“ 中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”華羅庚先生1950年歸國(guó)后，開(kāi)創(chuàng)了多復(fù)變?cè)谥袊?guó)的研究并創(chuàng)建了多復(fù)變學(xué)派。陸啟鏗先生是華先生歸國(guó)后首批親傳弟子，是華羅庚多復(fù)變學(xué)派的第二代傳人，是新中國(guó)自主培養(yǎng)的國(guó)際一流數(shù)學(xué)家，在多復(fù)變、復(fù)幾何和數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域做出了奠基性和開(kāi)創(chuàng)性的工作，取得了國(guó)際矚目的成就，堪稱自主創(chuàng)新的典范。其工作與幾何密切交融，在國(guó)際上較早地將多復(fù)變函數(shù)論與復(fù)幾何聯(lián)系起來(lái)。比如，他1957年關(guān)于多復(fù)變施瓦茨(Schwarz) 引理及典型域上解析不變量的工作，一個(gè)推論是多復(fù)變中關(guān)于不變度量的一個(gè)基本定理：卡拉西奧多里(Carathéodory)度量不超過(guò)伯格曼(Bergman) 度量; 另一推論作為著名定理誤冠以他人姓氏寫入多復(fù)變知名教材。還比如，他發(fā)現(xiàn)并證明了：具常全純截曲率完備伯格曼度量的有界域解析等價(jià)于單位球，從而以幾何條件刻畫了單位球。該成果在國(guó)際上被稱為“陸啟鏗定理”，在近期一些重要工作中仍發(fā)揮關(guān)鍵作用; 在同一篇文章中，他提出了著名的、備受關(guān)注的關(guān)于伯格曼核無(wú)零點(diǎn)的“陸啟鏗猜想”“陸啟鏗問(wèn)題”。

陸啟鏗（左）在華羅庚家中

華先生、陸先生研究多復(fù)變的一個(gè)顯著特點(diǎn)是融合微分幾何等其他學(xué)科于其中，形成了中國(guó)多復(fù)變研究的一個(gè)傳統(tǒng)與特色。他們兩位均位列國(guó)際上多復(fù)變與復(fù)幾何交叉研究的主要先驅(qū)者。習(xí)近平總書記在2014年兩院院士大會(huì)和2016年“科技三會(huì)”上的兩次公開(kāi)講話、在2023 年《求是》雜志上發(fā)表的署名文章《加強(qiáng)基礎(chǔ)研究實(shí)現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng)》中，三次褒揚(yáng)“多復(fù)變函數(shù)論”，肯定了華先生與陸先生等開(kāi)創(chuàng)與發(fā)展中國(guó)“多復(fù)變函數(shù)論” 的貢獻(xiàn)，激勵(lì)著華學(xué)派的后繼傳承者不斷前行。

多復(fù)變，是研究復(fù)流形及其全純映射的學(xué)科，是商高-趙爽“形體不變量”思想演化的一種體現(xiàn)。趙爽除了為《周髀算經(jīng)》作序作注外，還撰寫一篇論文。在商高“環(huán)而共盤”思想的基礎(chǔ)上，文中提出“形詭而量均，體殊而數(shù)齊”，可稱為商高-趙爽“形體不變量”思想，該思想貫穿于數(shù)學(xué)的發(fā)展中。在多復(fù)變中，“形體”演化為復(fù)流形乃至復(fù)空間，“詭殊”演化為全純映射，“量均數(shù)齊”演化為全純不變量。多復(fù)變又稱復(fù)解析幾何。鑒于解析函數(shù)介于光滑函數(shù)(微分) 與多項(xiàng)式(代數(shù)) 之間，多復(fù)變便與復(fù)微分幾何與復(fù)代數(shù)幾何有著天然的密切聯(lián)系。微分幾何是學(xué)習(xí)與研究多復(fù)變的一個(gè)基礎(chǔ)。華先生、陸先生研究的典型域及其余緊商空間(局部厄米特(Hermitian) 對(duì)稱空間) 和典型流形均是多復(fù)變與復(fù)微分幾何/復(fù)代數(shù)幾何研究中典型且基本的全純域、斯坦因(Stein) 流形和射影代數(shù)流形。

《微分幾何學(xué)及其在物理學(xué)中的應(yīng)用》第一版書影

1982年3月首?。ㄗ螅?；1986年3月第二次印刷（右）

《微分幾何學(xué)及其在物理學(xué)中的應(yīng)用》是根據(jù)作者在1970年所編寫的《旋量分析與引力輻射》和1972 年編寫的《規(guī)范場(chǎng)與纖維叢》以及為中國(guó)科學(xué)院研究生院編寫的微分幾何學(xué)等講義為基礎(chǔ)而寫成的

現(xiàn)代微分幾何學(xué)的一個(gè)重要方面是其在物理學(xué)中的應(yīng)用。本書的一個(gè)來(lái)源是陸啟鏗先生在1972年寫的《規(guī)范場(chǎng)與纖維叢》講義，這在當(dāng)年業(yè)界內(nèi)是有名的并在專家中流通。正是陸先生率先明確指出并證明了物理上的規(guī)范場(chǎng)和數(shù)學(xué)上的纖維叢之間的清晰對(duì)應(yīng)聯(lián)系，比如場(chǎng)勢(shì)對(duì)應(yīng)于聯(lián)絡(luò)、場(chǎng)強(qiáng)對(duì)應(yīng)于曲率、規(guī)范變換對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)移函數(shù)等。正如唐納森(Donaldson) 后來(lái)指出的，正是這種聯(lián)系產(chǎn)生了廣泛深入的影響。此外，受其關(guān)于多復(fù)變工作的影響，陸先生還與合作者提出了典型時(shí)空的概念及其與天體物理的聯(lián)系。

今天看來(lái)，該書仍不失為學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何、特別是張量方法的一本優(yōu)秀入門書，對(duì)數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)也是一本有特色、有價(jià)值的參考書。我們?nèi)阅軓闹惺芤?，獲得啟發(fā)。在再版中，將繁體字改為了簡(jiǎn)體字，對(duì)目前不太通用的以往術(shù)語(yǔ)進(jìn)行了替換并給出了注釋，同時(shí)還添加了人名與術(shù)語(yǔ)的索引。在再版校對(duì)中，得到張良肇同學(xué)的協(xié)助，在此表示謝意，當(dāng)然張同學(xué)表示在校對(duì)過(guò)程中也獲益匪淺。

本文摘編自《微分幾何學(xué)及其在物理學(xué)中的應(yīng)用》（陸啟鏗著 周向宇校. 北京：科學(xué)出版社，2026.1）一書“再版說(shuō)明”，標(biāo)題為編者所加。

責(zé)任編輯: 胡慶家

本書介紹高維微分幾何學(xué)的基本知識(shí)，特別著重于與現(xiàn)代理論物理學(xué)有關(guān)的以及與大范圍微分幾何學(xué)有關(guān)的內(nèi)容。全書共分7 章：1. 張量分析；2. 四維空間；3. 旋量分析；4. N-P 方程；5. 微分流形；6. 黎曼幾何；7. 測(cè)地線的指數(shù)和比較定理。

本書可供高等學(xué)校數(shù)學(xué)系、物理系高年級(jí)學(xué)生、研究生及數(shù)學(xué)與物理工作者參考。

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