèi)在聯(lián)系為開發(fā)新方法奠定了基礎(chǔ)。

六重旋轉(zhuǎn)圖案的基本構(gòu)成

將正方形或長方形的90度角進行折疊或六等分，會產(chǎn)生一個六重旋轉(zhuǎn)的圖案單元，它通常遵循√3單位矩形的比例，但也可能以其他比例出現(xiàn)。圖1展示了如何使用圓規(guī)和直尺構(gòu)建正方形單位和√3單位矩形。在構(gòu)建正方形的過程中，所繪弧線的交點可作為后續(xù)作圖的參考點（A1）。從正方形頂點向這些內(nèi)部交點繪制連線，即可將每個頂角六等分（A2）。繪制√3單位矩形時，需先確定其頂邊的位置。為此，我們從右下和左下頂點以60度角作線段，標記這兩條線段與右側(cè)和左側(cè)邊緣的交點（B1）。然后連接這兩個交點，即完成該矩形的繪制。為了構(gòu)建本文所示的六重旋轉(zhuǎn)圖案的基本模板，我們以各頂點為圓心，繪制兩條延伸至相鄰頂點的弧線，從而將每個頂角六等分。當我們從這些弧線的交點向頂點繪制連線時，頂點處的角即被劃分為六個15度的角（B2）。

圖1 使用直尺和圓規(guī)繪制正方形單位和√3矩形。

《托普卡帕卷軸》是研究伊斯蘭藝術(shù)幾何圖案的重要一手文獻來源（Necipoglu 1995）。盡管該卷軸并未提供關(guān)于使用尺規(guī)構(gòu)建圖案的明確信息，但其大部分設(shè)計都是在可重復單位網(wǎng)格的四分之一結(jié)構(gòu)內(nèi)完成的。此外，在圖案背后可以觀察到劃分頂角的淡色線條以及環(huán)繞星形的圓圈。這些元素表明，圖案是運用尺規(guī)作圖技術(shù)構(gòu)建的，且潛在的放射狀框架是幾何構(gòu)成過程中不可或缺的一部分。

卷軸所提供的、在技術(shù)層面最重要的見解之一，在于圖案結(jié)構(gòu)中存在一種如同外殼般包裹著星形的多邊形構(gòu)型。這些多邊形用紅色虛線標示。由 E. Hanbury Hankin 發(fā)現(xiàn)并命名為“相切多邊形”（PIC）的結(jié)構(gòu)（1925），后來被 Jay Bonner 擴展為一個全面的理論框架，他稱之為“多邊形技法”（2017）。Peter R. Cromwell 對卷軸中幾何設(shè)計的分析（2010a；2010b），以及他關(guān)于結(jié)合一點法與二點法的混合結(jié)構(gòu)的研究（2010c），為多邊形系統(tǒng)的歷史與當代應用提供了重要的見解。Craig S. Kaplan（2005）也做出了顯著貢獻，他將 Hankin 的“相切多邊形”方法改編為計算機輔助設(shè)計流程。Kaplan 的方法通過追蹤多邊形的切點來生成星形圖案，為將多邊形系統(tǒng)融入當代設(shè)計應用提供了一個實用模型。

這表明，多邊形框架本就內(nèi)在于卷軸上圖案的建構(gòu)邏輯之中，并通過尺規(guī)作圖得以實現(xiàn)。然而，圖案30和圖案42（Necipoglu 1995）僅能通過尺規(guī)近似完成。圖案30是由十六角星和十三角星結(jié)合而成，而圖案42則基于十一角星與九角星的共存。在這些案例中，13和11作為質(zhì)數(shù)的存在，是導致尺規(guī)作圖難度增加的決定性因素，因此這些圖案只能被近似地繪制出來（Ekizler S?nmez 2024）。

與此類似，本文所探討的每個圖案都是通過基于歐幾里得幾何的尺規(guī)作圖法展開的，并且通常是在可重復單位網(wǎng)格的四分之一結(jié)構(gòu)內(nèi)完成的。這種共有的結(jié)構(gòu)邏輯使我們能夠追溯不同圖案之間的親緣關(guān)系。

