|作者：汪克林 1 曹則賢 2，?

(1 中國科學技術大學近代物理系)

(2 中國科學院物理研究所)

本文選自《物理》2026年第3期

摘要在量子力學中，作用于希爾伯特空間中的矢量ψ上滿足對易關系J×J=i?J的算符即可稱為角動量。角動量與SU(2)群的生成元有相同的對易關系，由后者得到的作為{J2，Jz}共同本征態(tài)的表示|jm>常常會被當作量子力學的角動量表示。然而，這樣得到的表示是純代數(shù)的，是可能的數(shù)學表示之一。軌道角動量J=r×p是物理量，J2似無明確的物理意義，軌道角動量的表示問題應該從物理的角度出發(fā)加以考察。本文將軌道角動量算符用升降算符ak+，ak，k=1，2，3，表示，基于與空間參照系相結合的占據(jù)態(tài)空間表示{n1，n2，n3；nk=0，1，2，…}探討J2，Jz的本征值問題。利用Jz與守恒量nb=n1+n2的對易性，J2與守恒量nt=n1+n2+n3的對易性，可以輕松得到算符J2和Jz各自的本征態(tài)/本征值表達式，其表現(xiàn)出與算符J2和Jz的固有對稱性相關聯(lián)的結構。只有偶發(fā)的(J2，Jz)共同本征態(tài)，這真實地反映了J2與Jz之間的角色關系。我們的理論可為涉及角動量的量子力學問題，如朗道能級、自旋—軌道耦合等，提供簡單有效的求解路徑，并有助于發(fā)掘本征值/本征態(tài)的內在結構。

關鍵詞角動量，軌道角動量，轉動群生成元，本征值問題，共同本征態(tài)集，升降算符，占據(jù)數(shù)表示，固有對稱性

1 導 言

量子理論發(fā)軔于普朗克常數(shù)h的引入，最初是在黑體輻射的研究中作為系數(shù)使得hν具有能量的量綱[1，2]。然而，很快普朗克就在1906年認識到常數(shù)h的意義在于其自身是作用量的量子，1911年更是明確提出其是q—p空間——即相空間——體積的基本單元或曰量子[3]。普朗克常數(shù)h與角動量具有相同的量綱，圍繞原子中電子運動的量子化努力實際上是量子化角動量及其分量，即將它們表述為?=h/2π的整數(shù)倍[4]。角動量理論是量子力學的關鍵部分，角動量理論的數(shù)學工具廣泛應用于原子物理、原子核物理和基本粒子理論。

本文探討軌道角動量表示的問題。因為顧及歷史上的表述習慣，會出現(xiàn)符號L和J混用的局面，不影響對問題的討論。

經(jīng)典力學里的角動量定義為L=x×p，寫成分量形式為Lα=εαβγxβpγ，其中εαβγ是反對稱的Levi—Civita符號，滿足關系εijkεilm=δjlδkm-δjmδkl。角動量有泊松括號{Lα,Lβ}=εαβγLγ。又，在經(jīng)典力學里容易證明泊松括號與對易關系[Lα,Lβ]=LαLβ-LβLα之間僅差一個獨立常數(shù)，即[Lα,Lβ]=λ{Lα,Lβ}。在量子力學中備受關注的是對易關系，若采用直角坐標系，角動量的對易關系為[Lα,Lβ]=i?εαβγLγ，簡記為L×L=i?L。哈密頓力學的泊松括號表示是量子力學構建的基礎。泊松括號，以及相應的對易關系，對于闡明哪個變量是運動常數(shù)，在量子力學中則是哪些觀測量可以有共同本征態(tài)，特別有用。在中心力場下，采用球坐標系，?是周期坐標（注：Cyclic variable，指該坐標對應的運動是周期的，請參考作用量—角變量理論。循環(huán)坐標的譯法是錯誤的。)，故Lz=p?是守恒量。由泊松括號，可知是運動常數(shù)。從{L2,H}=0，{Lz,H}=0，則由Jacobi恒等式知{{L2,Lz},H}=0，也就是說{L2,Lz}也是一個運動常數(shù)。若采用直角坐標表示，Lx,Ly,Lz的表示形式是相同的，它們之間的泊松括號不為零，但是每一個又都可以與L2同時是運動常數(shù)[5]。這是后來的量子力學關注{H,L2,Lz}共同本征態(tài)表示問題的緣起。

