|作者：翟若迅 孫昌璞

(中國工程物理研究院研究生院）

本文選自《物理》2026年第3期

摘要熱現(xiàn)象是微觀粒子統(tǒng)計(jì)行為的結(jié)果，傳統(tǒng)上習(xí)慣于從統(tǒng)計(jì)物理出發(fā)“推導(dǎo)”出熱力學(xué)定律。然而，統(tǒng)計(jì)物理所依賴的基礎(chǔ)假設(shè)，如等概率原理和各態(tài)歷經(jīng)(遍歷性)假設(shè)等，難以通過直接實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。相比之下，熱力學(xué)建立在熱機(jī)和熱循環(huán)等實(shí)驗(yàn)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)之上，因此從熱力學(xué)基本原理反推平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)分布具有重要意義。文章在過去二十年關(guān)于量子熱力學(xué)的系列工作基礎(chǔ)上，通過在量子態(tài)上(待定的)統(tǒng)計(jì)分布定義內(nèi)能，并利用功的力學(xué)定義自洽建立熱的概念，推導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)物理基本要素——幾率分布，而逆溫度β作為熱的積分因子自然出現(xiàn)。其中的關(guān)鍵方法是將Carathéodory于1909年提出的可積性思想推廣到微觀，引入“量子熱力學(xué)可積性”，給出統(tǒng)計(jì)分布和溫度滿足的熵可積方程。這個(gè)方程在細(xì)致平衡情況下的特解恰好是平衡態(tài)的正則分布，而一般的非正則解描述遠(yuǎn)離熱力學(xué)極限的有限系統(tǒng)，能夠刻畫黑洞信息轉(zhuǎn)換為輻射物質(zhì)關(guān)聯(lián)的信息丟失佯謬。

關(guān)鍵詞量子熱力學(xué)可積性，正則分布，非正則分布，有限系統(tǒng)，黑洞信息丟失佯謬

01

統(tǒng)計(jì)物理基礎(chǔ)的一些問題

人們通常將統(tǒng)計(jì)物理學(xué)看作宏觀熱力學(xué)的微觀基礎(chǔ)。通過對大量微觀粒子統(tǒng)計(jì)行為的分析，可以推導(dǎo)出熱力學(xué)的基本定律，從而在系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)與微觀機(jī)制之間建立起邏輯的橋梁[1—4]。平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的正則分布(或稱玻爾茲曼分布、吉布斯分布)，在對物質(zhì)熱力學(xué)性質(zhì)的分析中舉足輕重。然而，盡管統(tǒng)計(jì)力學(xué)意義深遠(yuǎn)、應(yīng)用廣泛，但在其基本原理方面，各種觀點(diǎn)卻莫衷一是：遍歷性假設(shè)[2，4，5]、系綜理論[2，4，5]、最大熵原理[6—8]、基于量子糾纏的正則典型性[9—12]……

事實(shí)上，所有這些統(tǒng)計(jì)物理原理都建立在難以直接實(shí)驗(yàn)證實(shí)的命題上。玻爾茲曼在19世紀(jì)末提出了遍歷性假設(shè)：在一個(gè)孤立系統(tǒng)的長期演化中，系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)“遍歷”相空間中所有滿足約束的微觀狀態(tài)。由此可以推斷，該系統(tǒng)對物理量的長時(shí)間平均與相空間上的統(tǒng)計(jì)平均相等。而從遍歷性理論出發(fā)的統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)遭到了嚴(yán)厲的批評：簡單的估算表明，在一立方米的盒子里，一個(gè)氣體分子要遍歷相空間中所有的狀態(tài)，大約要經(jīng)過近50億年的時(shí)間，這已經(jīng)與宇宙年齡可比！這意味著對于相空間更加龐大而復(fù)雜的多體系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)遍歷在可預(yù)期的時(shí)間內(nèi)是不可能的。楊振寧先生在2001年對他的訪談中坦言，遍歷論在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基礎(chǔ)上并不能給予了我們有用的見解[13]。他指出：