穆罕默德·加烏斯陵墓及其相關(guān)圖案

通常，研究者進行圖案分析時，會聚焦于單一圖案，或至多幾個具有共同結(jié)構(gòu)的圖案。邦納將具有相同多邊形結(jié)構(gòu)的圖案劃分到不同類別中（Bonner 2017）。本研究則首次嘗試運用尺規(guī)作圖法來闡明圖案之間存在的緊密聯(lián)系。我們通過追溯圖案之間的關(guān)聯(lián)，如同在不同網(wǎng)絡標簽頁間瀏覽一般，按特定順序展示這些圖案的相互聯(lián)系。

建于12世紀末的馬爾丁茜蒂·拉達維耶（又稱哈圖尼耶）經(jīng)學院米哈拉布上的圖案（圖2），其特點是在正方形的對角頂點處布置了具有60度夾角的六角星（圖3）。這種布局是通過將星形以“點對凹”而非更常見的“點對點”方式對齊實現(xiàn)的。六重旋轉(zhuǎn)紋樣在正方形單元內(nèi)的這種布置方式，對于本研究的后續(xù)階段至關(guān)重要。本文在此示例的基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展出更多的設(shè)計。呈對角線相對位置的兩個六角星朝向相反的方向（Ekizler S?nmez 2020a）。我們按照C1至C5的步驟來生成該圖案。重復構(gòu)成該結(jié)構(gòu)中隱藏的、以紅色、黑色和綠色標示的圖案，可以得到不同的密鋪鑲嵌。此外，通過疊加這些圖案，我們還能繪制出另一種設(shè)計。當構(gòu)成C4圖案的三個結(jié)構(gòu)層用不同顏色高亮顯示時，便得到了CA。其中綠色層描繪了邦納所稱的“振蕩正方形”結(jié)構(gòu)（Bonner 2017）。將菱形二等分，可以得到兩個等邊三角形，這對應于(3^2.4.3.4)型的半規(guī)則密鋪，在該密鋪中所有頂點都具有相同的構(gòu)型。紅色線條代表了可內(nèi)切于菱形的最大六邊形——這些六邊形是通過切去菱形的角部獲得的。如果將這些觸及黃色正方形區(qū)域邊中點的紅色線條，作為邊的平分線在正方形內(nèi)部延伸，那么由此產(chǎn)生的布局（如CB所示）將生成一個由(3.4.6.4); (3.4^2.6); (4^4) 三種構(gòu)型組成的三均勻半規(guī)則密鋪（Grünbaum and Shephard 1987），即Galebach 61種三均勻密鋪中的第22號（Galebach 2002-25）（圖3）。

圖2 茜蒂·拉達維耶經(jīng)學院的米哈拉布

圖3 圖案C5的構(gòu)建步驟及其底層結(jié)構(gòu)層。

通過使用相同的結(jié)構(gòu)和交點，生成了三個設(shè)計。這些設(shè)計自然與圖2中所示的C5圖案相關(guān)。第一個是圖案D（圖4）。在正方形的對角頂點處，布置了頂角為60度的六角星，它們在每個頂點處的旋轉(zhuǎn)角度不同，分別為30度、90度或180度。D3圖紙展示了該圖案與圖案C5的關(guān)聯(lián)。該圖案在《托普卡帕卷軸》中被編號為59（Necipoglu 1995），繪制在正方形單位網(wǎng)格內(nèi)，可通過平移對稱性進行重復以得到完整的密鋪鑲嵌（Ekizler S?nmez 2024）。D5-A中的粉色線段揭示了該設(shè)計的走向與結(jié)構(gòu)，而在《托普卡帕卷軸》中，這些線段以紅色虛線形式出現(xiàn)在圖案背后。這一圖案也出現(xiàn)在Bourgoin的圖集中（Bourgoin 1973）以及埃迪爾內(nèi)塞利米耶清真寺（1574）的窗欞上。

圖4 基于相同結(jié)構(gòu)的三種不同設(shè)計。

在D5-B階段，我們對四個蝴蝶形的線條進行了延伸和相交處理。此階段的圖案可見于敘利亞大馬士革的伍麥葉清真寺（715年）的門扇上（Wade 2025），同時也出現(xiàn)在Bourgoin的圖集中（Bourgoin）。在法塔赫布爾西格里（1570–1586），正方形單元網(wǎng)格和√3矩形單元網(wǎng)格被并列應用，這為我們比較這兩種不同單元網(wǎng)格的應用提供了機會。在圖案E中，圖案D里的六邊形被替換成了“面二三角”形。這種與正方形和十二邊形相關(guān)的面二三角形，其內(nèi)角為150度和90度，這分別是十二邊形和正方形的內(nèi)角。六角星的內(nèi)角正是90度。此圖案中的所有形態(tài)均為模塊化構(gòu)件。因此，中心的蝴蝶形也與面二三角形相關(guān)聯(lián)。該圖案出現(xiàn)在伊蒂馬德-烏德-道拉陵墓（1622年）中。在Gabriel的檔案中，也能看到巴特曼省澤伊內(nèi)爾貝伊陵墓（1473年）的瓷磚設(shè)計里有相似的圖案（Yurtta? 2010）。這些模塊化構(gòu)件對我們研究至關(guān)重要。在本研究的后續(xù)部分，我們將提出一種用于創(chuàng)建加法圖案的新型模塊化配置方案（圖24）。