隨著量子力學的發(fā)展，角動量的概念得到了擴充。在量子力學中，作用于希爾伯特空間中的矢量ψ上的滿足對易關系J×J=i?J的算符即可稱為角動量。軌道角動量L=x×p，自旋S，以及總角動量L+S，皆為角動量算符。角動量與SU(2)群的生成元遵從相同的對易關系，基于后者得到的表示|jm>常常會被當作角動量的表示[6，7]。由生成元的表示理論，可以得出(J2,Jz)的共同本征態(tài)表示|jm>，滿足：

這個由外爾1928年得到的群論表示便成了討論量子力學中的角動量理論的基礎[6]。

關于軌道角動量的量子力學處理，在量子力學創(chuàng)立伊始，玻恩—海森堡—約當即在他們的矩陣力學論文中指出：“對于Lx=const.,Ly=const.,Lz=const.都成立的系統(tǒng)，角動量的三個分量不能都是對角矩陣，否則會引出矛盾。這樣的系統(tǒng)必定是簡并的(Ein solches System ist also notwendig entartet)”[8]。簡并體系的量子力學處理要格外小心，它也是量子力學理論的主干。在量子力學的氫原子問題中，關注{H,L2,Lz}的共同本征值問題是為了用L2,Lz的量子數(shù)來區(qū)分簡并的能級，即哈密頓算符H的本征值。

在薛定諤關于氫原子問題的波力學處理中[9]，軌道角動量的z-分量，在球坐標系中表示，為Jz=。由本征值方程，解得ψ=Aeim?。物理要求ψ是單值函數(shù)，這樣m只能取整數(shù)；相應地，因為m=-j, -j+1, …, j-1, j，可見在這個問題里j只能取整數(shù)值，j=0, 1, 2…。相較于從SU(2)群的生成元而來的表示|jm>，這里j的取值受到了限制?；蛘哒f，(1)式所指代的表示并不嚴格地就是角動量的表示。一般量子力學教科書很少對讀者指明這一點。此外，薛定諤的處理中隱含著薛定諤方程必須是可分離變量的要求。

長期以來，因為軌道角動量與轉動群生成元有相同的對易關系，基于群生成元的表示{|jm>}就被當作了角動量表示?；谵D動群生成元的|jm>表示本質上是純代數(shù)的(purely algebraic in nature)。在群表示論的語境中，J2被稱為Casimir不變量，見于Hendrik Casimir1931年討論量子力學中的剛體轉動問題的學位論文[10]。SU(2)群的Casimir不變量J2是唯一的。表示{|jm>}中的m是Jz的本征值，而j是Jz的本征值的范圍(確切地說，是本征值實部的最大值)而非算符J的本征值！Casimir不變量的本征值可以用來為李代數(shù)的表示分類(classify the representations of the Lie algebra)。對于自旋來說，自旋被稱為角動量只是基于對易關系的類比，那是與運動無關的內稟自由度，采用這樣的代數(shù)表示沒有問題。1952年Schwinger把角動量都當作一定數(shù)目的的角動量的疊加，未脫離|jm>表示的窠臼[11]。對于作為運動量的軌道角動量，L=x×p，簡單地把{|jm>}當作角動量的表示是否合適，大有商榷的余地。比如薛定諤方程涉及的{J2,Jz}共同本征態(tài)就排除了j取半整數(shù)的可能。

軌道角動量是一個描述運動的物理量。軌道角動量由位置和動量構成，自有它的物理，軌道角動量的表示必須納入真實物理的考量[12]。有必要回答|jm>形式的表示的具體物理意義是什么。角動量表示牽扯到L2，關注L2的物理意義是什么應不算過分作用量的量綱為乘積。注意到物理量是有量綱的[H×t]或者[x×p]的量綱角動量，不妨理解為角動量的量綱高于能量、動量這些物理量的量綱。軌道角動量平方L2的量綱過高，我們似乎說不上來L2的物理意義是什么。在經(jīng)典力學和量子力學的中心場問題中它是以的形式納入哈密頓量的表達式的。J2相較于J是二級算符，{J2,Jz}的共同本征態(tài)的意義是什么，共同本征態(tài)又有什么樣的結構，這是我們在求解角動量本征值時要關注的一個物理因素。

