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格爾德?法爾廷斯（Gerd Faltings）剛剛獲得2026年阿貝爾獎，他是算術(shù)幾何領域的泰斗級人物。其學術(shù)思想與研究成果重塑了整個領域，不僅攻克了多項懸而未決的重大猜想，更構(gòu)建了全新的理論框架，為后續(xù)數(shù)十年的相關研究指明了方向。本文簡單介紹格爾德?法爾廷斯的學術(shù)成就。

圖源：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize

作者：阿貝爾獎官網(wǎng)（abelprize.no）2026-3-19

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2026-3-20

亞歷山大的丟番圖（Diophantus of Alexandria）

圖源：famousmathmaticians.net

“丟番圖方程（Diophantine equation）”這一表述，源于公元3世紀的希臘化時期數(shù)學家亞歷山大的丟番圖。丟番圖是尋找整系數(shù)多項式方程整數(shù)解的先驅(qū)，自此以后，他的名字便與這類方程的整數(shù)解及有理解求解問題緊密相連。

多項式方程的有理解求解問題可追溯至數(shù)百年前。早在古代，人們就已發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯方程 x2+y2=z2 存在無窮多組整數(shù)解。對于任意兩個正整數(shù) p 和 q，該方程的所有解可通過以下公式完整描述：

x=p2-q2

y=2pq

z=p2+q2

畢達哥拉斯方程是二次方程，其存在無窮多組整數(shù)解這一事實，可看作是整數(shù)中平方數(shù)出現(xiàn)頻率相對較高的一種體現(xiàn)。一般來說，方程次數(shù)的提高會導致整數(shù)解的數(shù)量減少——解的數(shù)量可能從無窮變?yōu)橛邢?，甚至可能變?yōu)榱?，即某些整系?shù)方程根本不存在整數(shù)解。

1900年，在巴黎舉辦的國際數(shù)學家大會上，德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）提出了10個未解決的數(shù)學難題。后來，他又發(fā)布了一份包含23個難題的擴展清單，這些難題被認為對20世紀的數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響。其中部分難題至今仍未解決，另有一些則已被攻克。希爾伯特在介紹這23個難題時寫道：“我們之中，誰不樂于揭開未來的面紗，窺探科學的下一次進步，以及未來幾個世紀里學科發(fā)展的奧秘呢？未來幾代數(shù)學界的領軍人物將追逐哪些特定目標？在廣闊而豐富的數(shù)學思想領域，新的世紀將揭示哪些新方法與新發(fā)現(xiàn)？”

大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert），1862-1943

圖源：維基百科（Wikipedia）

希爾伯特的難題之一，即著名的“希爾伯特第十問題”，聚焦于丟番圖方程的解：“給定一個含任意數(shù)量未知數(shù)且系數(shù)為有理整數(shù)的丟番圖方程，能否設計一種方法，通過有限次運算判斷該方程是否存在有理整數(shù)解？”

希爾伯特并不關注方程具體解的求解，而是聚焦于“方程是否存在解”這一判定問題。法國數(shù)學家亨利·龐加萊（Poincaré）也對這類問題表現(xiàn)出濃厚興趣，并于1901年提出了關于橢圓曲線（即三次方程的解集）有理解的猜想。他斷言，橢圓曲線上的有理點集合構(gòu)成一個有限生成阿貝爾群（abelian group）。約二十年后，美裔英國數(shù)學家路易斯·莫德爾（Louis Mordell）證明了這一猜想。

在此期間，數(shù)論學家們發(fā)表了多項關于丟番圖方程解的研究成果。1909年，挪威數(shù)學家阿克塞爾·圖厄（Axel Thue）證明（眾多結(jié)果之一），方程 y3-2x2=-1 僅有有限多組整數(shù)解。后來進一步證實，該方程恰好存在一組解，即 x=78，y=23。

阿克塞爾·圖厄（Axel Thue），1863-1922

圖源：維基百科（Wikipedia）

圖厄的更具一般性的成果被稱為“圖厄定理（Thue's theorem）”，其內(nèi)容為：若 f(x, y) 是一個整系數(shù)齊次多項式，在有理數(shù)域上不可約，且次數(shù) ≥3，則對于任意整數(shù) k，方程 f(x, y)=k 僅有有限多組整數(shù)解。莫德爾本人早在1913年就已證明，方程

y2=x3+k

（其中 k 為整數(shù)）僅有有限多組整數(shù)解。

莫德爾在1922年發(fā)表的論文中，核心成果便是后來被稱為“莫德爾定理（Mordell's theorem）”的結(jié)論：橢圓曲線 E 上的有理點群 E(?) 是有限生成的。這一成果回應了龐加萊在1901年提出的問題。

路易斯·莫德爾（Louis Mordell），1888-1972

圖源：曼徹斯特大學

莫德爾定理的核心依據(jù)是：橢圓曲線（通常定義為形如y2=x3+px+q的方程的解集）具有阿貝爾群的附加結(jié)構(gòu)。該群的運算規(guī)則常被稱為“弦切法則（chord and tangent rule）”，因為其構(gòu)造完全基于幾何方法，涉及弦與切線的運用。莫德爾通過經(jīng)典的“無窮遞降法（infinite descent）”證明了這一定理：若方程存在無窮多組解，則所有解都可通過弦切法則追溯至有限多個生成解。莫德爾還證明了其定理的關鍵前提：橢圓曲線上兩個有理點的和仍是一個有理點。