該方法的基礎(chǔ)框架是通過將一個正方形的四個角分別六等分而生成的，它作為構(gòu)建各種幾何圖案的模板。這是因為在設(shè)計過程中，通常只需遵循這些引導線并關(guān)注某些參考點就足夠了。除了展示如何用最少的尺規(guī)作圖步驟構(gòu)建這個六重系統(tǒng)外，我們還通過圖案F引入了在方法論上具有顯著差異的新途徑，從而擴展了該系統(tǒng)的生成潛力。圖案F3中的蝴蝶形與圖案D5-A中的蝴蝶形具有相同的屬性，但這四個蝴蝶循環(huán)的旋轉(zhuǎn)方向相反。F3圖案見于瓜廖爾的穆罕默德·加烏斯陵墓（16世紀）（圖5）。在探討圖案F所引導出的不同設(shè)計之前，我們需先指出另一種設(shè)計。觀察圖案的不同方式使我們能根據(jù)廣泛的特征對其進行分類，這有助于我們生成新的設(shè)計。

圖5 穆罕默德·加烏斯陵墓的雕花屏風圖案，瓜廖爾，16世紀。

《托普卡帕卷軸》中以紅色虛線顯示的圖案，此處用粉色線條表示。在外圍正方形內(nèi)，由四個風箏形構(gòu)成一個循環(huán)圖案并作為一個獨立單元應用的設(shè)計，被Cromwell和Beltrami（2011）稱為“旋轉(zhuǎn)風箏形”設(shè)計。他們認為，此設(shè)計是一個由四個風箏形圍繞一個中心正方形組成的有限構(gòu)圖，而非可重復的密鋪圖案。這種設(shè)計在伊朗通常被稱為“chahar toranj”。構(gòu)成該循環(huán)的風箏形，其內(nèi)角分別為60度、90度和120度（圖6）。此設(shè)計以不同角度和比例變化的變體，在伊斯蘭建筑中也能找到（Ekizler S?nmez 2024）。圖6中的紫色正方形單位對應著可通過平移對稱性重復以生成連續(xù)表面圖案的單位網(wǎng)格的四分之一。與圖15不同，此處構(gòu)成圖案的線條并非連續(xù)的。

圖6 旋轉(zhuǎn)風箏形的有限構(gòu)圖。

當我們突出顯示圖案F3中交于中心點的線條時，便得到了圖案F3-X（圖7）。這一設(shè)計見于加濟安泰普16世紀塔赫塔尼清真寺的宣禮塔上。

圖7 F3-X設(shè)計。

通過利用D5-A、E4和E3中心的方形，我們得到了DX、EX和FX設(shè)計。對圖案D5-A、E4和E3中的半風箏形應用反射對稱再施加旋轉(zhuǎn)對稱，可以得到六邊形單元；通過重復這些單元，我們得到了DY1、EY1和FY1設(shè)計（圖8）。藍色區(qū)域標示了這些圖案中的根號三矩形單位網(wǎng)格。在FZ1中，中心六邊形被移除，顯露出其下方的十二角星。有趣的是，EY1結(jié)構(gòu)同時出現(xiàn)在伊蒂馬德-烏德-道拉陵墓（1628年，阿格拉）和魯斯坦帕夏清真寺（1561年，伊斯坦布爾）中，盡管兩地相隔遙遠。

圖8 圖案DX、EX、FX 以及 DY、EY、FY。

首先對圖4中設(shè)計底層較大半風箏形區(qū)域內(nèi)的較小半風箏形部分（圖8中以藍色高亮顯示）應用鏡像對稱，然后再施加六重旋轉(zhuǎn)對稱，我們生成了DY2、EY2和FY2構(gòu)圖。要得到FZ2圖案，則需要增加一排六邊形單位網(wǎng)格。這種擴展在角落和中心同時生成了十二角星。