也許，從物理現(xiàn)實出發(fā)，從頭考察一下{J2,Jz}的共同本征態(tài)問題是有意義的。將軌道角動量用物理空間表示會獲得更加明確的結論，此前我們已經(jīng)做了初步的努力[12]。量子力學中有采用升算符自真空中產(chǎn)生用不同占據(jù)數(shù)表示的狀態(tài)的做法，，升降算符a+, a是數(shù)算符a+a的本征值的升降算 符。這有點兒類似于角動量理論中J±=Jx±iJy是算符Jz的本征值的升降算符。Schwinger就曾采用與空間參照系相結合的自旋產(chǎn)生、湮滅算符(spin creation and annihilation operators associated with a given spatial reference system)討論量子力學中的角動量的表示問題。本文中，我們將坐標和動量用無量綱的升降算符a+, a表示，將系統(tǒng)的狀態(tài)空間用數(shù)算符a+a的本征態(tài){|n1, n2, n3>}展開，此正是與空間參照系相結合的表示，這為討論{J2,Jz}的本征值問題提供了一個一般性的基礎，也提供了一個非常簡單有效的途徑。我們的結果表明Jz的本征態(tài)只有很少的一部分是J2的本征態(tài)。{J2,Jz}只有偶發(fā)的共同本征態(tài)，且有特定的結構，這在一定程度上反映了J2與Jz之間的角色關系。

其實，微觀粒子并無軌道的概念，故接下來我們只用角動量的說法；相應地，自旋就是自旋，不必要引入自旋角動量的說法。

2 角動量的本征值問題

2.1 角動量的一般性質

在量子力學中，對角動量的分量形式，Jx=ypz-zpy,Jy=zpx-xpz, Jz=xpy-ypx，引入替換pα→-i??α，則容易證明角動量滿足對易關系[J,J]=i?J，且有[J2,Jx]=0，[J2,Jy]=0，[J2,Jz]=0。為了用物理現(xiàn)實的視角看待軌道角動量問題，我們引入基于同空間參照系相聯(lián)系的占據(jù)數(shù)表示的態(tài)矢空間{n1, n2, n3; nk=0, 1, 2, …}。

首先引入升降算符ak+, ak來表示坐標與動量算符：

其中Δ是量綱為[L]的參數(shù)。由正則對易關系[q,p]=i?I可知，算符ak, ak+滿足對易關系：

如此則有表示：

和：

其中nk=ak+ak，k=1, 2, 3。

采用無量綱算符ak, ak+的表示保持了角動量原有的對易關系。此外，由升算符ak+可由真空態(tài)|0>構造算符nk=ak+ak的本征態(tài)|nk>，故與空間參照系相聯(lián)系的態(tài)矢空間{|n1, n2, n3>; nk=0,1,2,…}可作為進一步討論的基礎。這樣的做法源于關于正則共軛變量對q,p及其狀態(tài)矢量的表示，保證了角動量是物理空間中的運動量的性質。

2.2 jz視角下的角動量本征值問題

考察角動量分量Jz=i?(a1a2+-a1+a2)，容易驗證它和數(shù)算符對易，

因為此關系的存在，故只需要在每一個nb有確定本征值nb=n1+n2(nb為正整數(shù))的{|n1, n2, n3>}子空間中構造Jz的本征態(tài)，其可以由有限數(shù)目的這種形式的態(tài)矢疊加而成，這大大簡化了問題。接下來為簡單計，取?=1。

從最簡單的nb=1開始。所涉及的子空間的基態(tài)矢包括|1, 0, n3>, |0, 1, n3>，Jz的本征值問題為

解得m=±1，相應地：

接著有：

結果中出現(xiàn)了
形式的態(tài)，共4項，這是原來的基態(tài)矢集中沒有的元素。顯然只當n3=0, 1時，(9)式才構成J2的本征態(tài)問題，J2|>=λ|>，解得λ=2, 6，相應的J2的本征態(tài)為

對于|m=-1>，可得到同樣的結論。

對于nb=2，所涉及的子空間的基態(tài)矢包括|2, 0, n3>, |1, 1, n3>, |0, 2, n3>，如上解Jz的本征值問題，可得本征值為m=±2，相應的本征態(tài)矢為

將算符J2作用到相應的Jz的本征態(tài)上：

可見只當n3=0, 1時，它們才是J2的本征態(tài)，對應本征值分別為λ=6, 12。

對|m=-2>作用的結果得到同樣的結論。

對于nb=3，所涉及的子空間的基態(tài)矢包括|3, 0, n3>, |1, 2, n3>, |2, 1, n3>, |0, 3, n3>，如上解jz的本征值問題，可得本征值為m=±3;±1，相應的本征態(tài)矢為