“在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的早期階段，遍歷理論的確曾引發(fā)了廣泛的討論。尤其對于數(shù)學(xué)家而言，涉足這一課題極具價(jià)值；然而在20世紀(jì)，統(tǒng)計(jì)力學(xué)的發(fā)展主要集中在平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)領(lǐng)域，并且基本上是在很少依賴遍歷理論的情況下獨(dú)立推進(jìn)的。這并不意味著未來不應(yīng)繼續(xù)研究遍歷理論，但我懷疑在21世紀(jì)，遍歷理論不會(huì)對統(tǒng)計(jì)力學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響�！�

然而，與統(tǒng)計(jì)力學(xué)相反，宏觀熱力學(xué)卻是建立在堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)證據(jù)之上的學(xué)科。它發(fā)軔于瓦特開創(chuàng)的蒸汽機(jī)時(shí)代，熱力學(xué)的基本定律在無數(shù)以熱機(jī)應(yīng)用和熱力學(xué)循環(huán)實(shí)驗(yàn)的千錘百煉中逐漸成形，并最終成為了宏觀世界牢不可破的鐵律。上述事實(shí)蘊(yùn)含著一個(gè)基礎(chǔ)性的問題：將熱力學(xué)這樣一個(gè)證據(jù)堅(jiān)實(shí)的宏觀理論建立在統(tǒng)計(jì)力學(xué)所依賴的抽象假設(shè)之上，邏輯上是否合理？更進(jìn)一步說，我們是否能反其道而行之，從熱力學(xué)基本原理推演得到系統(tǒng)平衡態(tài)的微觀統(tǒng)計(jì)分布？(圖1)

圖1 熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)性問題

不過，盡管熱力學(xué)具有堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，其邏輯基礎(chǔ)仍然存在問題。要將熱力學(xué)作為統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)，需要澄清該理論自身的邏輯問題。熱力學(xué)理論是圍繞著傳熱與內(nèi)能這兩個(gè)獨(dú)特的概念 建立起來的，其第一和第二定律也都在刻畫它們的性質(zhì)。在通常的熱力學(xué)理論中，系統(tǒng)的內(nèi)能被定義為絕熱過程中的做功，則根據(jù)熱力學(xué)第一定律，傳熱為非絕熱過程中的內(nèi)能變化減做功；于是，絕熱過程的定義變得至關(guān)重要。若將其簡單的定義為“傳熱等于0”的過程，則會(huì)導(dǎo)致邏輯上的循環(huán)：內(nèi)能依賴于絕熱，傳熱依賴于內(nèi)能，絕熱依賴于傳熱。該問題的提出可以追溯到1909年，Carathéodory試圖通過不依賴于熱量定義絕熱過程來規(guī)避這一點(diǎn)。王竹溪先生在《熱力學(xué)簡程》中明確提到了這一點(diǎn)[14]：

“喀喇氏(注：即Carathéodory)同時(shí)指出，既然在用熱過程來定內(nèi)能的時(shí)候還沒有引進(jìn)熱量這一概念，而是在內(nèi)能確定之后通過(3)式才引進(jìn)熱量的，那么在邏輯上絕熱過程的定義中就不應(yīng)當(dāng)包含熱量�！�

Carathéodory以絕熱過程為理論的出發(fā)點(diǎn)，重新構(gòu)建了熱力學(xué)的公理化體系[4，14—16]，尤其是將絕熱過程存在不可達(dá)點(diǎn)的性質(zhì)與熱力學(xué)第二定律聯(lián)系起來，提出了熱力學(xué)第二定律的Carathéodory表述：