DY2設(shè)計在伊斯蘭建筑中應用廣泛。埃爾祖魯姆的雅庫提耶經(jīng)學院（1310年）、阿克薩賴的蘇丹漢驛站（1229年）、布哈拉的米爾-阿拉伯經(jīng)學院（1536年）以及胡馬雍陵（1570年）等都是使用該圖案的地方。Critchlow的分析揭示了該圖案與(3.4.6.4)半規(guī)則密鋪的關(guān)聯(lián)（Critchlow 2011）。雖然EY2圖案包含的模塊化構(gòu)件屬于一個在米馬爾·希南作品中廣泛使用的圖案（尤其是在奧斯曼時期，我們將在圖17中將其稱為圖案N），但FY2圖案將在本研究的后續(xù)部分中作為一個能夠衍生出不同圖案的結(jié)構(gòu)來使用。

該圖案被應用在埃迪爾內(nèi)塞利米耶清真寺（1575年）的陵墓圍墻上（圖9）。當我們移除根號三矩形單位網(wǎng)格中心的六邊形后，就得到了圖案FZ。這一圖案可見于伊茲尼克綠色清真寺（1391年）的米哈拉布，以及安卡拉哈吉·穆薩清真寺（15世紀）的敏拜爾欄桿上。

圖9 埃迪爾內(nèi)塞利米耶清真寺陵墓圍墻上（1575年）

圖案F3呈現(xiàn)出一個略有不同的體系，類似于多邊形結(jié)構(gòu)。在此，我們從另一個角度解釋圖案F3與其他設(shè)計的關(guān)聯(lián)。角落處四分之一大小的六邊形被替換為六角星，其線條經(jīng)過延伸和相交處理。通過使用60度角和90度角這兩種不同的六角星，我們分別得到了圖案D5-A和圖案E4。在圖10中，可以看到這些圖案的密鋪鑲嵌。背景中的綠色線條標示了一個由 (3.4.6.4); (3.42.6); (4?) 構(gòu)成的三均勻半規(guī)則密鋪系統(tǒng)。

圖10 圖案D5-A與E4及其底層的半規(guī)則密鋪。

基于圖4中的圖案F，還可以生成另一種圖案。該圖案出現(xiàn)在Bourgoin的圖集中，這一事實可能表明它存在于歷史建筑中（Bourgoin 1973）。此圖案按照FA-1至FA-5的步驟構(gòu)建。FA-2階段展示了該圖案內(nèi)部嵌有我們在圖2中討論過的圖案。此外，該圖案中還隱藏著以綠色顯示的FA-3X“chahar-turanj”圖案。

在FA-5階段的紅色結(jié)構(gòu)中，我們看到了兩種重復出現(xiàn)的形態(tài)：蝴蝶形和風箏形。在本研究的這個階段，我們開始思考重新排列這些部件以構(gòu)建新設(shè)計的可能性（圖11）。

圖11 圖案FA的構(gòu)建過程。

圖12展示了與圖4中圖案F相關(guān)的另一種圖案。該圖案尤其在印度的許多建筑中可見，而阿格拉堡的實例最為著名。在示意圖H1中，我們可以看到中心四個旋轉(zhuǎn)風箏形與紅色蝴蝶形之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。在角落處，藍色層的六邊形與紅色層的六邊形完全相同，只是旋轉(zhuǎn)了90度。

圖12 圖案H的構(gòu)建步驟。

在圖4中，我們展示了如何將圖案F3用作另一個圖案的骨架。這個新形成的圖案，如圖13所示，如同肌肉般包裹著這個骨架。我們可以按照K1至K6的步驟繪制此圖案。在K7中，我們高亮顯示了圖案中的風箏形。

圖13 圖案K的構(gòu)建步驟。

該圖案源自祖贊經(jīng)學院（1219年）（圖14），其歷史可追溯至花剌子模王朝時期。圖案中蝴蝶形的排列方式所構(gòu)成的設(shè)計，與圖3中的圖4-F3圖案密切相關(guān)。如圖15中藍色部分所示，繪制并延伸中心正方形的對角線，會得到一個由蝴蝶形水平垂直排列構(gòu)成的設(shè)計，其頂角為150度和90度。在綠色圖層中，我們繪制中心正方形的中線并使其相交，也得到了具有相同蝴蝶形排列的設(shè)計，但這次蝴蝶形的頂角為120度和90度。