將算符J2作用到相應的Jz的本征態(tài)上，以|m=3>為例，

結果中出現(xiàn)了
形式的態(tài)，共6項。同樣是只當n3=0,1時，式(15)構成算符J2的本征值問題，相應的本征值為λ=12, 20。

對于nb=3時的態(tài)矢|m=-3>，|m=1>，|m=-1>，可得到同樣的結論。上述結果啟發(fā)我們，存在偶發(fā)的(sporadic)(J2,Jz)的共同本征態(tài)，且本征值表現(xiàn)出某種結構。

對于nb=4，所涉及的子空間的基態(tài)矢包括|4, 0, n3>, |3, 1, n3>, |2, 2, n3>, |1, 3, n3>, |0, 4, n3>，如上解Jz的本征值問題，可得本征值為m=±4;±2，相應的本征態(tài)矢為

以|m=4>為例計算J2|m=4>，同樣是出現(xiàn)了形式的態(tài)，此處共8項。只當n3=0, 1時，才構成算符J2的本征值問題，相應的本征值為λ=20, 30。針對nb=4情形下的|m=-4>, |m=2>, |m=-2>態(tài)，可得到同樣的結論。

繼續(xù)針對nb=n1+n2的{|n1, n2, n3>}子空間構造Jz的本征態(tài)，計算算符J2作用于其上的結果，可得到同樣的結論。實際上，可以得到算符nb與Jz的共同本征態(tài)|nb=m; jz=m?>的普遍表示。|nb=m; jz=m?>，如前簡記為|m>，處于n1+n2=m的{|n1, n2, n3>}子空間中，具體為

解本征值問題Jz|m>=m|m>，可得本征態(tài)矢的一般表示：

其中
。此表達式比只靠對易關系給出的表示明顯包含更多的物理信息。在從對易關系得到的理論中，|m>只是一個符號，但在此處它是態(tài)矢空間{|n1, n2, n3>}中確定的子空間{|n1+n2=m, n3>}中的一個狀態(tài)矢量。Jz的本征值為±m(xù), ±(m-2),……，取值間隔為2，但不能為0。只當n3=0,1時，|m>才是J2的本征態(tài)，本征值分別為λ=m(m+1), (m+1)(m+2)。此外，在|m>的表示中包含n3這個未定的因素或曰自由參數(shù)，這是此前的理論不可能發(fā)掘到的信息。這恰恰反映了軌道角動量分量存在于低一個維度空間里的現(xiàn)實。

2.3 J2視角下的角動量本征值問題

換個角度，從平方算符J2出發(fā)來探討(J2, Jz)的共同本征態(tài)。容易驗證，角動量平方算符J2與算符nt=n1+n2+n3=a1+a1+a2+a2+a3+a3對易，

算符J2與nt有共同本征態(tài)，這樣就可方便地在特定nt的{|n1, n2, n3>}子空間里表示J2。對于本征值nt=n1+n2+n3給定的情形，該子空間由個基矢量|n1, n2, n3>所張成。J2作用到這個基矢量上的結果，總可以按照分成四個閉合的等價類，且其中數(shù)量相同的3類所包含的基矢量集具有排列對稱性(permutation)，這反映的恰是算符J2的內在對稱性。

對于nt=1，所涉及的子空間的3個基態(tài)矢包括|1, 0, 0>, |0, 1, 0>, |0, 0, 1>，其都是J2的本征態(tài)，相應的本征值λ=2。|1, 0, 0>, |0, 1, 0>可以疊加出Jz的本征態(tài)，見式(8)。

對于nt=2，所涉及的子空間的6個基態(tài)矢包括|2, 0, 0>, |0, 2, 0>, |0, 0, 2>, |1, 1, 0>, |1, 0, 1>, |0, 1, 1>。如上解本征值問題J2| >=λ| >，可得：

容易驗證，|λ=0>不是Jz的本征態(tài)。至于|λ=6>的態(tài)，考察Jz|1, 1, 0>為例，可見

，故不可能構成本征值問題。但是，

，故疊加態(tài)|1, 0, 1>±i|0, 1, 1>是對應m=±1的本征態(tài)。共同本征值是稀疏的、偶發(fā)的。

對于nt=3，所涉及的子空間的10個基態(tài)矢包括|3, 0, 0>, |0, 3, 0>, |0, 0, 3>, |2, 1, 0>, |2, 0, 1>, |0, 2, 1>, |1, 2, 0>, |0, 1, 2>, |1, 0, 2>, |1, 1, 1>。算符J2作用到這些態(tài)上，根據(jù)結果可分成四個不同的閉合的等價類，分別為 |1, 1, 1>；|3, 0, 0>, |1, 2, 0>, |1, 0, 2>；|0, 3, 0>, |2, 1, 0>, |0, 1, 2>；|0, 0, 3>, |2, 0, 1>, |0, 2, 1>。具體地，

