萊布尼茨
1.非凡的才能

萊布尼茨生于德國的萊比錫。1664年，萊布尼茨在萊比錫大學(xué)畢業(yè)，以一篇有關(guān)邏輯學(xué)的論文獲哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。1666年，他又以一篇有關(guān)方法論的論文《論組合的藝術(shù)》獲阿爾特道夫大學(xué)的哲學(xué)博士學(xué)位。同年，獲阿爾特道夫大學(xué)教授席位。此后，萊布尼茨即任教于該校，開始進(jìn)行哲學(xué)、數(shù)學(xué)、力學(xué)等方面的科學(xué)研究。

青年時代的萊布尼茨就十分關(guān)注應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展。當(dāng)時，在應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展中最引人注目的進(jìn)展是機(jī)械式計算機(jī)的發(fā)明。早在1649年，法國著名數(shù)學(xué)家巴斯噶就發(fā)明一種可進(jìn)行加減運(yùn)算的機(jī)械式計算機(jī)。自此之后，法國曾一度成為計算機(jī)技術(shù)的研究中心。正是在這一背景之下，萊布尼茨也來到巴黎，研究了以巴斯噶計算機(jī)為基礎(chǔ)的計算機(jī)技術(shù)。

在巴斯噶計算機(jī)的基礎(chǔ)上，萊布尼茨進(jìn)行了兩方面的改革。其一，萊布尼茨把巴斯噶計算機(jī)中的十進(jìn)制改為由他發(fā)明的二進(jìn)制。當(dāng)時，在明末清初來華的法國傳教士曾把中國陰陽八卦與自然哲學(xué)思想帶回法國。在中國陰陽八卦中的朦朧的二進(jìn)制觀念的影響下，萊布尼茨最先發(fā)明了二進(jìn)制，并立即把這種二進(jìn)制運(yùn)用到他的計算機(jī)中。對于早期的那種機(jī)械式計算機(jī)來說，雖然萊布尼茨的二進(jìn)制未能顯示出明顯的優(yōu)越性，但它對后來計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。其二，萊布尼茨對巴斯噶計算機(jī)的機(jī)件設(shè)備也進(jìn)行了一些改革，如加裝了梯形軸等裝置。由于進(jìn)行了上述二進(jìn)制和機(jī)件兩方面的改革，萊布尼茨終于在1671年發(fā)明了一臺新的機(jī)械式計算機(jī)。

由于萊布尼茨在哲學(xué)和科學(xué)上的才華，1672年3月，作為梅因茲選帝侯的大使，出使巴黎。在出使期間，萊布尼茨結(jié)識了在巴黎科學(xué)院任職的荷蘭科學(xué)家惠更斯，由于惠更斯的影響，萊布尼茨進(jìn)一步產(chǎn)生了對數(shù)學(xué)的興趣。

雖然在此之前，萊布尼茨也讀過一些數(shù)學(xué)著作，但對于當(dāng)時的數(shù)學(xué)的最新進(jìn)展，萊布尼茨基本上還不熟悉。正是在惠更斯的引導(dǎo)之下，萊布尼茨開始研究笛卡爾、費(fèi)爾瑪和巴斯噶等人的著作，通過對笛卡爾等人的著作的研究，萊布尼茨得以迅速地走向當(dāng)時數(shù)學(xué)的最前沿。