圖14 祖贊經(jīng)學院的圖案（1219年）

圖15 基于F3圖案繪制不同的蝴蝶形圖案。

本研究的下一部分將揭示在正方形單位網(wǎng)格內(nèi)構(gòu)建的六重旋轉(zhuǎn)圖案與那些采用√3單位矩形網(wǎng)格的圖案之間的關(guān)系。圖8指出了它們在圖案FY的初始階段是如何關(guān)聯(lián)的。圖1展示了√3矩形的構(gòu)建方法以及如何將頂角六等分。為了構(gòu)建圖案FY，我們使用這些線條和頂點作為參考點（圖16）。利用相同的結(jié)構(gòu)，我們可以繪制出FZ圖案。

圖16 圖案FY與FZ的構(gòu)建過程。

在圖17中，我們參照圖16中使用的方法，通過填充六邊形內(nèi)部來設(shè)計新的圖案。在六邊形內(nèi)部，我們放置了多種形態(tài)，范圍從頂角150度的十二邊形到頂角30度的六角星。在圖案L中，我們對六邊形內(nèi)的十二邊形線條進行延伸和相交處理（圖17）。如L2所示，當移除十二邊形后，頂角90度的六角星在最終圖案中顯現(xiàn)得更加清晰。邊緣處則留有半面二三角形。

圖17 圖案L、M、N、O、P、L2和O2的構(gòu)建過程。

在圖案M中，紅色六邊形內(nèi)部包含著一個六邊形。在這種情況下，邊緣處也是六邊形。在圖案N中，六邊形內(nèi)部是一個頂角90度的六角星。同樣，邊緣處是面二三角形。在圖案O中，我們將一個頂角60度的六角星放置在六邊形內(nèi)部。這一次，面二三角形被替換成了等邊三角形。在圖案P中，六邊形內(nèi)部是一個頂角30度的六角星。這導致邊緣處出現(xiàn)了頂角30度的三角星。使用圖4中圖案D5-A的構(gòu)件，可以在√3矩形內(nèi)生成新的圖案。使用這些構(gòu)件時，我們能得到與圖案O相關(guān)的圖案O2。在圖案D5-A和圖案O2中，線條都不是連續(xù)的；六邊形在角部是斷開的。

當所有圖案中的構(gòu)件疊加在一起時，圖案尺寸的變化變得明顯，類似于吸氣和呼氣的過程（圖18）。這些系統(tǒng)性的角度轉(zhuǎn)換也與構(gòu)成多邊形結(jié)構(gòu)的線條相關(guān)。

圖18 圖案疊加。

為了審視這些均呈現(xiàn)p6m對稱性的瓷磚圖案的視覺連續(xù)性和內(nèi)在邏輯，我們在圖19中并排展示了五種此類變體。通過突出顯示圖案中相應的組成部分，它們之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系變得可見，從而可以更清晰地理解這些變體之間的結(jié)構(gòu)親緣性。通過這種方法獲得的視覺清晰度，有助于更深入地理解單元內(nèi)角的細微變化如何影響最終的美學效果。采用與圖20中祖贊經(jīng)學院圖案相同的方法，可以在√3矩形內(nèi)生成一個新的圖案，按照R1至R6的步驟進行。該圖案見于開羅的蘇丹·哈桑經(jīng)學院（1356年）（圖21）（Wade sd）。

圖19 基于局部角度變換的圖案變體。

圖20 圖案R的構(gòu)建步驟（R1至R6）。

圖21 來自開羅蘇丹·哈桑經(jīng)學院的幾何圖案。

圖16中的圖案FY類似于一個骨架，而圖案R6則是包裹著它的肌肉。在圖22中，圖案R是通過平移對稱性重復單位網(wǎng)格得到的。如果我們使用紅色六邊形形態(tài)作為單位網(wǎng)格并進行重復，就會得到圖案S。此外，如果將蝴蝶形排列成一個旋轉(zhuǎn)循環(huán)并進行重復，就會得到圖案T。

圖22 圖案R、S和T。

一種新的加法圖案系統(tǒng)