這是λ=12的本征態(tài)；它不是Jz的本征態(tài)。對于|3, 0, 0>, |1, 2, 0>, |1, 0, 2>構成的子空間，解本征值問題J2| >=λ| >，可得：

對于|0, 3, 0>, |2, 1, 0> |0, 1, 2>構成的子空間解本征值問題J2| >=λ| >，可得：

對于|0, 0, 3>, |2, 0, 1> |0, 2, 1>構成的子空間解本征值問題J2| >=λ| >，可得：

這些態(tài)都不是Jz的本征態(tài)。

對于nt=4，所涉及的子空間的15個基態(tài)矢包括 |4, 0, 0>, |0, 4, 0>, |0, 0, 4>, |3, 1, 0>, |3, 0, 1>, |0, 3, 1>, |1, 3, 0>, |0, 1, 3>, |1, 0, 3>；|1, 1, 2>；|2, 1, 1>, |1, 2, 1>, |2, 0, 2>, |2, 2, 0>, |0, 2, 2>。算符J2作用到這些態(tài)上，會將它們分成四個不同的閉合的等價類，分別為|2, 1, 1>, |0, 3, 1>, |0, 1, 3>；|1, 2, 1>, |1, 0, 3>, |3, 0, 1>；|1, 1, 2>, |1, 3, 0>, |3, 1, 0>；和|4, 0, 0>, |0, 4, 0>, |0, 0, 4>, |2, 0, 2>, |2, 2, 0>, |0, 2, 2>。

對于|2, 1, 1>, |0, 3, 1>, |0, 1, 3>構成的子空間，解本征值問題J2| >=λ| >，可得：

對于|1, 2, 1>, |1, 0, 3>, |3, 0, 1>構成的子空間，解本征值問題J2| >=λ| >，可得：

對于|1, 1, 2>, |1, 3, 0>, |3, 1, 0>構成的子空間，解本征值問題J2| >=λ| >，可得：

對于 |4, 0, 0>, |0, 4, 0>, |0, 0, 4>, |2, 0, 2>, |2, 2, 0>, |0, 2, 2>構成的子空間，解本征值問題J2| >=λ| >，可得：

除了|λ=0>(m=0)以外，上述這些態(tài)都不是Jz的本征態(tài)。{|λ=0>可能也不是Jz的本征態(tài)，可能是把結果為0，錯當成0乘上原來的態(tài)了}

對于nt=5，所涉及的子空間的21個基態(tài)矢包括|5, 0, 0>, |0, 5, 0>, |0, 0, 5>； |4, 1, 0>, |4, 0, 1>, |0, 4, 1>, |1, 4, 0>, |0, 1, 4>, |1, 0, 4>；|3, 0, 2>, |3, 2, 0>, |0, 3, 2>, |2, 3, 0>, |0, 2, 3>, |2, 0, 3>；|2, 1, 2>, |2, 2, 1>, |1, 2, 2>；|1, 3, 1>, |1, 1, 3>, |3, 1, 1>。算符J2作用到這些態(tài)上，會將它們分成四個不同的閉合的等價類，分別為|1, 3, 1>, |1, 1, 3>, |3, 1, 1>；|5, 0, 0>, |3, 0, 2>, |3, 2, 0>, |1, 0, 4>, |1, 4, 0>, |1, 2, 2>；|0, 5, 0>, |0, 3, 2>, |2, 3, 0> , |4, 1, 0>, |0, 1, 4>, |2, 1, 2>；|0, 0, 5>, |0, 2, 3>, |2, 0, 3>, |4, 0, 1>，|0, 4, 1>, |2, 2, 1>。

對于|1, 3, 1>, |1, 1, 3>, |3, 1, 1>構成的子空間，解本征值問題J2| >=λ| >，可得：

對于 |5, 0, 0>, |3, 0, 2>, |3, 2, 0>, |1, 0, 4>, |1, 4, 0>，|1, 2, 2>構成的子空間，解本征值問題J2| >=λ| >，可得λ=2, 12, 30。