“在任意初態(tài)的任意鄰域中，總存在不能通過狀態(tài)的絕熱變化任意接近的點(diǎn)�！�

這種絕熱不可達(dá)性表明，僅僅通過力學(xué)變量不足以完整描述熱力學(xué)的狀態(tài)空間。對于平衡態(tài)系統(tǒng)，這意味著存在一個(gè)描述系統(tǒng)狀態(tài)的額外熱力學(xué)參數(shù)。根據(jù)Carathéodory的可積性定理[4，15，16]，可以證明經(jīng)典熱力學(xué)中傳熱具有可積性[3，4，16—19]。在該方法中，傳熱的積分因子起到了額外的熱力學(xué)參數(shù)的作用。下面我們用簡單的例子說明為什么β可以用作系統(tǒng)的溫度。考慮一個(gè)有兩部分的系統(tǒng)的微分過程，其兩部分與外界的傳熱分別為δQ1和δQ2，它們的積分因子分別為β1和β2。在該過程中它們的熵變寫為dS1=β1δQ1，dS2=β2δQ2。如果兩個(gè)系統(tǒng)處于平衡態(tài)，則整個(gè)系統(tǒng)的傳熱δQ=δQ1+δQ2也有積分因子β。系統(tǒng)的總熵是一個(gè)可加的函數(shù)，即dS=dS1+dS2，則上述方程給出β=β1=β2。這意味著達(dá)到熱平衡態(tài)的物體之間傳熱的積分因子β相等，這恰好與溫度的性質(zhì)相吻合。上述討論意味著，溫度是通過熱力學(xué)定律自然“演生”出的新概念。

然而，以往對絕熱過程的定義在科學(xué)邏輯上不能盡如人意。這些定義通常依賴于經(jīng)驗(yàn)性描述，而完美的絕熱在經(jīng)驗(yàn)中是不存在的。Carathéodory也并沒有完全繞開這個(gè)問題，其對絕熱過程的數(shù)學(xué)描述也使用了代表傳熱為零的Pfaff方程δQ=0。因此，對熱力學(xué)絕熱過程的定義仍然需要進(jìn)一步的澄清。事實(shí)上，僅僅從宏觀熱力學(xué)的框架出發(fā)，很難對絕熱過程做出嚴(yán)格且自洽的定義，想真正嚴(yán)格定義絕熱過程和傳熱的概念，就必須從微觀的視角出發(fā)，量子熱力學(xué)理論的發(fā)展恰好了完成了這項(xiàng)任務(wù)，它搭建起從熱力學(xué)基本定律通向平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的橋梁。

本文將從量子熱力學(xué)出發(fā)，嚴(yán)格定義熱力學(xué)中的核心概念——傳熱和內(nèi)能。將量子熱力學(xué)中傳熱的定義與熱力學(xué)可積性相結(jié)合，就引入了量子熱力學(xué)可積性的概念。再利用量子熱力學(xué)可積性與細(xì)致平衡假設(shè)，推導(dǎo)出平衡態(tài)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分布——正則平衡態(tài)分布，即吉布斯分布或玻爾茲曼分布。同時(shí)，如果不考慮熱力學(xué)極限相關(guān)的細(xì)致平衡原理，量子熱力學(xué)可積性還給出有限系統(tǒng)的非正則分布。這類分布在有限系統(tǒng)中廣泛存在，其引發(fā)的信息關(guān)聯(lián)可以作為黑洞信息丟失佯謬的解釋。

02

量子熱力學(xué)中的做功與傳熱

在20多年前，我們思考了一個(gè)十分樸素的問題[20—22]：既然量子計(jì)算機(jī)利用其基本部件(量子比特)量子特性，原則上在執(zhí)行某些計(jì)算任務(wù)時(shí)顯著超越經(jīng)典計(jì)算機(jī)，那么，若熱機(jī)的工作物質(zhì)具備量子性，它是否也會(huì)表現(xiàn)出不同于(甚至超越)經(jīng) 典熱力學(xué)的行為？針對這個(gè)問題，我們對量子做功物質(zhì)的熱力學(xué)過程(特別是熱循環(huán)過程)進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究，形成了量子熱力學(xué)的基本框架(表1)，并進(jìn)一步與介觀(有限尺度和有限時(shí)間)熱力學(xué)的研究相結(jié)合，在量子熱力學(xué)循環(huán)及其熱機(jī)功率效率優(yōu)化方面取得了一些成果[21—27]。