1673年，萊布尼茨又以梅因茲選帝侯的外交官員的身分出使英國。在倫敦期間，他結(jié)識了英國皇家學(xué)會的許多知名人士。在這些知名人士中，對萊布尼茨影響最大的是英國皇家學(xué)會的聯(lián)絡(luò)秘書歐登堡，由于歐登堡與英國科學(xué)界有廣泛的聯(lián)系，因此他為萊布尼茨廣泛了解英國科學(xué)的進(jìn)展提供了極大方便。同年，萊布尼茨在英國皇家學(xué)會演示了他所發(fā)明的二進(jìn)制的機(jī)械式計算機(jī)，并因此在同年被選為英國皇家學(xué)會會員。在英國期間，萊布尼茨除了繼續(xù)研究笛卡爾、費(fèi)爾瑪?shù)热说臄?shù)學(xué)著作之外，他還研究了英國著名數(shù)學(xué)家華里斯及巴羅等人的數(shù)學(xué)著作，特別是巴羅的《幾何講義》，對萊布尼茨的影響最大。通過上述研究，他開始認(rèn)識到求曲線的切線問題的重要性。這樣，萊布尼茨也就在英國產(chǎn)生了微積分思想的最初萌芽。

2.微積分的發(fā)明

不久以后，萊布尼茨返回巴黎，直至1676年被任命為漢諾威選帝侯圖書顧問而被召回德國。

在巴黎期間，萊布尼茨繼續(xù)研究笛卡爾的解析幾何，從中吸取了笛卡爾在《幾何》中所用的求曲線的切線方法。同時，萊布尼茨還繼續(xù)研究巴羅的《幾何講義》，從中吸取了巴羅的微分三角形法，并從巴羅的著作中意識到微分與積分的互逆性質(zhì)。與此同時，他還通過歐登堡繼續(xù)了解英國數(shù)學(xué)方面的最新進(jìn)展，根據(jù)萊布尼茨的自述，經(jīng)過一年多的努力，他在1674年發(fā)明了微積分的基本原理和主要方法。

萊布尼茨發(fā)明微積分的起點(diǎn)，是求曲線的切線作法及其計算問題。在研究過程中，萊布尼茨從巴羅在解決這一問題時所用的微分三角形法中得到啟發(fā)，創(chuàng)立了他自己的一種新方法——縱坐標(biāo)差分法。萊布尼茨所創(chuàng)立的這種新方法的基本特點(diǎn)，按照他自己的說法，乃是把曲線及其切線置于笛卡爾坐標(biāo)系中，求切線的問題即可相應(yīng)地轉(zhuǎn)變成求橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)變化率之差。

在創(chuàng)立縱坐標(biāo)差分法之后，萊布尼茨又相繼在原理和方法上作了一些新的研究。在1675年10月29日的一篇手稿中，萊布尼茨已決定用∫作為求和的符號；11月11日，他又在一篇題為《切線的反方法的例子》的手稿中，進(jìn)一步對微分和積分的符號進(jìn)行了探討。此后，他又在一些數(shù)學(xué)手稿中證明了微分和積分的互逆性，導(dǎo)出了微分法和積分法的一些基本原則。盡管在無窮小量這一概念上他與牛頓一樣含糊不清，但最遲在1676年，萊布尼茨已基本上完成了微積分的發(fā)明。

當(dāng)時，英國科學(xué)家牛頓也在研究微積分。因此萊布尼茨作為外交使節(jié)出使英國期間，曾通過歐登堡與牛頓有過通信往來。后來，當(dāng)萊布尼茨返回巴黎留任駐法大使時，以及返回德國任漢諾威圖書顧問以后，萊布尼茨仍然通過歐登堡與牛頓保持著一定的聯(lián)系。1676年，萊布尼茨在與歐登堡的通信中，得知牛頓的微積分研究已有顯著的進(jìn)展時，因此，他要求歐登堡告訴他有關(guān)這方面的消息，歐登堡把萊布尼茨的愿望轉(zhuǎn)給牛頓，牛頓即于1676年6月13日，寫了一份關(guān)于他的流數(shù)法的簡要說明，請歐登堡轉(zhuǎn)寄給萊布尼茨。