對另外的類似的兩組基態(tài)矢，結果分別為

以及：

對于nt=6，所涉及的子空間的28個基態(tài)矢包括 |6, 0, 0>, |0, 6, 0>, |0, 0, 6>； |5, 1, 0>, |5, 0, 1>，|0, 5, 1>, |1, 5, 0>, |0, 1, 5>, |1, 0, 5>；|4, 0, 2>, |4, 2, 0>, |0, 4, 2>, |2, 4, 0>, |0, 2, 4>, |2, 0, 4>；|1, 4, 1>, |1, 1, 4>, |4, 1, 1>； |3, 3, 0>, |3, 0, 3>, |0, 3, 3>；|3, 2, 1>, |3, 1, 2>, |1, 3, 2>, |2, 3, 1>, |1, 2, 3>, |2, 1, 3>；|2, 2, 2>。算符J2作用到這些態(tài)上，會將它們分成不同的等價類，分別為|6, 0, 0>, |0, 6, 0>, |0, 0, 6>, |4, 0, 2>, |4, 2, 0>, |0, 4, 2>, |2, 4, 0>, |0, 2, 4>, |2, 0, 4>, |2, 2, 2>；|5, 1, 0>, |1, 5, 0>, |1, 1, 4>, |3, 3, 0>, |3, 1, 2>, |1, 3, 2>；|5, 0, 1>, |1, 0, 5>, |1, 4, 1>, |3, 0, 3> , |1, 2, 3>, |3, 2, 1>；以 及 |0, 5, 1>, |0, 1, 5>, |4, 1, 1>, |0, 3, 3>, |2, 3, 1>, |2, 1, 3>。

針對|5, 1, 0>, |1, 5, 0>, |1, 1, 4>, |3, 3, 0>, |3, 1, 2>, |1, 3, 2>構成的子空間求解本征值問題J2| >=λ| >，可得λ=6, 20, 42。針對|5, 0, 1>, |1, 0, 5>, |1, 4, 1>, |3, 0, 3>, |1, 2, 3>, |3, 2, 1>構成的子空間和針對|0, 5, 1>, |0, 1, 5>, |4, 1, 1>, |0, 3, 3>, |2, 3, 1>, |2, 1, 3>構成的子空間求解本征值問題，結果與此相同。針對|6, 0, 0>, |0, 6, 0>, |0, 0, 6>；|4, 0, 2>, |4, 2, 0>, |0, 4, 2>, |2, 4, 0>, |0, 2, 4>, |2, 0, 4>；|2, 2, 2>構成的子空間解本征值問題J2| >=λ| >，可得λ = 0, 20, 42。

具體的本征矢量表達式太長，且與前述結果可相類比，故此處從略。它們都不是Jz的本征態(tài)。

我們看到，可以在nt=n1+n2+n3給定的{|n1, n2, n3>}的子空間中找到J2的本征態(tài)。除了nt=1, 2的情形外，這些J2的本征態(tài)都不可能是Jz的本征態(tài)。這個結論與上節(jié)中從Jz出發(fā)得到的結論吻合。

3 結束語

長期以來，空間轉動群生成元的表示|jm>被誤當作量子力學中的軌道角動量的表示，我們的角動量理論對此給予了糾正。利用來自坐標—動量的升降算符，基于與空間參照系相結合的占據(jù)態(tài)表示{n1, n2, n3; nk=0, 1, 2, …}，這讓關于角動量的表示始終是物理的而非簡單地是代數(shù)的。我們看到Jz與nb=n1+n2對易而J2與nb=n1+n2+n3對易，這為構建它們的本征態(tài)提供了一個簡便有效的途徑。結果表明J2與Jz具有稀疏的共同本征態(tài)。只當n3=0, 1時，那些由nb=n1+n2限定的{n1, n2, n3}子空間中構造的jz的本征態(tài)才是J2的本征態(tài)，且本征值分別為±m(xù), ±(m-2), …(m≠0)；λ=m(m+1), (m+1)(m+2)。那些由nt=n1+n2+n3限定的{n1, n2, n3}子空間中構造的J2的本征態(tài)，J2作用到個基矢量上的結果總是按照l1+3l2分成四個閉合的等價類，三個數(shù)目相同的等價類具有排列不變性，反映了J2的固有對稱性；只在nt=1, 2的情形下才有Jz的本征態(tài)，任何nt≥3的J2的本征態(tài)都不是Jz的本征態(tài)。在具體的涉及角動量的量子力學問題中，諸如朗道能級問題[13]、自旋—軌道耦合問題等，我們的理論能提供簡單有效的求解路徑，并有助于發(fā)掘本征態(tài)/本征值的內在結構。

參考文獻

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[13] Landau L. Zeitschrift für Physik，1930，64 (9-10)：629

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