數(shù)學(xué)家族（下）
3.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展

約翰早年也是萊布尼茨的擁護(hù)者之一，并與萊布尼茨進(jìn)行過一些卓有成效的合作。與此同時(shí)，約翰也曾與雅克進(jìn)行過合作。但是，到了后來，約翰因急于成名，開始與其兄進(jìn)行激烈的競爭，有時(shí)甚至把其兄的研究成果作為自己的成果搶先發(fā)表。雅克因此對約翰的行為不滿。后來，兩兄弟即陷入公開的沖突和對立中，萊布尼茨曾想從中調(diào)解，但雅克認(rèn)為萊布尼茨是蓄意貶低他的數(shù)學(xué)成就，因此雅克對萊布尼茨也不滿，并轉(zhuǎn)到反對萊布尼茨的方面。

約翰接任巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授席位時(shí)，年僅39歲。他活了81歲，長壽使他有充裕的時(shí)間來完成他的數(shù)學(xué)著作，因此約翰成為近代數(shù)學(xué)史上少有的幾位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一。他對近代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，除了與其兄一道建立變分法之外，主要在純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)兩方面推動(dòng)了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

在純粹數(shù)學(xué)方面，其中主要是在微積分的基礎(chǔ)理論研究方面，約翰在曲線求長和曲面求積的微分方程，在各種不同的積分方法等問題的研究上，均取得過一些新的成果，這些新成果進(jìn)一步豐富和發(fā)展了萊布尼茨微積分的原理和方法。

約翰對純粹數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，還表現(xiàn)在對微積分所進(jìn)行的系統(tǒng)化和理論化的研究工作上。1691年，約翰出版了《微分學(xué)初步》，這一著作被當(dāng)時(shí)的大陸許多大學(xué)作為微分學(xué)的基礎(chǔ)教材。1742年，約翰又發(fā)表了《積分學(xué)教程》，這一著作也同時(shí)被一些大學(xué)作為積分學(xué)的基礎(chǔ)教材。因此，約翰的這兩大著作被譽(yù)為早期微積分的發(fā)展中的新的里程碑。

在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面，約翰把微積分引入到普通力學(xué)與天體力學(xué)方面。在其《微分學(xué)初步》中，就曾探討過微分這一新的數(shù)學(xué)方法在力學(xué)以及整個(gè)物理學(xué)中的應(yīng)用問題。1727年，約翰發(fā)表了《論運(yùn)動(dòng)的交換規(guī)律》一文，在普通力學(xué)問題的研究中引入了微積分方法。1734年，又發(fā)表了《討論行星橢圓軌道，特別是軌道的傾斜度》一文，進(jìn)一步推進(jìn)了微積分在天體力學(xué)中的應(yīng)用。

可以說，約翰是繼牛頓之后，把微積分引入普通力學(xué)和天體力學(xué)的又一代表人物。微積分進(jìn)入力學(xué)的結(jié)果，不僅推動(dòng)了力學(xué)及相關(guān)的物理學(xué)和天文學(xué)的發(fā)展，而且推動(dòng)了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。

4.數(shù)學(xué)家族的第二代兄弟

繼第一代貝努利兄弟之后，約翰的兩個(gè)兒子：大兒子尼古拉.貝努利(1695-1726年）和小兒子丹尼爾.貝努利(1700-1782年）也成了著名數(shù)學(xué)家。人們因此把他們稱為貝努利數(shù)學(xué)家族的第二代貝努利兄弟，亦稱為小貝努利兄弟。

與其父輩相似，尼古拉雖在數(shù)學(xué)上作過一些貢獻(xiàn)，但與他的伯父一樣早逝，而丹尼爾則與其父一樣，活到82歲高齡，在近代數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生過更大影響。

丹尼爾生於約翰在格羅寧根大學(xué)期間，后隨父返回巴塞爾大學(xué)。他早年在巴塞爾大學(xué)學(xué)醫(yī)，此后不久，去德國和意大利留學(xué)。1725-1733年間，丹尼爾應(yīng)聘去俄國彼得堡科學(xué)院工作，成為彼得堡科學(xué)院的第一批外籍院士。1733-1755年，回巴塞爾大學(xué)任解剖學(xué)和植物學(xué)等課教授。1750年以后，任巴塞爾大學(xué)的哲學(xué)教授。在數(shù)學(xué)研究中，丹尼爾綜合了第一代貝努利兄弟的成就，在微積分、概率論以及應(yīng)用數(shù)學(xué)方面，均作出了杰出貢獻(xiàn)。