表1 量子經(jīng)典熱力學(xué)中基本概念的對比

其實(shí)，研究量子物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)，必須對量子體系明確界定傳熱、絕熱等熱力學(xué)的基本概念，不然就可能在量子框架中出現(xiàn)違背熱力學(xué)第二定律的各種“佯謬”[20，28]。當(dāng)這些基本物理量被自洽地定義后，研究結(jié)果表明，量子熱機(jī)在某些參數(shù)條件下的確可能表現(xiàn)出優(yōu)于經(jīng)典熱機(jī)的性能[29，30]，但依然未能突破熱力學(xué)定律的約束。同時(shí)，量子熱力學(xué)中功與熱的嚴(yán)格定義，也為經(jīng)典熱力學(xué)中傳熱概念提供了更為精確的刻畫。

下面我們對量子熱力學(xué)中內(nèi)能和傳熱的微觀定義做詳細(xì)說明。設(shè)量子系統(tǒng)的能級為E1, E2,…，處在每個(gè)能級的概率(布居)為P1, P2 ,…。量子熱力學(xué)首先給出內(nèi)能的定義，即量子系統(tǒng)的總能量，其微分可以分解成兩部分：

其中左邊第一項(xiàng)代表了由于布居數(shù)改變導(dǎo)致的內(nèi)能變化，第二項(xiàng)代表了能級改變導(dǎo)致的內(nèi)能變化。在量子熱力學(xué)的框架下，第一項(xiàng)被稱為傳熱，第二項(xiàng)則是做功。

圖2 無限深勢阱的量子絕熱過程

接下來我們具體說明第二項(xiàng)為什么代表了做功。以如圖2所示的一維無限深勢阱內(nèi)的粒子為例，其外參數(shù)λ在該問題中是勢阱的寬度L，每個(gè)能級的能量為En=π2?2n2/2mL2�？紤]系統(tǒng)的外參數(shù)L無窮緩慢地從L變化到L'，則根據(jù)量子絕熱定理，這種緩慢的變化不會(huì)引起瞬時(shí)本征態(tài)之間的躍遷，各個(gè)能級的布居Pn保持不變。能級n對外參數(shù)的廣義力由Feynman—Hellmann定理給出[31，32]，Xn=?En/?L。于是宏觀的廣義力是其平均值
。此過程中內(nèi)能的變化等于做功，這正符合熱力學(xué)絕熱過程中做功和內(nèi)能的關(guān)系。上述討論意味著量子絕熱過程實(shí)際上就是一個(gè)熱力學(xué)絕熱過程[33]，同時(shí)應(yīng)指出，熱力學(xué)絕熱過程并非總是量子絕熱過程。于是，在量子熱力學(xué)的框架內(nèi)，內(nèi)能和做功的微觀表達(dá)式為

根據(jù)熱力學(xué)第一定律，我們就得到了傳熱的微觀表達(dá)式：

這個(gè)結(jié)果可以直接推廣到宏觀——由相空間的分布定義內(nèi)能和傳熱�？梢钥吹�，在量子熱力學(xué)的框架內(nèi)，內(nèi)能和傳熱的定義邏輯上不再循環(huán)：先通過哈密頓量(能量)的期望值定義內(nèi)能，然后通過量子絕熱過程的討論確定做功。再通過熱力學(xué)第一定律，我們得到了傳熱的定義。這意味著量子力學(xué)可以從微觀角度澄清熱力學(xué)基礎(chǔ)概念問題。

03

量子熱力學(xué)可積性：從平衡正則態(tài)到非正則態(tài)

下面我們介紹量子熱力學(xué)可積性的基本思想。對于量子系統(tǒng)，其平衡態(tài)正則分布為

這個(gè)概率分布滿足如下方程：

這意味著在能量子流形ESM≡{E=(E1, ?, EN)}上的做功和傳熱是可積的，因?yàn)槠浞e分與路徑無關(guān)：

這種量子熱力學(xué)可積性與熱力學(xué)第二定律有著深刻的關(guān)聯(lián)：上面的公式意味著對給定的逆溫度β，任意閉合回路都不能輸出非零的功。假設(shè)公式(4)中的積分為a，對于a>0，則通過該回路可以從單一熱源提取功；對于a<0，可以通過其逆回路從單一熱源提取功。根據(jù)熱力學(xué)第二定律的開爾文表述，只能有a=0。那么，方程(3)是否可以作為統(tǒng)計(jì)物理的基本方程呢？如果將溫度也納入考量，則量子熱力學(xué)可積性又表現(xiàn)出什么其他的性質(zhì)呢？

