糾纏熵通常被當(dāng)作觀察量子臨界性的窗口，但這扇窗口看到什么，竟然和“怎么切”密切相關(guān)。我們近期發(fā)表在Physical Review Letters上的研究發(fā)現(xiàn)，不同的糾纏切割方式會(huì)在切割邊界上誘導(dǎo)出不同的低能結(jié)構(gòu)，因而讓糾纏熵混入額外的邊界信息。換句話說，糾纏切割有時(shí)并不只是數(shù)學(xué)步驟，它在物理上可以等效為一條邊界。

撰文|朱彥璋、王哲（西湖大學(xué)物理系 量子多體計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 ）

大家可能見過這樣一個(gè)小實(shí)驗(yàn)： 把一個(gè)蘋果 攔腰橫切 ，切面會(huì)露出一個(gè)清晰的五角星 ； 如果換個(gè)方向切，這顆 “ 星 ” 就 不見 了。 蘋果本身沒有變，變的只是切割方式，但我們觀察到的結(jié)構(gòu)卻完全不同。 這個(gè)簡(jiǎn)單的例子揭示了一個(gè)常被忽略的事實(shí)：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)足夠復(fù)雜時(shí)，我們?nèi)绾吻懈?、如何觀察，會(huì)直接影響我們 能夠 看到的結(jié)構(gòu)。

圖一：橫切蘋果的“五角星”

糾纏與切割

在量子物理中，糾纏 被 用來描述 復(fù)合 系統(tǒng) 內(nèi)部各部分之間 的量子關(guān)聯(lián)。為了研究這種關(guān)聯(lián)，物理學(xué)家通常把系統(tǒng) 劃分成兩個(gè) 部分 ， 通過 對(duì) 其中一部分 的自由度 求偏跡 （ partial trace ） ， 從而 提煉出 另一部分 的 狀態(tài) ， 并用一個(gè)量來衡量 這兩部分 之間剩下多少關(guān)聯(lián)，這個(gè)量就是糾纏熵 （ entanglement entropy ） 。在大量模型中，人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)體系接近量子相變點(diǎn)時(shí)，糾纏熵的變化方式往往具有普適性，能夠反映體系的臨界行為，因此糾纏逐漸被當(dāng)作一種探測(cè)體相性質(zhì)的重要工具 ，尤其是在一些非常規(guī)的量子相變中[1]。在這一過程中，一個(gè)幾乎被默認(rèn)接受的前提是：只要體系足夠大，糾纏 熵就 能很好地 反映體相性質(zhì)，而不依賴于具體的 二分 切割方式。

近年來，對(duì)二維量子磁體的研究發(fā)現(xiàn)了一個(gè)耐人尋味的現(xiàn)象：在同一個(gè)量子臨界點(diǎn)上，僅僅改變糾纏切割的方向，就可能得到不同的糾纏標(biāo)度行 為 。有些切割方式看起來與理論預(yù)期高度一致，而有些則明顯偏離[2]。這就像是在研究同一個(gè)蘋果，卻因?yàn)榍蟹ú煌?，有時(shí)看到五角星，有時(shí)卻什么也看不到。這些差異究竟意味著什么？ 是有的切割方式未能 反映量子系統(tǒng)的性質(zhì)，還是 有的 切割方式本身引入了額外的信息？

要回答這個(gè)問題，關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)到一件事：糾纏切割雖然不會(huì)改變體系的哈密頓量，但它確實(shí)引入了一條清晰的分界線，這條線在物理效果上扮演了類似“邊界”的角色。 事實(shí)上，先前已有研究發(fā)現(xiàn)，相比于光滑的 （c ornerless ） 糾纏切割，有邊角的糾纏切割方式會(huì)在糾纏熵中引入額外的 對(duì)數(shù) 修正項(xiàng)[3]。 這也啟發(fā)了我們對(duì)于切割方式的關(guān)注。

在研究臨界現(xiàn)象時(shí)人們?cè)缫阎溃?在具有開放邊界條件的系統(tǒng)中 ， 真實(shí)物理邊界并不總是 平凡 的。不同的邊界條件，可能對(duì)應(yīng)完全不同的邊界行為，有的邊界無序，有的卻能夠形成自己的低能結(jié)構(gòu)[4, 5]。 同時(shí)，研究物理系統(tǒng)邊緣行為的科學(xué)家們?cè)?jīng)提出過Li -Haldane-Poilblanc 猜想：對(duì)于有些量子系統(tǒng)，真實(shí)開邊 體系 的邊緣激發(fā)譜 （e dge excitation spectrum ） 與糾纏譜 （e ntanglement spectrum ） 的低能部分有相似的物理性質(zhì)[6, 7]，這暗示了我們真開邊與糾纏切割在有些系統(tǒng)中有對(duì)應(yīng)關(guān)系。 如果糾纏切割在物理上可以被看作一種等效邊界，那么一個(gè)自然的問題就是：不同的糾纏切割方式，是否會(huì)對(duì)應(yīng)不同的“邊界行為”，從而影響糾纏 熵 中所包含的信息？為了檢驗(yàn)這一點(diǎn)，我們研究了二維 J-Q ? 自旋模型 在不同切割方式下的邊緣臨界行為[8]。