本節(jié)通過重新評估已開發(fā)的基礎(chǔ)設(shè)計來回顧研究的軌跡——從最初作為其他構(gòu)型生成基礎(chǔ)的F3設(shè)計開始。在圖23中，展示了與F3設(shè)計相關(guān)的底層三均勻密鋪，以及它與E4圖案的關(guān)系。K6a展示了K6設(shè)計與三均勻密鋪之間的聯(lián)系。E4+K6a中的復合布局則展示了F3、E4和K6設(shè)計在共同的三均勻結(jié)構(gòu)上的疊加。所有重疊的圖案都使用了相近的色調(diào)，以清晰顯示它們之間的對應關(guān)系。

圖23 具有加法結(jié)構(gòu)的兩個圖案的疊加。

這種視覺呈現(xiàn)使得人們更容易認識到：三均勻系統(tǒng)中正方形區(qū)域的邊中點網(wǎng)格對應著F3設(shè)計；當這些正方形被細分為4×4單元時，K6設(shè)計便顯現(xiàn)出來；而這些正方形的對角線則揭示了E4圖案的結(jié)構(gòu)。在K6b中，我們延伸并相交了祖贊經(jīng)學院圖案的線條。結(jié)果顯而易見，在三均勻密鋪系統(tǒng)上構(gòu)建該圖案，只需在每個三角形單元內(nèi)放置一個六邊形，使其三個角接觸三角形各邊的中點，然后將這些六邊形的線條延伸到初始邊界之外即可。

E4和K6圖案在此構(gòu)型中的疊加，引導我們得到了一種新生的加法圖案。E4結(jié)構(gòu)中的每個模塊化單元都包含一個額外的、幾何上連貫的子設(shè)計，從而形成了一個分層的、結(jié)構(gòu)整合的加法構(gòu)型。除了在此構(gòu)型中識別出的六角星、蝴蝶形和面二三角形之外，還有其他幾個模塊化構(gòu)件也對整體幾何結(jié)構(gòu)有所貢獻（Ekizler S?nmez 2023）。

這些模塊化構(gòu)件幾乎起到了圖案的多邊形結(jié)構(gòu)的作用。換言之，圖案中各種形態(tài)的角部恰好接觸這些模塊化構(gòu)件的中點。這個新提出的系統(tǒng)與該領(lǐng)域中其他多邊形結(jié)構(gòu)最重要的區(qū)別在于，它所利用的多邊形結(jié)構(gòu)本身就是伊斯蘭藝術(shù)中常見的圖案構(gòu)件。換句話說，在這里，多邊形結(jié)構(gòu)的線條本身被直接用作圖案，其內(nèi)部不再填充其他紋樣。圖24展示了從這些加法圖案中衍生出的幾個示例，它們在此被用作多邊形結(jié)構(gòu)。值得注意的是，所有這些設(shè)計都可以通過尺規(guī)作圖技術(shù)實現(xiàn)。

圖24 模塊化構(gòu)件的變體與新圖案。

文獻中將由兩個重疊圖案層構(gòu)成的設(shè)計稱為“雙層圖案”。這一類別由Bonner（2003）系統(tǒng)性地概念化并引入該領(lǐng)域。此類設(shè)計呈現(xiàn)出一種層級結(jié)構(gòu)：主層通常由較大尺度的形態(tài)構(gòu)成，而次層則由較小的元素組成，這些元素參照主層的幾何框架，并使用相同的設(shè)計語匯進行運作。例如，如果主層是根據(jù)四重幾何系統(tǒng)構(gòu)建的，那么次層也必須遵循相同的四重結(jié)構(gòu)；五重結(jié)構(gòu)在幾何上是無法兼容的。

Bonner還關(guān)注到另一類圖案，他稱之為“加法圖案”（Bonner 2017）。他用這個術(shù)語來描述通過在背景區(qū)域添加設(shè)計線條來修改獨立圖案，從而增加整體復雜性的過程。這種方法最顯著的例子之一可以在馬拉蓋陵墓塔的外立面上觀察到，那里一個連續(xù)的五重場域圖案（不包括十角星）通過向背景中添加次級圖案線條而得以豐富。根據(jù)Bonner的觀點，這種添加不會改變圖案的結(jié)構(gòu)邏輯，而是為表面引入一種視覺上的動態(tài)感（Bonner 2017）。

