3.14π日又到了！你聽說過嗎？

只靠一根大頭針

也能測出圓周率π！

這聽起來是不是有點(diǎn)離譜？

答案可能比你想的還要簡單。

實驗器材

大頭針若干（牙簽也行，長度盡量一致）、白紙、直尺、筆、所標(biāo)杯

實驗步驟

先測量大頭針長度。在白紙上用直尺仔細(xì)畫多條平行直線，每兩條線間隔嚴(yán)格等于 。線畫得越多越密，實驗空間越大越好。

安全提示：大頭針尖端鋒利，請在家長的陪同下操作，避免扎傷。

把畫好線的紙平鋪在平整桌面上。抓起一把大頭針，隨意地向紙面上投擲。從約20cm高度，讓它自然落下。每次投完，觀察并記錄針是否與任何一條線相交（針身跨越直線就算），超出邊界的針要收回并重新投擲。

第三步：

重復(fù)投擲，多投幾次把總數(shù)相加，至少200次以上（次數(shù)越多，結(jié)果越準(zhǔn)！建議分批進(jìn)行）。用紙筆統(tǒng)計：總投擲次數(shù) N和相交次數(shù)M

第四步：

打開計算器，計算公式：

我們的實測結(jié)果：

分4批進(jìn)行實驗，每批投擲100次，

• 第1批：相交66次

• 第2批：相交62次

• 第3批：相交63次

• 第4批：相交66次

總投擲次數(shù)N = 400

總相交次數(shù)M = 66 + 62 + 63 + 66 = 257

已經(jīng)非常接近我們熟悉的3.14！

第五步：

收拾好大頭針，小心扎手！建議用磁鐵快速回收。

原理解說

每年3月14日是國際π日（Pi Day），也是國際數(shù)學(xué)日，因為日期“3.14”正好對應(yīng)圓周率π的前三位數(shù)字。這一天，全球數(shù)學(xué)愛好者會用各種有趣的方式慶祝這個神秘常數(shù)，而最適合在家親手驗證π的經(jīng)典玩法之一，就是概率論史上著名的“蒲豐投針實驗”（Buffon’s Needle Problem）。這個由18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家蒲豐提出的問題，是歷史上第一個用幾何形式表達(dá)概率問題的經(jīng)典案例。

為什么沒有圓，卻出現(xiàn)了π？

可以看出，大頭針落在紙上時，它與平行線的相對位置可由兩個變量描述：一是針心到最近平行線的距離（記為x），二是針身與平行線之間的夾角（記為θ）。

由于我們是隨機(jī)投擲，這兩個變量在一定范圍內(nèi)是均勻分布的。這樣一來，所有可能的投針結(jié)果，就可以看成落在一個長方形區(qū)域里：這個長方形的總面積是

當(dāng) 時針與直線相交。曲線 就是針恰好碰到線的臨界位置，曲線下的陰影區(qū)域代表所有會相交的可能組合，利用高等數(shù)學(xué)積分公式可算出面積為 。

于是，碰線的概率就等于“陰影面積 ÷ 總面積”：

當(dāng)實驗中線間距a 正好等于針長 時，P 正好簡化為 ！

另一方面，在真實實驗中，這個概率可以直接用“相交次數(shù) ÷ 投針總次數(shù)”來估計

這就是為什么你明明只是在亂扔針，卻能精準(zhǔn)地撞上圓周率的原因！甚至說恰恰是因為“亂”投針。

在大頭針這種擴(kuò)散運(yùn)動中，雖然單次投擲是完全隨機(jī)、不可預(yù)測的，但當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時，大數(shù)定律（Law of Large Numbers）就會發(fā)揮作用，讓統(tǒng)計結(jié)果穩(wěn)定在理論概率附近。

把這個思路推廣到現(xiàn)代科學(xué)，就是大名鼎鼎的蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）。在計算機(jī)模擬、核物理研究甚至是預(yù)測股市走向時，科學(xué)家們經(jīng)常會遇到極其復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。與其死磕復(fù)雜的方程，不如像投針一樣，利用計算機(jī)生成成千上萬個隨機(jī)數(shù)進(jìn)行“模擬投擲”，最后通過統(tǒng)計結(jié)果來反推答案。

今天恰逢3.14圓周率日，我們在家里用幾枚大頭針，就重演了200多年前開啟隨機(jī)數(shù)學(xué)大門的歷史性時刻。雖然實驗結(jié)果受限于投擲次數(shù)而略有偏差，但這正是科學(xué)探索的魅力：在紛亂的隨機(jī)現(xiàn)象中，尋找隱藏在背后的必然規(guī)律。

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編輯：二分 & Chocobo