同年8月27日，萊布尼茨收到了歐登堡的信及附寄來的牛頓的關(guān)于流數(shù)法的簡要說明。此后，萊布尼茨直接致信牛頓，向牛頓簡述了他自己在微積分方面取得的成果，并要求牛頓能就他的無窮級數(shù)的處理方法作進(jìn)一步說明。同年10月24日，牛頓給萊布尼茨回信，就他的流數(shù)法作了較為詳盡的說明，此時牛頓估計萊布尼茨也有可能發(fā)明了微積分，因此他在回信中寫入了一個著名的字謎(以字謎的方式表示自己已作出某一發(fā)現(xiàn)或發(fā)明的方法起于17世紀(jì)初，在1610年，伽利略發(fā)現(xiàn)金星的位相之后，他意識到這是證實(shí)哥白尼日心說的重要發(fā)現(xiàn)，但他也認(rèn)識到，完全弄清金星的位相變化還需要時間，因此他先發(fā)表了一個由35個字母組成的字謎，表示他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了金星的位相。此后，這種以字謎暗示已作出某一發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法即流傳于17世紀(jì)）。

牛頓給萊布尼茨回信中的字謎是：6accdaeff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx，字謎就是由這些字母和數(shù)字組成的一個不規(guī)則的句子。這個字謎的謎底是：根據(jù)所給的方程式，在任意多變數(shù)方程求出流數(shù)及其逆運(yùn)算。牛頓所以給萊布尼茨寄去這個字謎，實(shí)際上是向萊布尼茨暗示，他已經(jīng)發(fā)明了微積分。

萊布尼茨收到牛頓的回信之后，研究了牛頓對于流數(shù)法的說明，也研究了牛頓的字謎。當(dāng)然，萊布尼茨未能解開牛頓的字謎，但萊布尼茨也估計到，這是牛頓表明他已經(jīng)發(fā)明了微積分的隱語。因此，他在1677年6月21日給牛頓回信時，也向牛頓坦率地介紹了他發(fā)明微積分的縱坐標(biāo)差分法："我長期在用一種更普遍得多的方法來處理切線問題，這就是縱坐標(biāo)差分法。"并認(rèn)為："求切線無非就是求相應(yīng)于已知的(相等的）橫坐標(biāo)之差的縱坐標(biāo)差。"此后，他們兩人各自致力于數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的研究，誰也沒有公開發(fā)表有關(guān)微積分的研究成果。直到1684年，即他們彼此都知道對方已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了微積分的7年之后，萊布尼茨在德國的《博物者學(xué)報》發(fā)表了一篇關(guān)于他的微積分方法的簡要介紹。因?yàn)檫@篇簡介實(shí)際上只是一篇介紹報道性的文章，因此在當(dāng)時并未引起人們的注意。

1686年，萊布尼茨在《博物者學(xué)報》上發(fā)表了一篇有關(guān)微積分的內(nèi)容比較具體的論文：《求極大、極小和切線的新方法，也能用于分?jǐn)?shù)和無理量的情形以及這個方法的一個巧妙的計算》。在這篇論文中，萊布尼茨公開發(fā)表了微積分的基本原理和主要方法。

在發(fā)表上述論文之前，萊布尼茨已于1675年10月29日的數(shù)學(xué)手稿中創(chuàng)用積分符號∫?！沂莝am(總和）一詞的第一個字母的拉長寫法。此后，萊布尼茨在1684年發(fā)表的那篇簡介中創(chuàng)用了微分符號d。在1686年發(fā)表的這篇論文中萊布尼茨首次同時使用了dx，dy，∫x，∫y這樣的微分符號和積分符號。其中dx表示兩個相鄰的x之間的差，dy表示兩個相鄰的y之間的差，而∫x與∫y則相反。

萊布尼茨在1686年發(fā)表的這篇論文的標(biāo)題雖然很長，但篇幅卻很短，只有6頁。但由于其內(nèi)容新穎，方法新奇，符號新巧，因此，立即引起歐洲數(shù)學(xué)界的極大關(guān)注，而萊布尼茨亦因此先于牛頓成為人們知曉的微積分這一新數(shù)學(xué)方法的發(fā)明者。