本研究中提出的SES-APPS（加法圖案與多邊形結(jié)構(gòu)）模型提供了一個框架，用以挑戰(zhàn)并重新思考這兩類圖案之間的界限。在該模型中，所添加的次級層乍看之下可能類似于加法圖案，但實際上，它源自一個獨立的生成幾何學。因此，次級紋樣不僅僅是裝飾性的增強，其本身也代表著結(jié)構(gòu)上連貫的系統(tǒng)。我們基于在祖贊經(jīng)學院觀察到的圖案以及奧斯曼古典時期清真寺中常見的石制格柵設(shè)計所進行的調(diào)查表明，這兩類設(shè)計都可以使用尺規(guī)作圖法構(gòu)建。更重要的是，它揭示了盡管這兩個系統(tǒng)看起來不同，但它們共享一個基礎(chǔ)的幾何構(gòu)造。這種共享的構(gòu)造不僅僅指它們都屬于具有六重旋轉(zhuǎn)特征的圖案類別，更是指在所提出的基礎(chǔ)框架內(nèi)，這兩個設(shè)計僅通過線條繪制的變體就能推導出來。關(guān)鍵的是，我們發(fā)現(xiàn)當從祖贊經(jīng)學院圖案的幾何邏輯出發(fā)來審視時，那些格柵圖案展現(xiàn)出了根本性的多邊形結(jié)構(gòu)。在此背景下，SES-APPS模型引入了一個理論框架，該框架重新評估了多邊形系統(tǒng)在圖案生成過程中的作用，并擴展了加法設(shè)計的結(jié)構(gòu)潛力。

圖案K也出現(xiàn)在圖24中，其藍色多邊形結(jié)構(gòu)與圖4中的圖案E4完全相同。實際上，圖案S與圖17中的圖案L是一樣的。科尼亞阿拉丁清真寺（1235年）的敏拜爾是能夠找到圖案S的藍色多邊形構(gòu)件的地方之一。由多邊形構(gòu)件排列形成的Q形輪廓圖案，位于蓋布澤的喬班·穆斯塔法·帕夏經(jīng)學院（16世紀）。然而，多邊形內(nèi)部則是一個全新的設(shè)計。圖案R中以藍色線條多邊形構(gòu)件呈現(xiàn)的圖案，是奧斯曼時期清真寺，特別是希南設(shè)計的清真寺中大理石工藝的典型應用。

圖24中的多邊形內(nèi)部應用了圖案R。盡管圖案W和圖案Z中的藍色線條模塊化構(gòu)件在伊斯蘭藝術(shù)中并不常見，但它是一種全新的幾何設(shè)計。通過改變這些構(gòu)件的排列方式，可以增加這類設(shè)計的數(shù)量。

針對不同單元網(wǎng)格比例的新方法

到目前為止，本研究討論了具有正方形和√3矩形單元網(wǎng)格的圖案。圖案還可以有許多其他形式的單元網(wǎng)格，例如不同的矩形、菱形或六邊形。歷史上，存在通過排列紅色六邊形和蝴蝶形（120度和90度角）創(chuàng)造圖案的不同實例。開羅的奧斯曼時期建筑之一——布爾代尼清真寺（1616年）的敏拜爾上的圖案就是其中之一。我們將在圖25中創(chuàng)建一個示例來展示另一種可能性。首先，我們確定單元網(wǎng)格四分之一部分的非常規(guī)邊界。經(jīng)過U1和U2階段后，我們利用矩形構(gòu)建線條的交點進行繪制。一旦圖案開始顯現(xiàn)，我們便借助直尺和圓規(guī)完成缺失的線條。

圖25 具有不同形式單元網(wǎng)格的圖案U的構(gòu)建過程。

在圖26中，由六邊形組成的水平帶以交錯方式排列。這些帶被源自p4g圖案的條帶分隔開來。然而，與標準的p4g構(gòu)型不同，這里的旋轉(zhuǎn)點減少為二重，從而導致整體的對稱類型為cmm。

圖26 圖案U及其相關(guān)圖案的密鋪。

新方法：立方八面體上的正方形與三角形區(qū)域

本研究的最后部分涉及更復雜的設(shè)計，通過用八角星替換正方形區(qū)域來運用祖贊經(jīng)學院圖案�；诖嗽O(shè)計，我們生成了√3矩形圖案�？紤]到祖贊經(jīng)學院圖案的鏡像對稱性，該圖案在水平邊和垂直邊上的部分是互不相同的（圖27-K）。以綠色顯示的邊為參考，我們得到了圖27中綠色三角形內(nèi)部的設(shè)計。而以正方形的粉色邊為基準，藍色三角形內(nèi)部的設(shè)計則是我們能夠?qū)崿F(xiàn)的另一種設(shè)計。綠色和藍色三角形角部六角星的方向不同；其中一個相較于另一個旋轉(zhuǎn)了90度。當我們對等邊三角形應用六重旋轉(zhuǎn)對稱時，便得到了六邊形（圖27）。