在微積分方面，丹尼爾在1724年即出版了他的第一部數(shù)學(xué)著作《幾門數(shù)學(xué)練習(xí)》，此后，他又發(fā)表了一些關(guān)于微積分的著作。在這些著作中，他研究了微分方程與偏微分方程的解法，特別是偏微分方程研究方面，推動(dòng)了微積分的發(fā)展。

在概率論方面，丹尼爾研究了《猜測的藝術(shù)》等早期概率論著作，首次把微積分方法列入概率論研究。1730年，丹尼爾發(fā)表了《賭博法新論》，1759年，又發(fā)表了《關(guān)于猜測的新問題的分析研究》。在這兩部概率論專著中，丹尼爾將概率論首次用于人口問題的統(tǒng)計(jì)分析，提出了正態(tài)分布誤差理論，為人口理論的發(fā)展提供了數(shù)學(xué)方法。

在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面，他把微積分方法全面引入物理學(xué)研究，并因此成為數(shù)學(xué)物理方法的奠基人。他還應(yīng)用他的數(shù)學(xué)物理方法，推進(jìn)了流體動(dòng)力學(xué)與氣體動(dòng)力學(xué)的研究。1738年，丹尼爾建立了流體動(dòng)力學(xué)與氣體動(dòng)力學(xué)中的基本方程，即流體速度、壓強(qiáng)、勢能之和為一常量的流體運(yùn)動(dòng)方程，人們通稱之為貝努利方程或貝努利定理。同年，丹尼爾出版了《流體動(dòng)力學(xué)》一書，書中除奠定了流體力學(xué)的一般理論基礎(chǔ)之外，還對流體的噴射推進(jìn)現(xiàn)象進(jìn)行了最早的研究。這一研究，使他成為近代噴射理論研究的先驅(qū)之一。

在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面，丹尼爾不僅把微積分引入了流體力學(xué)研究，而且也引入了天體力學(xué)研究。早在1734年，丹尼爾就與其父約翰合作，研究了行星軌跡的力學(xué)問題，并以《行星軌道與太陽赤道不同交角的原因》這一天體力學(xué)論文而獲巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)金。

由于丹尼爾在多種數(shù)學(xué)領(lǐng)域中所作的重要貢獻(xiàn)，他因此成為貝努利家族中與雅克和約翰齊名的著名數(shù)學(xué)家。

5.數(shù)學(xué)家族與歐拉和哥德巴赫

在貝努利家族先后產(chǎn)生了11名數(shù)學(xué)家，這個(gè)家族因此成為數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家族。貝努利家族不僅在微積分、變分法、概率論以及應(yīng)用數(shù)學(xué)諸方面作出了重要貢獻(xiàn)，而且在他們的培養(yǎng)和直接影響下，出現(xiàn)了以歐拉(1707-1783年）和哥德巴赫(1690-1764年）為代表的一些著名的數(shù)學(xué)家。

歐拉是約翰在巴塞爾大學(xué)任教時(shí)的學(xué)生。他出生在巴塞爾附近的一個(gè)牧師家庭。他的父親曾要他去學(xué)神學(xué)，但年少的歐拉卻執(zhí)意追隨約翰學(xué)數(shù)學(xué)。由于成績優(yōu)異，15歲時(shí)大學(xué)畢業(yè)，16歲開始發(fā)表數(shù)學(xué)論文，19歲時(shí)以船的立桅問題獲巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)金。后來，由丹尼爾推薦，被聘為彼得堡科學(xué)院院士，并在1733年前往彼得堡接任丹尼爾的數(shù)學(xué)教授席位。此后在彼得堡科學(xué)院工作8年(1733-1741年），1741年，歐拉應(yīng)普魯士腓特烈大帝之邀去柏林，在柏林科學(xué)院工作了25年。在此期間，歐拉給彼得堡科學(xué)院寄去了大批數(shù)學(xué)論文。1766年，歐拉在雙目即將失明的情況下，仍應(yīng)葉卡特琳娜女王之邀，重返彼得堡，一直在彼得堡科學(xué)院工作到臨終。