兩種切割，兩種邊界物理

二維 J-Q ? 模型 是 研究去禁閉量子 臨界 點(diǎn)（DQCP）的重要模型[9]，它的哈密頓量包含一個(gè)海森堡相互作用項(xiàng)，其基態(tài)具有尼爾反鐵磁序，以及一個(gè)用于幫助形成 價(jià)鍵固體態(tài) ( VBS) 的六體相互作用項(xiàng)。

在 J-Q ? 模型中，我們比較了兩種幾何結(jié)構(gòu)明顯不同、但都很常見的糾纏切割方式：沿晶格方向的標(biāo)準(zhǔn)切割 （正切） ，以及與晶格成45°的傾斜切割 （斜切） 。數(shù)值結(jié)果顯示，這兩種切割方式在糾纏邊界上誘導(dǎo)出了本質(zhì)不同的低能行為。在標(biāo)準(zhǔn)切割下，切割線附近的關(guān)聯(lián)隨距離衰減，表現(xiàn)得像一個(gè)普通 （o rdinary ） 、無序的邊界，糾纏主要由體相的臨界漲落控制；而在傾斜切割下，即使體系整體仍處在量子臨界點(diǎn)，切割線附近卻保持著有限的有序結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出 非凡（ extraordinary） 邊界的特征。這說明，糾纏切割并不是一個(gè)中性的選擇，它本身會(huì)影響糾纏邊界的物理行為。

圖二：J -Q 3 模型晶格的正切與斜切。（a , b）沿著晶格方向的正切，( c,d) 與晶格呈4 5 °夾角的斜切，( a,c) 在開放邊界條件( OBC) 下研究真實(shí)物理邊緣(黑色自旋 ) ，( b,d) 在周期邊界條件( PBC) 下研究糾纏哈密頓量的邊緣，原系統(tǒng)被糾纏二分切割為系統(tǒng)(黑色自旋 ) 與環(huán)境(白色自旋 ) 。

糾纏熵只是一個(gè)數(shù)， 相比之下，糾纏譜包含了更豐富的信息，我們還可以進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行計(jì)算和分析。 糾纏譜描述的是，當(dāng)我們只觀察體系的一部分時(shí)，這一部分內(nèi)部允許出現(xiàn)的激發(fā)模式。 正如前文所言， 在許多量子體系中，人們發(fā)現(xiàn)糾纏譜與真實(shí)物理邊界上的激發(fā)譜非常相似，這意味著糾纏對(duì)邊界附近發(fā)生的事情高度敏感。在我們的研究中，不同切割方式下的糾纏譜，與相應(yīng)幾何條件下的 邊緣激發(fā)譜 行為高度一致， 因此如果某種切割 方式會(huì)在 真實(shí)邊界 上引入 額外的低能結(jié)構(gòu)，那么類似的結(jié)構(gòu)也會(huì)出現(xiàn)在糾纏邊界上。 它們 會(huì) 不可避免地進(jìn)入糾纏譜，并進(jìn)一步影響糾纏熵的行為。

圖三：( a,b) 開放邊界條件( OBC) 下的邊緣激發(fā)譜， (c,d) 糾纏譜。( a,c) 對(duì)應(yīng)正切，( b,d) 對(duì)應(yīng)斜切。可以看到在相同切割方式下的邊緣激發(fā)譜與糾纏譜極其相似，驗(yàn)證了L i-Haldane-Poilblanc 猜想，并且不同的切割方式體現(xiàn)出了截然不同的激發(fā)行為，進(jìn)一步說明了這會(huì)影響糾纏熵的行為。

我們的結(jié)果表明，糾纏熵并不總是一個(gè)只反映體相性質(zhì)的量。只有當(dāng)糾纏切割對(duì)應(yīng)的邊界是普通的、沒有自身低能結(jié)構(gòu)時(shí)，糾纏才能作為體相臨界性的可靠探針。正如蘋果里的五角星所提醒的那樣，在研究復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，觀察方式本身也可能塑造我們看到的結(jié)構(gòu)。在使用糾纏 行為 研究量子多體系統(tǒng)時(shí)，也許我們不僅要問體系處在什么相，還需要多問一句：我們是如何把它切開的？

感 謝合作者 們（朱彥璋、劉澤楠、王哲、王艷成、嚴(yán)正） 在研究中的貢獻(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

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[ 9 ] A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007).

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文章轉(zhuǎn)載自“返樸”公眾號(hào)