根據(jù)三次方程解集的形態(tài)，橢圓曲線也被稱為“虧格1曲線”。更高虧格的曲線由更高次數(shù)的方程定義，其解集也愈發(fā)復雜。

莫德爾在1922年發(fā)表的論文《論三次與四次不定方程的有理解》中，還提出了“莫德爾猜想（Mordell’s conjecture）”：虧格 ≥2 的曲線上的有理點集合是有限的。這一結(jié)論對橢圓曲線并不成立——有限生成并不等同于有限，因為曲線上的有理點可能具有無限階。

特里格夫·內(nèi)格爾（Trygve Nagell），1895-1988

圖源：維基百科（Wikipedia）

挪威數(shù)學家特里格夫·內(nèi)格爾（Trygve Nagell）是阿克塞爾·圖厄的學生，他找到了橢圓曲線上有理點為有限階的判定準則。這一成果被稱為“內(nèi)格爾-盧茨定理（Nagell-Lutz Theorem）”，以紀念內(nèi)格爾與伊麗莎白·盧茨（Elisabeth Lutz）——后者是一位法國數(shù)學家，獨立于內(nèi)格爾發(fā)現(xiàn)了該定理。內(nèi)格爾-盧茨定理描述了整數(shù)域上橢圓曲線上的有限階有理點：設方程

y2=x3+px+q (p, q ∈ ?)

定義了一條非奇異橢圓曲線 E，其判別式為

Δ=-4p3-27q2≠ 0

若 P=(x, y) 是 E 上的有限階有理點，則 x 和 y 均為整數(shù)，且要么 y=0（此時 P 的階為2），要么 y 整除 Δ（這意味著 y2 也整除 Δ）。

例如，考慮橢圓曲線 E：y2=x3-4x+9，其判別式 Δ=-256+2187=1931。

易知 P=(2, 3) 是 E 上的一個有理點。顯然，3不是1931的因子，因此根據(jù)內(nèi)格爾-盧茨定理，P 具有無限階。

再舉一例，方程 y2=x3-x 僅有4個有理點，包括無窮遠處的加法單位元 0，分別為 P=(1, 0)、Q=(-1, 0)、P+Q=(0, 0)，且 2P=2Q=0，即 E(?)? ?? × ??。這兩個例子共同表明，橢圓曲線可能存在無窮多組有理點，也可能僅存在有限組有理點。

阿克塞爾·圖厄與路易斯·莫德爾均為數(shù)論學家，他們的研究方法要么是純算術(shù)的，要么偏向逼近論。而在法爾廷斯與懷爾斯之后，我們逐漸意識到，數(shù)論問題的解法很可能存在于數(shù)論之外的其他數(shù)學領域。

專業(yè)術(shù)語注釋

中文名稱

簡要說明

阿貝爾獎

國際頂尖數(shù)學獎項，表彰在數(shù)學領域作出卓越貢獻的學者

丟番圖方程

含整數(shù)系數(shù)的多項式方程，核心研究其整數(shù)解或有理解存在性及求解問題

畢達哥拉斯方程

形如 x2+y2 =z 2 的二次方程，存在無窮多組整數(shù)解

希爾伯特第十問題

判定含任意未知數(shù)的整系數(shù)丟番圖方程是否存在有理整數(shù)解的有限步算法設計問題

橢圓曲線

通常定義為三次方程 y2=x3+px+q 的解集，具有阿貝爾群結(jié)構(gòu)

有限生成阿貝爾群

可由有限個元素生成的阿貝爾群，是橢圓曲線有理點集合的重要性質(zhì)

圖厄定理

關于高次齊次多項式方程有限整數(shù)解的重要定理（次數(shù)≥3）

莫德爾定理

橢圓曲線上的有理點群是有限生成的，回應龐加萊猜想

莫德爾猜想

虧格≥2 的曲線上的有理點集合是有限的

無窮遞降法

證明數(shù)論問題的經(jīng)典方法，通過遞降推導有限性或無解結(jié)論

弦切法則

橢圓曲線阿貝爾群的運算規(guī)則，基于幾何中的弦與切線構(gòu)造

虧格 1 曲線

橢圓曲線的另一稱謂，依據(jù)解集形態(tài)分類

內(nèi)格爾 - 盧茨定理

判定橢圓曲線上有理點為有限階的準則

非奇異橢圓曲線

判別式≠0 的橢圓曲線，無奇點

判別式

橢圓曲線的重要參數(shù)，形如 Δ=?4p3?27q2

有理點

坐標為有理數(shù)的點，是丟番圖方程與橢圓曲線研究的核心對象

有限階（有理點）

橢圓曲線上經(jīng)有限次群運算可回到自身的有理點

無限階（有理點）

橢圓曲線上需無限次群運算才能回到自身的有理點

齊次多項式

各項次數(shù)相同的多項式，圖厄定理的核心研究對象

有理數(shù)域上不可約

多項式不能分解為兩個次數(shù)更低的有理系數(shù)多項式的乘積

參考資料

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/Rational%20solutions.pdf

https://abelprize.no/page/introduction-laureates-work-timandra-harkness

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/pressrelease_english__Abelprize%202026.pdf

https://abelprize.no/page/press-room-2026-abel-prize-laureate

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