圖3 量子熱力學(xué)可積性在不同空間中的表現(xiàn)

我們將Carathéodory原理保證的熱力學(xué)變量β也納入考慮，將量子熱力學(xué)可積性推廣到更大的空間中(圖3)——熱力學(xué)流形TDM≡(β,E)。根據(jù)經(jīng)典熱力學(xué)可積性，傳熱存在積分因子β，即d(βδQ)=0。我們證明，在宏觀的量子熱力學(xué)可積性，可由微觀量子熱力學(xué)流形中的可積性條件確定。微觀量子熱力學(xué)可積性自然要求方程(3)成立，此外還要求另一個(gè)方程：

我們稱方程(3)和方程(5)為描述微觀熱力學(xué)可積性的熵可積方程(entropy integrable equations ,EIE)，它使得熱力學(xué)定律給出平衡態(tài)微觀分布的限制。

第一個(gè)熵可積方程(3)意味著在ESM中存在一個(gè)熱力學(xué)態(tài)函數(shù)F(β,E)，使得概率分布是它的梯度，即P=?F。概率的正定性要求對于任意的En都有?F/?En≥0。由此容易驗(yàn)證dS=βδQ=d[β(U-F)]。不失一般性，我們將熱力學(xué)熵定義為S=β(U-F)，這等價(jià)于F=U-TS。對正則分布，F(xiàn)就是熱力學(xué)中的Helmholtz自由能，于是我們將這里的F稱為廣義自由能，從微觀的角度看，它是概率分布的生成函數(shù)。

正則平衡態(tài)分布是熵可積方程的特解，但僅有熵可積方程不足以給出正則分布。要想將平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理建立在量子熱力學(xué)可積性的基礎(chǔ)上，我們需要考慮額外的基本假設(shè)——細(xì)致平衡假設(shè)[34]。如果系統(tǒng)的躍遷滿足如下動(dòng)力學(xué)
，則其一般的穩(wěn)態(tài)應(yīng)當(dāng)滿足。而對于具有時(shí)間反演對稱性的平衡態(tài)，每兩個(gè)能級之間的躍遷過程都應(yīng)當(dāng)被其逆過程所平衡，于是兩個(gè)能級的相對概率等于躍遷率之比。這里Tn→m取決于系統(tǒng)的各個(gè)能級的能量。在對熱力學(xué)的“微觀”思考中，我們將系統(tǒng)和環(huán)境分開討論，這一點(diǎn)只有在系統(tǒng)和環(huán)境的耦合相比其自身哈密頓量很弱時(shí)才能辦到。這種很弱的耦合通常是造成系統(tǒng)各個(gè)本征態(tài)之間躍遷的原因。量子力學(xué)的微擾理論告訴我們，這種耦合導(dǎo)致的量子態(tài)之間的躍遷到一階時(shí)不受到中間態(tài)的影響。根據(jù)這一點(diǎn)，我們進(jìn)一步做一個(gè)假設(shè)：能級之間的躍遷率Tn→m僅僅與n和m的兩個(gè)能級的能量Em和En有關(guān)，即fmn=fmn(β, Em, En)。結(jié)合上述細(xì)致平衡原理與量子熱力學(xué)可積性，方程(2)最終給出正則平衡態(tài)的分布。

至此我們從量子力學(xué)功和熱的定義出發(fā)，與熱力學(xué)第一、二定律相結(jié)合，得到了熵可積方程描述的量子熱力學(xué)可積性[25]。再結(jié)合細(xì)致平衡原理，從量子熱力學(xué)可積性中確定了正則平衡態(tài)的分布。在上述過程中，量子熱力學(xué)可積性和細(xì)致平衡原理事實(shí)上起到了與正則系綜理論類似的作用，即推導(dǎo)統(tǒng)計(jì)分布。在這種意義上，量子熱力學(xué)可積性可以看作是具有平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的邏輯自洽、具有堅(jiān)實(shí)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的基本原理。