歐拉在數(shù)學(xué)上的重要貢獻(xiàn)，是在貝努利家族的數(shù)學(xué)成就的基礎(chǔ)上，全面推進(jìn)了純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)在各個(gè)分支方面的發(fā)展。在純粹數(shù)學(xué)方面，他的主要著作《無窮小分析引論》(兩卷，1748年出版）、《微分原理》(1755年出版）、《積分原理》(三卷，1768-1770年出版）豐富和發(fā)展了微積分、微分方程、變分法、微分幾何、數(shù)論等各數(shù)學(xué)分支的內(nèi)容。在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面，他以微積分為主要數(shù)學(xué)方法，對力學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)以及多種工程技術(shù)進(jìn)行廣泛的研究，并取得了有影響的成果，在力學(xué)中，歐拉繼承和發(fā)展了丹尼爾的流體力學(xué)成就，進(jìn)一步奠定了流體力學(xué)的理論基礎(chǔ)，并以流體力學(xué)與船舶力學(xué)相結(jié)合的論文《論船舶的左右及前后搖晃》在1759年獲巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)金。在光學(xué)方面，他完成了折射望遠(yuǎn)鏡、反射望遠(yuǎn)鏡、顯微望遠(yuǎn)鏡的許多計(jì)算問題，從而推動(dòng)了幾何光學(xué)的發(fā)展。

歐拉是科學(xué)史上罕見的多產(chǎn)科學(xué)家之一。據(jù)說他的科學(xué)論著若全部出齊，估計(jì)多達(dá)74卷之多，而且其中不少論著是在他雙目失明后完成的。他的科學(xué)成就，特別是他的科學(xué)精神，確實(shí)是近代科學(xué)史上光輝的一頁。

哥德巴赫生于德國，早年留學(xué)于英國牛津大學(xué)法學(xué)系。他在歐洲各國旅行期間，由于結(jié)識貝努利家族而開始對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，并開始進(jìn)行業(yè)余數(shù)學(xué)研究。1725年，哥德巴赫作為普魯士公使出使俄國。1733年歐拉來到俄國之后，哥德巴赫即與歐拉共同探討一些數(shù)學(xué)問題。1741年歐拉前往柏林之后，哥德巴赫移居莫斯科。自此之后直到哥德巴赫去世的1764年，哥德巴赫與歐拉始終保持著通信聯(lián)系。他的不少數(shù)學(xué)成就，都是與歐拉通信商討過程中取得的。

哥德巴赫在近代數(shù)學(xué)上的重要貢獻(xiàn)是在數(shù)論方面。1742年6月7日，哥德巴赫在給歐拉的信中提出：每一偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和；每一奇數(shù)或者是一個(gè)素?cái)?shù)，或者是三個(gè)素?cái)?shù)之和；推而言之，任何一個(gè)整數(shù)n≥6時(shí)，都可以用三個(gè)素?cái)?shù)的和表示。同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中指出：要解決定這一問題的關(guān)鍵在于充分證明每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和。因?yàn)槠渌麊栴}可以從這一問題中推導(dǎo)出來。由于這一問題是哥德巴赫最先以猜想的形式提出的，因此這一問題被后來的數(shù)學(xué)家稱為"哥德巴赫猜想"，或稱為哥德巴赫——?dú)W拉問題。哥德巴赫猜想的提出，對近代數(shù)論的發(fā)展產(chǎn)生過極大的推動(dòng)作用。

此外，哥德巴赫在微積分與級數(shù)方面也有過一些重要貢獻(xiàn)。

在貝努利家族的影響下，微積分方法在德國也得到比較迅速的普及。去法國傳播微積分的工作主要是由約翰的學(xué)生、法國數(shù)學(xué)家羅彼德(1661-1705年）進(jìn)行的，并因此為法國在18世紀(jì)末和19世紀(jì)初的近代數(shù)學(xué)的繁榮打下了初步基礎(chǔ)。

繼牛頓和萊布尼茨之后，貝努利家族及其數(shù)學(xué)成就對歐洲大陸數(shù)學(xué)產(chǎn)生了廣泛的影響。