圖27 基于祖贊經(jīng)學院圖案（圖案K）的兩種六邊形密鋪。

我們可以將三角形、六邊形與正方形結(jié)合，生成半規(guī)則和半規(guī)則變體設(shè)計。在(3.4.6.4)半規(guī)則密鋪系統(tǒng)中，當綠色六邊形位于中心時，圖案中的三角形將是藍色三角形（圖28）。當將藍色六邊形置于中心時，那么三角形將是綠色的（圖29）。在3^2.4.3.4半規(guī)則密鋪中，我們可以更清晰地看到正方形與藍色、綠色三角形之間的關(guān)系。在圖30中，我們展示了一種適用于在圖10中發(fā)現(xiàn)的(3.4.6.4);(3.4^2.6);(4^4)三均勻半規(guī)則密鋪的排列方式，其中六邊形和三角形的位置在四個方向上旋轉(zhuǎn)。

圖28 一種(3.4.6.4)半規(guī)則密鋪。

圖29 一種 (3.4.6.4) 半規(guī)則密鋪。

圖30 隱藏在(32.4.3.4)密鋪中的一種(3.4.6.4); (3.42.6); (4?)三均勻半規(guī)則密鋪。

將這些圖案K的構(gòu)件應用于立方八面體的表面，揭示了立方八面體與四正方向圖像之間的關(guān)系（圖31和32）。四正方向的圖像，與卍字形也有關(guān)聯(lián)，在古代思想史中，特別是在中亞社會中占有重要地位。在伊斯蘭建筑中，尤其是在安納托利亞塞爾柱人建造的建筑物中，立方八面體被用于柱廊（H. Hisarligil and B. Hisarligil 2018; ?zgan and ?zkar 2017）。

圖31 圖案K在立方八面體表面的應用。

圖32 立方八面體的3D繪圖。

卍字形可追溯至公元前10,000年，被伊斯蘭化前的突厥人稱為“oz tamga”（本源印記）。Oz Tamga，或稱天輪，由四個角與一個圓形循環(huán)結(jié)合而成，它象征著統(tǒng)一，并通過火作為轉(zhuǎn)化的象征概念來體現(xiàn)飛升向神性的過程。在古代突厥人的宇宙想象中，大地（地與水）和以圓形覆蓋大地的天空是兩個基本元素（Esin 2001）。他們認為大地有四個角，并將天空稱為天輪。???r?（土耳其語紡錘）一詞，指的是一種帶有十字形紡輪的手紡錘，是一種通過將羊毛捻成線來手工紡紗的傳統(tǒng)工具，而這種圓周運動象征著天空的運行（?gel 1994）。

在圖31中，立方八面體上圍繞正方形排列的三角形以兩種不同的顏色顯示。圖32則在立方八面體的3D繪圖中標示了藍色和綠色三角形的位置。

結(jié)論

本研究揭示了伊斯蘭藝術(shù)中具有六重旋轉(zhuǎn)特征的圖案之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，為理解支配圖案構(gòu)建的基本原則提供了一個系統(tǒng)性的方法。將90度角六等分這一幾何操作，不僅能夠生成新的設(shè)計，還能識別出歷史圖案之間的關(guān)聯(lián)與延續(xù)性。該方法展示了如何在正方形和√3單位網(wǎng)格內(nèi)構(gòu)建多種多樣的圖案，使尺規(guī)作圖法內(nèi)在的結(jié)構(gòu)邏輯變得清晰可見。

本研究的一項關(guān)鍵貢獻是引入了SES-APPS系統(tǒng)（加法圖案與多邊形結(jié)構(gòu)），它通過將模塊化設(shè)計元素與多邊形結(jié)構(gòu)相結(jié)合，提出了一種新的框架。該系統(tǒng)不僅提供了一種美學語言，也提供了一種結(jié)構(gòu)設(shè)計模型，為將具有六重旋轉(zhuǎn)特征的圖案應用于k-均勻系統(tǒng)和復雜多面體表面（如立方八面體）提供了方法。

總之，本研究展示了共享的基礎(chǔ)構(gòu)造如何揭示圖案之間隱含的關(guān)系，并為生成新的設(shè)計可能性奠定了基礎(chǔ)。

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