04

量子熱力學(xué)可積性，非正則統(tǒng)計(jì)及其標(biāo)度性質(zhì)

到目前為止，我們涉及了三個(gè)物理假設(shè)：量子熱力學(xué)可積性、細(xì)致平衡條件和能級交換對稱性，它們重現(xiàn)了正則平衡態(tài)的結(jié)果，并沒有給出“新的物理”。然而超越正則平衡態(tài)的結(jié)果可以出現(xiàn)在系統(tǒng)與熱庫的尺度有限的時(shí)候。此時(shí)，系統(tǒng)與熱庫的相互作用相比熱力學(xué)極限時(shí)更強(qiáng)，進(jìn)而系統(tǒng)對熱庫的反作用逐漸變得不可忽視，此時(shí)一階微擾不再適用，系統(tǒng)能級之間的躍遷對中間態(tài)的依賴就體現(xiàn)了這種影響。這意味著前文提到的“細(xì)致平衡原理”被破壞，能級之間相對概率與其他能級的能量有關(guān)，導(dǎo)致系統(tǒng)不再處于正則平衡態(tài)[35—37]。

為了描述這樣的系統(tǒng)，我們考慮熵可積方程的非正則解。在這些非正則解中，溫度不再有良好的定義，而是通常在給定β附近有一個(gè)“漲落”[38—40]：這就是熵可積方程給出的一個(gè)特殊的非平衡穩(wěn)態(tài)——不同溫度下正則態(tài)的疊加。非正則態(tài)的廣義自由能為

其中F(β',E)是正則態(tài)的自由能，而Γ(β, β' )是逆溫度β' 的疊加系數(shù)，β是逆溫度的“平均值”。為保證非正則態(tài)是熵可積方程的解，疊加系數(shù)Γ應(yīng)當(dāng)滿足方程，該方程進(jìn)一步給出Δβ2=σ2β2，其中σ2代表了溫度的相對漲落。該相對方差趨于0時(shí)非正則態(tài)回到平衡正則態(tài)。當(dāng)σ很小時(shí)，非正則分布可以作展開，其概率分布變?yōu)?/p>

后面我們指出，這個(gè)非正則解正好描述分布中的關(guān)聯(lián)，可以用于分析黑桐信息丟失之謎。

對偏離熱力學(xué)極限的系統(tǒng)來說，這種溫度的“漲落”具有顯著的效應(yīng)，那么這種漲落以怎樣的方式與系統(tǒng)的有限尺寸聯(lián)系在一起？要回答這個(gè)問題，就要定量描述系統(tǒng)偏離熱力學(xué)極限時(shí)的行為，漲落在相變系統(tǒng)中表現(xiàn)。在熱力學(xué)極限下，有些系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)會(huì)在一些點(diǎn)發(fā)生突變，這些點(diǎn)被稱為臨界點(diǎn)。在臨界點(diǎn)附近，各種物理量對臨界點(diǎn)的距離呈現(xiàn)標(biāo)度關(guān)系，這些標(biāo)度關(guān)系的冪指數(shù)被稱為臨界指數(shù)。以二維Ising模型為例[41，42]，其序參量為磁化率m，在臨界點(diǎn)附近，系統(tǒng)的自發(fā)磁化滿足標(biāo)度關(guān)系m∝t1/8，t=(βc-β)/βc是到臨界指數(shù)的距離，其中
是模型的臨界點(diǎn)。磁矩的臨界指數(shù)為1/8。對于二維Ising模型的非正則態(tài)，設(shè)其溫度疊加系數(shù)Γ(β, β' )是一個(gè)高斯函數(shù)，數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)其在臨界點(diǎn)處的奇異行為被“平滑化”了，如圖4所示。

圖4 二維Ising模型在臨界點(diǎn)附近非正則態(tài)的自發(fā)磁化和熱容

這與相變系統(tǒng)在尺度有限時(shí)的行為如出一轍[43—46]。那么，這種非正則態(tài)是否具有與有限尺度相變系統(tǒng)更深層的聯(lián)系呢？我們可以定量證明，非正則態(tài)對溫度相對漲落σ=Δβ/β滿足如下標(biāo)度關(guān)系：

而對于特征尺寸為L的有限二維Ising模型，其磁化強(qiáng)度滿足標(biāo)度：

如果我們假定對應(yīng)σ～1/L，則非正則態(tài)給出和有 限尺度標(biāo)度理論一致的標(biāo)度行為。

05

非正則分布導(dǎo)致的關(guān)聯(lián)與黑洞輻射

非正則態(tài)的另一個(gè)重要的效應(yīng)是使系統(tǒng)無相互作用部分之間產(chǎn)生信息關(guān)聯(lián)。正則平衡態(tài)系統(tǒng)的各個(gè)無相互作用的子系統(tǒng)的分布都相互獨(dú)立，即總體的密度矩陣為子系統(tǒng)密度矩陣的直積。系統(tǒng)的總信息熵也是各子系統(tǒng)熵的直接相加，子系統(tǒng)之間不存在關(guān)聯(lián)。然而，當(dāng)系統(tǒng)處于非正則狀態(tài)時(shí)，總密度矩陣不再是各系統(tǒng)的直積，此時(shí)系統(tǒng)的總信息熵不再是各個(gè)子系統(tǒng)信息熵的簡單相加。這種非正則效應(yīng)導(dǎo)致的信息關(guān)聯(lián)是解釋黑洞信息丟失佯謬的有力候選者[47，48]。

廣義相對論預(yù)言任何物質(zhì)都無法逃逸出黑洞，然而如果考慮視界附近量子場的漲落，黑洞仍然會(huì)向外“輻射”能量。在視界面附近，真空漲落會(huì)導(dǎo)致帶正負(fù)能量的虛粒子對出現(xiàn)。如果負(fù)能量的虛粒子掉入黑洞，正能量的粒子就有可能變成實(shí)粒子進(jìn)而有可能逃逸出黑洞。對于無窮遠(yuǎn)的觀察者來說，該過程好像黑洞對外輻射出了粒子，這就是霍金輻射[49，50]�；艚疠椛涞淖V是熱輻射譜，其逆溫度β正比于黑洞的質(zhì)量M，即輻射出一個(gè)能量為ω的粒子的概率為�！玡xp(8πωM)。對于這樣的輻射譜，簡單的計(jì)算表明黑洞輻射殆盡后剩余輻射場的總熵大于輻射初態(tài)黑洞的面積熵。量子力學(xué)的幺正演化要求作為孤立系統(tǒng)的黑洞+輻射場的總熵(信息)保持不變，而輻射過程卻伴隨著熵增。這產(chǎn)生了表觀的矛盾：黑洞初態(tài)的信息在霍金輻射的過程中丟失了。

當(dāng)黑洞的質(zhì)量較小時(shí)，單個(gè)粒子的輻射會(huì)使黑洞的質(zhì)量減少，對進(jìn)一步輻射產(chǎn)生反作用。這種反作用也會(huì)影響黑洞的狀態(tài)本身，粒子對外的輻射會(huì)影響自身，進(jìn)而使得輻射譜變成非正則的[51]，導(dǎo)致其輻射譜偏離熱譜。對史瓦西黑洞，其逆溫度為β=8πM，熱容為C=-8πM2。通過熱容，我們可以估算黑洞溫度的漲落：Δβ2≈|β2/C|=8π。對于處于由公式(6)給出的非正則分布的輻射譜，可以證明[25]其粒子的非正則輻射譜近似為

因子中的ω2項(xiàng)就代表了對非正則態(tài)的偏離。該輻射譜也可以通過量子隧穿、黑洞場論、正則典型性等各種方法計(jì)算[51，52]。這種非正則輻射導(dǎo)致黑洞先后輻射出的兩個(gè)能量分別為ω1和ω2的粒子存在信息關(guān)聯(lián)：

這意味著連續(xù)輻射這兩個(gè)粒子的概率僅僅與這兩個(gè)粒子的總能量有關(guān)[53]。對于不同類型的有限尺寸黑洞，其非正則輻射譜都滿足公式(8)給出的關(guān)系。用這樣的非正則輻射譜計(jì)算輻射場與黑洞的總熵，則會(huì)發(fā)現(xiàn)它保持不變。從這一點(diǎn)來看，黑洞信息丟失問題不復(fù)存在，其“丟失”的信息都被隱藏在了輻射場的關(guān)聯(lián)中[47，48，53，54]，換句話說，如果我們對黑洞輻射出的粒子進(jìn)行關(guān)聯(lián)測量，則可以將“丟失”的信息“復(fù)原”出來(圖5)。由此可見，利用熵可積方程的非正則解可以得到滿足這種關(guān)聯(lián)的非正則輻射譜。

圖5 黑洞蒸發(fā)過程中“丟失”的信息被保留在輻射粒子之間的關(guān)聯(lián)中，如果對這些輻射進(jìn)行關(guān)聯(lián)測量，則可以得到這些信息

06

結(jié)束語

本文在總結(jié)我們過去系統(tǒng)工作的基礎(chǔ)上，闡述了這樣一種觀點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)物理通常被視為熱力學(xué)的微觀基礎(chǔ)，然而其所依賴的基本假設(shè)缺乏直接的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，遠(yuǎn)不及熱力學(xué)定律那般堅(jiān)實(shí)可靠，這表現(xiàn)了現(xiàn)象的宏觀與微觀描述的內(nèi)在張力。我們通過量子力學(xué)嚴(yán)格界定了內(nèi)能、功與熱的微觀表達(dá)，解決了經(jīng)典熱力學(xué)中“絕熱過程”定義的邏輯循環(huán)問題。由此引入的“量子熱力學(xué)可積性”框架，在量子層面自洽地得到了熱與熵的定義，避免了模糊的經(jīng)驗(yàn)性描述。在這一框架中，我們建立了統(tǒng)計(jì)分布滿足的熵可積方程，并證明正則分布是其滿足細(xì)致平衡條件時(shí)的唯一解。這一結(jié)果揭示了熱力學(xué)定律與平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)分布之間的深層關(guān)聯(lián)。更為重要的是，熵可積方程的解并不局限于正則分布。在有限體系或強(qiáng)環(huán)境耦合的情況下，系統(tǒng)可能處于非正則態(tài)，其表現(xiàn)為溫度的漲落與分布的非平庸修正。我們發(fā)現(xiàn)這些非正則態(tài)與有限尺度效應(yīng)之間存在直接對應(yīng)關(guān)系，尤其在臨界系統(tǒng)中，非正則分布能夠自然再現(xiàn)有限尺度標(biāo)度律。這為統(tǒng)計(jì)物理與臨界現(xiàn)象的研究提供了新的視角。與此同時(shí)，非正則分布所代表的子系統(tǒng)間關(guān)聯(lián)，為黑洞信息丟失問題解釋提供了新的可能。小黑洞的霍金輻射由于有限尺寸效應(yīng)而偏離嚴(yán)格的正則熱譜，這種非正則修正導(dǎo)致輻射粒子之間產(chǎn)生信息關(guān)聯(lián)，從而避免了嚴(yán)格熱譜所導(dǎo)致的信息丟失悖論。

綜上所述，本文展示了從熱力學(xué)定律出發(fā)推導(dǎo)平衡態(tài)分布的可能路徑，提出了“量子熱力學(xué)可積性”及其對應(yīng)的熵可積方程，從而為統(tǒng)計(jì)物理提供了一種不依賴遍歷性與等概率原理的新基礎(chǔ)。這一框架不僅澄清了熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理之間的邏輯關(guān)系，也揭示了有限系統(tǒng)、非平衡態(tài)乃至黑洞物理中的深刻聯(lián)系。

致 謝感謝北京大學(xué)全海濤教授、中國工程物理研究院研究生院董輝研究員、北京師范大學(xué)馬宇翰副教授的討論。

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